IES Fernando de Herrera Curso 2017 / 18 Primera evaluación - Prueba de observación continua escrita nº 1 II Bach CCSS NOMBRE:

Transcripción

1 IES Fernando de Herrera Curso 7 / 8 Primera evaluación - Prueba de observación coninua escria nº II Bach CCSS NOMBRE: Insrucciones: ) Todos los folios deben ener el nombre y esar numerados en la pare superior. ) Todas las respuesas deben esar jusificadas y simplificadas. ) No se puede usar correcor ni lápiz, y el bolígrafo debe ser de ina indeleble. Se aconseja no usar borrador. ) Se puede alerar el orden de las respuesas, pero no se puede inercalar la respuesa a una preguna con las de oras. ) Desaender las insrucciones será penalizado. ) Una empresa elabora dos producos, A y B. Cada unidad de A requiere horas en una máquina y horas en una segunda máquina. Cada unidad de B necesia horas en la primera máquina y horas en la segunda. Semanalmene se dispone de horas en la primera máquina y de horas en la segunda. Si la empresa obiene un beneficio de 7 euros por cada unidad de A, y de euros por cada unidad de B, qué canidad semanal de cada produco debe producir con objeo de maximizar el beneficio oal? Cuál es ese beneficio? (, punos) ) a) Sean A una mariz de dimensión x, B, una de dimensión m x n y C de dimensión x 7. Si sabemos que se puede obener la mariz ABC, cuál es la dimensión de la mariz B? Y de la mariz ABC? ( puno) b) Dibujar el grafo cuya mariz de adyacencia es: ( puno) ) a) Dadas las marices A A B y B A. y B, calcular las marices: (, p) b) Calcular el rango de la mariz B del aparado anerior. (, p) ) Una fábrica produce res ipos de producos A, B y C, disribuyendo su producción enre cuaro clienes C, C, C y C. En el mes de enero, el primer cliene compró unidades de A, de B y de C; el segundo cliene,, 8 y respecivamene; el ercero no compró nada y el cuaro, y unidades respecivamene. En febrero, los dos primeros clienes duplicaron sus respecivos pedidos del mes anerior, el ercer cliene compró unidades de cada arículo y el cuaro no hizo ningún pedido. a) Consruir las marices x correspondienes a las venas de los meses de enero y febrero. ( puno) b) Si los precios de los arículos, en euros por unidad, son, 8 y respecivamene, escribir una mariz columna con dichos precios y, mediane operaciones mariciales, obener una mariz que indique lo que se facura a cada cliene por el oal de ambos meses. (, punos)

2 IES Fernando de Herrera Curso 7 / 8 Primera evaluación - Prueba de observación coninua escria nº II Bach CCSS SOLUCIONES ) Una empresa elabora dos producos, A y B. Cada unidad de A requiere horas en una máquina y horas en una segunda máquina. Cada unidad de B necesia horas en la primera máquina y horas en la segunda. Semanalmene se dispone de horas en la primera máquina y de horas en la segunda. Si la empresa obiene un beneficio de 7 euros por cada unidad de A, y de euros por cada unidad de B, qué canidad semanal de cada produco debe producir con objeo de maximizar el beneficio oal? Cuál es ese beneficio? (, punos) Traducimos los daos del enunciado a la siguiene abla, añadiendo dos resricciones obvias: que no puede fabricarse un número negaivo de unidades. Nº unidades Máq (h) Máq (h) Beneficio A x x x 7x B y y y y Toal x ; y x + y x + y 7x + y Por ano, el problema es: Maximizar la función objeivo: F(x, y) 7x + y Con las resricciones: x ; y ; x + y x + y ; x + y Dibujemos la región facible y calculemos los vérices: x x + y y luego la solución es el semiplano inferior a la reca x + y, cuya abla de valores es: x y x x + y y : semiplano inferior a la reca x + y : x y / x ; y nos resringen al I cuadrane. Por ano, la región facible es la del gráfico, donde con flechas hemos indicado el semiplano solución de cada inecuación. Los vérices A(, ), B(, ), D(, ) los conocemos de las ablas de valores usadas. El que fala es C (odas las coordenadas ya se han colocado en el gráfico): x y x y ( ) : x y x y 7y y 7 Susiuyendo en la primera ecuación: x + x C(, ). Por úlimo, evaluamos la función objeivo en cada vérice: IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

3 IES Fernando de Herrera Curso 7 / 8 Primera evaluación - Prueba de observación coninua escria nº II Bach CCSS F(A) F(, ) F(B) F(, ) F(C) F(, ) F(D) F(, ) 7 De donde deducimos que el beneficio máximo es de 7 y se obiene elaborando unidades de A y de B. ) a) Sean A una mariz de dimensión x, B, una de dimensión m x n y C de dimensión x 7. Si sabemos que se puede obener la mariz ABC, cuál es la dimensión de la mariz B? Y de la mariz ABC? ( puno) A B C x m x n x 7 Como el número de columnas de la primera mariz debe coincidir con el de filas de la segunda para que se pueda realizar el produco de dos marices, deducimos de la expresión anerior que m, n. Por ano dim(b) x. Por ora pare, en un produco maricial, la mariz resulane iene el mismo número de filas que la primera mariz y el mismo número de columnas que la úlima. Por ano, dim(abc) x 7. b) Dibujar el grafo cuya mariz de adyacencia es: ( puno) Llamando A, B, C, D a los nodos o vérices, y eniendo en cuena que cada fila represena a dichos nodos, respecivamene, y lo mismo para cada columna, en cada posición habrá un si hay conexión desde el nodo correspondiene a su fila hasa el que corresponde a su columna. Si hay un, no habrá conexión enre dichos nodos. Por ano, el grafo es el represenado. A B D C ) a) Dadas las marices A y B, calcular las marices: A B y B A. (, p) A B Por ora pare, (A B) B (A ) B A. Por ano, esa segunda mariz que nos piden es la raspuesa de la anerior: IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

4 IES Fernando de Herrera Curso 7 / 8 Primera evaluación - Prueba de observación coninua escria nº II Bach CCSS IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de B A b) Calcular el rango de la mariz B del aparado anerior. (, p) Lo hacemos por Gauss: F F F F Hemos rabajado con la columna, omando como pivoe el elemeno de la fila de dicha columna. La fila del pivoe (F ) no se vuelve a ocar. Luego hemos elegido la columna con el de la primera fila como pivoe. Ya esá riangularizada. El rango es el número de filas no nulas: r(b). ) Una fábrica produce res ipos de producos A, B y C, disribuyendo su producción enre cuaro clienes C, C, C y C. En el mes de enero, el primer cliene compró unidades de A, de B y de C; el segundo cliene,, 8 y respecivamene; el ercero no compró nada y el cuaro, y unidades respecivamene. En febrero, los dos primeros clienes duplicaron sus respecivos pedidos del mes anerior, el ercer cliene compró unidades de cada arículo y el cuaro no hizo ningún pedido. a) Consruir las marices x correspondienes a las venas de los meses de enero y febrero. ( puno) Tomando las filas para los clienes, y las columnas para los producos: Enero 8 Febrero 8 b) Si los precios de los arículos, en euros por unidad, son, 8 y respecivamene, escribir una mariz columna con dichos precios y, mediane operaciones mariciales, obener una mariz que indique lo que se facura a cada cliene por el oal de ambos meses. (, punos) La mariz columna con los precios es: 8. El oal pedido en Enero y Febrero junos es: Enero + Febrero Por ano, la mariz que nos da lo facurado a cada cliene, es:

5 IES Fernando de Herrera Curso 7 / 8 Primera evaluación - Prueba de observación coninua escria nº II Bach CCSS 7 Y los valores esán en euros IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

6 IES Fernando de Herrera Curso 7 / 8 Primera evaluación - Prueba de observación coninua escria nº II Bach CCSS NOMBRE: Insrucciones: ) Todos los folios deben ener el nombre y esar numerados en la pare superior. ) Todas las respuesas deben esar jusificadas y simplificadas. ) No se puede usar correcor ni lápiz, y el bolígrafo debe ser de ina indeleble. Se aconseja no usar borrador. ) Se puede alerar el orden de las respuesas, pero no se puede inercalar la respuesa a una preguna con las de oras. ) Desaender las insrucciones será penalizado. ) Siendo: A ; B ; C ; D resolver la ecuación maricial A X + B C D. 7, ( punos) ) Clasificar, resolver y dar, si es posible, una solución en la que x, el siguiene sisema de ecuaciones: ( punos) x y z x y z x y z 8 ) Dada la mariz A, se pide: a) Calcular A. ( puno) b) Calcular A 7. ( puno) ) Un esudiane ha gasado 7 euros en una papelería por la compra de un libro, una calculadora y un esuche. Sabemos que el libro cuesa el doble que el oal de la calculadora y el esuche junos. Si el precio del libro, la calculadora y el esuche hubieran sufrido un %, un % y un % de descueno respecivamene, el esudiane habría pagado un oal de euros. Planear un sisema de ecuaciones que permia calcular el precio de cada arículo, pero no resolverlo. (, punos) ) a) Represenar el recino dado por las siguienes inecuaciones, calculando las coordenadas de sus vérices: (, punos) y x + x + y x + 7y y b) Razonar si el puno (, ) perenece al recino anerior. (, punos) c) Obener los valores mínimo y máximo de la función F(x, y) x y en ese recino, indicando en qué punos se alcanzan. (,8 punos)

7 IES Fernando de Herrera Curso 7 / 8 Primera evaluación - Prueba de observación coninua escria nº II Bach CCSS IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de SOLUCIONES ) Siendo: A ; B ; C ; D 7, resolver la ecuación maricial A X + B C D. ( punos) Suponiendo que A es inverible: A X + B C D A X + B C B C D B C A X D B C ( A X) (D B C) A X (D B C) A A X A (D B C) Como A A I, I X X y en el produco exerno puede alerarse el orden en que se escriben el número real y la mariz: X A (D B C) Calculemos dichos elemenos, para hallar X. D B C 7 7 Por ora pare: A A. A Adj(A ) A A Adj(A ) Finalmene: X A (D B C).

8 IES Fernando de Herrera Curso 7 / 8 Primera evaluación - Prueba de observación coninua escria nº II Bach CCSS IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de ) Clasificar, resolver y dar, si es posible, una solución en la que x, el siguiene sisema de ecuaciones: ( punos) 8 z y x z y x z y x La úlima ecuación es simplificable enre. Por ano: A' F F F F F F La enemos riangularizada. Como ninguna fila ha resulado ser nula salvo la úlima posición, el sisema es compaible. Como las filas nulas se descaran, quedan menos filas que incógnias, por lo que es un sisema compaible indeerminado. Llamamos y. Podríamos elegir ambién z, pero y iene coeficienes más complicados que z, lo que nos llevará a denominadores más simples en la forma general de las soluciones. No deberíamos elegir x, porque perderíamos la riangularización. Susiuyendo en la ª ecuación (la ª ha quedado descarada): z z Susiuyendo en la ercera: x x + ( ) x 7 x x 7 Luego la forma general de las soluciones es: (x, y, z),, 7. Por oros caminos: (x, y, z),, 7 ó (x, y, z) 7, 7,. Por úlimo, Si x, con la primera de esas soluciones, sería obenida si: 7 7 Y con ese valor: y ; z ) (. O sea: (x, y, z) (,, ). ) Dada la mariz A, se pide: a) Calcular A. ( puno) A A A A I.

9 IES Fernando de Herrera Curso 7 / 8 Primera evaluación - Prueba de observación coninua escria nº II Bach CCSS b) Calcular A 7. ( puno) Como 7 + (Dividendo divisor cociene + reso, en la división de 7 enre ), se iene: A 7 A + A A (A ) A I A I A A ) Un esudiane ha gasado 7 euros en una papelería por la compra de un libro, una calculadora y un esuche. Sabemos que el libro cuesa el doble que el oal de la calculadora y el esuche junos. Si el precio del libro, la calculadora y el esuche hubieran sufrido un %, un % y un % de descueno respecivamene, el esudiane habría pagado un oal de euros. Planear un sisema de ecuaciones que permia calcular el precio de cada arículo, pero no resolverlo. (, punos) Llamemos: x precio del libro y precio de la calculadora z precio del esuche Lo que ha gasado en oal son 7 euros: x + y + z 7 El libro cuesa el doble que el oal de la calculadora y el esuche junos: x (y + z) Si descuenan el % al libro, el % a la calculadora y el % al esuche pagaría,x +,8 y +,7z Hay que considerar que si descuenan el % a la calculadora, paga el 8% del precio anerior, que es 8 y /,8y. Igual para el libro y el esuche. Luego el sisema pedido es: x y z 7 x y z 7 x y z 7 x ( y z) x y z x y z,x,8 y,7z x 8 y 7z x y z 8 ) a) Represenar el recino dado por las siguienes inecuaciones, calculando las coordenadas de sus vérices: (, punos) y x + x + y x + 7y y y x + es el semiplano inferior a la reca y x + : x + y x y : semipl. superior a la reca y x x x + 7y y : semipl. inferior a la reca. 7 y : semiplano superior al eje OX, de ecuación y. Eso nos lleva al gráfico adjuno. En él enemos ya las coordenadas de algunos vérices, que conocemos de las ablas de valores usadas: C(, ) y D(, ). Calculamos el reso: x y Susiuyendo la ª y x x y x y /7 x y / IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

10 IES Fernando de Herrera Curso 7 / 8 Primera evaluación - Prueba de observación coninua escria nº II Bach CCSS en la ª: x + (x + ) x + x + x x. Susiuyendo en la ª: y + A(, ). x 7y Susiuyendo la ª en la ª: x + 7x + x y x x En la ª: y + B(, ). b) Razonar si el puno (, ) perenece al recino anerior. (, punos) Hay que comprobar si cumple odas las resricciones aneriores. Nunca se puede deducir un dao numérico de un gráfico, porque el gráfico no iene por qué ser perfeco. y x + : +, ciero. x + y : +, ciero. x + 7y : +, falso. Ya no seguimos. Hay al menos una resricción que no se verifica. Por ano, el puno no perenece al recino. c) Obener los valores mínimo y máximo de la función F(x, y) x y en ese recino, indicando en qué punos se alcanzan. (,8 punos) F(A) F(, ) F(B) F(, ) F(C) F(, ) F(D) F(, ) Por ano: El máximo valor es y se obiene en C(, ). El mínimo valor es y se alcanza en A(, ), en B(, ) y en odos los punos del segmeno que los une. Esos punos, al esar sobre la reca y x +, según deducimos del gráfico, verifican esa ecuación, pero con x, que son las coordenadas x de los dos punos ciados, en orden. IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

11 IES Fernando de Herrera Curso 7 / 8 Primera evaluación - Recuperación II Bach CCSS NOMBRE: Insrucciones: ) Todos los folios deben ener el nombre y esar numerados en la pare superior. ) Todas las respuesas deben esar jusificadas y simplificadas. ) No se puede usar correcor ni lápiz, y el bolígrafo debe ser de ina indeleble. Se aconseja no usar borrador. ) Se puede alerar el orden de las respuesas, pero no se puede inercalar la respuesa a una preguna con las de oras. ) Desaender las insrucciones será penalizado. ) Siendo: A ; B ; C ; D resolver la ecuación maricial A X B C D. 7, ( punos) ) Clasificar, resolver y dar, si es posible, una solución en la que x, el siguiene sisema de ecuaciones usando el méodo de Gauss en su forma maricial (no es válido ningún oro méodo): ( punos) x y z x y z x 7y z 7 ) Calcular, jusificando claramene la respuesa 7 (, punos) ) Sabemos que el precio del kilo de omaes es la miad que el del kilo de carne. Además, el precio del kilo de gambas es el doble que el de carne. Si pagamos 8 euros por kilos de omaes, kilo de carne y gramos de gambas, cuáno pagaríamos por kilos de carne, kilo de omaes y gramos de gambas? (Resolverlo por Rouché-Fröbenius más Cramer). ( punos) ) Sea el recino definido por las siguienes inecuaciones: y x + y x x y a) Razonar si el puno de coordenadas (.,.8) perenece al recino. (, punos) b) En qué punos alcanza la función F(x, y) x +.y sus valores exremos y cuáles son esos? (, punos) c) Razone si exise algún puno del recino en el que la función F se anule. (, p)

12 IES Fernando de Herrera Curso 7 / 8 Primera evaluación - Recuperación II Bach CCSS IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de SOLUCIONES ) Siendo: A ; B ; C ; D 7, resolver la ecuación maricial A X B C D. ( punos) Suponiendo que A es inverible: A X B C D A X B C + B C D + B C A X D + B C ( A X) (D + B C) A X (D + B C) A A X A (D + B C) Como A A I, I X X y en el produco exerno puede alerarse el orden en que se escriben el número real y la mariz: X A (D + B C) Calculemos dichos elemenos, para hallar X. D + B C Por ora pare: A 8 + A. A Adj(A ) A A Adj(A ) Finalmene: X A (D + B C).

13 IES Fernando de Herrera Curso 7 / 8 Primera evaluación - Recuperación II Bach CCSS ) Clasificar, resolver y dar, si es posible, una solución en la que x, el siguiene sisema de ecuaciones usando el méodo de Gauss en su forma maricial (no es válido ningún oro méodo): ( punos) x y z x y z x 7y z 7 F F F F El sisema esá riangularizado. No ha quedado ninguna fila compleamene nula salvo la úlima posición no es incompaible es compaible. Podemos eliminar F por ser nula, quedando menos filas que incógnias es indeerminado. Luego es un sisema compaible indeerminado. Llamamos y. Podríamos hacerlo con z, pero no deberíamos con x porque, al eliminar F y pasar al segundo miembro perderíamos la riangularización. Elegimos y en lugar de z porque iene coeficienes más complicados, lo que se raducirá en denominadores más sencillos al poner las incógnias en función de. ª ec: 7 z 7 z. ª ec: x ( 7) 7 x 7 7 ( 7) x x +. Por ano, la forma general de las soluciones es: (x, y, z) ( +,, 7). Hay infinias, y cada una se obiene dando un valor arbirario a. La solución que proporciona x se obiene para: + 88 De donde la solución es: (x, y, z) (,, ). Despejando de oras formas, se hubieran obenido, igualmene, las soluciones en la forma: (x, y, z),, ó (x, y, z),, 7 7 ) Calcular, jusificando claramene la respuesa 7 (, punos) Llamando A a la mariz, se iene: A I Por ano, como dividiendo 7 enre, como dividendo divisor cociene + reso, se iene: Por ano: A 7 A 8 + A 8 A (A ) 8 A I 8 A I A A F F 7 IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

14 IES Fernando de Herrera Curso 7 / 8 Primera evaluación - Recuperación II Bach CCSS ) Sabemos que el precio del kilo de omaes es la miad que el del kilo de carne. Además, el precio del kilo de gambas es el doble que el de carne. Si pagamos 8 euros por kilos de omaes, kilo de carne y gramos de gambas, cuáno pagaríamos por kilos de carne, kilo de omaes y gramos de gambas? (Resolverlo por Rouché-Fröbenius más Cramer). ( punos) Llamemos x precio del kg de omaes; y ídem carne; z ídem gambas. El precio del kg de omaes es la miad que el del kg de carne x y El precio del kg de gambas es el doble que el de carne z y kg de omaes, kg de carne y g de gambas cuesan 8 x + y +,z 8 Luego el sisema que permie calcular los precios de los arículos es: x y y z x y z 7 Como A r(a) r(a') Es compaible y, además, deerminado, por coincidir ese valor con el número de incógnias. Lo resolvemos por Cramer: x y z Luego los omaes esán a /kg, la carne a /kg y las gambas, a /kg. Por ello, kg de omaes, kg de carne y g de gambas cosarán: + +,. ) Sea el recino definido por las siguienes inecuaciones: y x + y x x y a) Razonar si el puno de coordenadas (.,.8) perenece al recino. (, punos) Para esar en el recino, debe cumplir odas las resricciones que lo definen. Comprobemos que el puno verifica cada inecuación: y x + : , ciero. y x: , ciero. x y:..8., falso. Por ano, el puno no perenece al recino. IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

15 IES Fernando de Herrera Curso 7 / 8 Primera evaluación - Recuperación II Bach CCSS b) En qué punos alcanza la función F(x, y) x +.y sus valores exremos y cuáles son esos? (, punos) Comencemos dibujando el recino. y x + es el semiplano inferior a la reca y x +, porque la verifican los punos cuyo y es menor al que proporciona la reca para un valor dado de x. Dicha reca la dibujamos desde la abla de valores: y x: semiplano inferior a y x + x / y x / y x y y x + : semiplano superior x y Y los vérices: y x A: x + (x + ) x x y + x y Luego: A(, ). y x B: x + x + x x y x y +. Luego: B(, ). x y C: x x + x x y x y +. Luego: C(, ). Por úlimo, evaluamos la función objeivo en ellos: F(A) F(, ) +.. F(B) F(, ) +.. F(C) F(, ) Luego el valor máximo alcanzado por la función objeivo es., y lo hace en A(, ), en B(, ) y en los infinios punos del segmeno que los une que, observando el gráfico, vemos que son los punos que verifican la ecuación y x + con x, valores de x que corresponden a las abscisas de dichos punos. Y el valor mínimo es 7., alcanzado en C(, ). c) Razone si exise algún puno del recino en el que la función F se anule. (, p) En el recino, el valor mínimo que alcanza la función objeivo es 7. y el máximo,.. Enre ellos, odos los valores son alcanzados. Como esá enre dichos valores, es alcanzado. Por ano, en el recino exise algún puno donde F se anula. IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

16 IES Fernando de Herrera Curso 7 / 8 Primera evaluación Recuperación II Bach CCSS NOMBRE: Insrucciones: ) Todos los folios deben ener el nombre y esar numerados en la pare superior. ) Todas las respuesas deben esar jusificadas y simplificadas. ) No se puede usar correcor ni lápiz, y el bolígrafo debe ser de ina indeleble. Se aconseja no usar borrador. ) Se puede alerar el orden de las respuesas, pero no se puede inercalar la respuesa a una preguna con las de oras. ) Desaender las insrucciones será penalizado. ) Sea el siguiene sisema de inecuaciones: x + y x y x + y 8 x y a) Dibuje la región que definen y calcule sus vérices. (. punos) b) Perenece el puno (., ) a la región anerior. (. punos) c) Calcule los punos de esa región en los que la función F(x, y) x + y alcanza los valores máximo y mínimo y deermine dichos valores. (, punos) ) Sean las marices A, B, C y D. a) Efecúe, si se puede: A D + B C; D B A ( puno) b) Halle la mariz X que verifica: A X B C, calculando A. (, punos) ) Un aller de carpinería ha vendido muebles, enre sillas, sillones y buacas, por un oal de euros. Se sabe que cobra euros por cada silla, euros por cada sillón y euros por cada buaca, y que el número de buacas es la cuara pare del número que suman los demás muebles. Planee y resuelva el sisema de ecuaciones adecuado que permie calcular cuános muebles de cada clase ha vendido ese aller. (, punos) ) a) Un indusrial cafeero produce dos ipos de café, naural y descafeinado, en res modalidades cada uno: A, B y C. Se han anoado en la mariz P los pesos, en kg, del café que el indusrial produce de cada una de las modalidades de cada ipo, y en la mariz Q los precios a los que vende el kg de cada produco final: A B C A B C P: naural Q: naural..7. descafein. descafein.... Efecúe el produco P Q y explique el significado económico de cada uno de los elemenos de la diagonal principal de la mariz resulane. ( puno) b) Sean las marices C y D. Resuelva la ecuación maricial X CD (I + D)C. (, punos)

17 IES Fernando de Herrera Curso 7 / 8 Primera evaluación Recuperación II Bach CCSS SOLUCIONES ) Sea el siguiene sisema de inecuaciones: x + y x y x + y 8 x y a) Dibuje la región que definen y calcule sus vérices. (. punos) x x + y y luego la solución es el semiplano inferior a la reca x + y, cuya abla de valores es: x y y x : semiplano inferior. x + y 8 y x + 8 : semiplano inferior x y / x y / x y 8 x ; y nos resringen al I cuadrane. Por ano, el recino es el del gráfico, donde ya hemos señalado los vérices, que pasamos a calcular (nunca se pueden deducir cálculos desde un gráfico): Los vérices A(, ), B(, /), E(, ) los conocemos por las ablas de valores usadas para consruir el recino. Los oros dos son: xy xy x y x y C(, ) x x Resando: y y xy xy x y x y 8 Sus. en ª: + y y x x D(, ) b) Perenece el puno (., ) a la región anerior. (. punos) Lo hará si verifica odas las inecuaciones. No se debe deducir dibujándolo en el gráfico, porque las imperfecciones de ése nos pueden llevar a una conclusión errónea: IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

18 IES Fernando de Herrera Curso 7 / 8 Primera evaluación Recuperación II Bach CCSS x + y :. +.. Se verifica. x y :.. Se verifica. x + y 8: No se verifica. Por ano, el puno no esá en el recino, pues hay una de las inecuaciones que no se verifica. c) Calcule los punos de esa región en los que la función F(x, y) x + y alcanza los valores máximo y mínimo y deermine dichos valores. (, punos) F(A) F(, ) + F(B) F(, /) F(C) F(, ) + 8 F(D) F(, ) + F(E) F(, ) + De donde el máximo valor es y se alcanza en D(, ), mienras que el mínimo es, que se alcanza en A(, ). ) Sean las marices A, B, C y D. a) Efecúe, si se puede: A D + B C; D B A ( puno) A D + B C no puede efecuarse, pueso que dim(a D) x, mienras que dim(b C) x, y no podrán sumarse. D B A no puede efecuarse ampoco, porque dim(d B) x, mienras que dim(a ) x, y no podrán sumarse. b) Halle la mariz X que verifica: A X B C, calculando A. (, punos) Despejando: A X B C A A X A (B C) X A (B C). Como A de, exise su inversa. A Adj(A ) A / / A Adj(A ) Por ora pare: B C Por ano: X A (B / / C) ) Un aller de carpinería ha vendido muebles, enre sillas, sillones y buacas, por un oal de euros. Se sabe que cobra euros por cada silla, euros por cada sillón y euros por cada buaca, y que el número de buacas es la cuara pare del número que suman los demás muebles. Planee y resuelva el sisema de ecuaciones adecuado que permie calcular cuános muebles de cada clase ha vendido ese aller. (, punos) IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

19 IES Fernando de Herrera Curso 7 / 8 Primera evaluación Recuperación II Bach CCSS En la úlima frase del enunciado averiguamos que lo que se preende saber es el número de muebles de cada clase. Eso nos dice cuáles son las incógnias, que es lo primero que debemos expliciar: x número de sillas y número de sillones z número de buacas Enre sillas, sillones y buacas, ha vendido muebles: x + y + z por silla, por sillón, por buaca oalizan una vena de : x + y + z El nº de buacas es la cuara pare del nº que suman los demás muebles: z (x + y) Ya enemos planeadas las res ecuaciones del sisema, que escribimos simplificado: x y z x y z x y z Lo resolvemos por Gauss. Haciendo ransformaciones elemenales de filas en la mariz ampliada, con objeo de riangularizarla (una columna, que no sea la de érminos independienes, complea de ceros salvo una posición; ora igual salvo ora posición y la no nula de la columna previa, ec.): F F 7 F F Como hemos conseguido la riangularización en un solo paso (el siguiene sería rivial: F F ) y no ha salido incompaible (en una fila odas las posiciones son salvo la de érminos independienes) ni hay que eliminar ninguna fila porque odas sus posiciones sean nulas, esa será la expresión final que, al ener el mismo número de ecuaciones que de incógnias dice que es una sisema compaible deerminado. Reconsruimos las ecuaciones y resolvemos: ª ecuación: z z ª ecuación: y + 7 y 8 y ª ecuación: x + + x 8 Por ano, se vendieron 8 sillas, sillones y buacas. ) a) Un indusrial cafeero produce dos ipos de café, naural y descafeinado, en res modalidades cada uno: A, B y C. Se han anoado en la mariz P los pesos, en kg, del café que el indusrial produce de cada una de las modalidades de cada ipo, y en la mariz Q los precios a los que vende el kg de cada produco final: A B C A B C P: naural Q: naural..7. descafein. descafein.... Efecúe el produco P Q y explique el significado económico de cada uno de los elemenos de la diagonal principal de la mariz resulane. ( puno) IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de

20 IES Fernando de Herrera Curso 7 / 8 Primera evaluación Recuperación II Bach CCSS.. P Q a sería el precio de la vena del café naural producido. a 7 sería el precio de la vena del café descafeinado producido. a 8 sería el precio de la vena del café naural a precios del descafeinado. a 7 sería el precio de la vena del café descafeinado a precios del naural. No se pide la inerpreación de esos dos úlimos valores. b) Sean las marices C y D ecuación maricial X CD (I + D)C. Despejando, enemos:. Resuelva la (, punos) X CD (I + D)C X (I + D)C + CD X [(I + D)C + CD] Efecuamos la operación: I + D + (I + D)C CD (I + D)C + CD + X [(I + D)C + CD] IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de