EL ANÁLISIS DE INVERSIONES A TRAVÉS DEL PLAZO FINANCIERO MEDIO Y LA TASA CONTINUA. Autores:

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2 EL ANÁLISIS DE INVERSIONES A TRAVÉS DEL PLAZO FINANIERO MEDIO Y LA TASA ONTINUA Auores: Paulino Eugenio MALLO María Anonia ARTOLA Mariano MORETTINI enro de Invesigaciones onables de la Faculad de iencias Econóicas y Sociales de la Universidad Nacional de Mar del Plaa paulinoallo@speedy.co.ar; arola@infovia.co.ar; ariano.oreini@gail.co

3 EL ANÁLISIS DE INVERSIONES A TRAVÉS DEL PLAZO FINANIERO MEDIO Y LA TASA ONTINUA RESUMEN oo pare de un cuerpo docene, año a año a edida que se van dicando los eas de la asignaura, en varios de ellos nos pregunaos: para qué enseñaos ese concepo?, si sipleene rabajando aeáicaene con las definiciones de capialización o acualización surge la respuesa sin necesidad de darle un nobre específico y acopañarla de una deosración analíica. Enre esos eas, siepre eneos presene el iepo edio y la asa de capialización coninua, y leyendo los eos de Alfonso Rodríguez, caedráico de la Universidad de Barcelona, nos enconraos con un ineresane uso de abos concepos aplicados al análisis de operaciones de inversión. Por ese oivo, ediane el presene rabajo, quereos coparir con usedes la uilidad que ese auor ofrece de esos dos concepos financieros para ayudar a concienizarnos que odo lo que aporaos a los alunos de nuesro conociieno específico de una asignaura es úil, para forarlos con una capacidad críica y coprensiva hacia su fuuro desenvolviieno profesional. Desarrollareos la presenación ediane un siple ejeplo que inenará deosrar su uilidad en coneos de cereza, analizando si se puede enriquecer el iso para coneos incieros. INTRODUIÓN En nuesra cáedra el dicado de Maeáica Financiera, generalene coienza con la eposición de algunos érinos específicos, que iplican para el aluno la lecura de un breve ódulo iulado Algunas referencias bibliográficas, enre los que se desarrollan, adeás del concepo de la asignaura, los siguienes: qué es una operación financiera y cuáles son sus caracerísicas, qué es una ley financiera, qué se eniende por equivalencia financiera, cuál es la diferencia enre inerés y asa de inerés, su jusificación, qué son los regíenes de capialización y qué se eniende por asas equivalenes. Una vez que se inena la coprensión de esos érinos por pare de los alunos, se sigue profundizando su concepualización a ravés del desarrollo de los conenidos, por considerarlos básicos y sobre los que se susena absoluaene odo el conociieno que se irá generando a lo largo de oda la aeria. En ese puno, se los induce a leer un segundo ódulo, iulado Revisión de eas inroducorios a Maeáica Financiera, que adeás de ener un recordaorio iporane de herraienas aeáicas, que por supueso se dan por conociieno adquirido, pero seguraene olvidado, se los inroduce en las prieras herraienas propias, que iplican algunas deosraciones analíicas que ienen coo fin eodizar una línea de pensaieno, es decir que ane un olvido de una fórula puedan efecuar el desarrollo y obener una epresión final que sea de uilidad para resolver un problea concreo. Denro de esos prieros eas eneos: - Deerinación del ono a inerés siple y copueso, analíica y gráficaene - Aplicaciones concreas en abos regíenes:

4 asa edia, iepo edio, iepo necesario para que un capial se conviera en úliplo de sí iso y iepo necesario para que dos capiales diferenes colocados a diferenes asas produzcan el iso ono. A parir de ese oeno se sigue progresando en los conenidos, agregando nuevas herraienas propias de nuesra Maeáica Financiera, coo son las asas, las operaciones siples de descueno, las operaciones coplejas, sus aplicaciones al reebolso de présaos, ec. DEFINIIÓN DE LOS TEMAS: PLAZO MEDIO Y TASA ONTINUA PLAZO MEDIO FINANIERO El priero de los eas que nos pregunaos: para qué lo seguios dando?, es iepo edio, si sipleene planeando una siuación original y una opción, que financieraene son equivalenes, se soluciona el ea planeado, pero sin iporar ese inerrogane lo seguios raando. A coninuación se presena la propuesa de desarrollo eáico, que consa de una eplicación analíica en la clase eórica, que abién se encuenra desarrollada en el ódulo respecivo, finalizando con la aplicación a casos prácicos ediane la inervención de los ayudanes de cáedra.. oncepo de iepo edio: El ódulo, definiéndolo, dice: Dada una serie de capiales colocados a diferenes iepos pero odos a una isa asa, deerinar a qué iepo edio o único (o proedio) deberán esar inveridos para que con la isa asa, produzcan los iso inereses. Al respeco qué enconraos en nuesra bibliografía básica: Murioni y Trossero, en su obra solaene raan el ea considerando asa edia y nos inroducen en ese concepo bajo las operaciones de Equivalencia de capiales, ediane los íulos venciieno coún y edio (coo caso paricular del priero), definiéndolo de la siguiene anera: Sean varios capiales, 2, 3,, k, disponibles denro de n, n2, n3,, nk días y deseaos susiuirlos por un solo capial, con venciieno denro de n días, deberá verificarse que: n n2 n3 nk n k = siendo i o d la asa y el divisor fijo correspondiene. Si bien ese planeo esá epresado para inerés siple, se repie ás adelane en su obra el iso desarrollo para inerés copueso, denoinando al concepo coo duración edia. Gianneschi, en su libro no hace ención a esos eas denro de las operaciones de capialización sino que abién planea la probleáica en el capíulo 5 dedicado a equivalencia de capiales, abién planea las dos Teas raados a parir de las páginas 5 y 3, respecivaene del Traado de cálculo financiero.

5 operaciones básicas: venciieno coún y edio, y los define coo: Los dos probleas consisen en reeplazar varios docuenos por uno solo, adeás en párrafos siguienes esablece: Por el principio de equidad, el valor acual del nuevo docueno debe ser igual a la sua de los valores acuales de los docuenos dados Yasukawa, apoco desarrolla el ea de anera paricularizada e incorpora el concepo en el capíulo VII de su eo, en el aparado iulado Docuenos equivalenes, definiéndolos coo: Docuenos equivalenes son aquellos que a una isa fecha ienen los isos valores acuales o efecivos. Desarrolla los concepos de venciieno coún y edio, esableciendo, en función de su definición original, que pueden eisir diferenes consideraciones a raar con respeco a los docuenos:.... ener iguales o disinos valore noinales ener iguales o disinas fechas de venciieno ser acualizados con una sola asa o disinas asas de inerés o descueno ser acualizados con el iso o disinos ipos de descueno 3 2. Deosración analíica: Lo que se ofrece a los alunos son las siguienes deosraciones: ondiciones generales del odelo a inerés siple: varios capiales, varios plazos, única asa Un capial: colocado durane un iepo: n a la asa i, produce: I = n i Un capial: 2 colocado durane un iepo: n 2 a la asa i, produce: I2 = 2 n2 i Un capial: 3 colocado durane un iepo: n 3 a la asa i, produce: I3 = 3 n3 i Un capial: colocado durane un iepo: n a la asa i, produce: I = n i Se busca que la operación equivalene produzca el iso inerés oal, enonces: Se suan los inereses parciales: = = I = n i y Se deerina para qué plazo único se anienen los ios inereses oales: n i = n i = = Operando aeáicaene se obiene el iepo edio: n i = = i = n n = = = n Al finalizar se aclara que la isa deosración se puede planear a parir de la deerinación de los onos, no de los inereses oales, por supueso arribando a la isa epresión. 2 Tea desarrollado a parir de la página de su libro Maeáica Financiera. 3 A parir de la página 25 de su libro Maeáica Financiera.

6 Tabién se desarrolla el iso concepo considerando las: ondiciones generales del odelo a inerés copueso: varios capiales, varios plazos, única asa Un capial: Un capial: Un capial: Un capial: colocado durane un iepo: 2 colocado durane un iepo: 2 3 colocado durane un iepo: 3 colocado durane un iepo: n a la asa i, origina: = ( + i) n n a la asa i, origina: = ( + i) 2 n2 2 n a la asa i, origina: = ( + i) 3 n3 3 n a la asa i, produce: = ( + i) n Se busca que la operación equivalene produzca el iso inerés oal, enonces: n n y = = Se suan los onos parciales: = ( + i) Se deerina para qué plazo único se aniene el iso ono oal: n ( + ) = ( + ) i i = = n Operando aeáicaene se obiene el iepo edio: n log ( + i) log n = = log n log ( i) log ( i) n + + = + = = = log ( + i) Más adelane del dicado de los eas, sin ana profundidad, es decir haciendo referencia a esos desarrollos eóricos previos y, sugiriendo la lecura de un ercer ódulo iulado: Descueno, se inroducen los concepos de venciieno coún y edio, coo operaciones de Equivalencia de capiales regidas por el siguiene enunciado: Dos o ás capiales disinos son equivalenes cuando, valuados odos a un iso oeno de referencia, con la isa ley financiera y a la isa asa de inerés, sus respecivos valores acuales son iguales. Siepre se hace referencia a la condición de equivalencia financiera que rige el canje de docuenos, base de oda deosración analíica y de resolución de casos prácicos ediane la epresión: V = V. = Del análisis de la epresión de equivalencia y, uilizando los diferenes siseas de descueno de inereses, se obienen las siguienes epresiones finales, con referencia eclusiva al ea que nos ocupa, iepo edio: Venciieno coún con descueno coercial: dao ( ) N N d n = n = N d n n n n, donde N es

7 Venciieno edio con descueno coercial: n = diferencia con el anerior es que N = = N = N N n, recordando que la Venciieno coún con descueno copueso, para el cual se puede uilizar cualquier log N log N + i = asa equivalene: n = log + i ( ) ( ) n, definiendo a N Venciieno edio con descueno copueso: siepre considerando que N = = N n log N log N ( + i) = = n = log ( + i), TASA ONTINUA El segundo de los eas que íbaos a considerar, pregunándonos sobre la necesidad de su desarrollo, es asa coninua, en ese caso por considerarlo un ea oalene eórico sin uchas aplicaciones prácicas.. oncepo de asa coninua o insanánea: Sipleene les decios a los alunos que esa asa es la única que se esablece para un régien de capialización de inereses de anera coninua, es decir que su frecuencia de capialización iende a infinio. Al respeco analiceos que dicen nuesros aesros sobre el ea: Murioni y Trossero, en su obra no la definen, sino que a parir del análisis de la asa noinal, a la que no consideran una verdadera asa sino una inensidad o coeficiene de coparación, para el caso paricular que la frecuencia de capialización ienda a infinio, o lo que es lo iso, el período de capialización iende a cero, esablecen una asa noinal insanánea, que en sibología sería: j( ), por supueso analizándola analíicaene. 4 Gianneschi, en su libro define a la asa insanánea coo aquella que, aplicada a un régien de capialización coninua produce, para un iso capial y en el iso iepo, el iso ono que la asa noinal con capialización periódica, coparándolas luego analíicaene. 5 Yasukawa, coienza el ea diciendo que el creciieno real del inerés es coninuo, es decir, que se va produciendo en cada insane de iepo y no en fora brusca. Es decir, que capialización coninua es lo iso o sinónio de capialización insanánea, ás adelane esablece: Esa asa noinal que 4 Teas raados a parir de la página 7 del Traado de cálculo financiero. 5 Tea desarrollado a parir de la página 34 de su libro Maeáica Financiera.

8 ( ) podeos sibolizar coo i, significando con ello que el período al que corresponde habrá que dividirlo en infinias pares, capializando los inereses a su vez con la infiniesial pare de ella, será enonces la asa periódica noinal con capialización insanánea y la represenaos por δ (dela). Tal denoinación proviene de lo siguiene: la asa producirá el creciieno del inerés en un infiniésio de iepo, es decir, en un insane y por lo ano su capialización es insanánea. Por coodidad y en fora abreviada se la llaa asa insanánea de inerés, por supueso luego sigue con su análisis Deosración analíica: El ea de asas generalene se coienza con la presenación de odas las que se van a uilizar en el curso y la fora ás siple es presenarlas ediane el siguiene cuadro: Noinales Vencidas j Adelanadas Efecivas i d Equivalenes oninua i A coninuación y ediane un siple ejercicio nuérico de capialización de un peso, en un año coo período de iepo y con una capialización ineredia de inereses a los seis eses a un deerinado inerés, por ejeplo del 2% anual, se deuesra la relación que ienen las asas vencidas enre sí, en sibología sería: ( + i) = + = ( + i ) considerando que n =. Uilizando el iso ejeplo, donde ahora el peso es fuuro, se descuenan los inereses abién considerando una capialización a iad de período, se logra coparar las asas adelanadas de la siguiene anera: ( d ) = = ( d ) Finalene analizando donde esá el peso en cada una de esas operaciones planeadas en los incisos aneriores, se relacionan las asas efecivas, vencida y adelanada, obeniéndose la siguiene epresión: ( ) ( ) δ f f d. j + i =, con lo cual las seis asas se consideran equivalenes en un período de iepo ediane la siguiene fórula: d j f ( + i) = + = ( + i ) = ( d ) = = ( d ) Qué pasa con la asa insanánea o coninua?, esá fuera en el cuadro, esá fuera en esa presenación de las asas, cóo la incorporaos a las relaciones de equivalencia? La respuesa es ediane una deosración analíica, que nada gusa a los alunos, por suponer que es una asa eórica que no iene uso en el ercado donde se van a desarrollar las operaciones financieras, de las cuales se busca que el esudiane sea capaz, 6 A parir de la página 24 de su libro Maeáica Financiera.

9 de idenificarlas, planearlas y resolverlas en su fuuro desepeño profesional, incluso paricular. La deosración que se les ofrece, con sus posibles varianes, eniendo que es conocida por odos, no iene senido presenarla en ese rabajo. La isa pare de considerar que y que el li j = δ, por lo ano la asa efeciva vencida es equivalene a la coninua de la siguiene anera: ( + i) = e δ y por ransición es equivalene al reso de las asas visas. No obsane lo dicho, la llaada asa insanánea iene varias aplicaciones en el capo conable. Así por ejeplo, si se quisiera edir la uilidad de una epresa en un ciero período a ravés de una asa, la asa insanánea sería la ideal pues las uilidades no se generan a salos sino en fora coninua, es decir, a cada insane. ANÁLISIS FINANIERO A TRAVÉS DEL PLAZO MEDIO Y DE LA TASA ONTINUA Del análisis de la obra del caedráico Alfonso Rodríguez (Universidad de Barcelona), reflejada en dos eos, Maeáica de la financiación e Inunidad Financiera, surge que rabaja con concepos ales coo: preferencias, rendiienos o renabilidades, que las considera el ejor reeplazo de la TIR (por esiar que ésa iene algunos errores concepuales al esablecer que no ide renabilidad). Para ese auor el uso de la TIR induce a una confusión concepual enre rendiieno e inerés, considerando que aquellos que la uilizan dan a esa herraiena la finalidad de ser una edida de renabilidad, cuando realene iene el carácer de inerés iplício, que coniene la acuulación propia de régien de capialización copueso. Fundaena su posura esableciendo las siguienes diferencias: El inerés es un precio que el ercado da al dinero en reribución de liquidez cedida, se define en condiciones de equilibrio de anera eerna y eógena a la inversión, siepre oa valores posiivos. El rendiieno, por el conrario, es una agniud inerna a la inversión que se fija en condiciones de desequilibrio, por lo ano su nauraleza es endógena y arginal, puede oar valores posiivos o negaivos.. oncepos básicos En ese aparado se epresarán algunas definiciones uilizadas por el auor para coprender su posura: Los concepos eleenales, significan cóo define algunos érinos - el capo discreo esá forado por los APITALES - el capo coninuo esá copueso por los FLUJOS Las operaciones financieras, clasificadas en: - de financiación - OFF, generalene conracuales donde la diferencia enre los dos conjunos de capiales o flujos, inpu y oupu, es el inerés, enendido coo precio de saisfacción por el ahorro o coso financiero de la liquidez, es decir es el precio por uilizar ciero capial en el iepo, lo que fora un valor agregado a los producos o bienes consuidos. En esas operaciones el sujeo acivo o financiane facilia al pasivo o financiado la capacidad adquisiiva y liquidez que le son necesarias para la ejecución de un plan

10 econóico, sea de consuo o de producción. on ello, el sujeo acivo no asue iularidad alguna en al plan econóico, sino que se liia a colaborar en él, haciéndolo facible ediane la presación del servicio financiero Se configura así el inerés coo el precio de un servicio y, a la vez, coo reribución al ahorro que lo perie, por lo que adquiere la nauraleza econóica de rena, la rena del ahorro. 7 En sibología ( T) ' ' { r, r } {( s, Ts) }, represena la equivalencia financiera. - de inversión - OFI, dependen de un análisis arginal, es decir preenden un rendiieno arginal ecedene (que supere el coso). No se soeen a las leyes de ercado, pero son su referencia para valorar el desequilibrio arginal. En ésas el sujeo paricipa acivaene en el plan econóico, copariendo o asuiendo ínegraene la iularidad, es decir la rena del inversor se disingue siepre de la rena del ahorro por su carácer diferencial o arginal, no siendo ya la reribución a un facor, sino el preio al aciero del plan inversor y la copensación por su riesgo. 8 En sibología ( T) ' ' { r, r } {( s, Ts) }, represena el desequilibrio. La iporancia de ese análisis reside en la necesidad de reconocer el efeco, de refinanciación o de reinversión, producido por el aneniieno o incorporación de inereses o rendiienos devengados (no eigibles). Eso conlleva a un análisis dináico-coninuo, que no debe confundirse con la noción de capialización coninua, e iplica definir el concepo de plazo edio para operaciones coplejas, y de esa fora esablecer adecuadaene rendiienos relaivos. En lo perinene a las operaciones financieras de inversión, podeos idenificar dos caracerísicas: la inovilización, eplica el esfuerzo del inversor, ediane la deerinación de rendiienos bruos, neos, relaivos, y el rendiieno, es el resulado del esfuerzo. El análisis financiero se fundaena en la eisencia de valuar la liquidez que surge de un diferiieno en la disponibilidad de un capial, ya sea ediane la deerinación de grados de preferencia o de su valoración propiaene dicha. La posura convencional acual prescinde de la inovilización, surgiendo de esa anera la aplicación de una herraiena uy poderosa conocida con el nobre de valor acual neo (VAN), que represena el análisis del rendiieno absoluo de un flujo fuuro de ingresos, frene a una inversión acual. Los seguidores del concepo inovilización consideran que las inversiones se ven afecadas por la dispersión, o volailidad, de las asas de inerés, buscando un efeco inunizaorio de al afecación. Esá susenado en la Teoría de la inunización financiera, uilizada en la foración de una carera de íulos cuyo valor no se ve afecado por los cabios en los ipos de inerés, eisirán enores riesgos cuando los ipos de inerés esán ás concenrados o enos dispersos. Ora herraiena uilizada en el análisis radicional, es la TIR, que desconoce el desequilibrio, porque uiliza una asa de inerés, coo sinónio de rendiieno relaivo, cuando son agniudes oalene diferenes. 7 oncepos veridos por Alfonso Rodríguez, en su obra iulada Maeáica de la financiación, página 5. 8 oncepos obenidos de la obra encionada aneriorene en la página 6.

11 Lo que preende es deerinar la asa financiera de rendiieno (TFR), que respea la nauraleza de las operaciones de inversión, en conraposición con lo que epresa la TIR, represenando una ley de equilibrio en ercados de ahorro. 2. óo logra el objeivo que se propone? La solución que planea el auor es ediane el cálculo de la inovilización financiera, que es la deerinación de un plazo edio equivalene de los plazos individuales superpuesos, que se diferencia de la duraion en la consideración de los valores acuales, no sipleene de las cuanías. Para enrar en el análisis de esa iprecisión del plazo surge un nuevo concepo que deberá definirse, de acuerdo a lo ya dicho, coo plazo financiero edio equivalene (PFM), que es aquel capaz de susiuir la variedad de plazos individuales superpuesos sin pérdida alguna de sus propiedades ane la equivalencia financiera que referencia y fundaena nuesro análisis. 9 La priera aproiación a ese concepo se la encuenra en la definición de la duraion de un bono desarrollada por Macauly, la que será copleenada con la noción de diferiieno edio al que llaareos T y que se deerina coo: T = ln δ V, donde: {( r, Tr ) (, T )} y ( s, T s ) (, T ) { }, represenan los inpu y oupu respecivaene, n T y V= re δ represena el valor acual del conjuno financiero, es decir responde a la r= forulación general de la Teoría Maeáica del Inerés, uilizando para el concepo acualización la asa insanánea, por su carácer noinal. onviriéndose de esa anera en una OFI siple equivalene, coo uesra el siguiene eje eporal: I,, T I; ( ) T O; T τ Enonces, el plazo financiero edio (PFM) esá definido por la siguiene epresión: V V V V = T T = ln ln = ln = ln = ln ln = k ln δ V δ V δ δ V δ V δ V V Tabién inroduce la duraion en el análisis, cuya epresión sería la siguiene: T e T e d ( ) δ =, y es de uilidad para la deerinación del ópio. e T r Tr r r r r T r Tr r re En la coparación de esas dos funciones es iporane desacar el análisis de los valores críicos de δ, para ello debe enerse en cuena que: 9 oncepos veridos por Alfonso Rodríguez, en su obra iulada Inunidad Financiera (Maeáica de la inversión), página 6. La diferencia radica en que la duraion original rabajaba con las cuanías de los diferiienos, no con los valores acuales. Diferencia enre la duraion de Macaulay para el inpu y oupu.

12 . los valores de δ que hacen que ( δ ) =, separan a las operaciones esricas y degeneradas, en la priera el PFM es posiivo y represena la peranencia edia de la OFI (una inovilización efeciva), ienras que en la segunda el signo es negaivo lo que significa que no eise inovilización de fondos sino liquidez 2. los valores de δ que hacen que d ( δ ) = deerinan asas de inunización 3. los valores de δ que hacen que V ( δ ) V ( δ ) acuales esablecen las conocidas TIRs =, es decir que igualan los valores Oras funciones ineresanes y copleenarias de analizar son: k la hipérbola, HIP calculada coo: H ( δ ) = y δ la desviación, DES calculada coo: V k V Γ ( δ ) = ( δ ) H ( δ ) = k ln = ln = δ V δ δ V δ 3. Inunización financiera oo ya se ha epresado, en ese análisis se acepa la volailidad del ipo de inerés coo una variable analíica sin resricción alguna, oándose a la asa insanánea para epresar dicha dispersión del precio de la financiación, sabiendo que una ley financiera del régien de capialización a inerés copueso depende ano del ipo de inerés coo del período de capialización, en ese caso el concepo de coninuo no debe enenderse coo capialización específico sino coo coninuidad del servicio financiero durane el plazo, es decir un devengaieno coninuo de su precio. En sibología: ( + iplazo n ) e δ n = = ln ( + iplazo= n ) = δ n δ = ln ( + iplazo= n ) ualquiera de las agniudes descripivas de una OFI iene un valor inunizado de la volailidad si es considerado un ópio absoluo de la función del ipo de inerés de ercado. La volailidad afeca únicaene al PFM, no a la cuanía, por eso se debe analizar en los valores inunizados, es decir en el ópio, que esá dado en el puno de incidencia enre el d δ = δ. PFM y la duraion (DUR). En síbolos donde: ( ) ( ) 4. Un caso prácico Se analizará un caso prácico, siilar al propueso por el auor, definiendo el odelo bajo los siguienes supuesos:. se considerará un abiene siple esacionario, es decir consane en cuano a la consideración del precio financiero, ley financiera única con precio financiero consane 2 2. eso no significa que no se uilizará un sisea de asas dináico, pero quedará reducido a un odelo siple ediane el PFM DATOS n 2 Ese odelo se podrá generalizar a un abiene financiero copueso, con leyes dináicas.

13 Período Ingresos Egresos El auor encionado facilia un prograa de cálculo que arroja los siguienes resulados, que se encuenran eplicados nuérica y concepualene en el cuadro que se suinisra a coninuación: PARÁMETROS DE LA OPERAIÓN FINANIERA (OFI) Indican las caracerísicas generales de la operación Nobre Sibología alculo uanía n agregada de = ingresos = 56 = Represena la sua noinal de los ingresos, es decir el oal de ingresos provenienes de la inversión uanía agregada de = s egresos s= 644 = Represena la sua noinal de los egresos, es decir el oal de egresos erogados para desarrollar la inversión onsane k ln 644 = = ln 56 Represena la asa efeciva del plazo oal, es decir aquella que necesia el oal de ingresos para converirse en el oal de egresos, se deerina despejando de la siguiene k epresión: = e. β =.774 = ss = = Paráero β Represena el valor del PFM cuando la asa es cero, ya que en ese puno se produce una indeerinación con ese valor se logra la coninuidad de la función Asínoas A = T T, es período del prier. derecha egreso, enos el período del prier A = = ingreso 2. izquierda B = T T, es el período del úlio egreso enos el período del úlio ingreso n B = 5 6 = Represenan los valores que no van a alcanzar ni a derecha ni a izquierda, ano el PFM coo la DUR y son horizonales, en ese caso es un valor único - Ópio del PFM ( δ ) = d ( δ.7368, es el valor de la función para una asa ) del efecivo o del.942 coninuo

14 Represena el valor donde la duraion - DUR se iguala al plazo financiero edio - PFM, se lo considera un ópio porque si bien abas funciones ienen siilar coporaieno la priera es enos dispersa, coo puede visualizarse fácilene en el gráfico. Tasas de V δ =.564 i = y k ln = degeneración δ =.9592 i = δ V Siendo: i = e δ Represenan las asas que hacen el PFM nulo, es decir es la inersección de la función con el eje abscisas. Más iporane sería desacar que a asas ayores que las deerinadas la inovilización se converirían en liquidez, es decir cuando el PFM es negaivo, e iplica que se raa de una OFI degenerada. En nuesro ejeplo se raa de una OFI esrica. En la epresión los síbolos represenan: V es el valor acual de los egresos y valor acual de los ingresos a una deerinada asa coninua V es el δ =.7674 i =.5647, Tasas iplícias δ =.9632 i =.2696 y δ = i = Represenan las TIRs úliples que resuelven esa OFI, es ese caso son res porque hay res cabios de signos en los capiales a lo largo del plazo de evaluación. Por ejeplo, la función específica del Ecel da coo solución viable únicaene la segunda de esas asas, eliina la negaiva y la úlia por ser la ayor Tasas de inunización. que hacen nula la DUR 2. TFR, asa financiera de renabilidad del plazo ópio 3. TFRN asa financiera de renabilidad nea. δ = i = y δ = i = δ =.947 i = δ =.545 i =.7782 Represenan cada una de esas asas:. los líies para obener una DUR posiiva 2. una asa noinal de rendiieno para el plazo ópio 3. una asa financiera de renabilidad nea, su valor fue deerinado por el prograa que acopaña el auor a su libro. Muchas de esas agniudes son fácilene idenificables a ravés de la represenación gráfica de las funciones relacionadas: el plazo financiero edio (PFM), la duraion (DUR), la hipérbola (HIP) y la desviación (DES), coo lo uesra la siguiene figura, que iene su eplicación a coninuación:. La función PFM en ás dispersa que la DUR. 2. Las funciones PFM y DUR se igualan en dos punos: uno es cuando la asa es cero, conocido coo paráero β con un valor para las funciones de.7364 y el oro es considerado PFM ópio que esablece la TFR, una de las asas de inunización, cuyos valores son:.7368 y,946 efecivo, respecivaene. 3. La inersección del PFM con el eje de abscisas uesra las asas de degeneración, que arcan las zonas inunidad (renabilidad), para los valores y.499 efecivo. 4. La inersección de la DUR con el eje de abscisas que arca la posiividad de esa función, represenadas por los valores: y.5766 efecivo, abién son asas de inunización que indican renabilidad, ya que al ser una función ás concenrada abos valores esán en la zona indicada en el puno anerior.

15 5. Las asas iplícias (TIRs) pueden observarse en la inersección de la función DES con el eje de abscisas, en el ejeplo ienen los valores: -.565,.269 y.64 efecivo. Tabién pueden verse en la igualación de las funciones PFM y HIP DES HIP PFM DUR HIP DES FIGURA : Represenación gráfica de las funciones básicas PFM, y DUR, y copleenarias HIP y DES de la operación financiera (elaboración propia) La priera ejora que produce ese análisis, con respeco al radicional, es que soluciona el problea de las TIRs úliples (adeás de su discusión de si las isas son asas de inerés o de rendiieno), ya que apora una solución ópia única. Por supueso el auor sigue haciendo un análisis ás profundo de las asas de renabilidad que propone coo soluciones de la operación de inversión, que no serán consideradas ea de ese rabajo y que quedarán pendienes para fuuros presenaciones. QUÉ PASARÍA SI SE TRABAJA EN AMBIENTES INIERTOS? Realene seguios rabajando en ese ea, ya que en una hipóesis inicial supusios que la incorporación de la inceridubre al odelo raería la ejora de deerinar un área de inunización financiera, donde se diera el ópio, pero las agniudes son uy coplejas y realene las dos funciones básicas, aeáicaene, no dan soluciones de coninuidad, con lo cual se sigue invesigando si se logra una ejora en el capo de la oa de decisiones. Para clarificar lo epueso se epondrá el iso ejeplo oado en cereza, pero epresado en unidades borrosas, considerando para ello la ás eleenal coo son los inervalos de confianza y se osrará la gráfica de los resulados obenidos. DATOS ADEUADOS A UN AMBIENTE INIERTO

16 Período Ingresos [278,282] [35,45] [3,5] Egresos 4 [34,44] [6,76] 859,25] La siguiene gráfica uesra el coporaieno de las funciones PFM y DUR, eisiendo dos para cada una de ellas por operar aeáicaene con los líies de los inervalos y de anera coplea, las cuaro funciones, se observan a coninuación: FIGURA 2: Represenación gráfica de las funciones básicas PFM, y DUR, áia y ínia en cada una, de la operación financiera borrosa (elaboración propia) Referencias: La función violea corresponde a la gráfica del PFM áio, parece no ener coninuidad a pesar que se puede calcular un β que es posiivo La función negra corresponde a la gráfica del PFM ínio, que apoco refleja coninuidad La función azul corresponde a la gráfica de la DUR áia La función verde corresponde a la gráfica de la DUR ínia Si el ópio surge de la igualdad enre abas funciones, se idenifica en el gráfico que eisen dos punos de unión enre el PFM ínia y abas funciones de la DUR, áia y ínia, pero no un área concrea coo se preendía, eso se da por considerar que el PFM áio no pasa por la zona señalada. oo odo ese análisis, es de uilidad cuando esá en el cuadrane posiivo, pueden observarse esas conclusiones finales, ucho ás dealladaene, en el siguiene gráfico:

17 FIGURA 3: Represenación del cuadrane posiivo de la gráfica de las funciones básicas PFM, y DUR, áia y ínia en cada una, de la operación financiera borrosa (elaboración propia) Las conclusiones realene no son conundenes coo en oros eas raados, podría considerarse el área ópia la forada enre abas inersecciones arcadas, en el párrafo anerior, y el eje de abscisas, pero realene hay que seguir esudiando el ea para acepar, coo una ejora al odelo, la conveniencia de ese raaieno en la evaluación de operaciones financieras de inversión en abienes incieros. ONSIDERAIONES FINALES A odo de resuen se puede afirar que las herraienas aeáicas que enregaos a nuesros alunos, pueden ser uilizadas para odelizar siuaciones de decisión coplejas y de resolución discuibles por uchos de los usuarios direcos de dichos odelos, las que siepre esán en proceso de análisis por caedráicos e invesigadores de la raa de la Adinisración Financiera, en su búsqueda de ejoraieno. Que dichas herraienas dan suseno a las nuevas foras de resolver probleas de decisión acuales (coo son las TIRs úliples), ya que se eplican las ejoras, se producen prograas de cálculo y se induce a resolver las dificulades de elección de alernaivas de inversión aporando ás herraienas de análisis, las que enconraos perfecaene jusificadas en coneos de cereza. Mienras que los resulados con daos incieros odavía genera, a ese grupo de invesigación, dudas en la conveniencia de su uilización, es decir que la isa genere un beneficio susancial en los odelos de oa de decisiones radicionales ya ejorados con borrosidad (enre oros: VAN borroso y pseudo- TIR). Finalene nos queda por reafirar que no nos dejeos abair con la docencia, nuesro conociieno es úil, vaos a colaborar a forar profesionales pensanes, que sepan razonar posibles soluciones a los probleas que el ejercicio fuuro les depare. Podeos seguir aririzándolos con algunas deosraciones analíicas!!!

18 BIBLIOGRAFÍA Murioni, O. y Trossero, A.A.; (98); Traado de álculo Financiero; Buenos Aires, Argenina; Librería Ediorial Tesis. Gianneschi, M.A.; (29); Maeáica Financiera; haco, Argenina; Librería De la Paz Yasukawa, A.M.; (2); Maeáica Financiera; órdoba, Argenina; Despeignes Ediora. Rodríguez, A.; Maeáica de la financiación, Ediciones S, 994. Barcelona, España. Rodríguez, A.; Inunidad financiera (aeáica de la inversión), Ediciones S, 994. Barcelona, España. Rodríguez Rodríguez, A.M.; rabajo iulado Una revisión econóica del valor: el valor financiero. Su aplicación al análisis financiero de la inversión, disponible en la web, hp://diposi.ub.edu/dspace/bisrea/2445/226/4/arr-cas.pdf