1.- DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA

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1 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMA.- DETERMINANTES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ Ejercicio de clase : (A) Resuelva la ecuación:.- DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA 0 m m+ m m m+ m+ = 0.(m+ )(m+ ) + m.( ).m + m.(m+ ).0 n.(m+ ).0 m.( ).(m+ ) m.(m + ). = m + m+ m+ m m + m m m= m+ = 0 m= (B) Calcule la mariz adjuna de las marices: ) : mc( ) = de() = mc() = de() = cambio de signo a la diagonal secundaria A= m.c.(a) adj(a) = mc() de() = = = mc() = de( ) = ) : 6 mc() = de mc( ) de 0 = = 0 = mc( 4) = de 6 = A 6 = ª fila mc( ) = de = ; ª fila mc(6) = de = ; ª fila mc() = de 4 0 = 6 mc() = de = 9 mc( ) = de 4 6 mc(0) de 4 = = = cambio de signo a los elemenos de fuera de las diagonales Luego, m.c.(a) = 4 6 adj(a) = 4 6 Ejercicio de clase :.- MATRIZ INVERSA (A) Una mariz cuadrada A verifica la ecuación A + A + I = 0. Demuesre que A es inverible y halle A en función de A Le llamamos B Sacamos facor común A por la izda I = A. ( A A) AB = I. Despejamos I I= A A Le llamamos B BA = I. Sacamos facor común A por la dcha I = ( A A). A Usando la definición de inversa, deducimos que A iene inversa y su inversa es B. Es decir, A = A A - Página -

2 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMA.- DETERMINANTES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ x 0 (B) Sean las marices A = B y C = = x 0 Encuenre el valor o valores de x de forma que B + C = A. (Propueso PAU Andalucía 007) Como de A = 0, A. Vamos a calcularla usando la definición y usando la fórmula x y x y 0 x+ z y+ 0 Usando la definición: A = ; AA I z = z = x z y = + + x+ z= y + = 0 =y Se susiuyen z y x x= x=, y=; Luego, =, z=. Por ano, A = x+ z= 0 z=x y y = y+ = Usando la fórmula : A.[ A ]. = = = de(a) x 0 x + = = x = x= 0 x 0 x 0 (C) Sea la mariz A = 0 m 6 ) Deermine para qué valores del parámero m exise A. m adj ± 4.( 6) ± m= Como de A = m m 6 = m + m 6 = 0 m= = ( ) m = Sólo exise A para m y m ) Calcule A para m =. 0 6 Para m=, A = 0 6 ; A.[ A ] ; de A 4 0 (luego A ) ; m.c.(a) = = = de(a) Por ano, A =.[ A ] = = 6 6 = de(a) (Propueso para PAU Andalucía 00) (D) Sean las marices A = B 0 =. Calcule (A B I ). ( I es la mariz unidad de orden y A la raspuesa de A). (Propueso PAU Andalucía 00) adj adj 0 0 A B I = ; su deerminane es 0, luego iene inversa 0 = = m.c. = ( A B I) = adj = = = - Página -

3 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMA.- DETERMINANTES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ Ejercicio de clase : (A) Sean las marices.- ECUACIONES MATRICIALES 4 A = 6 y B = 0 Resuelva la ecuación maricial X(BB ) = A A. (Propueso PAU Andalucía 06) Llamamos C = BB = 0 = ; como dec = 9 0 C 0 0 Muliplicamos por C por la dcha como CC = I Parimos de XC = A A XCC = A A C y además XI= X 4 6 obenemos X = A A C = adj = = = =. Luego, X = (B) Resuelva la ecuación maricial: 0 X = 0. (Propueso PAU Andalucía 04) A B C 0 X XA B C XA C B; como de A 0, A = = = + = = 0 Muliplico por A por la dcha X AA = (C+ B)A XI = (C+ B)A X = (C+ B)A 0 0 X = + = X = (C) Sean las marices A = B = ) Calcule las marices X e Y para las que se verifica X + Y = A y X + Y = B 7 X Y A resamos ª ecuación menos ª ecuación = X = B A X = (B A) = X = X Y B 7 + = 7 susiuimos X y A X+ Y= A Y= A X Y= Y= 7 - Página -

4 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMA.- DETERMINANTES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ ) Halle la mariz Z que verifica BZ + B = I. BZ+ B = I BZ = I B ; como de B= 0 B = ; Muliplico por B por la izda B BZ= B ( I B ) Z= B ( I B ) = = = = (Propueso PAU Andalucía 04) (D) Resuelva la ecuación maricial AX = (C D ), siendo 0 A = C y D 0 = =. (Propueso PAU Andalucía 04) 0 Como de A= 0, A =. Parimos de AX = (C D ) Muliplicamos por A por la izda A AX = A (C D ); Luego, X = A (C D ) = = = 0 (E) Sean las marices A = B a b = 0. Para los valores a = y b = calcule la mariz X al que AB = (X I ). (Propueso PAU Andalucía 0) como a =, b = 0 AB = X6I AB+ 6I = X X = (AB+ 6I ) X = + 6 = X = a 0 (F) Se consideran la marices A = B = siendo a un número real cualquiera. 0 4 Para a =, resuelva la ecuación maricial A X 4B = 0. (Propueso PAU Andalucía 04) 4 6 Para a=, A =, Llamamos C A ; de C 0,, C = = = = = Es C Muliplico por C por la izda A X 4B= 0 CX= 4B C CX= C 4B X= 4C B X = X 6 = 0 = = Página 4 -

5 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMA.- DETERMINANTES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ 0 (G) Sean las marices A = B = C = 4 4 Resuelva la ecuación maricial (A + B)X = A B. (Propueso PAU Andalucía 0) 0 0 Llamamos C= A+ B= + = ; de C= 0, C = Es C Muliplico por C por la izda (A+ B)X= A B CX= A B C CX= C (A B) X= C (A B) 0 X = = = = X 4 4 (H) Halle la mariz X que verifica I X = A(A B 0 ), siendo A = y B = (Propueso PAU Andalucía 00) ( ) I X A(A B ) I A(A B ) X I A AB X X I A AB = = + = = X= + = + = = 0 4 (I) Se consideran las marices A = B = 0 0 C ( ) D = Despeje la mariz X en la ecuación XA + B = C D, sin calcular sus elemenos (Propueso PAU Andalucía 0) = ( ) muliplico por A a la dcha XA + B = C D XA = C D B X A A = (C D B)A X = (C D B)A m (J) Sea la mariz A = m m+ ) Calcule los valores de m para que dicha mariz enga inversa. ± 4.. ± 8 de A = (m+ ) m( m) = m+ m+ m = m + m+ = 0 m= =. Luego, de A 0 para cualquier valor de m A iene inversa para odo valor de m - Página -

6 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMA.- DETERMINANTES ACTIVIDADES RESUELTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ ) Haciendo m = 0, resuelva la ecuación maricial AXA = I, donde I es la mariz unidad de orden y X es una mariz cuadrada de orden. (Propueso PAU Andalucía 00) 0 Para m= 0, A =, de A 0, A ; AXA I ; muliplico por A por la dcha y por la izda = = = A AXAA = A I A I X I= A A X =. = = (K) Sean las marices M= N 4 = Calcule la mariz B = M y resuelva la ecuación N + XM = MB, donde X es una mariz x. (Propueso PAU Andalucía 00) 4 4 dem= 0, B= M = = = Es M N+ XM= M B N+ XM= I XM= IN XMM = (I N)M muliplico por M por la dcha X = (I N)M = = 0 = = (L) Obener la mariz X que verifica AX B = X siendo A = y B = es I.X 0 saco facor común X a la dcha AX B= X AX I X= B (A I)X= B ; llamo C= A I= 0 9 Es I muliplico por C por la izda de C 0, C 4 = = ; CX = B C C X = C B 6 X = C B= 9 9 = = Página 6 -