MATEMÁTICAS I. Curso EJERCICIO ENTREGABLE DE MATRICES, SISTEMAS y DETERMINANTES. X, donde A = 2 1 0
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- Silvia Sáez Herrera
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1 MATEMÁTICAS I. Curso EJERCICIO ENTREGABLE DE MATRICES, SISTEMAS y DETERMINANTES ENUNCIADOS Dada la ecuación maricial X A = A X, donde A = 2 1 0, obener la mariz X Dado que un vaso de limonada, 3 bocadillos y 7 paseles cuesa 14 euros; y que 1 vaso de limonada, 4 bocadillos y 10 paseles cuesa 17 euros. Hallar el precio oal de 1 vaso de limonada más 1 bocadillo y 1 pasel. Se dice que una mariz M es idempoene si M 2 =M. Si A y B son marices ales que AB=A y BA=B, enonces demosrar que la mariz A es idempoene. 1.- Planeamos la ecuación maricial X A = A X a b c a b c #1: d e f = ` d e f g h i g h @2, La mariz X solución será: a b c a + 3 b - 4 c a - b - 2 c b - #8: 4 2 a - b - 2 c c b 2 En ese caso enemos el sisema de 2 ecuaciones con 3 incógnias: x+ 3y+ 7z= 14 x+ 4y+ 10z= 17 3 (7 - ) - 5 x+y+z= + + = Por ano, 8 euros Usando las propiedades de la raspuesa de una mariz y las hipóesis del enunciado enemos ( ) AB = A AB = A B A = A y ( ) BA B BA B A B B 2 calculamos ( ) ( ) A = A A = A B A = BA A = B A = A. = = = ; UNIDAD DOCENTE DE MATEMÁTICAS DE LA ETSITGC - UPM 1
2 Dada la ecuación maricial X A = X A, donde A = 0 1 0, obener la mariz X Dado que un bolígrafo, 3 cuadernos y 2 carpeas cuesa 12 euros; y que 2 bolígrafos, 8 cuadernos y 5 carpeas cuesa 30 euros. Hallar el precio oal de 1 cuaderno más 1 carpea y 1 bolígrafo. Sean A y B marices cuadradas de orden n disino de 1, calcular 1 AB A 1.- Planeamos la ecuación maricial X A = X A a b c a b c #1: d e f = d e f ` ` g h i g h i #3: 0, - @2]] La mariz X solución será: a 2 a a #5: 0-2 a 0 a 2 a i En ese caso enemos el sisema de 2 ecuaciones con 3 incógnias: x+ 3y+ 2z= 12 2x + 8y + 5z = 30 x+y+z=++ 2 (3 - )=6 Por ano, 6 euros AB A = A B A = A B A = B UNIDAD DOCENTE DE MATEMÁTICAS DE LA ETSITGC - UPM 2
3 Dada la ecuación maricial X A = A +X, donde A = 0 1 0, obener la mariz X Dado que un kg de manzanas, 3 kg de limones y 2 kg de peras cuesa 9 euros; y que 3 kg de manzanas, 11 kg de limones y 7 kg de peras cuesa 31 euros. Hallar el precio oal de un kg de manzanas más 1 kg de limones y 1 kg de peras. Sea A M m n, demosrar que A A es simérica. 1.- Planeamos la ecuación maricial X A = A +X de la cual podemos despejar X=A (A-I) -1 La mariz X solución será: #8: En ese caso enemos el sisema de 2 ecuaciones con 3 incógnias: x+ 3y+ 2z= 9 3x + 11y + 7z = 31 x+y+z= (3 - )= 5 Por ano, 5 euros Una mariz es simérica si coincide con su raspuesa ( ) ( ) A A = A A = A A UNIDAD DOCENTE DE MATEMÁTICAS DE LA ETSITGC - UPM 3
4 Dada la ecuación maricial X A = A X+A 3, donde A = 5 2 6, obener la mariz X. Dado que un vaso de limonada, 3 bocadillos y 2 paseles cuesa 32 euros; y que 2 vaso de limonada, 7 bocadillos y 17 paseles cuesa 76 euros. Hallar el precio oal de 1 vaso de limonada más 1 bocadillo y 1 pasel. Se dice que una mariz M es nihilpoene de orden k si M k =0, siendo k el menor enero posiivo para el cual es válida la igualdad. Probar que A = es nihilpoene e indicar el orden. 1.- Planeamos la ecuación maricial X A = A X+A 3 a b c a b c #1: d e f = d e f g h i g h , La mariz X solución será: a b 3 b d a - 4 b + d 3 (d - 3 b) #9: b + d 2 b - d - a + b - d 3 3 En ese caso enemos el sisema de 2 ecuaciones con 3 incógnias: x+ 3y+ 7z= 32 2x + 7y + 17z = 76 3 (4 - ) + 4 x+y+z= + + = Por ano, 8 euros A 2 = AA= = A = A A = = cuyo orden es k=3. UNIDAD DOCENTE DE MATEMÁTICAS DE LA ETSITGC - UPM 4
5 Dada la ecuación maricial X A = A X, donde A = 0 1 0, obener la mariz X Dado que una bufanda, 3 jerséis y 2 panalones cuesa 14 euros; y que 2 jerséis y un panalón cuesa 17 euros. Hallar el precio oal de una bufanda más 1 jersey y 1 panalón. Se dice que una mariz M es idempoene si M 2 =M. Probar que si A es idempoene, enonces la mariz I-A es idempoene. 1.- Planeamos la ecuación maricial X A = A X a b c a b c #1: d e f = ` d e f ` g h i g h @2 La mariz X solución será: a b c d e -b-d g -b-2d a-c-g En ese caso enemos el sisema de 2 ecuaciones con 3 incógnias: x + 3y + 2z = 105 2y+ 1z = 60 x+y+z= (15 - )= 45 Por ano, 45 euros A es idempoene, A ( ) ( )( ) 2 = A; calculamos 2 2 I A = I A I A = I A A+ AA= I 2A+ A = I 2A+ A= I A. UNIDAD DOCENTE DE MATEMÁTICAS DE LA ETSITGC - UPM 5
6 Dada la ecuación maricial X A = A +2X, donde A = 0 1 0, obener la mariz X. Dado que 2 kg de manzanas, 3 kg de paaas y 1 kg de omaes cuesa 5,5 euros; y que 5 kg de manzanas, 8 kg de paaas y 2 kg de omaes cuesa 13 euros. Hallar el precio oal de un kg de manzanas más 1 kg de paaas y 1 kg de omaes. Demosrar que ninguna mariz A de orden 3 saisface A 2 = - I. 1.- Planeamos la ecuación maricial X A = A +2X de la cual podemos despejar X=A (A-2I) -1 La mariz X solución será: En ese caso enemos el sisema de 2 ecuaciones con 3 incógnias: 2x + 3y + z = 5,5 5x + 8y + 2z = x+y+z= + + = 3,5 2 2 Por ano, 3,5 euros Aplicando deerminanes se iene que imposible pueso 2 0 A A = I A = I A = ( 1) = 1 lo cual es UNIDAD DOCENTE DE MATEMÁTICAS DE LA ETSITGC - UPM 6
7 Dada la ecuación maricial X = A X A, donde A = 0 1 0, obener la mariz X Dado que 3 kg de manzanas, 1 kg de limones y 7 kg de peras cuesa 23 euros; y que 8 kg de manzanas, 2 kg de limones y 20 kg de peras cuesa 31 euros. Hallar el precio oal de 1 kg de manzanas más 1 kg de limones y 1 kg de peras. Probar que A A y A A son siempre marices siméricas. 1.- Planeamos la ecuación maricial X = A X A a b c a b c d e f = d e f ` g h i g h i @1, - -, - -, mariz X solución será: 2 a a - 3 a a 9 a 2 a 2 a 4 a - 2 a 3 9 En ese caso enemos el sisema de 2 ecuaciones con 3 incógnias: 3x + y + 7z = 23 8x + 2y + 20z = x=, y=, z= - enonces x+y+z = Por ano, 38 euros Usando las propiedades de la raspuesa de una mariz, calculamos ( A A ) = ( A ) A = A A. Que es la condición para que AA sea simérica. ( A A) = A ( A ) = A A. Que es la condición para que A A sea simérica UNIDAD DOCENTE DE MATEMÁTICAS DE LA ETSITGC - UPM 7
8 1.- Dada la ecuación maricial X A = A X, donde A X = 0 1 0, obener la mariz Dado que 3 bolígrafos, un cuaderno y 7 carpeas cuesa 23 euros; y que 5 bolígrafos, 1 cuaderno y 13 carpeas cuesa 39 euros. Hallar el precio oal de 1 cuaderno más 1 carpea y 1 bolígrafo. 3 Si A y B son marices siméricas, qué se puede decir de AB-BA? (se enregarán las soluciones de los res ejercicios en esa misma hoja y las hojas añadidas que sean necesarias; en caso de enregar más de una hoja, ésas irán grapadas) 1.- Planeamos la ecuación maricial X A = A X luego a b c a b c d e f = d e f g h i g h @3, 0,, La mariz X solución será: a b c 3 a - 9 b - 2 z c - 2 b 3 a - 2 c a 3 3 En ese caso enemos el sisema de 2 ecuaciones con 3 incógnias: 3x + y + 7z = 23 5x + y + 13z = x=, y=, z= enonces x+y+z=7 3 3 Por ano, 7 euros Por ser A y B siméricas se cumple que A =A y que B =B (AB-BA) =(AB) -(BA) =B A -A B =BA-AB=-(AB-BA) luego AB-BA es una mariz anisimérica UNIDAD DOCENTE DE MATEMÁTICAS DE LA ETSITGC - UPM 8
9 Dada la ecuación maricial X A = A -1 X, donde A = 0 1 0, obener la mariz X Dado que un bolígrafo, 2 cuadernos y 3 carpeas cuesa 12 euros; y que un bolígrafo, 3 cuadernos y 5 carpeas cuesa 18 euros. Hallar el precio oal de 1 cuaderno más 1 carpea y 1 bolígrafo. 3 2 Sea A una mariz que cumple A 3A + 3A = I, demosrar que A es inverible y 1 obener A. 1.- Planeamos la ecuación maricial X A = A -1 X o bien AXA=X a b c a b c d e f = d e f g h i g h i [[0, 0, 0, 0, 0, - 0]] La mariz X solución será: e e 0 En ese caso enemos el sisema de 2 ecuaciones con 3 incógnias: x+ 2y+ 3z= 12 x + y + 5z = 18 x=, y= 6-2, z= enonces x+y+z=6 Por ano, 6 euros 3 2 A 3A 3A I + = 3 2 A 3A 3A I + = AA 3A+ 3I 0 A 0 A 1 2 A = A 3A + 3I 2 1 UNIDAD DOCENTE DE MATEMÁTICAS DE LA ETSITGC - UPM 9
10 Dada la ecuación maricial X = A X A, donde A = 0 1 0, obener la mariz X Dado que 3 vasos de limonada, 1 bocadillo y 7 paseles cuesa 23 euros; y que 2 vasos de limonada y 6 paseles cuesa 16 euros. Hallar el precio oal de 1 vaso de limonada más 1 bocadillo y 1 pasel. Si A es una mariz cuadrada, demosrar que A + A es una mariz simérica. 1.- Planeamos la ecuación maricial X = A X A a b c a b c d e f = d e f ` g h i g h i [[@1, -@1, La mariz X solución será: a -a - 2 a -a a 2 a - 2 a 2 a 4 a En ese caso enemos el sisema de 2 ecuaciones con 3 incógnias: 3x + y + 7z = 23 2x + 6z = x=, y=, z= enonces x+y+z=7 3 3 Por ano, 7 euros Usando las propiedades de la raspuesa de una mariz, calculamos ( ) ( ) A+ A = A + A = A + A. Que es la condición para que A+A sea simérica UNIDAD DOCENTE DE MATEMÁTICAS DE LA ETSITGC - UPM 10
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