APLICACIÓN DE LA INTEGRAL PARA RESOLVER LA ECUACIÓN

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1 APLICACIÓN DE LA INTEGRAL PARA RESOLVER LA ECUACIÓN kf Propósio Al finalizar esa sección, quien impare el curso habrá logrado que los esudianes: Reconozcan que para obener la función F que modela el problema, ienen que recurrir a la inegral, para enconrar la aniderivada. Concepos clave: 7. Una ecuación es una igualdad en la que aparecen epresiones polinomiales, rigonoméricas, eponenciales o logarímicas, en las que se desconoce al menos un érmino o incógnia. 8. Resolver una ecuación es enconrar el valor o los valores de la incógnia que convieren la ecuación en una idenidad. 9. Una idenidad es una igualdad obvia del ipo a 2 b 2 = (a + b)(a b). PROBLEMA DE LAS ECUACIONES A esas aluras de nuesra formación maemáica, enemos amplia eperiencia en la solución de ecuaciones. Hemos desarrollado habilidad para resolver de memoria algunas de ellas. Por ejemplo, podemos resolver sin cálculos ni fórmulas esas ecuaciones: 1) + 5 = 7, enonces = ; 2) 6 8,enonces = ; 4-8 Unidad 4 Modelos y Predicción

2 3) 2 9 = 0, enonces 1 =, 2 = ; 4) an = 1, enonces = ; 5) log = 2, enonces = ; 6) 2 = 16, enonces = ; Pues bien, en esa unidad rabajaremos con una epresión de la forma kf, que puede considerarse una ecuación si al concepo clave número 7 le agregamos: Concepo clave 7. Una ecuación es una igualdad en la que aparecen epresiones polinomiales, rigonoméricas, eponenciales, logarímicas o derivadas, en las que se desconoce al menos un érmino o incógnia. A las ecuaciones que incluyen derivadas se les llama ecuaciones diferenciales. En esas ecuaciones, la pare desconocida o incógnia no es un valor numérico de la incógnia sino una función. Transfiriendo la eperiencia con ecuaciones como las que resolvimos en la página 4-8, respeco al problema de las amibas hemos resuelo ecuaciones como las siguienes: k2 a k2 a ke, enonces F resuló ser F() = 2, enonces F resuló ser F() = 2 a, enonces F resuló ser F() = C e a n embargo, así como eisen procedimienos formales para enconrar la solución de ecuaciones como 2-9 = 0 ó = 0 ó unas más complicadas que sabemos resolver, ambién eisen procedimienos formales para obener la solución de ecuaciones diferenciales. La clave de los procedimienos algebraicos usados para resolver ecuaciones como + 5 = 7, 6 8, ó 2 9 = 0 es efecuar la operación conraria o inversa. En + 5 = 7, resamos a ambos miembros 5 y llegamos al resulado = 2. Unidad 4 Modelos y Predicción 4-9

3 En 6 8, muliplicamos ambos miembros por 8 y llegamos al resulado = 48. En 2 9 = 0, sumamos 9 y eraemos raíz cuadrada a ambos miembros, para llegar al resulado 9 3. En el caso de las ecuaciones diferenciales que aquí raaremos, la clave no cambiará. La operación derivar o diferenciar iene su operación conraria o inversa. Cuál es? De manera que usando la aniderivada o inegral indefinida podemos resolver ecuaciones diferenciales como ésas: cos, enonces F() = sen + c, porque cos sen c 2 sec, enonces F() =an + c, porque sec 2 an c e, enonces F() = e + c, porque e e c Aplicando concepos que hemos manejado en ese curso, como el de diferencial de una función y el de inegral indefinida, no endremos dificulad en seguir ese procedimieno: PROCEDIMIENTO Para resolver un ecuación diferencial de la forma kf : 1. La llevamos a la forma diferencial: = k F 2. Inegramos ambos miembros: k F 3. Resolvemos cada una de las inegrales. Y 4. mplificamos la epresión obenida, para F() Unidad 4 Modelos y Predicción

4 Ejemplo 1 La epresión con que modelamos el problema de las amibas: puede ser raada con el procedimieno anerior. = C 0 2 F( ) C 2 c ; con C C 0 y c la consane de inegración. Enconramos como solución a la ecuación dada, la función F() = C 2 + c La manera de verificar que la solución obenida es correca, al igual que en las ecuaciones algebraicas, será susiuyendo en la ecuación original el valor obenido para F y viendo si se cumple la condición kf. Hagámoslo: C0 d 2 c C0 d (2 ) dc C0 () 2 0 C 2 0, como se quería! Ejemplo 2 Resolvamos la ecuación, con k una consane. Complear los espacios: k C y c la consane de in- ln 3 egración. De donde la solución es F() = C 3 + c, con Unidad 4 Modelos y Predicción 4-11

5 Ejemplo 3 Resolvamos la ecuación. Complear los espacios: De donde la solución es 1 F( ) e 4 4 c Ejercicio 1 Resolver las siguienes ecuaciones: Unidad 4 Modelos y Predicción