LA INTEGRAL INDEFINIDA
|
|
- Ana Contreras Herrero
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 LA INTEGRAL INDEFINIDA Auores: Paco Marínez Parici Molinàs ESQUEMA DE CONTENIDOS Méodos Ejeplos Inegral Indefinida Priiiva Ariéica Inegración por cabio de variable Inegración de funciones racionales Inegración Inediaa Inegración de irracionales Derivadas Inegración por pares Inegración de funciones rigonoéricas Propiedades Proyeco e-mah
2 INTRODUCCIÓN En ese ah-bock raareos el problea inverso de hallar la derivada de una función: calcular una priiiva de la isa. Aunque se sabe que cualquier función coninua iene priiiva, no eisen fórulas, ni éodos, para calcular ésas con eaciud ás que unos pocos casos. El objeo de ese ea es eponer algunos de dichos éodos, y su iporancia se noará en el capíulo de la Inegral definida y sus aplicaciones, donde vereos la relación que hay enre el área y la inegral definida y la regla de Barrow, coneión enre el Cálculo Diferencial y el Cálculo Inegral. Calculareos inegrales indefinidas de odo ipo: inediaas, ediane cabio de variable, por pares, inegración de funciones racionales, irracionales y rigonoéricas. OBJETIVOS. Conocer y aplicar el concepo de priiiva de una función.. Ver la inegral coo la operación inversa de derivar.. Calcular inegrales inediaas, aplicando las propiedades de las priiivas.. Transforar una inegral en ora ás sencilla haciendo un cabio de variable.. Hallar inegrales por el éodo de inegración por pares. 6. Saber uilizar las funciones racionales y el éodo de inegración derivado de ellas, descoponiendo dichas funciones en fracciones siples, cuyas inegrales son inediaas. 7. Calcular inegrales irracionales y rigonoéricas eligiendo el cabio de variable adecuado. CONOCIMIENTOS PREVIOS A fin de poder aprovechar al áio esa unidad es recoendable ener conociienos básicos sobre funciones de una variable, derivación y uso del prograa Mahcad. CONCEPTOS FUNDAMENTALES Concepo de Priiiva Sea I un inervalo abiero, y f una función definida en I. Una priiiva de f en I es una función, F, coninua en I que verifica: F'() f() I. Luego odas las priiivas de f son del ipo G() F() C, siendo C una consane cualquiera, pues G () F'() 0 f(). El conjuno forado por odas las priiivas de f se llaa inegral indefinida de f, y se designa por f() d (se lee inegral de f() diferencial de ). Luego, escribireos f()d F() C Proyeco e-mah
3 Ejeplo: d c, ya que F() ; F () f() Una priiiva de f() cos es F() sin. Añadiendo consanes, obeneos ás priiivas Inegración inediaa A las priiivas que resulan aplicando en odo inverso las fórulas de derivación se les llaa inegrales inediaas. El recuerdo del cuadro de las derivadas de las funciones fundaenales, así coo la regla de derivación de una función de función, nos van a periir recordar una abla de inegrales inediaas, cuyo uso se hace iprescindible: e d e c Propiedades: Veaos a coninuación las propiedades que verifican las inegrales indefinidas, que son consecuencia inediaa de la definición de priiiva y de las propiedades de las derivadas.. ( f ( ) g( )) d f ( ) d g( ) d. kf ( ) d k f ( ) d k R. ( f ( ) kg( )) d k f ( ) d k k g( ) d k, k R Proyeco e-mah
4 Ejeplo: ( cos e ) d d cos d e d sin e Inegración por cabio de variable c Una écnica para enconrar priiivas iene la regla de la cadena coo base. La regla de la cadena nos indica que si eneos una función f() que sabeos inegrar, y, en lugar de poneos alguna ora función de, g(), enonces: f ( g( )) g'( ) d f ( ) d Después inegraos con respeco a y, ya para acabar, deshaceos el cabio. Se raa de ransforar una inegral en ora ás sencilla haciendo un cabio de variable adecuado. sin( ) Ejeplo: Calcular d cos( ) Solución: Podeos ejorar uchísio el aspeco de esa inegral efecuando el siguiene cabio de variable: cos( ) que conlleva d. Subsiuyendo abas epresiones podeos escribir: d sin( ) sin( ) sin( ) d ) d cos( ) cos( d d ln c Deshaciendo el cabio: sin( ) d ln cos( ) c cos( ) Inegración por pares Ese éodo se basa en la fórula ( ) g'( ) d f ( ) g( ) f f '( ) g( ) d cuya deducción es rivial a parir de la regla de derivación de un produco. Ejeplo: Calcular e sin d Proyeco e-mah
5 Solución: Aplicareos inegración por pares, con f ( ) sin, g ( ) e. Así: f ( ) cos, g( ) e e I e sin d e sin e cos d. Aplicando de nuevo inegración por pares, oando g ( ) e, f ( ) cos eneos g( ) e, f ( ) sin quedando: I e sin d e sin e cos d e sin ( e cos e sin e cos I e sin d) Luego: I e sin e cos I I e sin e cos Despejando I, se iene que I e (sin cos ) Inegración de funciones racionales P( ) Una función racional iene la fora:, donde P() y Q() son polinoios. Sabeos que Q( ) si grado de P() grado de Q(), enonces podeos dividir P() enre Q() obeniendo: P ( ) C( ) Q( ) R( ), siendo C() el cociene y R() el reso, adeás R() 0, o bien, grado R()<grado Q(). Así: P( ) Q( ) R( ) R( ) d Q( ) Q( ) d C( ) d C( ) d La priera inegral es polinóica, luego inediaa. La segunda inegral vale cero (si R() 0), o grado R()<grado Q(), en cuyo caso Q() se puede descoponer en facores irreducibles (según un eorea del álgebra), es decir, por edio de sus raíces. R( ) Según oro eorea algebraico, la fracción se puede descoponer en sua de Q( ) fracciones de coeficienes irreducibles. Veaos odo eso con un ejeplo. Ejeplo: Calcular d Solución: Coo el grado del nuerador es igual al del denoinador, procedereos anes de inegrar a dividir enre siendo el cociene obenido y el reso: Proyeco e-mah
6 Proyeco e-mah 6 d d d d Mienras que la priera inegral es inediaa, la segunda requiere descoponer la fracción en sua de fracciones de coeficienes irreducibles: C B A Resolviendo la ecuación anerior, deerinaos que Reoando la inegral: d d d c arcg ln ln c arcg ln ln y siplificando: c arcg ln Vereos en los casos prácicos con sofware coo el Mahcad puede, adeás de calcular la inegral direcaene, hacer la descoposición, en fracciones siples, por nosoros. Inegración de funciones irracionales Las inegrales del ipo d d c b a d c b a R s r p n ),,, ( L, (R cociene enre epresiones) y p,...,s naurales, se ransforan en una racional si se hace el cabio d c b a M siendo ),, (.. s p c M L Ejeplo: Calcular d
7 Solución: Hagaos el cabio 6 con lo que: / 6 ( ) y d 6 d, 6 6 d d d Teneos una función racional. Coo el grado del nuerador es ayor al del denoinador, dividireos 6 enre siendo el cociene obenido y -6 el reso: 6 6 d d 6 6Ln Luego, deshaciendo el cabio: C d 66 6Ln( 6 ) C Inegración de funciones rigonoéricas Tipo sin cos n d siendo y n naurales y ipo R (sin,cos ) d (R cociene) Se hace los cabios sin, cos, g ó g(/) según convenga. Ejeplo: Calcular sin d cos Solución: Dado que la derivada de cos es sin, efecuaos el siguiene cabio de variable: cos, d sin d, obeniendo una inegral inediaa: sin d d c () c () c () () cos cos Para efecuar la inegral ediane oro cabio de variable, nos fijaos que podeos rescribir la fracción de funciones rigonoéricas de la siguiene fora: sin g d d cos cos que deja enrever el inerés de realizar abién ese oro cabio de variable: d d. Con ese cabio, la inegral se conviere en inediaa: cos g y Proyeco e-mah 7
8 g d c() c() () Los resulados obenidos en () y () no son foralene iguales aunque equivalen realene coo vereos a coninuación. Dividiendo la ecuación fundaenal de la rigonoería por cos obeneos: g cos Subsiuyendo g en el resulado obenido en () obeneos el resulado en cos () enos. Basa, pues, para coprender lo que sucede, redefinir la consane arbiraria de la inegración en () coo la en () ás, es decir, c ( ) c(). Proyeco e-mah 8
9 CASOS PRÁCTICOS CON SOFTWARE Ejeplos de inegración inediaa y con cabio de variable Calcular (a) d, (b) d e e (a) Descoponiendo la inegral en varios suandos, según las propiedades de las inegrales, quedaría: d d d d d d d c c ln ln / / Las inegrales resulanes, una vez siplificadas, son inediaas. (b) Realiceos la inegración ediane cabio de variables (epresado en los cálculos siguienes enre llaves): e e u d e e d du Con el Mahcad: du ln u ( u ) c { u e } ln( e ) c Proyeco e-mah 9
10 Ejeplo de inegración por pares Calcular la inegral ln d Sabiendo que (ln )' y que d c, parece razonable inegrar por pares. Toeos f ( ) ln y '( ) g y enonces: ln d ln d ln d ln c que, una vez siplificado, equivale a: ln c. Con el Mahcad, uilizando el coando sibólico collec para sacar facor coún de la variable, quedaría así: Proyeco e-mah 0
11 Ejeplo de inegración de funciones racionales Calcular (a) d, (b) d e e (a) Coo el nuerador no es de grado inferior al denoinador, procedereos anes de inegrar a dividir enre siendo el cociene obenido y - el reso: d d d d arcan c (b) El inegrando es función racional de e, luego hareos el cabio e, d e d : d d e e ( ) Ahora debe inegarse una función racional cuyo denoinador se descopone en la fora ( ) ( )( ) con lo que: A B C A( )( ) B( ) C( ) ( ) ( )( ) Resolviendo la ecuación anerior, deerinaos que : A ; B ; C. Enonces: 6 ( ln A B C d d d ( ) d 6 ) ln ln 6 c ln 6 c ln 6 e d e e c Con el Mahcad, uilizando el coando sibólico conver o parial fracion para hacer la descoposición en fracciones siples, quedaría así: Proyeco e-mah
12 Ejeplo de inegración de funciones rigonoéricas sin( ) Calcular (a) d, (b) cos sin d cos ( ) (a) Podeos ejorar uchísio el aspeco de esa inegral efecuando el siguiene cabio de variable: s cos() que conlleva ds sin( ) d. Subsiuyendo abas epresiones podeos escribir: sin( ) d cos ( ) ds s siendo esa úlia una inegral inediaa. Por ano: arcan(s) C y finalene- deshaciendo el cabio, obeneos: arcan(cos( )) C (b) Hagaos el cabio sin, enonces d cos d. Así, eneos que: Proyeco e-mah
13 Proyeco e-mah d d d d ) ( ) sin ( ) (cos cos, con lo que: C C d d d sin sin sin ) ( ) ( sin cos
14 BIBLIOGRAFÍA [] Benker, H. (999): "Pracical use of Mahcad. Solving aheaical probles wih a copuer algebra syse", Springer-Verlag New York, Inc. [] Moreno, J.A.; Ser, D. (999): "Mahcad 8. Manual de usuario y guía de referencia de Mahcad 8", ediciones Anaya Muliedia, S.A. [] Agulió, F.; Boadas, J.; Garriga, E.; Villalbí, R. (99): Tees clau de càlcul. Barcelona: UPC. [] Couran, R.; John, F. (97): Inroducción al cálculo y al análisis aeáico. Méico: Liusa. [] Vaquero, A.; Fernández, C. (987): La Inforáica Aplicada a la Enseñanza. Eudea S.A. Madrid.P 7. [6] Orega J. (990): Inroducció a l anàlisi aeáica. Barcelona: Publicacions de la Universia Auónoa de Barcelona. [7] Tang, S. (986): Applied Calculus. PWS Publishers. [8] Burbulla, D.(99): Self-Tuor for Copuer Calculus Using Maple. Prenice Hall. [9] Hun, R. (99): "Calculus". Ed. Harper Collins. Proyeco e-mah
15 ENLACES [W] hp:// Página web sobre un ariculo que ganó el segundo preio en el "concurso de prograas educaivos para ordenador", organizado por el M.E.C. en el año 99. Traa sobre el prograa funciones para windows, e incluye ejeplos gráficos. Ese prograa es capaz de, adeás de calcular inegrales, represenar funciones, calcular los punos de core enre ellas, hallar el área que encierran, ec. Un prograa uy copleo, ineresane y fácil de anejar. [W] hp:// Página web con ejercicios sobre odos los aspecos que abarca la inegración indefinida, desde las inegrales inediaas, hasa las rigonoéricas e irracionales. La página esá esrucurada en una guía de ejercicios, un enlace para resolver inegrales en línea (INTEGRATOR) y oros conenidos que raa. [W] hp:// Página web con probleas resuelos, por nivel de dificulad, sobre inegrales inediaas, por pares y rigonoéricas. [W] hp://planeah.org/encyclopedia/inegraionbypars.hl Página web de la enciclopedia de PlaneMah.org sobre Inegración por pares. Tabién se pueden buscar en hp://planeah.org/encyclopedia oros concepos coo inegral, ec. [W] hp://ballo.inforaica.ua.es/aap/svera/docs/apunesi.hl Página web de Salvador Vera Balleseros, profesor del Deparaeno de aeáicas aplicada de la universidad de Málaga. Coniene probleas, eáenes y apunes sobre la inegral indefinida. [W6] hp://cariari.ucr.ac.cr/~ci/calculo.hl Página web que raa sobre un curso de cálculo diferencial. En el capiulo 9. habla de la inegración y la aniderivación. Hay eoría y ejercicios. [W7] hp:// Página web del Deparaeno de aeáicas aplicada de la Universidad Poliécnica de Madrid. Coniene ejercicios y eáenes sobre inegración. [W8] hp:// Página web que raa sobre un curso de aprendizaje de Mahcad. Hay ejeplos sobre inegrales, en el aparado 6) Operadores y en el ) Maeáicas Sibólicas. [W9] hp:// Página coplea sobre odo lo relacionado con las aeáicas. Aparecen aeáicos faosos y aplicaciones de las aeáicas a diversos capos. Proyeco e-mah
3 Aplicaciones de primer orden
CAÍTULO 3 Aplicaciones de primer orden 3.2. Modelo logísico El modelo de Malhus iene muchas limiaciones. or ejemplo, predice que una población crecerá exponencialmene con el iempo, que no ocurre en la
Más detallesFunciones exponenciales y logarítmicas
89566 _ 0363-00.qd 7/6/08 09:30 Página 363 Funciones eponenciales y logarímicas INTRODUCCIÓN En esa unidad se esudian dos funciones que se aplican a numerosas siuaciones coidianas y, sobre odo, a fenómenos
Más detallesFUNCIONES VECTORIALES CON DERIVE.
FUNCIONES VECTORIALES CON DERIVE. Las operaciones de cálculo de Dominio, adición susracción, muliplicación escalar y vecorial de funciones vecoriales, se realizan de manera similar a las operaciones con
Más detallesACTIVIDADES UNIDAD 7: Funciones elementales
ACTIVIDADES UNIDAD 7: Funciones elemenales 1. La facura del gas de una familia, en sepiembre, fue de 4,8 euros por 1 m 3, y en ocubre, de 43,81 por 4 m 3. a) Escribe la función que da el impore de la facura
Más detallesCINEMÁTICA: MOVIMIENTO RECTILÍNEO, OTROS DATOS.
CINEMÁTICA: MOVIMIENTO RECTILÍNEO, OTROS DATOS. Una parícula se muee en la dirección posiia del eje X, de modo que su elocidad aría según la ley = α donde α es una consane. Teniendo en cuena que en el
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS 1 (continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables)
Funciones de varias variables. PROBLEMAS RESUELTOS 1 (coninuidad, derivabilidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables) PROBLEMA 1 Esudiar la coninuidad de la función: xy ( xy, ) (,) x +
Más detallesTEMA I: FUNCIONES ELEMENTALES
TEMA I: FUNCIONES ELEMENTALES. Función Logarimo Todos conocemos la definición de logarimo en base b, siendo b un número enero posiivo disino de. u = log b x x = b u y la propiedad fundamenal log b (xy)
Más detallesUD: 3. ENERGÍA Y POTENCIA ELÉCTRICA.
D: 3. ENEGÍA Y OENCA ELÉCCA. La energía es definida como la capacidad de realizar rabajo y relacionada con el calor (ransferencia de energía), se percibe fundamenalmene en forma de energía cinéica, asociada
Más detalles01 Ejercicios de Selectividad Matrices y Sistemas de Ecuaciones
01 Ejercicios de Selecividad Marices y Sisemas de Ecuaciones Ejercicios propuesos en 009 1- [009-1-A-1] a) [1 5] En un comercio de bricolaje se venden lisones de madera de res longiudes: 090 m, 150 m y
Más detallesPROCESOS ESTOCÁSTICOS PROCESOS ESTOCÁSTICOS INTEGRAL ESTOCÁSTICA ECUACIONES DIFERENCIALES ESTOCASTICAS: LEMA DE ITO
PROCESOS ESOCÁSICOS PROCESOS ESOCÁSICOS INEGRAL ESOCÁSICA ECUACIONES DIFERENCIALES ESOCASICAS: LEMA DE IO Procesos esocásicos Un proceso esocásico describe la evolución emporal de una variable aleaoria.
Más detallesEcuaciones diferenciales, conceptos básicos y aplicaciones
GUIA 1 Ecuaciones diferenciales, concepos básicos y aplicaciones Las ecuaciones diferenciales ordinarias son una herramiena básica en las ciencias y las ingenierías para el esudio de sisemas dinámicos
Más detallesCINEMÁTICA: MOVIMIENTO RECTILÍNEO, CONCEPTOS BÁSICOS Y GRÁFICAS
CINEMÁTICA: MOVIMIENTO RECTILÍNEO, CONCEPTOS BÁSICOS Y GRÁFICAS Dada la dependencia de la velocidad con la posición en un movimieno recilíneo mosrada por la siguiene gráfica, deerminar la dependencia con
Más detallesTécnicas cualitativas para las Ecuaciones diferenciales de primer orden: Campos de pendientes y líneas de fase
Lección 5 Técnicas cualiaivas para las Ecuaciones diferenciales de primer orden: Campos de pendienes y líneas de fase 5.. Técnicas Cualiaivas Hasa ahora hemos esudiado écnicas analíicas para calcular,
Más detallesTema 5: Diferenciabilidad: Aplicaciones
Prof. Susana López 1 UniversidadAuónomadeMadrid Tema 5: Diferenciabilidad: Aplicaciones 1 Funciones compuesas y Regla de la cadena Recordemos que la regla de la cadena para funciones de una sola variable
Más detallesDEPARTAMENTO DE QUÍMICA ANALÍTICA Y TECNOLOGÍA DE ALIMENTOS
DEPARTAMETO DE QUÍMICA AALÍTICA Y TECOLOGÍA DE ALIMETOS FUDAMETOS DE AÁLISIS ISTRUMETAL. 7º RELACIÓ DE PROBLEMAS..- Las susancias A y B ienen iempos de reención de 6.4 y 7.63 min, respecivamene, en una
Más detalles3. Matrices y álgebra matricial
Marices y álgebra maricial Repasaremos algunos concepos básicos de la eoría maricial Nos cenraremos en aspecos relacionados con el álgebra lineal, la inversión y la diagonalización de marices Veremos algunas
Más detallesLa transformada de Laplace
Capíulo 8 La ransformada de Laplace 8.. Inroducción a las ransformadas inegrales En ese aparado aprenderemos un méodo alernaivo para resolver el problema de valores iniciales (4.5.) y (x) + py (x) + qy(x)
Más detallesMatemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Funciones de varias variables. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C.
Maemáicas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Funciones de varias variables Elena Álvarez Sáiz Dpo. Maemáica Aplicada C. Compuación Universidad de Canabria Ingeniería de Telecomunicación Ejercicios: Func. varias
Más detallesCapítulo 5 Sistemas lineales de segundo orden
Capíulo 5 Sisemas lineales de segundo orden 5. Definición de sisema de segundo orden Un sisema de segundo orden es aquel cuya salida y puede ser descria por una ecuación diferencial de segundo orden: d
Más detallesLÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD
LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página 7 REFLEXIONA Y RESUELVE Visión gráfica de los ites Describe análogamente las siguientes ramas: a) f() b) f() no eiste c) f() d) f() +@ e) f() @ f) f() +@ g) f()
Más detallesMATEMATICAS I FUNCIONES ELEMENTALES. PROBLEMAS
1º) La facura del gas se calcula a parir de una canidad fija y de un canidad variable que se calcula según los m 3 consumidos (el precio de cada m 3 es consane). El impore de la facura de una familia,
Más detallesNÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS
NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS Los números naturales surgen como respuesta a la necesidad de nuestros antepasados de contar los elementos de un conjunto (por ejemplo los animales de un rebaño) y de
Más detalles{ 3} Nota. La raíz no impone condiciones al dominio por ser de índice impar.
. Esudia el dominio de las siguienes unciones: a ( : Función Racional, el dominio son odos los números reales ecepo los que anulen el denominador. R / 0 : 0 : : ± [ ( ] { } R ± { } b ( : Función Racional,
Más detallesTema 04:Fracciones. Primero de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s Fuentesaúco.
2010 Tema 04:Fracciones. Primero de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s Fuentesaúco. Manuel González de León. mgdl 01/01/2010 . INDICE: 01. APARICIÓN DE LAS FRACCIONES. 02. CONCEPTO DE FRACCIÓN. 03.
Más detallesCálculo Simbólico también es posible con GeoGebra
www.fisem.org/web/union ISSN: 1815-0640 Número 34. Junio de 2013 páginas 151-167 Coordinado por Agustín Carrillo de Albornoz Cálculo Simbólico también es posible con GeoGebra Antes de exponer las posibilidades
Más detallesEste documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.
Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental
Más detallesDispositivos semiconductores
Deparameno de Telecomunicaciones Disposiivos semiconducores 3 Inroduccion Veremos los disposiivos semiconducores más básicos: los diodos. Veremos las variables más comunes de esos semiconducores; El diodo
Más detallesLlamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3
1. NÚMEROS NATURALES POTENCIAS DE UN NÚMERO NATURAL Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3 El factor que se repite es la base, y el número de veces que se repite
Más detallesTEMA 9: LA TASA NATURAL DE DESEMPLEO Y LA CURVA DE PHILLIPS
TEMA 9: LA TASA NATURAL DE DESEMPLEO Y LA CURVA DE PHILLIPS 9.2 La asa naural de desempleo y la curva de Phillips La relación enre el desempleo y la inflación La curva de Phillips, basada en los daos aneriores
Más detallesb) Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hay que derivar la función. Como que se trata de un cociente, aplicamos la fórmula:
1. Dada la función f(x) = : a) Encontrar el dominio, las AH y las AV. b) Intervalos de crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos relativos. c) Primitiva que cumpla que F(0) = 0. a) Para encontrar el
Más detallesIndicadores demográficos METODOLOGÍA
Indicadores demográicos METOOLOGÍA 1. Objeivos y uilidades El objeivo de esa operación esadísica es la obención de una serie de indicadores descripivos de la siuación demográica de Galicia, con la que
Más detallesWise Up Kids! En matemáticas, a la división de un objeto o unidad en varias partes iguales o a un grupo de esas divisiones se les denomina fracción.
Fracciones o Quebrados En matemáticas, a la división de un objeto o unidad en varias partes iguales o a un grupo de esas divisiones se les denomina fracción. Las fracciones pueden ser representadas de
Más detallesLÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD
LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página REFLEXIONA Y RESUELVE Algunos ites elementales Utiliza tu sentido común para dar el valor de los siguientes ites: a,, b,, @ c,, 5 + d,, @ @ + e,, @ f,, 0 @ 0 @
Más detallesLÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS
LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD RAMAS INFINITAS Página 7 REFLEIONA RESUELVE Aproimaciones sucesivas Comprueba que: f () = 6,5; f (,9) = 6,95; f (,99) = 6,995 Calcula f (,999); f (,9999); f (,99999);
Más detallesLÍMITES Y CONTINUIDAD
UNIDAD 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD Páginas 0 y Describe las siguientes ramas: a) f () b) f () no eiste c) f () d) f () + e) f () f) f () + g) f () h) f () no eiste; f () 0 i) f () + f () + j) f () 5 4 f ()
Más detallesMaster en Economía Macroeconomía II. 1 Problema de Ahorro-Consumo en Horizonte Finito
Maser en Economía Macroeconomía II Profesor: Danilo Trupkin Se de Problemas 1 - Soluciones 1 Problema de Ahorro-Consumo en Horizone Finio Considere un problema de ahorro-consumo sobre un horizone finio
Más detallesY t = Y t Y t-1. Y t plantea problemas a la hora de efectuar comparaciones entre series de valores de distintas variables.
ASAS DE VARIACIÓN ( véase Inroducción a la Esadísica Económica y Empresarial. eoría y Pácica. Pág. 513-551. Marín Pliego, F. J. Ed. homson. Madrid. 2004) Un aspeco del mundo económico que es de gran inerés
Más detallesTEMA 2 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
Matemáticas B 4º E.S.O. Tema : Polinomios y fracciones algebraicas. 1 TEMA POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS.1 COCIENTE DE POLINOMIOS 4º.1.1 COCIENTE DE MONOMIOS 4º El cociente de un monomio entre otro
Más detallesTema 5 El Transistor MOS
FUNAMENTO FÍCO Y TECNOLÓGCO E LA NFORMÁTCA Tema 5 El Transisor MO Agusín Álvarez Marquina Esrucura física y polarización del ransisor nmo de acumulación (ource= Fuene) G (Gae= Puera) (rain= renador) (+)
Más detallesTema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos
Más detallesUNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS
UNIDAD 6. POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS Unidad 6: Polinomios con coeficientes enteros. Al final deberás haber aprendido... Expresar algebraicamente enunciados sencillos. Extraer enunciados razonables
Más detallesPráctica 20. CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR ELÉCTRICO
Prácica 20. CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR ELÉCTRICO OBJETIVOS Esudiar los procesos de carga y de descarga de un condensador. Medida de capacidades por el méodo de la consane de iempo. MATERIAL Generador
Más detallesPredimensionado de losas
Prediensionado de losas Dareos algunos crierios de carácer general para elegir enre losas acizas, nervuradas y de vigueas paralelas, en odos los casos aradas en una ó dos direcciones. a) Macizas Para losas
Más detallesLos números racionales
Los números racionales Los números racionales Los números fraccionarios o fracciones permiten representar aquellas situaciones en las que se obtiene o se debe una parte de un objeto. Todas las fracciones
Más detallesPráctica 2: Análisis en el tiempo de circuitos RL y RC
Prácica 2: Análisis en el iempo de circuios RL y RC Objeivo Esudiar la respuesa ransioria en circuios serie RL y RC. Se preende ambién que el alumno comprenda el concepo de filro y su uilidad. 1.- INTRODUCCIÓN
Más detallesFUNCIONES DE VARIAS VARIABLES I
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES I Funciones de varias variables I Autores: Paco Martínez (jmartinezbos@uoc.edu), Patrici Molinàs (pmolinas@uoc.edu). ESQUEMA DE CONTENIDOS Conceptos Ejemplos Funciones de
Más detallesGuías y tutoriales/compresores/winrar
g coordinación de uoriales: Graciela Sosisky exo: Horacio Marínez Philipps edición: Gabriela Tenner diseño: CAFE Guías y uoriales/compresores/winrar Los orígenes de ese programa se remonan a las experiencias
Más detalles6. ALGEBRAS DE BOOLE
6.1. Relaciones de orden Relación de orden Se llama relación de orden sobre un conjuno A a cualquier relación R enre sus elemenos que verifica las siguienes res propiedades: 1. Refleiva: ara, para cualquier
Más detallesTEORIA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Inroducción TEORIA DE COLA O LÍNEA DE EERA on innuerables las siuaciones en que personas u objeos deben ordenarse o agruparse según una esrucura ipuesa por un sisea, a la espera de recibir un servicio
Más detallesLección 24: Lenguaje algebraico y sustituciones
LECCIÓN Lección : Lenguaje algebraico y sustituciones En lecciones anteriores usted ya trabajó con ecuaciones. Las ecuaciones expresan una igualdad entre ciertas relaciones numéricas en las que se desconoce
Más detallesPrograma para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en ANEP Proyecto: Análisis, Reflexión y Producción. Fracciones
Fracciones. Las fracciones y los números Racionales Las fracciones se utilizan cotidianamente en contextos relacionados con la medida, el reparto o como forma de relacionar dos cantidades. Tenemos entonces
Más detallesEl comportamiento del precio de las acciones
El comporamieno del precio de las acciones Esrella Peroi Invesigador enior Bolsa de Comercio de Rosario eperoi@bcr.com.ar Para comprender el funcionamieno de los modelos de valuación de opciones sobre
Más detallesMétodos de Previsión de la Demanda Datos
Daos Pronósico de la Demanda para Series Niveladas Esime la demanda a la que va a hacer frene la empresa "Don Pinzas". La información disponible para poder esablecer el pronósico de la demanda de ese produco
Más detallesLÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS
LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD RAMAS INFINITAS Página 7 REFLEIONA RESUELVE Aproimaciones sucesivas Comprueba que: f () =,5; f (,9) =,95; f (,99) =,995 Calcula f (,999); f (,9999); f (,99999); A la vista
Más detallesCAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 5.1. Introducción 5.2. Cambios de variable 5.3. Transformación en sumas 5.4. Problemas resueltos
CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 5.. Inroducción 5.. Cambios de variable 5.3. Transformación en sumas 5.4. Problemas resuelos 5.5. Inegración por recurrencia Capíulo 5 Inegración de
Más detallesCÁLCULO INTEGRAL. Por: Edivar Fernández Hoyos INTRODUCCIÓN
CÁLCULO 1 INTEGRAL Por: Edivar Fernández Hoyos INTRODUCCIÓN Esta guía tiene como objetivo darte una introducción rápida para que inicies el curso de Cálculo Integral, comprendiendo: Qué es? Y Cómo se relaciona?
Más detallesINSTITUTO NACIONAL DE PESCA
INSTITUTO NACIONAL DE PESCA Dirección General de Invesigación Pesquera en el Pacífico Nore Subdirección de Tecnología en el Pacífico Nore. Indicadores económico-financieros para la capura de camarón y
Más detallesFORMACIÓN PROFESIONAL
GUÍA INFORMATIVA I.E.S. González Allende (Toro). Departamento de Orientación. Curso 2014-2015 PARA LA ELECCIÓN ACADÉMICA Y PROFESIONAL AL FINALIZAR LA EDUCACIÓN SECUNDARIA OBLIGATORIA FORMACIÓN PROFESIONAL
Más detallesTema 7. Límites y continuidad de funciones
Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 55 Límite de una función en un punto Tema 7 Límites y continuidad de funciones Idea inicial Si una función f está
Más detallesMACROECONOMIA II. Grado Economía 2013-2014
MACROECONOMIA II Grado Economía 2013-2014 PARTE II: FUNDAMENTOS MICROECONÓMICOS DE LA MACROECONOMÍA 3 4 5 Tema 2 Las expecaivas: los insrumenos básicos De qué dependen las decisiones económicas? Tipo de
Más detallesSESION 4. 1. El comando Integrate 2. Aproximación de integrales definidas 3. Integración de funciones racionales
SESION. El comando Integrate. Aproimación de integrales definidas. Integración de funciones racionales . El comando Integrate El cálculo de integrales definidas e indefinidas en MATHEMATICA es sencillo
Más detallesDescomposición factorial de polinomios
Descomposición factorial de polinomios Contenidos del tema Introducción Sacar factor común Productos notables Fórmula de la ecuación de segundo grado Método de Ruffini y Teorema del Resto Combinación de
Más detallesPRÁCTICA 4 TEMA 6: SERIES TEMPORALES
PRÁCTICA 4 TEMA 6: SERIES TEMPORALES En las prácicas aneriores se habían analizado observaciones de variables de ipo ransversal (por ejemplo, obenidas para diferenes municipios). Llamaremos Serie Temporal
Más detallesINTEGRAL INDEFINIDA. Hemos estudiado la derivada de una función. Ahora vamos a determinar una función F(x) conociendo su derivada.
1. INTEGRAL INDEFINIDA INTEGRAL INDEFINIDA Hemos estudiado la derivada de una función. Ahora vamos a determinar una función F(x) conociendo su derivada. Ejm: La función F x = x es una primitiva de f x
Más detallesTEMA 1 INTRODUCCIÓN A LA ELECTRÓNICA DIGITAL. 1. Sistemas analógicos y digitales.
T-1 Inroducción a la elecrónica digial 1 TEMA 1 INTRODUCCIÓN A LA ELECTRÓNICA DIGITAL El raamieno de la información en elecrónica se puede realizar de dos formas, mediane écnicas analógicas o mediane écnicas
Más detallesa < b y se lee "a es menor que b" (desigualdad estricta) a > b y se lee "a es mayor que b" (desigualdad estricta)
Desigualdades Dadas dos rectas que se cortan, llamadas ejes (rectangulares si son perpendiculares, y oblicuos en caso contrario), un punto puede situarse conociendo las distancias del mismo a los ejes,
Más detallesEjercicios Resueltos del Tema 4
70 Ejercicios Resueltos del Tema 4 1. Traduce al lenguaje algebraico utilizando, para ello, una o más incógnitas: La suma de tres números consecutivos Un número más la mitad de otro c) El cuadrado de la
Más detallesAl consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente. Dos consejeros (C y E) están de acuerdo en los mismos candidatos (B, C y D).
ÁLGEBRA DE MATRICE Página 48 Ayudándote de la tabla... De la tabla podemos deducir muchas cosas: Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente. B solo tiene un candidato el C. Dos consejeros
Más detallesJOSE VICENTE CONTRERAS JULIO CALCULO INTEGRAL LA ANTIDERIVADA
CALCULO INTEGRAL LA ANTIDERIVADA Así como las operaciones matemáticas de la adición, la multiplicación y la potenciación tienen sus inversas en la sustracción, la división y la radicación, la diferenciación
Más detallesMaster en Economía Macroeconomía II. 1 Learning by Doing (versión en tiempo discreto)
Maser en Economía Macroeconomía II Profesor: Danilo Trupkin Se de Problemas 4 - Soluciones 1 Learning by Doing (versión en iempo discreo) Considere una economía cuyas preferencias, ecnología, y acumulación
Más detallesGuía de Ejercicios Econometría II Ayudantía Nº 3
Guía de Ejercicios Economería II Ayudanía Nº 3 1.- La serie del dao hisórico del IPC Español desde enero de 2002 hasa diciembre de 2011, esá represenada en el siguiene gráfico: 115 110 105 100 95 90 85
Más detallesTEMA: FUNCIONES: Cuadrantes 3 er cuadrante, x 0, 4º cuadrante, x 0,
TEMA: FUNCIONES: ÍNDICE:. Inroducción.. Dominio y recorrido.. Gráficas de funciones elemenales. Funciones definidas a rozos. 4. Coninuidad.. Crecimieno y decrecimieno, máimos y mínimos. 6. Concavidad y
Más detallesDe las siguientes funciones decir cuál de ellas son funciones, y en ese caso indica el dominio y el recorrido.
EJERCICIOS FUNCIONES 4º OPCIÓN B 1 De las siguienes funciones decir cuál de ellas son funciones, en ese caso indica el dominio el recorrido. a) b) c) Aplicando el es de la línea verical se observa que
Más detallesÁLGEBRA DE MATRICES. Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente.
ÁLGEBRA DE MATRICES Página 49 REFLEXIONA Y RESUELVE Elección de presidente Ayudándote de la tabla, estudia detalladamente los resultados de la votación, analiza algunas características de los participantes
Más detallesOperaciones con polinomios
Operaciones con polinomios Los polinomios son una generalización de nuestro sistema de numeración. Cuando escribimos un número, por ejemplo, 2 354, queremos decir: 2 354 = 2 000 + 300 + 50 + 4 = 2)1 000)
Más detallesFUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD
UNIDAD 2 PROPORCIONALIDAD. FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD 1.- INTRODUCCIÓN Continuamente hacemos uso de las magnitudes físicas cuando nos referimos a diversas situaciones como medida de distancias (longitud),
Más detallesCaracterísticas de funciones que son inversas de otras
Características de funciones que son inversas de otras Si f es una función inyectiva, llamamos función inversa de f y se representa por f 1 al conjunto. f 1 = a, b b, a f} Es decir, f 1 (x, y) = { x =
Más detallesPRÁCTICA 3: Sistemas de Orden Superior:
PRÁCTICA 3: Sisemas de Orden Superior: Idenificación de modelo de POMTM. Esabilidad y Régimen Permanene de Sisemas Realimenados Conrol e Insrumenación de Procesos Químicos. . INTRODUCCIÓN Esa prácica se
Más detallesConstrucción de señales usando escalones y rampas
Consrucción de señales usando escalones y rampas J. I. Huircán Universidad de La Fronera March 3, 24 bsrac Se planean méodos para componer y descomponer señales basadas en escalones y rampas. Se de ne
Más detalles4. METODOLOGÍA. 4.1 Materiales. 4.1.1 Equipo
4. METODOLOGÍA 4.1 Materiales 4.1.1 Equipo Equipo de cómputo. Para el empleo del la metodología HAZOP se requiere de un equipo de cómputo con interfase Windows 98 o más reciente con procesador Pentium
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Números reales
úmeros reales En esta sección vamos a estudiar primero los distintos conjuntos de números que se definen en matemáticas. Después, al conocerlos mejor, podremos resolver distintos problemas aritméticos.
Más detallesTema 2 Límites de Funciones
Tema 2 Límites de Funciones 2.1.- Definición de Límite Idea de límite de una función en un punto: Sea la función. Si x tiende a 2, a qué valor se aproxima? Construyendo - + una tabla de valores próximos
Más detallesEL ANÁLISIS DE INVERSIONES A TRAVÉS DEL PLAZO FINANCIERO MEDIO Y LA TASA CONTINUA. Autores:
EL ANÁLISIS DE INVERSIONES A TRAVÉS DEL PLAZO FINANIERO MEDIO Y LA TASA ONTINUA Auores: Paulino Eugenio MALLO María Anonia ARTOLA Mariano MORETTINI enro de Invesigaciones onables de la Faculad de iencias
Más detallesCobertura de una cartera de bonos con forwards en tiempo continuo
Coberura de una carera de bonos con forwards en iempo coninuo Bàrbara Llacay Gilber Peffer Documeno de Trabajo IAFI No. 7/4 Marzo 23 Índice general Inroducción 2 Objeivos......................................
Más detallesPara la oblicua hacemos lo mismo, calculamos el límite en el menos infinito : = lim. 1 ( ) = = lim
) Sea la función: f(x) = ln( x ): a) Dar su Dominio y encontrar sus asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos, los
Más detallesJ.1. Análisis de la rentabilidad del proyecto... 3
Esudio de la implanación de una unidad produciva dedicada a la Pág 1 abricación de conjunos soldados de aluminio J.1. Análisis de la renabilidad del proyeco... 3 J.1.1. Desglose del proyeco en coses ijos
Más detallesTÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
C TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN C. CONCEPTOS PRELIMINARES C.. Función primitiva Sea f : I R, donde I es un intervalo real. Diremos que la función F : I R es una función primitiva de la función f en I si se cumple
Más detallesSolución y criterios de corrección. Examen de mayores de 25 años. 2012. Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales.
Solución y crierios de corrección. Examen de mayores de años.. Maemáicas aplicadas a las ciencias sociales. BLOQUE A En un cenro de ocio hay salas de cine: A, B y. A una deerminada sesión han acudido personas.
Más detallesTema 1: La autofinanciación
Tema : La auofinanciación.. Concepo y ipos de auofinanciación..2. La amorización de los elemenos parimoniales.3. Los beneficios reenidos.4. Venajas e inconvenienes de la auofinanciación irección Financiera
Más detallesFicha TIC: Gaby y su búsqueda por internet. Primaria: cuarto grado
Español Ficha TIC: Gaby y su búsqueda por internet. Primaria: cuarto grado Del portal Aprender a Aprender con TIC a tu aula Dirección electrónica: Aprender a Aprender Bloque I con TIC http://tic.sepdf.gob.mx
Más detalles1.- ALGORITMOS RÁPIDOS PARA LA EJECUCIÓN DE FILTROS DE PILA
hp://www.vinuesa.com 1.- ALGORITMOS RÁPIDOS PARA LA EJECUCIÓN DE FILTROS DE PILA 1.1.- INTRODUCCIÓN Los filros de pila consiuyen una clase de filros digiales no lineales. Un filro de pila que es usado
Más detallesColegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO
Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 5 5 6 Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y
Más detallesTEMA 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD
TEMA 8: DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 1. EN EL INFINITO En ocasiones interesa estudiar el comportamiento de una función (la tendencia) cuando los valores de se hacen enormemente grandes ( ) o enormemente pequeños
Más detallesA25. Informática aplicada a la gestión Curso 2005/2006 Excel Tema 7. Funciones avanzadas de Excel II
DEPARTAMENTO DE LENGUAJES Y SISTEMAS INFORMÁTICOS ESCUELA SUPERIOR DE TECNOLOGÍA Y CIENCIAS EXPERIMENTALES A.D.E.M. Segundo Curso A25. Informática aplicada a la gestión Curso 2005/2006 Excel Tema 7. Funciones
Más detallesCONSERVACIÓN DE LA ENERGIA
CONSERVACIÓN DE LA ENERGIA ASIMOV - 8 - ENERGÍA MECÁNICA - CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA ENERGÍA POTENCIAL Suponé que sostengo una cosa a del piso y la suelto. Al principio la cosa tiene velocidad inicial
Más detallesClases de apoyo de matemáticas Fracciones y decimales Escuela 765 Lago Puelo Provincia de Chubut
Clases de apoyo de matemáticas Fracciones y decimales Escuela 765 Lago Puelo Provincia de Chubut Este texto intenta ser un complemento de las clases de apoyo de matemáticas que se están realizando en la
Más detallesCURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
INECUACIONES NOTA IMPORTANTE: El signo de desigualdad de una inecuación puede ser,, < o >. Para las cuestiones teóricas que se desarrollan en esta unidad únicamente se utilizará la desigualdad >, siendo
Más detallesEcuaciones de primer grado con dos incógnitas
Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si decimos: "las edades de mis padres suman 120 años", podemos expresar esta frase algebraicamente de la siguiente forma: Entonces, Denominamos x a la edad
Más detallesLABORATORIO Nº 2 GUÍA PARA REALIZAR FORMULAS EN EXCEL
OBJETIVO Mejorar el nivel de comprensión y el manejo de las destrezas del estudiante para utilizar formulas en Microsoft Excel 2010. 1) DEFINICIÓN Una fórmula de Excel es un código especial que introducimos
Más detalles4.7. Integración de Word y Excel
47 Inegración de Word y Excel 471 Combinar correspondencia Qué procedimieno seguiría para hacer las siguienes areas? Generar una cara de soliciud de permiso de los padres de familia para cada uno de sus
Más detalles