MATEMATICA PARA MEDICINA

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1 MATEMATICA PARA MEDICINA CAPITULO II: NOCIONES DE CALCULO DIFERENCIAL... Concepo inuiivo de límie y el concepo de derivada en un puno. Considere la siguiene epresión: n, siendo n un número naural, es decir, n=,,, 4,... Observamos que cuando reemplazamos el denominador n por, luego por, por, 4, ec., el valor de la epresión se hace cada ves más pequeño,,,,,..., ec., si n es muy grande, 4 endremos un valor cercano a cero, pero nunca alcanza el valor cero!. Ud. sospecha que si n fuera infinio, enonces sí alcanzaríamos el cero, pero el infinio no es un número. Por lo ano, esaríamos realizando una operación eraña o prohibida, por decir lo menos. Sin embargo, en maemáica necesiamos realizar esas operaciones erañas, y para salvar las apariencias, decimos alegremene que en el límie se alcanza el valor cero, cuando n iende a infinio. Eso se escribe: () lim = n n y se lee: límie de n cuando n iende a infinio es cero. No siempre necesiamos ese ruco para efecuar operaciones prohibidas. En efeco, piense Ud. en el valor que oma la epresión cuando se acerca, por ejemplo. Claramene, el valor se acerca 9, y escribimos () lim = 9. Desde niños sabemos que no podemos dividir por cero, sin embargo, esa operación prohibida la podemos efecuar en el límie. En efeco, suponga que () es una función de depende del iempo y que da cuena del camino recorrido por un móvil cualquiera. Si es un inervalo de iempo y durane ese inervalo el móvil recorrió una disancia, enonces el cuociene: () represena la velocidad promedio del móvil en recorrer ese camino durane ese iempo. Esa epresión debe recordarle la asa de cambio enre las variables y. Ahora imagine Ud. que el inervalo de iempo disminuye cada vez más, es decir,. Obviamene que en al caso ambién iende a cero. Sabemos que no puede ser cero, sin embargo le permiimos que sea cero en el límie. Pero en ese límie ya no enemos velocidad promedio, sino que velocidad insanánea. Escribimos (4) velocidad insanánea = lim Generalicemos esas ideas para una función () cualquiera, es decir, será una magniud que cambia en el iempo. Enonces la asa de cambio de respeco de sigue siendo la epresión, que gráficamene puede ver se en la Figura. Noe que la reca que pasa por los punos A, B deermina un riángulo recángulo, reco en C, donde los caeos son y respecivamene. Por lo ano, el cuociene represena la angene del ángulo a = BAC.

2 () B A C α Figura. Tasa de cambio de respeco de : Ahora imagine Ud. que. Cuando disminuye, el puno B de la curva se acerca al puno A, viajando sobre la curva, omando la posición B, como muesra la Fig.. Evidenemene ambién disminuye. () T, A B, B, C T" T α,, α, α Figura. Acercándonos al concepo de límie. La reca secane T deerminada por los punos A y B, se ransforma en ora reca secane T, que ahora esá deerminada por A (que no se mueve) y el puno B, reca que forma un ángulo α con el eje del iempo. En ese caso el cuociene represena la angene del ángulo α. En el límie el puno B coincide con el puno A, la reca secane se ransforma en una reca angene, reca que forma un ángulo α con el eje. Por lo ano, la angene (rigonomérica) del ángulo α será el límie de cuando. Escribimos (5) lim = gα α es un ángulo y la angene de ese ángulo es un número, por lo ano el límie (5) es un número. Observe aenamene la Fig. : el inervalo de iempo empieza en algún puno, que será la abscisa del puno A. Fijado ese insane, enonces el ángulo α esá compleamene

3 deerminado, y así su angene rigonomérica. Dicho de oro modo, fijado el puno, conocemos el número ga. Cuando se fija un valor para la variable, se acosumbre a disinguirlo con un subíndice, digamos si esamos fijando ; si esamos fijando, ec. En ese caso, podemos noar que = +h, siendo h un número, y así decir que es lo mismo que decir, h. Es claro que ahora =( +h)-( ) Ahora esamos en condiciones definir un imporane concepo maemáico que será de gran uilidad para comprender mejor algunos fenómenos biológicos y médicos. DEFINICIÓN: Se llama derivada de () con respeco a, en el puno al número ( + h) ( ) (6) lim = lim = gα h h Observe que cuando derivamos, lo hacemos con respeco a la variable independiene, y cuando fijamos un valor de esa variable, la derivada es un número que equivale a la angene (rigonomérica) del ángulo formado por la reca angene a la curva en el puno donde su abscisa es jusamene el puno fijo. NOTACIÓN: ( + h) ( ) (7) lim = lim = = ' ( ) = ( ) h h d (la úlima noación es común en biología y medicina). Por oro lado, sabemos que si el ángulo varia de hasa 9, la angene (rigonomérica) varía del valor hasa el +, es decir, el número dado por la derivada puede ser cualquier número posiivo o cero. Además, ambién sabemos que si el ángulo es mayor a 9 y menor que 8, las angenes son negaivas. Observe la Fig. e imagine recas angenes en diferenes punos: odas ellas forman ángulos menores a 9. Por lo ano, la derivada en cualquier puno de esa gráfica será posiiva. Como la gráfica () es creciene, deducimos que: Función creciene Análogamene, observando la Fig., Función decreciene = derivada posiiva derivada negaiva. () B C A α Figura. Función decreciene implica derivada negaiva (a > 9 ). Observando la Fig.4. deducimos que: anes de llegar al puno A de la curva, la función es creciene y por lo ano la derivada en cualquier puno será posiiva; pero ras A, la función es

4 decreciene y su derivada será negaiva. En A hay un máimo, o mejor en el puno la función () iene un máimo, y claramene allí la derivada será cero, es decir ( )= A () B Figura 4. Derivada nula implica máimos o mínimos La función es decreciene hasa llegar a B, y a parir de allí, vuelve a ser creciene: en B hay un mínimo, o mejor, en el puno hay un mínimo, y la derivada es cero en, ( )=. Sabemos que la angene de 9 no eise, luego cuando la reca angene a la curva sea perpendicular al eje horizonal, no habrá derivada en esos punos, casos paológicos raros en las aplicaciones a la biología y medicina. EJERCICIOS I.. Calcule los siguienes límies (noe que, salvo el caso l, la variable es, cosa que no iene ninguna imporancia...): a) lim b) lim c) lim 4 d) 4 lim 4 e) lim (-) f) lim / (-) g) lim h) 5 lim (-) i) lim ( -+) j) lim ( --8) 5 k) lim + l) lim m) lim (-) n) lim (-)(+) ñ) lim (+) o) lim (+) 9 p) lim (+) 984 q) 4 lim ( + --7)... La función derivada y reglas de derivación. La derivada en un puno es un número, pero si calculamos la derivada de una ciera función en cada puno, enonces enemos un conjuno de punos que conforman una nueva función llamada función derivada. NOTACIÖN: Si y = f() es la función, enonces la función derivada se denoa por: 4

5 (8) dy df = = y'() = f '() y =. Es evidene que si conocemos la función derivada de una función dada, enonces conocemos la angene (rigonomérica) de odas las recas angenes a la curva en cualquier puno. Así, podemos saber si la función dada es creciene, decreciene o si iene máimos y o mínimos. Parece saludable conar con la función derivada para conocer el comporamieno de la función misma. Como la derivada nos enrega información sobre las asas de cambio (insanáneas), si la función es consane, enonces su derivada es la función nula. Luego, enemos la primera regla de la derivación: La derivada de una consane es cero. Si la función es una reca, enonces no cambia la asa enre las variables involucradas. Por lo ano, enemos la segunda regla: La derivada de una reca es una consane. Pero podemos precisar más esa propiedad. En efeco, sabemos que si la relación enre las variables, digamos y, es una reca de la forma () = m + b, m, b consanes, enonces la asa de cambio es m, es decir, (9) () = m, m = consane y como es la pendiene de la reca, ella coincide con su derivada (y odo encaja perfecamene). En paricular, esa reca podría ser la reca idenidad () =, que represena la bisecriz del primer cuadrane del plano (, ). Sabemos que en al caso, la pendiene es siempre. Eso implica que La derivada de una variable respeco de ella es Que podemos denoar d () = = d REGLAS DE LA DERIVACIÓN Aunque no lo hemos dicho, calcular la derivada es una operación y como oda operación maemáica que se respee, debe conar con algunas propiedades: i) la derivada del produco de una consane por un función es la consane por la derivada de la función, es decir, d(kf) df = k k, consane y f es una función que depende de. ii) la derivada de una suma (o diferencia) de funciones es la suma (o diferencia) de las derivadas, es decir d(f ± g) = 5 df ± dg

6 iii) la derivada de un produco y de un cuociene, son más complicadas: d(fg) dg df d f gf ' fg' = f + g ; =, g g y serán uilizadas rara vez. ALGUNAS FORMULAS UTILES: d n. Si n es un número, enonces ( ) n = n d d. (e ) = e d 4. ( sen) = cos d cos = sen. ( ln ) =, 5. ( ) d 6. (g) = sec. Ejemplos.. () = () = ; () = () = ; y() = y () = ; z = z' = Y() = 4 + π Y () = ; () = = () = =.. f() = sen cos f () = cos + sen ; g() = ln + 7e dg = + 7 e 4. h() = 5 5 /5 dh cos 456 = 5 5sen d 5. (y) = e y y - '(y) = e + y y 6. f() = sen + cos f () = cos + sen sen + cos =(+)cos + (-)sen 7. g(z) = z lnz g (z) = z lnz + z 8. Hallar la pendiene de la angene a la curva y = en (,8) y diga si en el puno = la función es creciene o decreciene. 6

7 SOL.: La pendiene a la curva en el puno es la derivada de la función calculada en ese puno, es decir ; como y ()= enonces y () =. Por lo ano, la pendiene de la angene en = es, y como ese valor es posiivo, la función es creciene en =... Derivada de la función compuesa. Sabemos que la derivada de e es e, pero cuál es la derivada de e 5?. Para responder, debemos decir primero que la función e 5 es la compuesa de dos funciones: la eponencial y el produco por 5. Traemos de simplificar: si u=u() es una función que depende de, y derivamos respeco de, enonces: () F() = e u F () = e u du Veamos un ejemplo: si F() = e 5 enonces F () = e 5 d 5 ( 5 ) = 5e Análogamene, para las oras funciones, es decir: () F() = u n F () = un n- du Ejemplo; () = (sen) = sen () = sen d(sen ) = sen cos. Ahora, podemos generalizar las fórmulas dadas aneriormene d du u () ( lnu) =, u d () ( cosu) du = senu () d (gu) = sec du u Ejemplos:. () = ln(sen) () = sen d cos (sen) = d sen sen y dh sen y. h(y) = e = e cos y dy d. f() = cos(sen) f () = -sen(sen) (sen) = -(cos)sen(sen). 4. y() = ( + 8) 4 y () = 4( +8) 4 d ( + 8) = 4( +8) 4 (6-). 5. Z() = g ( )sec g Z'() = ( ) ( ) 7

8 .4. Derivadas de orden superior. Sabemos que dada un función (), podemos obener su derivada (). Esa derivada ambién es una función, por lo ano podemos derivar (), obeniendo la segunda derivada de (), que denoamos por d (4) "() = = () d d La epresión se lee: de dos a de dos. Repeimos que el símbolo, sólo se usa en d biología y medicina. En maemáica y física, como en oras ciencias, se prefieren los oros símbolos. Así como la primera derivada represena la asas cambio insanáneas de la función (), la segunda derivada ambién represenará las asas de cambios de esas asas. Por ejemplo, si () es el camino recorrido por un móvil, sabemos que () represena la velocidad de ese móvil. Por lo ano, () represenará la aceleración de ese móvil. Pueso que la segunda derivada es una función, podemos volver a derivar, y obener así, la ercera derivada, que denoamos por d (5) () =, d epresión que se lee: de res a de res (noe que la simbología con punos ya no es adecuada) En general, podemos seguir derivando alegremene una función cuanas veces se quiera. Sin embargo, eisen funciones en que al cosa no ocurre, pero como esas funciones no aparecen o rara vez aparecen en las aplicaciones médico-biológicas, no serán consideradas en nuesro esudio. EJERCICIOS II.. En los siguienes problemas, s() represena la posición de un cuerpo en movimieno, en el ds d s insane. Hallar su velocidad v = d y su aceleración a = g a) s = b) s = c) s = + v + s d) s=(-). NOTA: En el ejemplo c), como la variable independiene es, oda ora lera será una consane. d. Hallar f ( ) en los siguienes casos: a) f()= (+) ; = -4 b) f()=sen ; = c) f()= ; =.. Hallar y de las siguienes funciones: a) y = 5 -¾ /4 + ½ -/ b) y = 5 - c) y = ( -) d) y= 4 8

9 + e) y = 4+4/ f) y = (+ )(+ ) g) y = + 4. Hallar f, f, f, f iv, f v y f vi si h) y = π + - -/7 a) f = b) f = sen c) f = g d) f = e e) f = Hallar la angene a cada una de las curvas dadas en el puno dado: a) y= en (-,) b) y= +4- en (,) c) y= en el origen 6. Considere la curva y = +5 y el puno =. Cuál de los siguienes valores es la pendiene de la reca angene a la curva en el puno dado?. a) 4 b) c) 5/ d) e) Un cuerpo se mueve sobre una reca de acuerdo a la epresión s= Hallar la aceleración cada vez que la velocidad es cero. 8. Hallar las primeras derivadas de las siguienes funciones: a) y() = sen 5 b) y() = g c) y() = sen (+) d) z() = sen sen e) () = cos f) y() = cos8 g) y() = sen(cos ) h) y() = cosk, k=ce. sen i) y() = g j) y()= g k) y() = + cos cos l) y() = se m) y() = sen n) y () = (g)(sen) ñ) y = sencos(g) o) y = cos(sen 4 ) e p) z = e sen q) r = ln cos r) y = + e.5. Esudio de la forma de las gráficas de funciones. s) y = π e sen Volvamos a relacionar la forma de la curva con los valores de la derivada en algunos punos. Primeramene, debemos afirmar que las propiedades de la derivada (posiiva, negaiva, nula, creciene, ec.) son locales, es decir, valen en las vecindades del puno donde se calcula, y por oro lado, la derivada esá relacionada con la pendiene de la reca angene a la curva en el puno donde la derivada se calcula. Observe aenamene la Fig. 5, saque Ud. mismo las conclusiones. Para ello, noar que los res casos mosrados merecen los siguienes comenarios: en la primera curva desde la derecha, la reca L oca en un solo puno P a la curva, pero L no es angene a la curva en C. En el segundo caso, la reca L es angene a la curva en P, aunque L core a la curva en oro puno Q. Finalmene, la reca L es angene a la curva en P aun cuando una pare de la reca esá a un lado y la resane, al oro lado. Ahora, esa curva iene una imporane propiedad además: 9

10 P L' L Q P' P" L" Figura 5. Refuación de mios sobre recas angenes Anes del puno P la curva se dice que es cóncava y después del puno, se dice que es convea. El puno de la curva donde cambia la concavidad se llama puno de infleión. Esas caracerísicas pueden deerminarse con la segunda derivada. En efeco, recordemos que la parábola y = iene la ramas hacia arriba, es decir, ella siempre es convea, y la parábola y = - iene las ramas hacia abajo, es decir, ella es siempre cóncava. Si calculamos la segunda derivada para ambas, resula: (6) y = y' = y" = > y = y' = y" = < Por lo ano podemos dar la siguiene DEFINICIÓN: Una función () es convea si () >, y es cóncava si () <. En la abscisa del puno de infleión, digamos, ( ) =. La Fig. 6 muesra lo afirmado en esa definición () "( ) = P.I. cóncava convea Figura 6. Conveidades y puno de infleión.

11 De lo afirmado en las Fig. 4 y 6, dada una función cualquiera (), podemos hallar los punos donde se encuenran los máimos, los mínimos y los punos de infleión. Es ciero que si la primera derivada es nula en un puno, allí puede eisir un máimo o un mínimo. Cómo decidir?. Muy fácil; con la ayuda de la segunda derivada. En efeco, de la Fig. 6 noamos que el máimo de produce cuando la segunda derivada es negaiva; el mínimo se produce cuando la segunda derivada es posiiva. Con esa simple refleión, enemos un méodo para decidir cuándo en un puno eise un máimo o un mínimo, si previamene sabemos que allí se anula la primera derivada. NOTA: Algunos auores hablan de cóncava hacia abajo y cóncava hacia arriba en lugar de cóncava y convea, respecivamene, es decir; > cóncava hacia arriba y < cóncava hacia abajo En resumen: Si () es una función al que en un puno, ( )=, enonces : (7) "( "( ) < en ) > en hay un máimo hay un mín imo Ejemplo: Hallar los punos donde eisen los máimos y/o mínimos, y los punos de infleión de la curva () =. SOL: Primero buscamos los candidaos a máimos / mínimos, es decir, averiguamos en qué punos se anula la primera derivada. '() = ( ) = Por lo ano: - = = = ±, es decir, enemos dos candidaos = y = -. Para decidir la elección, calculamos la segunda derivada y averiguamos qué signo iene esa segunda derivada en los punos y. "( ) = > "() = "( ) = < Luego, en = hay un mínimo y en = - hay un máimo. Para hallar el puno de infleión, debemos averiguar en punos de anula la segunda derivada: () = = = Por lo ano, la abscisa del puno de infleión es el cero. Para hallar la ordenada, reemplazamos = en la fórmula de la función () = =. Es decir, el puno de infleión esá en el origen. Un bosquejo basane aproimado de esa curva represenada esá dado en la Figura 7.

12 () P.I. - Figura 7. Gráfico de la curva () =. Terminamos ese capíulo diciendo cuándo un gráfico no iene derivada, siuación poco usual en lo nos ineresa. Como la angene rigonomérica de un ángulo de 9 no eise (es infinio), enonces si la angene a la curva es perpendicular al aje horizonal, no habrá derivada en ese puno. Algo similar sucede si la curva presena punas agudas, como cúspides. En resumen: PI PI Figura 8. Información local enregada por la primera y segunda derivada. De a la función () es creciene, luego () > allí. Desde a es convea, luego ()> allí. En hay un puno de infleión, luego ( )=. De a la curva es cóncava, luego () < allí. En hay un mínimo, luego ( )= y ( )<. De a 5, la curva es decreciene, luego ()< allí. Además, ( 4 )=, ( 5 )= y ( 5 ) >. En 6 no hay derivada. En ( 7 )=, pero no eise en 7 ni un máimo ni un mínimo, sólo hay cambio de concavidad, luego ( 7 ) =. En 8 hay nuevamene un mínimo. Es decir, una misma curva puede ener varios máimos y varios mínimos; en al caso se dice que los máimos y/o mínimos son relaivos. También es posible que los máimos y/o mínimos se produzcan donde no primera derivada, caso no esudiaremos aquí.

13 EJERCICIOS III En las siguienes funciones, idenifique los máimos, mínimos relaivos y los punos de infleión. a) f() = 6- b) () = +-8 c) y() = + d) f() = e) () = 5+ f) y(z) = z -9z +7z-6