Modelo de volatilidad estocástica asimétrica por umbrales (modelo TA-ARSV).

Transcripción

1 Modelo de volailidad esocásica asimérica por umbrales (modelo TA-ARSV). García Ceneno, María del Carmen Deparameno de Méodos Cuaniaivos e Informáica Universidad CEU San Pablo Madrid RESUMEN La imporancia cada vez mayor de la volailidad en las series de rendimienos financieros nos ha llevado a proponer un nuevo modelo de volailidad esocásica asimérica por umbrales, modelo TA-ARSV. Para ese modelo se han deducido sus propiedades esadísicas y se ha desarrollado su procedimieno de esimación, siendo la principal diferencia ese modelo respeco de los exisenes la creación un umbral a parir del cual cambia su paramerización en la ecuación de la volailidad. Ese nuevo modelo TA-ARSV es capaz de explicar los principales hechos esilizados que presenan las series de rendimienos financieros y la respuesa asimérica de la volailidad ane shocks de diferene signo (efeco leverage). Para ver su adecuación para explicar los hechos esilizados de las series de rendimienos financieros se han comparado los resulados de la esimación del modelo TA-ARSV, para diferenes series de rendimienos financieros, con oros res modelos diferenes, dos de ellos son asiméricos: el modelo AGARCH y el A-ARSV y oro simérico: ARSV. Los resulados evidencian que el modelo TA-ARSV es más adecuado para explicar la dinámica de la volailidad cuando exise una respuesa asimérica de ésa ane shocks de diferene signo. Palabras claves: Volailidad Esocásica; Heerocedasicidad condicional, Efeco Leverage. 45

2 María del Carmen García Ceneno 1. INTRODUCCIÓN En la lieraura economérica se ha producido una creciene uilización ano de los modelos de heerocedasicidad condicional ARCH, Engle 198, de su correspondiene generalización GARCH en 1986 llevada a cabo por Bollerslev así como de los modelos de volailidad esocásica SV en 198, 1986 realizada por Taylor, para explicar el comporamieno de las series financieras caracerizadas por una volailidad cambiane en el iempo. Esos dos grupos de enfoques se han caracerizado porque reproducen los principales hechos esilizados de las series de rendimienos financieros, como por ejemplo: La asimería y el exceso de curosis. Las auocorrelaciones no significaivas en los niveles. Una correlación posiiva en los cuadrados y en los valores absoluos. Agrupamieno de la volailidad ya que exisen periodos en los que las variaciones de la variable que se esá analizando son muy pequeñas alernando con oros periodos en que esas variaciones son basane mayores. Esa correlación en los cuadrados hace que se analice la dependencia de la varianza. La respuesa asimérica de la volailidad ya que el comporamieno de la volailidad es diferene cuando en el mercado se produce un shock posiivo o uno negaivo. La ala persisencia de la volailidad debida a que las correlaciones de los cuadrados o de los valores absoluos son significaivas para órdenes elevados. Sin embargo, esos dos ipos de modelos (heerocedasicidad condicional y volailidad esocásica) difieren enre sí en la forma de modelizar la volailidad: 1. En los modelos de heerocedasicidad condicional la volailidad es una función deerminisa al depender de su propio pasado y del cuadrado de las observaciones pasadas de la variable;. En los modelos de volailidad esocásica, la volailidad se modeliza como una variable laene (no observable) cuya evolución se rige por un proceso esocásico auorregresivo. 46

3 Modelo TA-ARSV. Aplicación en series de rendimienos financieros En ese rabajo nos cenramos en los modelos de volailidad esocásica y, propondremos una nueva variane para capar la diferene respuesa de la volailidad ene los shocks de signo posiivo y negaivo, que es más flexible y viene a: 1. Generalizar los modelos en los que acualmene se viene modelizando esa caracerísica; y 1. Abrir una puera hacia planeamienos dirigidos a cuanificar de forma más precisa efecos diferenciales que no sólo ienen en cuena el signo de los rendimienos sino ambién su magniud. Anes de proceder a la esimación de diferenes modelos de volailidad esocásica, en la sección vamos a analizar los principales hechos esilizados caracerísicos de las series financieras a ravés de una serie de rendimienos diarios represenaivos para cada uno de los diferenes ipos de series emporales analizados en ese rabajo. Así para los índices bursáiles uilizaremos el índice EUROSTOXX50 y para las maerias primas el oro y el OILBRENT. En la sección 3 proponemos un nuevo modelo de volailidad esocásica por umbrales, modelo TA-ARSV. En la sección 4 desarrollaremos las aplicaciones empíricas del nuevo modelo TA-ARSV en diferenes ipos de series emporales y los resulados de su esimación se comparan con los resulados obenidos para las mismas series a ravés de oros dos modelos asiméricos y, además, con oro modelo simérico. Por úlimo, concluiremos y veremos como los resulados que hemos obenido evidencian que si exise un comporamieno asimérico de la volailidad la mejor forma de deecarlo es a ravés del nuevo modelo de volailidad asimérica por umbrales propueso.. CARACTERÍSTICAS DE LAS SERIES DE RENDIMIENTOS FINANCIEROS Las series de rendimienos financieros ienen unas caracerísicas deerminadas que las diferencian de oro ipo de series. Por esa razón anes de modelizar la dinámica de ese ipo de series es necesario esablecer cuales son los principales rasgos que las caracerizan. Para deerminar esas caracerísicas vamos a uilizar dos ipos diferenes de series: índices bursáiles de diferenes países y precios medios de disinas maerias primas. Ésas aunque diferenes enre sí se caracerizan, como veremos poseriormene, porque presenan rasgos comunes. 47

4 María del Carmen García Ceneno La variable que será objeo de esudio en nuesro rabajo son los rendimienos financieros que se calculan como la variación del logarimo del precio de cierre de la variable enre dos días consecuivos de mercado (es decir, la primera diferencia del logarimo) muliplicado por cien. De ese modo, el rendimieno diario del índice bursáil o de las maerias primas para el día, es: = 100 (log (p ) log (p -1 )) donde, es el rendimieno diario del índice o de las maerias primas en el día ; p para los índices bursáiles es el valor del índice en el día y para las maerias es el precio medio en el día. Esas caracerísicas ípicas de las series financieras es lo que en la lieraura se suele denominar hechos esilizados y han sido esudiados, enre oros por Granger e al. (000), He e al. (00), Carnero e al. (004), Teräsvira y Zhao (006), García (007). Para desarrollarlas en las siguienes subsecciones realizaremos un análisis descripivo de los rasgos correspondienes a las series de rendimienos bursáiles y a las series de variaciones de los precios medios diarios de las maerias primas..1 Índices bursáiles Los daos 1 que vamos a analizar corresponden a los rendimienos bursáiles diarios de veinirés índices que perenecen a disinos países cuyo periodo muesral de esudio y momenos muesrales se encuenran en la abla 1 del anexo. Enre ellos hay índices que perenecen a países de la Unión Europea y a la Unión Monearia (BGBEL0, FRCAC40, DAXIDXI, GRAGENL, IBEX35I, ITMIB30, NLALSHR, POPSI0, ISEQUIT), a la Unión Europea y no a la Unión Monearia (FTSE100, HEX5IN, SWEDOMX), índices de países europeos que no perenecen a la Unión Europea (SWISSMI), índices asiáicos (HNGKNGI, NIKKEI5, SNGPORI), índices de Oceanía, (S&P_ASX100) e índices de países lainoamericanos (IGPAGEN, VENGENL) y el índice EUROSTOXX50. Para analizar las principales caracerísicas de esos rendimienos financieros vamos a uilizar dos elemenos: por un lado, los momenos muesrales y función de auocorrelación muesral y por oro, disinos ipos de gráficos. Para ilusrar 1 Los daos uilizados han sido obenidos de la base de daos Daasream. 48

5 Modelo TA-ARSV. Aplicación en series de rendimienos financieros gráficamene las caracerísicas de los rendimienos uilizaremos sólo el índice EUROSTOXX50, ya que el reso de índices presenan el mismo comporamieno. Si analizamos el gráfico que represena los rendimienos diarios del índice EUROSTOXX50, figura 1(a) del anexo en el que se encuenran los gráficos ablas que recogen la información esadísica necesaria para describir las caracerísicas de ese ipo de series, podemos comprobar que los rendimienos oscilan en orno a un nivel medio consane y esadísicamene igual a cero para oda la muesra. Además, en ese gráfico se observa que las dispersiones de los diferenes daos respeco de su media no se manienen consanes ya que exisen periodos en los que hay un conjuno de valores con gran dispersión respeco de su media alernando con oros periodos en los que las dispersiones son menores, es decir, se suceden rachas de mayor volailidad seguidas de rachas de menor volailidad, lo que se inerprea como la exisencia de una varianza condicional que no es consane. Ese agrupamieno se conoce en la lieraura economérica como conglomerados o clusers de la volailidad. Asimismo, la función de auocorrelación simple de los rendimienos en ese caso, figura 1(b) del anexo, muesra que no exise esrucura en la media, ya que prácicamene odos sus coeficienes son esadísicamene no significaivos, véase ambién abla del anexo. Sin embargo, aunque para el EUROSTOXX50 los rendimienos esén incorrelacionados, puede ocurrir que exisa alguna serie de rendimienos financieros con una correlación pequeña en media, la cual se puede modelizar con un proceso puro auorregresivo o de medias móviles de orden bajo y con un coeficiene pequeño (como por ejemplo, en el BGBEL0, FRACAC40, GRAGENL, HEX5IN, IBEX35, IGPAGEN, ISEQUIT, POPSI0, S&PCOMP, SNGPORI, SWEDOMX, VENGENL). Al conrario de lo que ocurre con la función de auocorrelación (fac) de los rendimienos en la fac de los rendimienos al cuadrado, figura 1.1(c) del anexo, debido a la exisencia del agrupamieno de la volailidad, se aprecia una fuere esrucura de dependencia pueso que la mayoría de los coeficienes son esadísicamene significaivos, véase ambién la abla del anexo. Además, esas correlaciones son posiivas y no muy grandes y decrecen de forma lena hacia cero (excepo en: HNGKNGI, S&PCOMP, SNGPORI, VENGENL, con sólo los cuaro o cinco primeros 49

6 María del Carmen García Ceneno coeficienes de correlación de los cuadrados de los rendimienos significaivos). Esa caracerísica se conoce como persisencia de la volailidad. En la abla del anexo podemos apreciar ambién dos hechos, por un lado, en la mayoría de los índices analizados la correlación muesral de los cuadrados de orden 100 es significaiva, lo que indicaría la exisencia de memoria larga de la volailidad; y por oro lado, se observa el Efeco Taylor ya que las correlaciones de los valores absoluos son mayores que las correlaciones de los cuadrados (excepo para algunas correlaciones muesrales aisladas de algunos índices ales como () y (5) del índice FRCAC40, (1) y () en el índice FTSE100, (4) para el IBEX35I, (1) y (5) para el índice ISEQUIT, () y (3) para ITMIB30, () para el NIKKEI5, (1) y (3) para el S&P_ASX100, (1) en el VENGENL, (4) en el WILEQTY en los que ocurre lo conrario). Además de las caracerísicas previas, se ha observado que las disribuciones marginales de esas series de rendimienos son asiméricas y lepocúricas. El excesos de curosis y las colas más gruesas implican que esas series de rendimienos no siguen una disribución Normal, como se puede comprobar en el hisograma de la figura 1(d) del anexo y el coeficiene de curosis es mayor que res de acuerdo con los resulados presenados en el abla 1 del anexo, donde ambién se puede apreciar que la mayoría de los rendimienos presenan asimería negaiva (sólo en los índices: BGBEL0, GRAGENL, SWEDOWX, VENGENL exise asimería posiiva). La asimería, es debida a que el comporamieno de la volailidad es diferene cuando en un mercado financiero se producen buenas o malas noicias. Ese hecho se conoce en la lieraura economérica como efeco leverage o efeco apalancamieno. Ese efeco ha sido modelizado radicionalmene a ravés de los modelos de heerocedasicidad condicional asiméricos (de los cuales en ese rabajo uilizaremos el AGARCH) y por un modelo de volailidad esocásica auorregresivo asimérico (A-ARSV), inroducido por Harvey y Shephard (1996) y desarrollado poseriormene, enre oros por Assai y McAleer (005). Ese nombre fue dado por Granger y Ding (1995) ya que fue Taylor (1986) el primero que lo puso de manifieso. 50

7 Modelo TA-ARSV. Aplicación en series de rendimienos financieros. Maerias primas Al igual que hemos realizado un análisis descripivo de las caracerísicas de las series de rendimienos de índices bursáiles, en ese aparado ambién haremos un análisis descripivo de las series 3 diarias de variaciones de precios medios en dólares de la onza de oro (GOLDBLN-oro), precios medios en dólares de la onelada de cinco meales (LADCASH-aluminio, LCPCASH-cobre, LEDCASH-plomo, LNICASHníquel y LZZCASH-zinc) y de los pecios medios en dólares del barril de peróleo (OILBRENT, OILOPEC, CRUDOIL-Wes Texas) en el periodo muesral indicado para cada una de ellas en la abla 3 del anexo. El objeivo de realizar ese análisis descripivo consise en comprobar que esas series de maerias primas cumplen con las propiedades ípicas de las series financieras (aunque el oro y los meales no son acivos financieros su precio se negocia diariamene en los mercados de maerias primas). La represenación gráfica de las series de rendimienos de maerias primas es muy úil para observar alguna de las principales caracerísicas de ese ipo de series, por ello hemos uilizado como represenaivas del reso de maerias primas las dos siguienes: el oro (GOLDBLN) y el peróleo (OILBRENT). En la figura (a) del anexo, que refleja la evolución de los rendimienos diarios del oro en el periodo muesral comprendido enre agoso de 1976 y abril de 007, se muesra la exisencia de un agrupamieno de la volailidad ya que hay periodos en los cuales la volailidad es mayor (sobre odo al comienzo y al final de la muesra) alernando con oros periodos en los que la volailidad es menor (periodos inermedios de la muesra). La evolución de los rendimienos diarios del OILBRENT en el periodo que abarca desde noviembre de 1988 a marzo de 007, figura 3(a) del anexo, ambién muesra la exisencia de clusers de la volailidad. En la abla 3 del anexo incluimos algunos esadísicos descripivos. De acuerdo con ellos podemos afirmar que las diferenes series de maerias primas ienen una media esadísicamene nula, son asiméricas (con un coeficiene de asimería negaivo en odas las series excepo en LADCASH-aluminio- que iene un coeficiene de asimería posiivo pero muy próximo a cero) y lepocúricas. Por esas razones se rechaza la 3 Fuene base de daos Daasream. 51

8 María del Carmen García Ceneno hipóesis nula de normalidad uilizando el esadísico Jarque-Bera. Además, si nos fijamos en el hisograma de los rendimienos del oro, figura (d) del anexo, y en los del OILBRENT, figura 3(d) del anexo, ambién podemos apreciar que son asiméricas y lepocúricas, eso es, no siguen una disribución Normal. Por oro lado, en las figuras (c) y 3(c) se puede apreciar la persisencia de la volailidad para esas series. En el abla 4 del anexo hemos incluido las auocorrelaciones muesrales de los rendimienos de los diferenes meales y del peróleo, ( ), de su cuadrado, ( ), y de su valor absoluo ( ). El comporamieno de esas series es muy similar al analizado para los rendimienos de los índices bursáiles ya que las correlaciones de la serie ( ) son esadísicamene no significaivas, sin embargo, hay series en las que la primera correlación aunque muy pequeña es significaiva como por ejemplo para el oro y el peróleo, figuras (b) y 3(b) del anexo, respecivamene. Esa correlación significaiva ha sido esimada uilizando un proceso de medias móviles de primer orden. Las correlaciones de sus cuadrados y de su valor absoluo son posiivas, mayores y esadísicamene significaivas. En esa abla, ambién podemos apreciar que con carácer general se cumple el efeco Taylor para esas series. 3. MODELO DE VOLATILIDAD ESTOCÁSTICA ASIMÉTRICA POR UMBRALES (modelo TA-ARSV) Como se ha pueso de manifieso en la sección anerior, una de las caracerísicas de las series de rendimienos de los índices bursáiles y el precio medio de las maerias primas es la respuesa asimérica de la volailidad ane shocks de disino signo, ese efeco es conocido en la lieraura economérica como efeco leverage o efeco apalancamieno. Para capar ese comporamieno asimérico se han uilizado modelos ales como el modelo de volailidad esocásica asimérico auorregresivo de primer orden, modelo A- ARSV(1), inroducido por Harvey y Shephard (1996) y desarrollado poseriormene, enre oros, por Assai y McAleer (005). Ese modelo A-ARSV es una generalización del modelo inroducido por Taylor (198), y supone la exisencia de una correlación enre las perurbaciones de la ecuación de la media condicional y de la ecuación de la volailidad. 5

9 Modelo TA-ARSV. Aplicación en series de rendimienos financieros En esa sección vamos a inroducir un nuevo modelo alernaivo que capa ese carácer asimérico observado en las series emporales de una manera diferene (ya no es a ravés de una correlación enre las perurbaciones de la ecuación de la media condicional y de la volailidad disina de cero) y más flexible: el modelo de volailidad esocásica auorregresiva asimérica por umbrales, modelo TA-ARSV. De odos los posibles modelos vamos a desarrollar el de orden uno, TA-ARSV(1). El principio que rige el comporamieno del modelo TA-ARSV es similar al de los modelos GARCH por umbrales, modelo TGARCH, o los modelos auorregresivos por umbrales, modelos TAR, propuesos por Tong (1978) y Tong y Lim (1980) y desarrollados poseriormene por Tong (1990). Ahora bien, mienras que en el modelo TAR la fronera enre los diferenes regímenes se deermina por un umbral en la ecuación de la media condicional, en el modelo que proponemos el umbral se esablece en la ecuación de la volailidad, como veremos en la sección siguiene donde procedemos a la definición del modelo TA-ARSV(1). 3.1 Definición Las ecuaciones que definen el modelo TA-ARVS(1) se derivan del modelo propueso por Sandmann y Koopman (1998). Así para capar el efeco asimérico de la volailidad hemos realizado una modificación en el modelo ARSV(1) en la ecuación del logarimo de la volailidad que consise en esablecer un umbral a priori a parir del cual cambia la paramerización del modelo. Para conseguirlo hemos añadido: 1. Dos nuevos parámeros: 11, que recoge el efeco que en la volailidad causan los rendimienos posiivos y 1, que recoge el efeco que causan los rendimienos negaivos, es decir esos parámeros recogen la dependencia dinámica de la volailidad.. Dos variables indicador: I 1 y I definidas de la siguiene forma: I 1 1 en el que el rendimieno = 0 en el reso de los casos es posiivo I 1 en el que el rendimieno = 0 en el reso de los casos es negaivo 53

10 María del Carmen García Ceneno El modelo TA-ARSV(1) propueso viene dado por las ecuaciones de la media y del logarimo de la volailidad siguienes: La ecuación de la media (ecuación de los rendimienos): = * exp(0.5h ) ~ i.i.d N(0,1) (1) log La ecuación del logarimo de la volailidad: ( ) = h = 11 I I donde, ( )h 1 +, 11 <1, 1 <1, ~ i.i.d. N 0, ( ) () 1. represena los rendimienos.. La volailidad, ( = exp(h )), se modeliza normalmene como una función exponencial para garanizar que sea posiiva, con lo que h, donde h = log( ), es el logarimo de la volailidad. 1. * es el parámero de escala que se inroduce en la ecuación de la media y así no es necesario incluir un érmino consane en la ecuación del logarimo de la volailidad.. es la perurbación aleaoria de la ecuación de la media condicional. Se supone que sigue una disribución Normal. 3. es la perurbación aleaoria del logarimo de la volailidad, la cual sigue una disribución Normal con media cero y varianza. 4. Suponemos que las perurbaciones de la ecuación de la media,, y de la ecuación de la log-volailidad,, son independienes enre sí, E( )=0. La ecuación () es la que presena la dinámica del logarimo de la volailidad y se define para dos regímenes diferenes (uno cuando los rendimienos son posiivos y oro cuando son negaivos) y excluyenes enre sí, ya que, en cada momeno sólo puede aparecer un régimen (excepo cuando los rendimienos son cero). Esa ecuación deermina el comporamieno de la log-volailidad en un periodo dado su comporamieno y el signo de los rendimienos en el periodo anerior. Por lo ano, el modelo TA-ARSV(1) es una generalización del modelo ARSV(1) pueso que incluye un parámero adicional y permie explicar la respuesa asimérica de la volailidad ane shocks de diferene signo. Es imporane desacar que ese nuevo 54

11 Modelo TA-ARSV. Aplicación en series de rendimienos financieros modelo TA-ARSV(1) puede generalizarse a más de dos regímenes, para lo cual sólo sería necesario modificar la ecuación del logarimo de la volailidad inroduciendo anos regímenes como sea necesario, ambién se puede generalizar a ordenes superiores. De esa forma se podría obener una familia de modelos TA-ARSV. 3. Propiedades Esadísicas. El modelo TA-ARSV(1) es esacionario en covarianza cuando ambos parámeros 11 y 1 (cuando los rendimienos son posiivos y negaivos respecivamene), son en valor absoluo menor que uno ( 11 <1, 1 <1) o alernaivamene iene que cumplirse que 11 <1, 1 <1, 11 1 <1 (condición suficiene de esacionariedad). Las principales condiciones de esacionariedad del modelo TA-ARSV(1) definido por las ecuaciones (1) y () son: 1. La esacionariedad de depende de que h sea esacionario en covarianza. En ese caso, el proceso para es esacionario, ya que hemos supueso que la volailidad es esacionaria en cualquiera de los dos regímenes considerados. Así, la esacionariedad en covarianza esá garanizada si se cumple que 11 <1 cuando los rendimienos son posiivos y que 1 <1 cuando son negaivos.. La media de es cero, E( )=0. Ya que hemos supueso que el valor medio esperado de es cero, enonces la E( )=0, y esá incorrelacionada para cualquier periodo de iempo al que s E(, y s )=0. 3. Los momenos de orden r de, para el modelo TA-ARSV(1), se obienen de las ecuaciones definidas en (1) y (). Para ello se elevan ambos miembros de la ecuación (1) a r obeniendo, y r = r * exp r h r y calculando la esperanza maemáica en ambos miembros de la ecuación, E ( r y )= r E exp r r * h E Si, como hemos supueso previamene, las perurbaciones de la ecuación de la media siguen una disribución Normal, los momenos de orden impar son iguales a cero, ya ( ) 55

12 María del Carmen García Ceneno que la disribución es simérica. Para calcular los momenos de orden par, se uiliza la función generadora de momenos de la disribución log-normal ya que, si es Normal, enonces exp(h ) es log-normal y por lo ano la E( expah ( ))= exp aμ h + 1 a h, donde μ h y h son respecivamene, la media y la varianza de h. A parir de esa expresión se puede deducir los momenos de orden dos y cuaro, que son necesarios para calcular el coeficiene de curosis de. Si la media y la varianza de son respecivamene cero y uno, enonces la varianza de es igual a, E( ) = * E ( ) E exp h ( ( ))= * exp μ h + 1 h donde se observa que la varianza de depende de la varianza de h. Si se iene en cuena que el proceso es esacionario, enonces la varianza de h se puede calcular como la de un proceso auorregresivo esacionario de primer orden y sería igual a, h = 1 1i i =1, ; 1: Para rendimienos posiivos; : Para rendimienos negaivos (3) Esa varianza es finia y esá definida para ambos regímenes siempre que 11 <1 cuando los rendimienos son posiivos y 1 <1 cuando los rendimienos son negaivos. Por lo ano, ese momeno de orden dos será diferene dependiendo del régimen en el que nos enconremos, es decir, E(y ) = * exp μ h i ; i =1, ; 1: Si los rendimienos son posiivos ; : Si los rendimienos son negaivos además, si 11 < 1 (como es de esperar con asimería negaiva) enonces la varianza marginal es mayor en el caso de rendimienos negaivos. El momeno de orden cuaro es, E(y 4 ) = 4 4 * E( ) E(exp (h )) = 4 4 * E( ) exp ( μ h + h ) 56

13 Modelo TA-ARSV. Aplicación en series de rendimienos financieros Al igual que en el momeno de orden dos, el momeno de orden cuaro depende de h, cuya expresión es diferene dependiendo del signo de los rendimienos obeniendo la expresión, E( 4 ) = * 4 E 4 ( ) exp μ h + 1 1i i =1, ; 1: Si los rendimienos son posiivos; : Si los rendimienos son negaivos El momeno de orden cuaro de exise siempre que exisa el correspondiene momeno de. Ya que hemos supueso que la disribución de es la Normal Esándar, E( 4 )=3, la expresión general del coeficiene de curosis de sería, y = Ey 4 ( ) [ Ey ( )] = * 4 ( ) exp( μ h + h ) ( ) E 4 * 4 exp μ h + h = 3eμ h e h e μ h e h = 3exp( h ) Si paricularizamos para ambos regímenes la expresión del coeficiene de curosis es igual a, y = 3exp 1 1i (4) i =1, ; 1: Si hay rendimienos posiivos; : Si hay rendimienos negaivos Ya que, como hemos supueso, el modelo TA-ARSV(1) sigue un proceso TAR(1) esacionario, enonces la varianza marginal de h, h, exise ano si los rendimienos son posiivos como si son negaivos, lo que implicaría que ese modelo TA-ARSV(1) permie capar el exceso de curosis (caracerísico de las series financieras), ya que el coeficiene de es mayor que 3. Si h es esacionario en los dos regímenes, implicaría que el momeno de cuaro orden de h exise y esá definido. La persisencia de la volailidad se recoge con dos parámeros diferenes 11 cuando los rendimienos son posiivos y 1 cuando sean negaivos. Por oro lado, si la curosis dada en la expresión (4) se maniene consane y, con independencia del régimen en el que nos enconremos, aumena la persisencia, endrá que disminuir la varianza del ruido de la ecuación de la volailidad, lo que implicaría que la varianza de h enderá a disminuir y el proceso endería a ser homocedásico. 57

14 María del Carmen García Ceneno En los modelos de volailidad esocásica es más imporane ener en cuena la evolución dinámica de los cuadrados de la serie de rendimienos que la de esos úlimos ya que, como han demosrado diversos esudios empíricos, ésa no exise o es muy pequeña. Una vez obenidas las propiedades de para un modelo TA-ARSV(1) procedemos a obener las de y y log ( ). Ésas ienen la misma expresión que las obenidas por Pérez (000) para los modelos ARSV(1), pero se diferencian en la expresión de la varianza de h, ecuación (3). Esa varianza es diferene dependiendo del signo de los rendimienos. Algunas de esas propiedades de y son las siguienes: La expresión para la varianza es, Var(y ) = 4 * exp μ h + 1 1i E( 4 )exp 1 1 1i i =1, ; 1: Si hay rendimienos posiivos; : Si hay rendimienos negaivos La función de auocovarianzas es, Cov(y,k ) = 4 * exp μ h + 1 1i exp [ (k) h ]1 { } i =1, ; 1: Si hay rendimienos posiivos; : Si hay rendimienos negaivos La función de auocorrelación es, y (k) = (y,k ) = exp k 1i 1 1i 1 E( 4 )exp k 1 1 1i 1 i =1, ; 1: Si hay rendimienos posiivos; : Si hay rendimienos negaivos en ese caso, la función de auocorrelación depende: a) en ambos regímenes de 4 y E( ), y b) en cada régimen del cuadrado de su persisencia (medida por 11 y 1 según sean posiivos o negaivos los rendimienos) y la función de auocorrelación de h, h (k), cuya expresión, pueso que hemos supueso que h es un proceso auorregresivo de primer orden es, 58

15 Modelo TA-ARSV. Aplicación en series de rendimienos financieros k h (k) = 1i o k 1 i = 1,; 1: Si rendimienos posiivos; : Si rendimienos negaivos Para un modelo ARSV(1), Harvey (1998) obuvo una aproximación para la función de auocorrelación de, cuando h es pequeño y los valores de h (k) esán próximos a uno. Si en un modelo TA-ARSV(1) se cumplen esas dos condiciones, ano si los rendimienos son posiivos como si los rendimienos son negaivos, la función de auocorrelación de y, se puede expresar de la siguiene forma, y (k) = (y,k ) = 1i exp 1 1 1i E( 4 )exp k 1 1 1i 1 i =1, ; 1: Si rendimienos posiivos; : Si rendimienos negaivos donde si 11 < 1 enonces exise una persisencia mayor en el segundo régimen. Como en el modelo ARSV(1), el comporamieno de la función de auocorrelación de y se deermina en cada régimen por el comporamieno de la función de auocorrelación de h. Sin embargo, los valores de la función de auocorrelación de deberían ser más pequeños que los valores de la función de auocorrelación de h, ya que a parir de ésa, muliplicada por un érmino de proporcionalidad que es menor que uno, se obiene la función de auocorrelación de 3.3 Represenación en forma de espacio de los esados de un modelo TA-ARSV(1) y. En el modelo de volailidad esocásica asimérico auorregresivo de primer orden por umbrales, modelo TA-ARSV(1), represenado por las ecuaciones (1) y (), la volailidad se define como una función exponencial, eso implica que el modelo con el que vamos a rabajar no es lineal. Sin embargo, se puede converir en un modelo lineal calculando logarimos en ambos miembros de la igualdad obeniendo un modelo sencillo como el propueso por Sandmann y Koopman (1998) para modelos en los que exise un pequeño o nulo cambio en la media y una ala dependencia de la serie en covarianza. y 59

16 María del Carmen García Ceneno Si en el modelo dado por las ecuaciones (1) y (), la ecuación de la media se eleva al cuadrado y calculamos logarimos, obenemos el siguiene modelo: Y = log( ) = log( * ) + h + (5) h = ( 11 I I ) h <1; 1 <1 ~ i.i.d.n(0, ) (6) La ecuación (6), nos indica que el logarimo del cuadrado de los rendimienos se obiene como suma de una consane y de dos procesos esocásicos independienes enre sí: 1. La volailidad (h ) que es un proceso lineal esacionario.. La perurbación aleaoria ( ) que en ese caso no sigue una disribución Normal, ya que, al igual que en el modelo ARSV(1) simérico, hemos supueso que las perurbaciones de la ecuación de la media siguen una disribución Normal con media cero y varianza uniaria, enonces las perurbaciones de la ecuación de la media linealizada se disribuyen como el logarimo de una disribución 1 con media igual a (-1,7) y varianza ( /), Abramowiz y Segun (1970). Esa ecuación (5) en un modelo expresado en forma de espacio de los esados sería la ecuación de medida pueso que relaciona la variable observable (los rendimienos) con la variable no observable (la volailidad). La ecuación (6) represena cual es la dinámica de la volailidad a lo largo del iempo. Ese comporamieno cambia dependiendo del régimen que se produzca (el cual depende del signo de los rendimienos financieros en el periodo anerior), del valor de la volailidad en el periodo anerior y del érmino de ruido, el cual suponemos que sigue un disribución Normal con media cero y con varianza. Además suponemos que esas perurbaciones esán incorrelacionadas enre sí y con las perurbaciones de la ecuación de medida, E( ) =0. El comporamieno del log ( ) esá deerminado básicamene por el comporamieno de h y, lo que implica que ano la varianza como las funciones de auocovarianzas y auocorrelación vendrán deerminadas por las varianzas, auocovarianzas y auocorrelaciones de h y. 60

17 Modelo TA-ARSV. Aplicación en series de rendimienos financieros Las expresiones de esas funciones para el log ( ) se obienen como una generalización de las expresiones obenidas por Pérez (000) en un modelo ARSV(1). La varianza es igual a, i =1, ; (0) = Var(log (y )) = + 1 1i 1: Si los rendimienos son posiivos; : Si los rendimienos son negaivos donde y, son respecivamene, las varianzas de h y del log( ). La función de auocovarianzas es, log y ( ) (k) = Cov(log y,log y -1 ) = Cov(h +,h ) = h (k), k 1 donde, h (k)es la auocovarianza de orden k de h. La función de auocorrelación es, ( ) (k) = log ( ) (k) log y ( ) (0) = h (k) k 1 = 1i, k i 1 1i log y i =1, ; 1: Si los rendimienos son posiivos; : Si los rendimienos son negaivos En cada régimen, el comporamieno de la función de auocorrelación del log( ) viene deerminado por el comporamieno de la función de auocorrelación de h en ese mismo régimen y por un facor de proporcionalidad que ambién cambia si los rendimienos son posiivos o negaivos. Si ese facor de proporcionalidad es menor que uno, hecho que se produce cuando la varianza del log( ) es mayor que la varianza de h, enonces la función de auocorrelación del log( ) endrá la forma de la función de auocorrelación de h, pero sus coeficienes serán menores 4. Si operamos en la expresión de la función de auocorrelación del log( ) y paricularizamos cuando k=1 se obiene, 4 Esos coeficienes pueden llegar a ser valores muy próximos a cero aunque la persisencia de la volailidad en cada uno de los regímenes sea elevada. 61

18 María del Carmen García Ceneno log ( ) (1) = 1+ (1+ 1i ) i i =1, ; 1: Si los rendimienos son posiivos; : Si los rendimienos son negaivos 1 Si k la expresión de la función de auocorrelación es, log y ( ) (k) = 1i log y ( ) (k -1) = k1 1i log y (1), k ( ) i =1, ; 1: Si los rendimienos son posiivos; : Si los rendimienos son negaivos Por lo ano el comporamieno de la función de auocorrelación de un TA-ARSV(1) es muy similar al comporamieno que iene un ARMA(1,1) sobre log ( ) omará valores posiivos o negaivos dependiendo del signo de 11 y 1 (aunque habiualmene el signo de esos parámeros será posiivo). A parir del segundo reardo decrece de forma exponencial de razón 11 si los rendimienos son posiivos y de razón 1 si los rendimienos son negaivos (normalmene exise una mayor persisencia en ese caso). El modelo TA-ARSV(1) expresado en las ecuaciones (5) y (6) es lineal y su represenación en forma de espacio de los esados es la siguiene, h +1 Y = + h + u 0 donde, u ~ i.i.d. N (0, T ); = ; = I + I ; T = ln * Una vez expresado el modelo TA-ARSV en forma de espacio de los esados procederemos en la sección siguiene a su esimación. 3.4 Esimación del modelo TA-ARSV(1) La función de verosimiliud del modelo TA-ARSV(1) es desconocida; con el fin de aproximarla a un modelo gaussiano uilizamos muesreo de imporancia y para esimarla hemos seguido los pasos propuesos por Shephard y Pi (1997), Durbin y Koopman (1997), Koopman y Hol (00), para un modelo de ARSV(1). Sin embargo, ha sido 6

19 Modelo TA-ARSV. Aplicación en series de rendimienos financieros necesario la inroducción de algunas modificaciones en el procedimieno de esimación 5 uilizando máxima verosimiliud para la generalización de un modelo ARSV(1) a un modelo TA-RSVA(1). El modelo aproximado se basa en un modelo gaussiano lineal con media E( ) = h + c y varianza Var( ) = H, eso es: = h + u con u ~ N(c, H ), = 1,,...,T (7) donde c y H se deerminan de al forma que la media y la varianza del modelo aproximado (7) y el verdadero modelo 6 esén lo más próximos posible. De ese modo, se raa de obener la densidad gaussiana mulivariane g(h/y,), que puede considerarse como una aproximación a la verdadera, p(h/y,). La función de densidad condicional viene dada por: p(y/h,) = T T =1 p ; g(y/h,) = =1 g donde: La verdadera función de densidad es, p = p( /h,) = 0.5 ln + h + exp(h ) [ * ] La función de densidad gaussiana es, g = g( /h,) = 0.5[ ln + lnh + H 1 ( c h ) ] En esas funciones, el vecor de observaciones se represena por, ={y 1,y,...,y T }, el vecor del logarimo de la volailidad por, h ={h 1,h,...,h T }, donde vecor de parámeros a esimar, = ( *, 11, 1, ), h = log y el Para obener c y H hay que igualar las primeras y las segundas derivadas de p(y/h, ) y g(y/h, ), obeniendo las siguienes expresiones, c = h + 0,5H 1 y [ exp( h ) * ] 5 El programa que hemos desarrollado para la esimación del modelo TA-ARSV(1) se ha realizado uilizando el lenguaje de programación OX 4.1 y el SsfPack.3. 6 El verdadero modelo describe una relación no lineal enre y h ; el modelo lineal aproximado es un desarrollo de Taylor de segundo orden del verdadero modelo en h. 63

20 María del Carmen García Ceneno H = donde H >0 para cualquier valor de h. exp(h ) * El modelo resulane para y = c es equivalene a: y = h + u u ~ N(0,H ), =1,,...,T 1 Con y = h y exp(h ) +1 * ~ Esas ecuaciones no se pueden resolver para y~ y H en h ˆ = E( ) porque E ~ se h refiere al valor esperado respeco al modelo aproximado que depende de h. Sin embargo ese problema puede solvenarse de la siguiene forma: 1. A ravés de un sisema lineal de ecuaciones que normalmene se resuelve de forma ieraiva comenzando en un valor *. Poseriormene, se evalúa y y H en h * h = h. 3. Se aplica el suavizado del filro de Kalman al modelo (7), y se obienen esimaciones suavizadas de h, las cuales pueden uilizarse como un nuevo valor h. 4. Se recalcula y y H basado en ese nuevo valor de h. 5. Se repie el proceso ieraivo hasa que converja 7 a h ˆ. 3.5 Conrases para un modelo TA-ARSV(1) La exisencia de efeco leverage se define como la diferene respuesa de la volailidad ane rendimienos posiivos y negaivos. Una forma de deecar esa respuesa asimérica consise en planear un conrase en el que la hipóesis nula sea que los coeficienes que dependen del diferene signo de los rendimienos para el modelo TA-ARSV(1) sean iguales. Ya que el modelo TA-ARSV(1) generaliza el modelo ARSV(1), al permiir dos parámeros para medir el impaco (persisencia) en la volailidad de los shocks de 7 Hay que ener en cuena que la primera y segunda derivada de la función de densidad del modelo aproximado y el modelo verdadero son iguales en h = ˆ h 64

21 Modelo TA-ARSV. Aplicación en series de rendimienos financieros diferene signo, el es propueso considera como hipóesis nula el modelo ARSV(1) y como hipóesis alernaiva el modelo TA-ARSV(1), es decir, Ho: 11 = 1 H 1 : 11 1 El hecho es que ambas hipóesis referidas a dos modelos anidados permie uilizar el conrase de razón de verosimiliud para conrasar si los parámeros esimados en el modelo TA-ARSV(1) son esadísicamene disinos de cero o no. El es de razón de verosimiliud es = (log L R log L) y sigue una disribución con un grado de liberad. En el caso de que no se rechace la hipóesis nula implicaría que no exise una respuesa asimérica de la volailidad ane shocks posiivos y negaivos (es decir, el efeco que ambos ipos de shocks causa en la volailidad es el mismo) y por lo ano el modelo que debería uilizarse para explicar la dinámica de la volailidad es el ARSV(1). Si se rechaza la hipóesis nula implica que el efeco causado por los shocks posiivos y negaivos en la volailidad es diferene y por lo ano se debería uilizar el modelo TA- ARSV(1) para capar la dinámica de la volailidad. El resulado final del conrase proporciona más información sobre el efeco leverage que la que se obiene cuando se conrasa un modelo A-ARSV(1) versus ARSV(1). Así si se esima el modelo A-ARSV(1) y se conrasa la hipóesis nula de correlación enre las perurbaciones aleaorias de la ecuación de la media condicional y la ecuación de la volailidad es cero, se esablece sólo si exise efeco leverage o no. Sin embargo, si uilizamos el modelo TA-ARSV(1) se puede ofrecer una medida de la respuesa diferene de la volailidad ane el disino signo de los rendimienos, lo que implica que el modelo TA-ARSV(1) es más flexible que el reso de los modelos que poseriormene serán uilizados en ese rabajo. 4. APLICACIONES EMPÍRICAS La exisencia de una respuesa asimérica de la volailidad ane shocks de diferene signo en muchas de las series de rendimienos financieros hace que sea necesaria la uilización de modelos capaces de recoger ese hecho, como el nuevo modelo de volailidad esocásica por umbrales que hemos propueso en la sección anerior. 65

22 María del Carmen García Ceneno Dado que, exisen oros modelos diseñados para cumplir el mismo objeivo, en esa sección presenamos los resulados de la esimación de los parámeros de un modelo TA-ARSV(1) y su comparación con dos de los modelos asiméricos más ampliamene uilizados en aplicaciones empíricas a series financieras: el modelo de heerocedasicidad condicional asimérica, AGARCH(1,1) y el modelo de volailidad esocásica asimérica 8, A-ARSV(1). Además, dado que el modelo de volailidad esocásica simérico ARSV(1) es un caso paricular del modelo TA-ARSV(1) propueso, se presenan los resulados obenidos con aquel modelo para así disponer de un elemeno de conrase sobre la exisencia o no de efeco leverage en las series de rendimienos analizadas. La forma de proceder, común a odas las aplicaciones que se incluyen, ha consisido en: 1. Para analizar el comporamieno de la volailidad hemos corregido de ouliers 9 las diferenes series de rendimienos financieros.. Para esimar los parámeros de los modelos ARSV(1), A-ARSV(1) y TA- ARSV(1) es necesario parir de unas condiciones iniciales para cada uno de los coeficienes para comenzar el proceso ieraivo que concluye con la esimación de los parámeros. En el modelo TA-ARSV(1) los valores iniciales que hemos dado a los parámeros 11 y 1, han sido los mismos, aunque diferenes para cada una de las series de rendimienos financieros analizadas, eso es, el puno de parida es un modelo ARSV(1). Adelanando conclusiones, se puede reseñar que el valor esimado final de ambos parámeros siempre ha resulado ser diferene, lo que indica la necesidad del modelo TA-ARSV. 3. Para deecar la presencia de efeco leverage, en los modelos asiméricos analizados diferenes al TA-ARSV(1), se ha conrasado la significaividad de 8 El procedimieno de esimación para el modelo ARSV(1) ha sido implanado en Ox y esá disponible en Para esimar el modelo A-ARSV(1) hemos uilizado el sofware BUGS y el código grauio de Yu (00, 005) en hp:// 9 Hemos considerado que un dao es un oulier si supera siee veces la desviación ípica muesral. Esos ouliers han sido susiuidos por la media muesral correspondiene a cada una de las series de rendimienos financieros. 66

23 Modelo TA-ARSV. Aplicación en series de rendimienos financieros los parámeros que lo recogen a ravés de las siguienes hipóesis, que se conrasan haciendo uso del esadísico : En el modelo AGARCH(1,1) dado por las ecuaciones: = = + (1 ) + 1 En el modelo A-ARSV(1): = * exp(0,5h ) h = h 1 + E( +1 ) = H 0 : = 0 H 1 : 0 H 0 : = 0 H 1 : 0 Con el fin de comprobar si las venajas de uno u oro modelo son generales y válidas para disinos ipos de series hemos analizado un amplio especro de rendimienos financieros de índices bursáiles y de maerias primas cuyos resulados procedemos a analizar por separado a coninuación. Ese análisis, para los diferenes ipos de series, se va a cenrar básicamene en dos aspecos: Por un lado, deecar o no la exisencia de efeco apalancamieno. Por oro, analizar la persisencia. 4.1 Índices bursáiles Efeco apalancamieno (efeco leverage) En primer lugar nos planeamos analizar si los modelos más uilizados en la lieraura economérica para capar la respuesa asimérica de la volailidad deecan ese rasgo en las veinirés series de rendimienos bursáiles consideras. En la abla 5 del anexo se presenan las esimaciones de los parámeros de los diferenes modelos. De los resulados obenidos se desprende que: 1. Si uilizamos un AGARCH(1,1), para deecar si exise efeco apalancamieno o no en los rendimienos de los índices bursáiles, se comprueba que el parámero esimado para capar la asimería es esadísicamene significaivo para dieciséis de los veinirés índices analizados. En el caso de los índices siguienes: DAXIDXI, GRAGENL, HEX5I, IGPAGEN, ITMIB30, NASDAQ100 y POPSI0, se acepa la hipóesis nula de ausencia de respuesa asimérica de la volailidad. 67

24 María del Carmen García Ceneno. Si recurrimos a un modelo A-ARSV(1), el parámero es esadísicamene significaivo 10 en dieciocho de los veinirés índices. Los índices para los cuales acepamos que no exise un comporamieno asimérico en el periodo muesral analizado son: HEX5I, IGPAGEN, ITMIB30, NASDAQ100 y VENGENL. En el reso de índices se acepa un comporamieno asimérico. 3. En el caso de un TA-ARSV(1), abla 6 del anexo, se rechaza la hipóesis nula de igualdad de los parámeros 11 y 1 para un nivel de significación del 5% en diecinueve de los veinirés índices. Es decir, en los índices en los que se acepa la hipóesis nula al 5% son: HEX5IN, IGPAGEN, ITMIB30, NASDAQ100. En esos índices la diferencia que exise enre los valores esimados de los parámeros 11 y 1 es menor que en el reso de los índices, lo que induce a pensar que para la muesra uilizada las diferencias enre esos parámeros no sean esadísicamene significaivas y por lo ano no exisa un efeco asimérico en la volailidad. En el reso de los índices sí que se produce una respuesa asimérica de la volailidad y por lo ano los valores esimados de los parámeros 11 y 1 son esadísicamene diferenes. Además, se observa que siempre el valor de 1 (cuando los rendimienos son negaivos) es mayor que el de 11 (cuando los rendimienos son posiivos). Resumiendo lo aneriormene expueso podemos decir que en la mayoría de los índices se produce una respuesa asimérica de la volailidad lo que indica que la uilización de un modelo ARSV(1) no sería correco; más aún, podemos afirmar que si simuláneamene en los modelos asiméricos AGARCH(1,1) y A-ARSV(1) el coeficiene que mide la asimería es esadísicamene significaivo enonces, se rechaza ambién la hipóesis nula uilizando un conrase de razón de verosimiliudes lo que implica que el modelo TA-ARSV(1) ambién deeca la exisencia de un comporamieno asimérico en la volailidad. Sin embargo, en índices ales como el DAXIDXI, GRAGENL y POPSI0 se acepa que no exise respuesa asimérica de la volailidad uilizando un AGARCH(1,1) ya que 10 El nivel de significación uilizado para realizar odos los conrases de significaividad individual es del 5%. 68

25 Modelo TA-ARSV. Aplicación en series de rendimienos financieros el coeficiene esimado () no es significaivo, mienras que si se uiliza el conrase de razón de verosimiliud para esos índices el modelo TA-ARSV(1) sí deeca un comporamieno asimérico de la volailidad. Del mismo modo en el índice VENGENL el modelo A-ARSV(1) no deeca la exisencia de un comporamieno asimérico de la volailidad mienras que los oros dos modelos uilizados para ese índice sí. Exise, por lo ano basane coherencia, en cuano a los resulados obenidos en la mayoría de los modelos esimados para los rendimienos de los diferenes índices, ya que si un modelo AGARCH(1,1) o A-ARSV(1) capa el efeco apalancamieno un modelo TA-ARSV(1) ambién. Pero, sin embargo, hay veces que el modelo AGARCH(1,1) o el modelo A-ARSV(1) no deecan la exisencia de la asimería y sin embargo un modelo TA-ARSV(1) sí; de lo que podríamos deducir que ése úlimo modelo nos proporciona mejores resulados para deecar la respuesa asimérica de la volailidad de los índices bursáiles uilizados Persisencia Para los modelos esimados podemos observar en las ablas 5 y 6 del anexo que la persisencia de la volailidad es elevada, en cualquiera de los modelos mosrados, y próxima a uno. Además según se haya deecado respuesa asimérica o no en las series de los índices bursáiles analizados podemos reseñar lo siguiene: 1. En los índices HEX5IN, IGPAGEN, ITMIB30 y NASDAQ100 en los que al 5% de significación, con independencia del modelo que se uilice, no se ha observado respuesa asimérica de la volailidad podemos desacar que: La persisencia medida con un modelo AGARCH(1,1) siempre va a ser mayor que la medida con un modelo ARSV(1) o A-ARSV(1). Si uilizamos el modelo asimérico A-ARSV(1) o AGARCH(1,1) enonces la persisencia esimada de la volailidad siempre es mayor que la obenida con el simérico ARSV(1). Lo que implica que si no exise efeco apalancamieno y uilizamos esos modelos asiméricos se esaría sobreesimado la volailidad. Esa sobreesimación es mayor con el modelo AGARCH(1,1) que con el ARSV(1).. En los índices BGBEL0, EUROSTOXX50, FRCAC40, FTSE100, HNGKNGI, IBEX35I, ISEQUIT, NIKKEI5, NLALSHR, S&PCOMP, 69

26 María del Carmen García Ceneno S&P_ASX100, SNGPORI, SWISSMI, WILEQTY en los que simuláneamene odos los modelos asiméricos deecan efeco apalancamieno podemos resalar que: La persisencia medida por un A-ARSV(1) o un AGARCH(1,1) siempre esá comprendida enre la persisencia esimada por un TA- ARSV(1) a ravés de 11 cuando los rendimienos son posiivos y de 1 cuando los rendimienos son negaivos. En consecuencia, la uilización de los modelos A-ARSV(1) y AGARCH(1,1) podría esar sobresimando la persisencia de la volailidad o infraesimándola según los rendimienos sean posiivos o negaivos respecivamene. En los índices asiáicos (excepo el NIKKEI5) y de Oceanía la persisencia esimada por un AGARCH(1,1) es mayor que la esimada por un A-ARSV(1). 3. Respeco de los índices DAXIDXI, GRAGENL, POPSI0 en los que los modelos TA-ARSV(1) y A-ARSV(1) deecan efeco apalancamieno y el AGARCH(1,1) no podemos desacar que no exise una paua única respeco de la persisencia. 4. En la mayoría de los índices el valor esimado de 1 esá en orno a 0.99, 0.98, esadísicamene valor cercano a uno, aunque ninguno de los casos ha llegado a omar ese valor, lo que nos indica que esá muy próximo a la no esacionariedad, sin embargo eso no ocurre en el oro régimen. En las figuras 4 y 5 del anexo, hemos represenado respecivamene para el índice EUROSTOXX50 la esimación de la volailidad con un modelo TA-ARSV y las diferencias de la volailidad esimada con un modelo TA-ARSV y A-ARSV. De su análisis podemos deducir que si esamos en periodos en los que no exise una elevada volailidad o que los rendimienos posiivos en orno a la media son aproximadamene iguales que los rendimienos negaivos, enonces no exise mucha diferencia enre las esimaciones obenidas de las volailidades en ambos modelos. Sin embargo, si por el conrario nos enconramos en periodos de ala volailidad o en periodos en los que exisen más rendimienos negaivos, enonces la volailidad esimada con un modelo TA-ARSV(1) es mayor, lo que implicaría que si uilizamos un modelo ARSV(1), se 70

27 Modelo TA-ARSV. Aplicación en series de rendimienos financieros produciría una infraesimación de la volailidad cuando los rendimienos son negaivos o una sobreesimación de ésa cuando son los rendimienos son posiivos. 4. Maerias primas En ese aparado se analiza la capacidad del modelo TA-ARSV para explicar la dinámica de la volailidad en nueve series de maerias primas. De esas series una es de la onza de oro, cinco de la onelada de diferenes meales res del barril de peróleo Efeco apalancamieno (efeco leverage) Con el fin de explicar la exisencia de la respuesa asimérica de la volailidad en series de maerias primas hemos esimado, igual que en el caso anerior, dos modelos asiméricos ya exisenes: A-ARSV(1), AGARCH(1,1), el nuevo modelo que hemos propueso: TA-ARSV(1) y el modelo simérico: ARSV(1). La información de los parámeros más relevanes para nuesro rabajo se ofrece en las ablas 7 y 8 del anexo. De los resulados mosrados en dichas ablas podemos desacar lo siguiene: 1. El AGARCH(1,1) y el TA-ARSV no deecan respuesa asimérica de la volailidad en las mismas maerias primas: LADCASH (aluminio), LCPCASH(cobre), LEDCASH(plomo), OILBRENT, CRUDOIL(Wes Texas). Para esas maerias primas el parámero en el modelo AGARCH(1,1) no es esadísicamene significaivo y el conrase de razón de verosimiliud nos indicaría que los parámeros 11 y 1 no son esadísicamene diferenes.. Por oro lado, el modelo A-ARSV(1) deeca el efeco apalancamieno sólo en dos de las nueve maerias primas ( es significaivo) que son: GOLDBLN (oro) y OILOPEC. Las esimaciones de ese parámero en la mayoría de las maerias primas son posiivas (como era de esperar). Esa es probablemene la mayor diferencia que presenan esas series respeco a los índices bursáiles, lo que implicaría que un shock posiivo afeca a la volailidad más que uno negaivo de la misma cuanía. Sin embargo, hares en los cuales ese parámero esimado es negaivo, que son: LCPCASH(cobre), LZZCHAS(Zinc) y OILOPEC. Ese resulado no nos parece muy coherene ya que un aumeno en la volailidad del precio se raduce en una disminución 71