CAPÍTULO 1 LA FUNCIÓN DERIVADA

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1 CAPÍTULO LA FUNCIÓN DERIVADA. LA DERIVADA En el fascículo anerior uilizase el concepo de la razón de cambio a ravés de problemas o siuaciones de la vida real e ilusrase gráficamene 0 o, dando una inerpreación de la razón de cambio. Todo lo anerior es la base para el esudio de la derivada a ravés de la discusión de un problema de la vida real. Y a parir del concepo de la DERIVADA, aprenderás las écnicas para derivar funciones aplicar esos conocimienos en la consrucción de gráficas solución de problemas. Analiza el siguiene problema: Un móvil se desplaza de acuerdo a la función f() +, Ricardo observa ese desplazamieno le preguna a Oscar, Cómo se puede deerminar la velocidad insanánea o angencial de dico móvil, después de que ranscurren seg. desde el inicio el movimieno? Oscar respondió; no lo se!, al vez aplicando concepos de física. Ricardo le conesó, para saber con eaciud la velocidad insanánea aplicaré mis conocimienos de razón de cambio promedio, razón de cambio insanánea, limies coninuidad; Oscar replicó eso es imposible!. Qué arías para resolver el problema? Refleiona después analiza la solución que e presenamos

2 ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Con base al problema del móvil, conesa las siguienes pregunas. a) Sabes que ipo de función es? b) Es una función coninua o disconinua? c) Por qué es coninua o disconinua? d) Qué eniendes por velocidad insanánea? e) Cuál sería su razón de cambio de la velocidad en el móvil? f) Cuál es la velocidad de en los res segundos que ranscurren? g) Puedes resolverlo empleando la función derivada a ravés de la razón de cambio como límie? Aún no puedes resolver el problema anerior? Sigue analizando la información que e presenamos, ésa e dará más elemenos. 4

3 Una bola sube vericalmene alcanzando una alura S m, en segundos después de lanzada. Halla la razón de incremeno (Cambio) de alura de la bola en m/s al iempo Analiza la solución: digamos que la bola esa a una alura S al iempo S a. El incremeno promedio de la elevación de la bola durane el inervalo < < es, Incremeno de alura S S Tiempo ranscurrido Geoméricamene esa magniud esa represenada por la pendiene de la Secane a ravés de los punos (, S ) (, S ) del diagrama alura iempo. Si es pequeño, S S / represena aproimadamene la velocidad de ascenso de la bola en cualquier insane del inervalo. Para calcular la relación precisa del incremeno de alura al iempo acemos que 0. Así, S S Pendiene de la Secane S S Velocidad promedio de ascenso S S ( + ) Al aproimarse a, en el inervalo, enonces + iende a. Por lo ano la pendiene S S / de la secane se conviere en la pendiene de la angene de la curva. Es decir: lim 0 [ 4.9( + )] lim

4 La velocidad de ascenso v a los segundos es V m/seg. Noa: Que la razón de cambio consa de dos érminos separados. El érmino 4 es la razón de cambio de es la razón de cambio de 4.9 al iempo. La velocidad o razón de cambio insanánea de elevación con relación al iempo en el insane se represena gráficamene por la pendiene de la curva en. ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Con base al problema de la bola, conesa las siguienes pregunas. Cuándo es cero la velocidad? Cuándo esa, la bola a maor alura? A qué velocidad vuelve la peloa al piso? 6

5 .. CONCEPTO DE DERIVADA Precisamene como d / d es la razón de cambio de con respeco a, enonces podemos concluir que: Velocidad v ds / d lim S s S / 0 S (, S ) S 0 (, S ) Gráfica No. Has aclarado algunas dudas? Coninúa el esudio analiza el siguiene problema. La posición de una parícula suspendida en el espacio iene como ecuación f() 4 5. Deermina la pendiene (m) la ecuación de la reca angene a la curva en el puno cua abscisa es igual a Solución: a) De la derivada como límie, que es la razón de cambio de la función, en la pendiene que une los punos (, f () ). 7

6 f ( ) lim 0 f ( + ) f ( ) f ( ) 4 5 f ( + ) ( + ) 4( + ) 5 f ( + ) f ( ) lim 0 f ( + ) ( 4 5) lim lim 0 ( + + 4) lim ( 0) 4 0 La razón de cambio para la función es la epresión f () 4, donde: La razón de cambio para La razón de cambio para 4 4 Siendo la derivada f () 4 el valor de la pendiene (m); si f () m, enonces: m 4 para m () 4 (4) m 8u. La ecuación de la reca angene a la curva f () 4 5 en. Si, f () () 4 () El puno de angencia es P (, 5) m 8u es la pendiene de la reca angene. Por lo ano la ecuación iene la forma: m ( ) ( 5) 8 ( ) ecuación de la reca angene en donde 8 es la pendiene la ordenada al origen es. 8

7 Graficando f () 4 5 con base a la abla siguiene: 0 f () Podemos razar la angene a la gráfica en P(, 5), omando en cuena que cora al eje en (0, ) su pendiene es m P(, 5) Gráfica No. Mucos fenómenos físicos implican canidades variables, la velocidad de un coee, la devaluación de la moneda por la inflación, el número de bacerias de un culivo, la inensidad de un movimieno elúrico, el volaje de una señal elécrica, ec. En ese fascículo desarrollaremos las erramienas maemáicas para epresar con precisión las razones o azas de cambio. 9

8 Primero se revisarán algunas ideas aneriores, supón que P(,) Q(, ) son los punos de la gráfica de una función f. Enonces la reca secane P Q ienen la pendiene: m. sec Y X Y X o bien, pueso que f () f ( ), f ( ) f ( ) m. sec () aciendo,, enonces + de al manera que la ecuación () puede escribirse así m sec m.sec f ( + ) f ( ) Observemos la gráfica No. f(+) Q f(+) f() f() P 0 + f() Gráfica No. De la gráfica se observa que P(,f()) Q(,f(+) f()) ó Q(+,f(+) f()). Cuando Q iende P sobre la gráfica de f, X iende a Xo por consiguiene X X iende a cero. 0

9 Además, cuando Q iende a P, la reca secane que une P Q iende a la reca angene en P. El cual nos conduce a la siguiene definición: Si P (, ) es un puno de la gráfica de una función f, enonces la reca angene a la gráfica de f en P se define como la reca que pasa por P iene la pendiene siempre que eisa el limie. m an lim 0 f ( + ) f ( ) () Siempre que eisa el límie, se ará referencia a la reca angene en. DEFINICIÓN: La derivada de una función f es una f definida por: f ( ) lim 0 f ( + ) f ( ) () El dominio de f, consa de odas las en la que eise ese límie; NOTACIÓN: El símbolo f () se lee f prima de. Sí esa en el dominio de f, enonces se dice que f es diferenciable en. De () () se sigue que si f es diferenciable en Xo, el valor de la derivada en es: f ( ) lim 0 f ( + ) f ( ) m an En oros érminos, la derivada de f es una función cuo valor en X X es la pendiene (m ang θ) de la reca angene a f() en. El dominio de la derivada es el conjuno de los valores de X para lo que eise una reca angene a Y f(). Eisen res maneras comunes en las que la función f puede no ser diferenciable en un puno, formuladas de una manera informal, esas pueden clasificarse como: a) Rupuras. b) Vérices. c) Tangenes vericales.

10 Rupura. a) *Es evidene que si la gráfica de una función f iene una rupura en XX (ver gráfica 4) enonces la función no puede ener una angene en X. Eso se demuesra cuando más preciso sea el érmino de una rupura. 0 Gráfica No. 4 Vérices. b) La gráfica de una función f iene un vérice en un puno P (X, f (X) ) si la gráfica de f no se inerrumpe en P la posición límie de la reca secane que une a P Q depende de si Q iene a P por la izquierda o por la dereca ( ver gráfica 5). En los vérices no eise una reca angene, a que las pendienes de las recas no ienen un límie ( por ambos lados).

11 P Posición límie de las recas secanes cuando Q P por la izquierda Q Q Posición límie de las recas secanes cuando Q P por la dereca. 0 X Gráfica No. 5 Tangenes vericales. c) No eise, pueso que los límies por un lado no son iguales. Por consiguiene, f () no es diferenciable en 0. Si la pendiene de la reca secane que une P Q iende a a + ó cuando Q iende a P sobre la gráfica de f, enonces f no es diferenciable en. Desde el puno geomérico, ales punos ocurren cuando las recas secanes ienden a una posición límie verical (ver gráfica 6 7)

12 Q P(, f()) 0 Gráfica No. 6 a) la pendiene de la reca iende a + cuando Q P P(, f()) 0 Q Gráfica No. 7 b) la pendiene de la reca secane iende a cuando Q P 4

13 El cálculo diferencial es el esudio del cambio que ocurre en una canidad, cuando ocurren variaciones en oras canidades de las cuales depende la canidad original. Los ejemplos siguienes muesran ales siuaciones. ) El cambio en el core oal de operación de una plana que resulan de cada unidad adicional producida. ) El cambio en la demanda de ciero produco que resula de un incremeno en el precio. ) El cambio en el produco nacional bruo de una país con cada año que pasa. Sea una variable con un primer valor un segundo valor. Enonces es el cambio, de valor ; es se denomina el incremeno de cualquier variable. denoa el cambio de la variable p p p índica el cambio de variable p q q q denoa el cambio de la variable q. Sea f() una variable que depende de. Cuando iende al valor, iende el valor f ( ) De manera inicial, cuando iende el valor f ( ) Así el incremeno de es f ( ) f ( ) Ejemplo. El volumen de venas de gasolina de ciera esación de servicio depende del precio del liro. Si p en el precio por el liro en cenavos, se encuenra que el volumen de vena ( en liros por día ) esa dado por: q 500 (50 p ) Calcula el incremeno en el volumen de venas que corresponde a un incremeno en el precio de 0 c a 0 c por liro. Solución. Aquí p, es la variable independiene q la función de p. El primer valor de p es: p 0 el segundo valor es p 0. El incremeno de p es: p p p p

14 Los valores correspondienes de q son los siguienes: q 500 ( 50 p ) 500 (50 0 ) 5, 000 q 500 (50 p ) 500 (50 0 ) 0, 000 En consecuencia, el incremeno de q esa dado por: p p q q 0,000 5, El incremeno de q mide el incremeno en q el eco de que sea negaivo significa que q en realidad decrece. El volumen de venas decrece en 5, 000 liros por día si el precio se incremena de 0c a 0c. Resolviendo la ecuación para si, enonces enemos + Usando ese valor de en la definición de, obenemos, f ( + ) f ( ). En forma alernaiva, dado que f () podemos escribir: + f ( + ) Ejemplo. Dado f () calcula el incremeno, si 0. Solución. susiuendo los valores de en la fórmula de, enemos: f ( + ) f ( ) f ( + 0.) f () f (.) f () (.) () Observemos que un cambio de 0. en el valor de da como resulado un cambio en de

15 Observemos la gráfica Gráfica No.8 Ejemplo. En el caso de la función, deermina cuando para cualquier incremeno. de. f ( + ) f ( ) f ( + ) f () ( + ) () + + ( ) + + ( ) + ( ) Como en la epresión de el ejemplo es valido para odos los incremenos, enonces podemos resolverlo susiuendo 0. quedando el siguiene resulado: (0.) + (0.) Como el anerior. 7

16 DEFINICIÓN: La asa de cambio de una función f sobre un inervalo de a + se define por la razón /, por lo ano, la asa de cambio promedio de con respeco a es: f ( + ) f ( ) OBSERVACIÓN: Es necesario que el inervalo de a + perenezca al dominio de f. gráficamene. Si P en un puno (, f() ) Q en el puno (+ ), f (+) sobre la gráfica de f (), enonces el inervalo f ( + ) f() en la elevación de la en el recorrido de P a Q. Por definición de pendiene, decimos que / es la pendiene del segmeno recilíneo PQ. Así que, la asa de cambio promedio de con respeco a es igual a la pendiene de la reca PQ que pasa por los punos P Q sobre la gráfica de f() Ver la figura para maor comprensión; esos punos corresponden a los valores + de la variable independiene. f() f(+) Q f() P 0 X + Gráfica No.9 8

17 .. NOTACIÓN DE LA DERIVADA. Es conveniene recordar que para denoar la derivada de una función con una variable independiene se uilizan las siguienes noaciones simbolizaciones. Si se iene f(), la función derivada se simboliza por D, que se lee: la derivada de respeco de. NOTACIÓN DE CAUCHY. Si la función es f () la función derivada se represena por o por f () NOTACIÓN DE LAGRANGE. La noación americana de la derivada de la función f () es: d df ( ó ) d d Resumiendo las res noaciones aneriores la derivada de una función f() puede escribirse: lim 0 f ' () ' d d EXPLICACIÓN INTEGRADORA Hasa el momeno emos aprendido que la reca que mejor se aproima a una curva cerca del puno P es la angene, a ravés de ese puno, más precisamene, la reca angene a una curva en P es la posición de la reca angene que pasa por dos punos, conforme uno de los punos se aproima al oro a lo largo de la curva. La pendiene m de la reca angene a la curva f () esá dada por: lim 0 f ' () ' d d 9