Rectangulares. Cuadradas

Transcripción

1 UNIDAD Marices n cualquier acividad de la vida y en paricular cuando se maneja información con daos numéricos conviene ser ordenados; las ablas de doble enrada nos proporcionan una forma de ordenar los daos numéricos como se indica en el ejemplo siguiene: E Una paselería elabora aras de chocolae, C, y de fresa, F; las aras se fabrican con pesos de cuaro kilo, medio kilo y un kilo. Las aras de chocolae que se elaboran son: 3 unidades de cuaro kilo, unidades ITE Banco de imágenes de medio kilo y unidades de un kilo. Las aras de fresa que se elaboran son: 4 unidades de cuaro kilo, 35 unidades de medio kilo y 5 unidades de kilo. Esos daos resulan más claros en una abla de doble enrada como la siguiene: ¼k ½ k k Chocolae 3 Fresa Las disposiciones recangulares de daos numéricos facilian su lecura, inerpreación y análisis y además dan pie al concepo maemáico de mariz, cuya uilidad va mucho más allá de una mera disposición de números. El concepo de mariz iene múliples aplicaciones en maemáicas y fueron empleadas por primera vez por el maemáico inglés Arhur Cayley (8 895). En esa Unidad esudiaremos las marices por sí mismas, es decir, los ipos de marices, las propiedades y las operaciones con marices. Paricular imporancia iene el cálculo de la mariz inversa, que en esa Unidad se calcula por el méodo de Gauss. La mariz inversa se empleará en la resolución de ecuaciones mariciales, que son ecuaciones cuya incógnia no represena a un número sino a una mariz. Al final de la Unidad se planean algunos problemas seleccionados de acividades que se nos presenan en la vida coidiana y para cuya solución las marices son las herramienas adecuadas. En esa Unidad didácica nos proponemos alcanzar los objeivos siguienes:. Reconocer marices y en qué casos resula operaivo o imprescindible su uilización.. Conocer algunos ipos de marices. 3. Dominar las operaciones con marices, así como las propiedades correspondienes. 4. Calcular, si exise, la mariz inversa de una mariz cuadrada a parir de la definición o aplicando el méodo de Gauss. 5. Resolver problemas uilizando marices.

2 Son ablas de números: A = (a ij ) Recangulares Cuadradas Diagonal Unidad MATRICES Mariz inversa Suma de marices Produco por un número real Aplicación a la resolución de problemas Produco de marices Produco de marices cuadradas ÍNDICE DE CONTENIDOS. MATRICES: DEFINICIÓN TIPOS DE MATRICES OPERACIONES CON MATRICES Suma de marices Diferencia de marices Produco de un número por una mariz Produco de marices PRODUCTO DE MATRICES CUADRADAS MATRIZ TRASPUESTA MATRIZ INVERSA Cálculo de la mariz inversa a parir de la definición Cálculo de la mariz inversa por el méodo de Gauss Aplicaciones de la mariz inversa LAS MATRICES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Organización maricial de la información Operaciones con marices. Aplicaciones Operaciones con marices asociadas a un gráfico

3 UNIDAD MATRICES. Marices: definición Se llama mariz de orden m n a una disposición en abla recangular de m n números reales dispuesos en m filas y n columnas. a a a3... an a a a3... a n A = a3 a3 a33... a3 n = (aij ) a m am am 3... amn A los números reales aij se les llama elemenos de la mariz. El primer subíndice i indica la fila y el segundo j la columna en la que se encuenra el elemeno aij. Por ejemplo, el elemeno a3, se encuenra en la ercera fila y segunda columna. El número de filas y de columnas es la dimensión de la mariz y se designa así: m n; si m = n, filas igual a columnas, se raa de una mariz cuadrada de orden n. Las marices se represenan así: A = (aij) ; B = (bij) ec Por ejemplo, la mariz A = (aij ) = 3 6 es una mariz de dimensión 3 4 (res filas y cuaro 8 4 columnas), en la mariz anerior a3 = 5; a3 =FG ; ec. Igualdad de marices Dos marices A y B son iguales si ienen la misma dimensión (o el mismo orden, si son cuadradas) y además son iguales odos los elemenos que ocupan el mismo lugar. Por ejemplo, las marices A = a c 5 serán iguales si a = ; b = 6; c = -5 y d =. yb =3 b d 6 Acividades. Dada la mariz B = a) Cuál es su dimensión? b) Indica el valor de a, a y a x 5. Dadas la marices A = yb =, indica los valores de x, y, z en la mariz B para que 7 4 y z sea igual a A.

4 . Tipos de marices En ese aparado describiremos algunos de los ipos de marices más usuales. Mariz recangular es aquella mariz en la que el número de filas es disino al de columnas m n. 3 Ejemplo de mariz recangular: A = Mariz cuadrada es aquella en la que el número de filas es igual al de columnas m = n. Ejemplo de mariz cuadrada: B = En una mariz cuadrada se llama diagonal principal al conjuno de los elemenos de la forma a ii ; en la mariz B, la diagonal principal la forman los elemenos, 3, 8. En una mariz cuadrada se llama diagonal secundaria al conjuno de los elemenos a ij con i + j = n +; en la mariz B, la diagonal secundaria la forman los elemenos 7, 3, ; sus subíndices suman 4. Mariz fila es una mariz que iene una fila; por ano, de dimensión n. Ejemplo: A = ( 4 5 ) es una mariz fila de dimensión 4. Mariz columna es una mariz que iene una columna; por ano, de dimensión m. 5 Por ejemplo, A = - es una mariz columna de dimensión 3. 7 Mariz opuesa de una mariz A es aquella que iene por elemenos los opuesos de A; se represena por -A. 4 Ejemplo: la opuesa de la mariz A= A= 4 es la mariz Mariz simérica es una mariz cuadrada que iene los elemenos siméricos a la diagonal principal iguales; eso es, a ij = a ji. Ejemplos: 3 5 A= y B = son marices siméricas Mariz anisimérica es una mariz cuadrada que iene opuesos los elemenos siméricos a la diagonal principal; eso es, a ij = -a ji Ejemplos: A= y B = son marices anisiméricas. 7 4 Los elemenos de la diagonal principal de una mariz anisimérica cumplen a ii = a ii es decir, son números que coinciden con sus opuesos, por ano nulos. Mariz nula es la que iene odos sus elemenos nulos. La denoaremos por O = (). 3

5 UNIDAD MATRICES Por ejemplo, las siguienes marices son nulas: O = y O x 3 = Mariz diagonal es una mariz cuadrada que iene nulos odos los elemenos que no perenecen a la diagonal principal. Por ejemplo, las siguienes marices son diagonales: A= 3 6 ; B = Mariz escalar es una mariz diagonal en la que odos los elemenos de la diagonal son iguales. Por ejemplo, las siguienes marices son escalares: A= 4 B 6, = Mariz unidad o idenidad es una mariz escalar en la que los elemenos de la diagonal principal son unos; ambién se llama mariz idenidad. Por ejemplo, las marices I = I3 son marices idenidad de orden dos y res respecivamene. y = Mariz riangular es una mariz cuadrada en la que odos los elemenos siuados por debajo (o por encima) de la diagonal principal son cero. Ejemplo: Las marices A= 3 7 y B = 5 son marices riangulares. 6 8 Acividades 3. Escribe las siguienes marices: a) la mariz unidad de orden cuaro; b) la mariz nula de dimensión 3 ; c) una mariz riangular de orden dos; d) una mariz diagonal de orden dos Dada la mariz A =, calcula su opuesa. 4 4

6 3. Operaciones con marices 3.. Suma de marices Al conjuno de odas la marices de dimensión m x n se le designa por M m x n. En las marices de ese conjuno definimos las operaciones de sumar y resar. Dadas dos marices de M m x n A= (a ij ) y B = (b ij ), llamamos suma de ambas a la mariz C = (c ij ) de la misma dimensión cuyo érmino genérico es c ij = a ij + b ij. La suma de marices se designa A + B = (a ij + b ij ) Ejemplo 3. Dadas las marices A= B = de orden x 3, calcular A + B. y Solución: A+ B = = = La suma de marices (a ij + b ij ) se obiene al sumar los elemenos que ocupan el mismo lugar en una y ora mariz. Propiedades de la suma: Asociaiva. Cualesquiera que sean las marices A, B y C de M m x n se cumple la igualdad (A+B)+C =A+(B+C) Exisencia de la mariz nula en M m x n. La mariz O = () es al que: A + O = A. Exisencia de la mariz opuesa. Dada la mariz A de M m x n exise la mariz opuesa A del mismo orden, de modo que A+( A) = O. Conmuaiva. Para odo par de marices A y B de M m x n se cumple la igualdad, A + B = B + A. 3.. Diferencia de marices La diferencia de marices A y B del conjuno M m x n se represena por A B y se obiene sumando al minuendo el opueso del susraendo; es decir: A B = A + ( B). 5

7 UNIDAD MATRICES Ejemplo 3. Dadas las marices A = yb = de orden x 3, calcular A B Solución: 3 3 A B = = = La diferencia de marices (aij) (bij) = (aij bij) se obiene al resar elemenos que ocupan el mismo lugar en una y ora mariz Produco de un número por una mariz Cualesquiera que sean el número real k y la mariz A = (aij) del conjuno M m x n, se llama produco de k por A, a la mariz B = (bij) de la misma dimensión que A y cuyo érmino genérico es bij = k aij. El produco de un número por una mariz k(aij) se obiene al muliplicar por k cada elemeno de A = (aij) Ejemplo 3. Dada la mariz A = de orden x 3 y k = 5, calcular k A Solución: ( ) k A= 5 = = ( 3) Propiedades del produco de un número por una mariz Cualesquiera que sean las marices A y B del conjuno M m x n y los números reales λ y μ; se verifica: Disribuiva respeco de la suma de marices: λ(a + B) = λa + λb Disribuiva respeco de la suma de escalares: (λ+ μ) A = λa + μa Asociaiva respeco de los escalares: λ(μa) = (λμ)a Elemeno unidad: A = A 6

8 3.4. Produco de marices Para muliplicar marices, las marices facores deben reunir algunos requisios que describiremos en ese aparado. a) Produco de una mariz fila por una mariz columna Sean A una mariz con una fila y n columnas y B una mariz con n filas y una columna: A a a... a B = ( ) = n y b b... bn El produco de la mariz fila A con n columnas por la mariz columna B con n filas es la mariz C = A B con una fila y una columna; es decir, un número, c = a. b + a. b a n. b n.; por ano, AB = C= () c = a b. n i = i i Hay que hacer noar que, para poder muliplicar A y B, el número de columnas del primer facor A debe ser igual al número de filas del segundo facor B. Ejemplo 4 4. Sean A = ( 4 ) una mariz con una fila y 3 columnas y B = una mariz con 3 filas y una columna. Hallar la mariz produco. Solución: AB =( 4) 4 = ( ) 6 ( )= ( ) El resulado es una mariz de orden x; por ano, un número. Regla: Observa que para realizar el produco se deja caer la mariz fila A en la mariz columna B; muliplicar los elemenos enfrenados y sumar los resulados. b) Produco de dos marices cualesquiera Sean A una mariz del conjuno M m x n, y B una mariz del conjuno M n x p ; las columnas de A coinciden con las filas de B (en ese caso n) 7

9 UNIDAD MATRICES El produco de marices A del conjuno M m x n y B del conjuno M n x p es ora mariz C del conjuno M m x p con m filas (las del primer facor A) y p columnas (las del segundo facor B), cuyos elemenos se calculan así: El elemeno cij de la mariz produco C es el resulado de muliplicar la fila i de la mariz A por la columna j de la mariz B consideradas ambas como marices fila y columna respecivamene. La expresión del elemeno cij de la mariz produco C será: c ij = ( ai ai b j k =n b j... ain ) = ( ai b j + ai b j ain bnj ) = aik bkj... k = bnj Ejemplo 3 5. Dadas las marices A = y B = 4 : a) indicar la dimensión de la mariz produco; b) calcular A B. Solución: a) La dimensión de A es x 3. La dimensión de B es 3 x. Como el número de columnas de A, res, coincide con el de filas de B, las marices se pueden muliplicar y además la dimensión de la mariz produco es x eso es, número de filas del primer facor y número de columnas del segundo facor. b) Las noaciones que se han empleado en el desarrollo del produco de marices se pueden simplificar, mediane la siguiene regla. Regla: Los elemenos de la mariz produco se obienen al dejar caer los elemenos de las filas de la mariz primer facor sobre las columnas de la mariz segundo facor; muliplicar los elemenos que han quedado enfrenados y finalmene sumarlos ( ) A B = 4 = = ( ) Propiedades del produco de marices El produco de marices iene las propiedades siguienes: Propiedad asociaiva. Cualquiera que sean las marices A, B, C en los casos que se puedan muliplicar las res marices. Es decir, si A es del conjuno Mm x n, o de dimensión m x n, B es del conjuno Mn x p, o de dimensión n x p y C es del conjuno Mp x q, o de dimensión p x q, enonces: (A B) C = A (B C) 8

10 Propiedad disribuiva. Dadas las marices A del conjuno M m x n, o de dimensión m x n; B y C son del conjuno M n x p, o de dimensión n x p se cumple: A (B + C) = A B + A C El produco de marices no es en general conmuaivo, es decir, A B B A a) Hay casos en los cuales es posible efecuar A B, y no B A. 3 Por ejemplo, si Ax3= y B3x=, en 3 onces enemos: 3 Ax3 B3x= 3 = + ( ) + 3 = + 3 ( ) + 3 No es posible efecuar B 3x A x3 ; B iene una columna y A iene dos filas; ambos números no coinciden. b) En los casos en que es posible efecuar A B y B A, no siempre dan el mismo resulado. A veces ni siquiera son de la misma dimensión. 3 Por ejemplo, si Ax3= y B3x 4 = 4, enonces enemos: ( ) Ax3 B3x= 4 = = ( ) B3x Ax3= 4 = = Ejemplos 6. Dadas las marices A= B = C comprueba la igualdad A (B C) = (A B) C. =, 3 y 3 4 Solución: Primer miembro: = 3 = 7 6 9

11 UNIDAD MATRICES Segundo miembro: = 7 4 = Dadas las marices A =, B = y C = 3, comprueba la igualdad: 3 3 A (B + C) = A B + A C. Solución: Primer miembro: + 3 = 3 3 = Segundo miembro: = + = El resulado es el mismo. Acividades 3 5. Dadas las marices A =, B = yc =, calcula: 3 4 a) A + B; b) A B; c) A 3B + 4C; d) A B; e) B A; f) A(B + C) 6. Calcula los producos A B y B A, siendo A = 3 y B = Dadas las marices: A =, B = y C =, calcula: a) A + B; b) 3A B; c) (A + B)C; d) A C; e) B C; f) A C + B C. 8. Comprobar la igualdad A (B + C) = A B + A C. Donde A = 3, B = yc =

12 4. Produco de marices cuadradas El produco de marices cuadradas merece aención especial pueso que las marices cuadradas del conjuno M n x n, o de orden n, se muliplican enre sí y el resulado es una mariz del conjuno M n x n, o de orden n. Por ejemplo, el produco de dos marices de orden dos es ora mariz de orden dos, como se indica a coninuación: = 4 4 En cuano a la propiedades es evidene que siguen conservando las propiedades asociaiva del produco y disribuiva del produco respeco de la suma, pero se deben desacar oras propiedades. En cuano a la propiedad conmuaiva siempre es posible el doble produco A B y B A, pero en general el resulado será diferene, como se indica en el ejemplo siguiene. Si A= y B, enonces A B 4 = = y B A= ; se observa que A B B A El produco de marices cuadradas posee elemeno unidad y es la mariz idenidad I n ; si A es una mariz cuadrada de orden n, se iene: La mariz unidad de orden dos será: I = I n A = A I n = A Poencias de marices cuadradas Como hemos viso, el produco de dos marices cuadradas es ora del mismo orden; eso hace que una mariz se pueda repeir como facor cuanas veces se precise, dando lugar a las poencias de marices, así: A A = A ; A A A = A 3 ;...; A A n veces... A = A n La expresión de la poencia n-sima de una mariz se debe jusificar para lo que se aplica el llamado principio de inducción. Ese méodo se emplea para probar que una proposición P(n) es ciera para odos los números naurales. Se procede en dos eapas: ) Se verifica que la proposición que se quiere probar es ciera para el primer número naural. ) (Fase de inducción). Suponiendo que la proposición P(n) es ciera para un número naural cualquiera, demosraremos que ambién lo es para el siguiene. En el ejemplo siguiene veremos como se rabaja con el principio de inducción.

13 UNIDAD MATRICES Ejemplos 8. Dada la mariz A =, deermina y jusifica la expresión de A n. A parir de la poencia n-sima calcula A. Solución: Comenzamos por calcular las primeras poencias de la mariz A. A = A A= = A = A A = 3 = 3 3 En esas poencias los elemenos a y a 3 coinciden con el valor del exponene de la poencia respeciva, por lo que enunciamos la siguiene regla que da forma a las poencias de ese ejemplo: Los valores de los elemenos a y a 3 de las poencias de la mariz A = coinciden con el valor del exponene de la poencia Regla que se formula A n = n n Demosración de la regla. La regla se cumple para n =, A = A=. Supongamos que se cumple para n = p, A p =. p p Veamos que se cumple para el siguiene a p que es p +, p A + p = A A= p = p + p p + La regla se cumple, luego su formulación ha sido correca. Aplicación: Para n =, A =.

14 3 9. Dada la mariz A =, calcula A, A3, A4 y A5. Solución: 3 A = A A = ; A = A A = ; A4 = A3 A= A, cada A3 se repie el proceso, al dividir 5 enre res se obiene 6 de cociene y de reso A =A 5 = ( A ) A = A = 3 6 Acividades 9. Dadas las marices A = 3 y B = 3, calcula: a) A B; 4 4 b) B A; c) A + B.. Calcula A y A3, siendo A = x. Sea A = y x + a) Calcula A. b) Calcula odos los valores de x e y para los que se verifica que A = a. Hallar odas las marices X =, con a, b, c, R que saisfacen la ecuación maricial X = X. b c 3. Enconrar números a y b de forma que la mariz A = verifique A = A. Para esos valores de a y b y a b omando B =½ A, calcular B 5 y A5. 4. Dada la mariz A = 3, calcular las maices A, A3, A4, A5 y obener razonadamene la mariz An para n > Dada la mariz A =, calcula A. 6. Dada la mariz P =, calcula P n, para n número naural. 7. Desarrolla las siguienes expresiones mariciales: a) (A + B); b) (A B); c) (A + B)(A B); d) (A B)(A + B). 3

15 UNIDAD MATRICES 5. Mariz raspuesa Dada una mariz A del conjuno M mxn, se llama mariz raspuesa de A, y se represena A, a la mariz que resula de cambiar las filas por las columnas en la mariz A. De la definición se deduce que si A perenece al conjuno M mxn,su raspuesa A perenece al conjuno M nxm. Ejemplo, la mariz raspuesa de: 3 A= es 4 8 A 3 = 4 8 En el ejemplo, la dimensión de A es 3 y la dimensión de A es 3. Propiedades de la rasposición: a) La raspuesa de la raspuesa es la mariz inicial. (A ) = A b) La mariz raspuesa de una suma es igual a la suma de las raspuesas de los sumandos. (A + B) = A + B c) Si λ es un número real, enonces (λ A) = λ A. d) La raspuesa del produco es igual a la raspuesa del segundo facor por la raspuesa del primer facor. (A B) = B A e) Si A = (a ij ) es una mariz simérica A = A. En efeco, si A es simérica, se cumple a ij = a ji, por ano, se cambia de noación y resula A = A. Ejemplos. Dada las marices A= B. Comprueba: a) (A ) = A; b) (A + B) = A + B ; c) ( A) = (A). y = Solución: a) ( A ) 3 = = = = A 3 5 4

16 8 b) Primer miembro: ( A + B ) = + 3 = = Segundo miembro: A + B = + 3 = + = Los dos miembros son iguales. 3. Dadas las marices A = yb =. Comprueba que (A B) = B A. 4 Solución: Primer miembro: ( A B ) = = = Segundo miembro: B A = = = Los dos miembros son iguales. Acividades Dadas las marices: A = ; B = yc =. 4 5 Calcula: a) A ; b) B ; c) (A + B) ; d) ( A + B + C). 9. Si A y B son dos marices cuadradas demosrar que: a) A + A es simérica. b) A A es anisimérica. c) A A es simérica. d) Si A es simérica, B A B es simérica. 5

17 UNIDAD MATRICES 6. Mariz inversa Dada una mariz cuadrada A de orden n, no siempre exise ora mariz B llamada mariz inversa de A, al que A B = B A = In. Cuando exise la mariz B, se dice que es la mariz inversa de A y se represena así: A-; es decir, A A- = A- A = In Las marices cuadradas que ienen inversa se las llama marices regulares. Las marices cuadradas que no ienen inversa se llaman marices singulares. 6.. Cálculo de la mariz inversa a parir de la definición 4 7 Dada la mariz cuadrada de orden dos A =, vamos a calcular su inversa. x y Se raa de calcular una mariz que cumpla: z u 4 7 x y = z u 4 x + 7z 4 y + 7u Efecuamos el produco: = x + z y + u La igualdad de los dos érminos da lugar a los sisem mas: 4 x + 7z = 4 y + 7u = y x + z = y + u = Las soluciones de los sisemas son: x =, z =, y = 7, u = 4. 7 La mariz inversa será: A = Cálculo de la mariz inversa por el méodo de Gauss En el méodo de Gauss para el cálculo de la mariz inversa de A, cuando exisa, se pare de la mariz (A I In); y mediane las rasformaciones que se indican a coninuación llegamos a la mariz (In I B); enonces la mariz B = A- es la inversa de A. Las ransformaciones que se pueden aplicar son las siguienes: Cambiar las filas de lugar. Muliplicar una fila por un número disino de cero. Sumar a una fila ora muliplicada por un número. 6

18 Ejemplos. Hallar la inversa de la mariz M = y comprobar el 3 5 resulado. Solución : Añadimos a la mariz M la mariz unidad, así: F F ( MI)= 3 5 ª ª 3 5 ª F 3 x ª F 3 ª F ª F xª F La mariz inversa es M =. 3 Comprobación: = 3 5 = Hallar la inversa de la mariz A =. 3 Solución : Añadimos a la mariz A la mariz unidad I, así: x ª F ( AI)= 3 6 x ª F ª F 3xª F 3 5 ª F+ xª F 4 ª F 3 3 ª F La mariz inversa es, A = 3 Como se puede comprobar: = = 5 7

19 UNIDAD MATRICES 4. Calcula, aplicando el méodo de Gauss, la mariz inversa de A = Solución : Añadimos a la mariz A la mariz unidad, así: ª F 3ª F ( AI)= ª F ª F I 3 ª F+ 3ª F ª F+ 3ª F La inversa de A es: A = Como se puede comprobar: = = 6.3. Aplicaciones de la mariz inversa Las operaciones con marices y en paricular el cálculo de la mariz inversa esudiadas en esa Unidad, permien resolver siuaciones problemáicas en las que aparecen marices. A coninuación desarrollamos algunas siuaciones para cuya resolución se precisa realizar operaciones (calcular la mariz inversa, muliplicar ) de las esudiadas en esa Unidad. Esas siuaciones se llaman ecuaciones mariciales; se resuelven con los mismos principios que las ecuaciones con coeficienes y variables de números reales, eniendo en cuena algunas de las siguienes consideraciones: Algunas marices no ienen inversa. El produco de marices no es conmuaivo; por lo que a la hora de muliplicar los dos miembros de una igualdad se debe ener en cuena que la muliplicación se hace bien por la izquierda o bien por la derecha en ambos miembros de la igualdad. 8

20 En el caso de ecuaciones mariciales que se reducen a la forma A X = B o X A = B y A iene inversa; la incógnia X se calcula respecivamene muliplicando por la izquierda o por la derecha por A - los dos miembros de la igualdad. En la ecuación A X = B; se muliplican por la izquierda los dos miembros por A -. A - (A X) = A - B; (A - A)X = A - B; I X = A - B; X = A - B En la ecuación X A = B, se muliplican por la derecha los dos miembros por A - (X A) A - = B A - ; X (A A - ) = B A - ; X I = B A - ; X = B A - Ejemplo 5. Resolver las siguienes ecuaciones mariciales: a) A X + B = C; b) X A B = C. A= B C Donde, = y = Solución : + = = = a) A X B C; A X C B; A ( A X) A ( C B); X = A ( C B) Se calcula la inversa de A por el méodo de Gauss: ª F 4xª F 6 ª F xª F ª F ( ) 3 = 6 4 Luego A = ó A Se susiuyen las variables por sus valores y se opera: 3 X = 4 6 = b) X A B = C; X A= C+ B; ( X A) A = ( C+ BA ) ; X= ( C+ BA ). Se susiuyen las variables por sus valores y se opera: 4 6 X = + = = = A veces el problema consise en deerminar algunos elemenos de una o varias marices que figuran en una ecuación maricial, como en el ejemplo siguiene: 9

21 UNIDAD MATRICES Ejemplo x 6. Dada la mariz A =, deerminar los valores de x, y, z para que se verifique la igualdad: y z y x A A = = x z y z Solución : Se muliplican las marices y se igualan las marices de los dos miembros: y x + y = x z y z x + yz x + yz = x + z + y = y = 9 x + yz = x + yz = ; de la primera ecuaación y = ±3 x + yz = x + z = x + z = x + 3z = Si y = 3 el sisema iene como soluciones: z =, x = 3 y z =, x = 3. x + z = x 3z = Si y = 3 el sisema iene como soluciones: z =, x = 3 y z =, x = 3. x + z = Las ernas (x, y, z ) que verifican la ecuación maricial son: ( 3, 3, ), (3, 3, ), (3, 3, ) y ( 3, 3, ) Acividades. Calcular las marices inversas de las marices: 4 3 a) A = ; 4 b) B = ; 3 c) C =.. Hallar la inversa de la mariz. 3 3

22 . Calcular la inversa de la mariz y comprobar el resulado Calcular la mariz inversa de 4 5 y comprobar el resulado Dada la mariz A = hallar X al que A X A = Dadas las marices A = yb = enconrar una mariz de la forma X = que verifique 4 4 x y que A X = X B. 6. Halla la mariz X que saisface la ecuación A X = B A, siendo: A = y B = 7. Enconrar odas las marices X ales que A X = X A, siendo: Resolver la ecuación en X, AX + 3B + C = D, siendo A =, B =,C = yd =

23 UNIDAD MATRICES 7. Las marices en la resolución de problemas Las marices aparecen con frecuencia en las ciencias que rabajan con daos ordenados, como es el caso de las Ciencias Físicas, Económicas y Sociales. A coninuación se presenan algunas siuaciones en las que las marices son de uilidad. 7.. Organización maricial de la información Las marices de información conforme venimos diciendo permien resumir informaciones diversas; enre oras pueden esar ligadas a gráficos como en el siguiene ejemplo. Las ciudades A, B, C y D se comunican mediane líneas de auobuses de ida y vuela como se indica en el gráfico. Expresar ese grafico en forma de mariz. Solución: A D B C A cada línea del gráfico se le asigna el valor uno y cero a la fala de comunicación enre ciudades; con esos crierios resula la mariz de información: A B C D A B C D Ejemplo 7. En una reunión de cuaro compañeros P, Q, R y S exisen relaciones de simpaía e indiferencia, se ienen simpaía P, a Q y a R; Q, a P y a S; R, a P y a S; y S, a P y a R. Expresa la información anerior mediane un gráfico y mediane una mariz. Solución: La simpaía enre compañeros se indica mediane una flecha que va del compañero que siene simpaía hacia el compañero por el que aprecia; la fala de flecha indica indiferencia. A cada flecha del gráfico (simpaía) le asignamos un y cero a la indiferencia enre P Q R S P compañeros; con esos valores resula la mariz de información: Q. R S P R Q S 3

24 7.. Operaciones con marices. Aplicaciones Cuando la información se encuenra dispuesa en forma maricial, los resulados de operar con marices pueden dar lugar a nuevas informaciones. Ejemplo 8. Un consrucor opera en res ciudades Madrid, Sevilla y Valencia y edifica pisos de dos ipos, A y B. El número de pisos consruidos de cada ipo y ciudad en los años 7 y 8 vienen expresados por las marices siguienes: A B A B Madrid 8 5 Madrid 6 4 Sevilla 4 7 Sevilla 4 4 Valencia 3 4 Valencia Se pide: a) Calcula los pisos consruidos durane los dos años de cada ipo y en cada ciudad. b) Calcular los pisos que debe consruir en 9, para reducir la producción de los consruidos en 8 a la miad. c) Cada piso del ipo A lleva 5 pueras y 9 venanas; los del ipo B ienen 3 pueras y 7 venanas. Cuánas venanas y pueras se uilizaron en cada ciudad para cubrir las necesidades de las consrucciones del año 8? Solución. Sean P y Q las marices asociadas a las consrucciones de los años 7 y 8 respecivamene. a) La mariz P + Q informa de los pisos consruidos enre los dos años P+ Q = = b) La mariz informa de los pisos a consruir durane el año Q = 4 4 = c) Dispongamos en forma maricial los números de pueras P y de venanas V, que precisan los dos modelos de pisos: P V A 5 9 B 3 7 Para ver las pueras y venanas que se precisan en las consrucciones de realizadas en Madrid durane el año 8, en necesario realizar las operaciones siguienes = 4 Pueras = 8 Venanas. 33

25 UNIDAD MATRICES Esos cálculos se pueden realizar para las dos ciudades resanes pero quedan resumidos mediane el produco de marices, = + + = Operaciones con marices asociadas a un gráfico Los resulados de algunas operaciones enre marices asociadas a gráficos rasmien nuevas informaciones, sobre las siuaciones que el gráfico describe. Ejemplo 9. Arabel, Julio, Nereida y Raúl se comunican a ravés de Inerne como se indica en el siguiene gráfico: Traducir la información del gráfico en una mariz de información G, calcular G, G 3 y G + G ; en cada cálculo inerprear los resulados. Solución: A N J R En el gráfico A represena Arabel, J Julio, N Nereida y R Raúl. La mariz asociada al gráfico al asignar el número, a la flecha del que pare al que llega será la siguiene: A J N R A J N R Se designa por G la mariz del gráfico. Calculamos G = G G = = El elemeno a = de la mariz G indica que se comunica con A de dos formas diferenes a ravés de oro; esas son A N A y A R A. El elemeno a 3 = significa que N no puede comunicarse con J a ravés de oro. El elemeno a 3 = significa que J se puede comunicar con N a ravés de oro: J A N. 34

26 La mariz G3 indica las formas de comunicarse cada persona con ora a ravés de oras dos. 3 G =G G = = Por ejemplo el elemeno a3 = 3 informa que Arabel y Nereida se pueden comunicar de res formas a ravés de oros dos inernauas: A R A N, A N R N y A N A N. La mariz G + G nos informa del número de formas que pueden comunicarse cada inernaua con el reso direcamene o a ravés de oro. G + G = + = Acividades 9. Un imporador de CD los impora de dos calidades, normales (N) y exra (E). Todos ellos se envasan en paquees de, 5 y unidades, que vende a los siguienes precios en euros. unidades 5 unidades unidades Normal N,4,8, Exra E,3,5,8 Sabiendo que en un año se venden el siguiene número de paquees, Normales N Exras E De unidades 7 5 De 5 unidades 6 4 De unidades 5 5 se pide: a) Resumir la información anerior en dos marices A y B: A será una mariz x 3 que recoja las venas en un año y B una mariz 3 x que recoja los precios. b) Calcular los elemenos de la diagonal principal de la mariz A por B y dar su significado. c) Calcular los elemenos de la diagonal principal de la mariz B por A y dar su significado. d) Comparar la suma de los elemenos de las dos diagonales. 35

27 UNIDAD MATRICES 3. En una acería se fabrican res ipos de producos: acero en láminas, en rollos o aceros especiales. Esos producos requieren chaarra, carbón y aleaciones en las canidades que se indican en la abla siguiene, por cada unidad de produco fabricado: Acero en láminas Acero en rollos Aceros especiales Chaarra Carbón Aleaciones 3 a) Si durane el próximo mes se desean fabricar 6 unidades de acero en láminas, 4 unidades de acero en rollos y 3 unidades de aceros especiales, obener una mariz que indique las canidades de chaarra, carbón y aleaciones que serán necesarias. b) Si se dispone de 4 unidades de chaarra, 8 de carbón y 4 de aleaciones, cuánas unidades de cada ipo de acero se podrán fabricar con esos maeriales? 3. Carmen rabaja como elefonisa en una empresa de lunes a viernes enre las nueve de la mañana y las dos de la arde. Además, cuida de un bebé de cuaro a siee de la arde los lunes, miércoles y viernes y es mecanógrafa en un bufee de abogados los mares y jueves de cinco a nueve. a) Escribir la mariz que expresa el número de horas que dedica a cada acividad a lo largo de los días de la semana. b) Si le pagan 9 euros por hora como elefonisa, 7 euros por cada hora que cuida al bebé y euros por hora por su rabajo como mecanógrafa, expresar maricialmene los ingresos diarios de Carmen. c) Si dejara de ir los lunes a cuidar al bebé y los jueves al bufee y le aumenaran su sueldo como elefonisa un 5%, como serán en ese caso las dos marices aneriores? 3. En el gráfico siguiene aparecen indicadas las comunicaciones de cuaros punos imporanes de una localidad; Ayunamieno = A, Esación de ren = E, Insiuo de Secundaría I y Hospial = H. Se pide: A E a) Forma la mariz de información del gráfico. b) Calcula el cuadrado de la mariz anerior y explica su significado. 36 I H

28 Recuerda Definición de mariz Una mariz de orden m x n es una disposición en abla recangular de m x n números reales dispuesos en m filas y n columnas. Igualdad de marices. Dos marices A y B son iguales si ienen la misma dimensión (o el mismo orden, si son cuadradas) y además son iguales odos los elemenos que ocupan el mismo lugar. Operaciones con marices. Suma. Dadas dos marices A y B de dimensión m n, la mariz suma (diferencia) A + B = (a ij + b ij ) se obiene al sumar (resar) los elemenos que ocupan el mismo lugar en una y ora mariz. Produco de un número por una mariz. El produco de un número por una mariz se obiene al muliplicar por k cada elemeno de A = (a ij ); es decir ka= (ka ij ) Produco de marices. Sean A una mariz de orden m n, y B una mariz de orden n p; las columnas de A coinciden con las filas de B, el produco de marices A y B es ora mariz C de orden m p con m filas (las del primar facor A) y p columnas (las del segundo facor B). El elemeno c ij de la mariz produco C es el resulado de muliplicar la fila i de la mariz A por la columna j de la mariz B consideradas ambas como marices fila y columna respecivamene. Mariz inversa. Dada una mariz cuadrada A de orden n, se llama mariz inversa si exise, ora mariz B, al que A B = =B A = I n. Cuando exise la mariz B, se dice que es la mariz inversa de A y se represena así: A - ; es decir, A A - = A - A = I n. Las marices cuadradas que ienen inversa se las llama marices regulares. Las marices cuadradas que no ienen inversa se llaman marices singulares. Para calcular la mariz inversa mediane la definición se consideran los elemenos de la mariz inversa como incógnias. Por el méodo de Gauss se pare de la mariz ( A I I n ); y mediane las rasformaciones se llega a la mariz (I n I B); enonces la mariz B = A - es la inversa de A. Aplicaciones de la mariz inversa. Las operaciones con marices y en paricular el cálculo de la mariz inversa esudiadas en esa Unidad, permien resolver siuaciones problemáicas en las que aparecen marices. En el caso de ecuaciones mariciales que se reducen a la forma A X = B; o X A = B y A iene inversa; la incógnia X se calcula respecivamene muliplicando a la izquierda o derecha por A - los dos miembros de la igualdad. Las marices en la resolución de problemas. Las marices aparecen con frecuencia en las ciencias que rabajan con daos ordenados, caso de las Ciencias Físicas, Económicas y Sociales, como has podido comprobar en el desarrollo de la Unidad. 37