La Formulación de Black-Scholes con Jump Diffusion

Transcripción

1 La Formulación de Black-choles con Jump Diffusion INDICE: Análisis empírico y QQ Plo Movimieno browniano Disribución y proceso de Poisson Ampliación del EDP de Black-choles Coberura Dela /Arbiraje AR y simulación Mone Carlo

2 Análisis empírico y QQ Plo Quanile-Quanile o Q-Q plo: meodo gráfico de represenacion de la diferencia enre dos disribuciones de probabilidad para analizar las colas de la disribución El gráfico se consruye como sigue:. Ordenar los daos empíricos incremenos percenuales diarios en orden creciene y i con índice i desde hasa n. Deerminar incremenos porcenuales eóricos x i con función de disribución normal igual a i / n 3. Represenar los daos x i y i gráficamene: cuano mas similares son las dos disribuciónes la linea se aproxima mas a una reca

3 Dec Dec 9 Jan 6 Feb Case udy [a]: Mexican Peso-U$ QQ- Plo :MXN-$ daily reurns [Feb - Feb] 3 Apr 7 May 5 May 3 Jun 8 Jun 6 Jul Jul 8 Aug 5 ep ep 9 Oc 5 Oc 3 Nov 8 Nov andardised reurns Normal reurns Feb 8 Feb 4 Mar 3 Mar 9 muesra: muesra: feb. feb. - - feb. feb. Disribucion Disribucion ~ Normal Normal observed reurn sandardised - heoreical reurn from N MXN-$ daily reurns [Feb - Feb]: Observed andardised Disribuion vs Nornmal

4 Case udy [b]: Mexican Peso-U$ 4 ep ep Oc 994 Oc Nov Nov Dec Jan Jan Feb Feb 995 Mar Mar Apr 995 Apr May May Jun Jun Jul Aug 995 Aug Aug muesra: muesra: sep. sep sep. sep Disribucion Disribucion no no Normal Normal crisis crisis Mejicana Mejicana QQ - Plo :MXN-$ daily reurns [ep994 - ep995] observed reurn sandardised heoreical reurn from N MXN-$ daily reurns [ep994 - ep995]: Observed andardised Disribuion vs Nornmal.6.5 andardised reurns Normal reurns

5 Nov 3 Dec Dec 9 Jan 6 Jan 3 5 Mar 5 Mar 3 Apr 4 May 4 May 9 Jun 5 Jun Jul 5 Jul Aug 4 Aug ep 5 ep Oc 5 Oc 3 Nov muesra: muesra: feb. feb. - - feb. feb. Disribucion Disribucion ~ Normal Normal Feb 4 Feb 9 Case udy [a]: Ibex Index QQ - Plo :Ibex daily reurns [Feb - Feb] observed reurn sandardised heoreical reurn from N Ibex daily reurns [Feb - Feb]: Obs e rve d anda rdis ed Disribuion vs Nornm a l.5. andardised reurns Normal reurns

6 Case udy [b]: Ibex Index 9 6 Feb Mar 998 Mar Apr 998 Apr 998 May May Jun 998 Jun Jul 998 Jul Aug 998 Aug ep 998 ep Oc Oc Nov 998 Nov Dec Jan Jan 999 Feb muesra: muesra: feb. feb feb. feb Disribucion Disribucion no no Normal Normal Defaul Defaul de de Rusia Rusia QQ - Plo :Ibex daily reurns [Feb998 - Feb999] observed reurn sandardised heoreical reurn from N Ibex daily reurns [Feb998 - Feb999]: Observed andardised Disribuion vs Nornmal.5. andardised reurns Normal reurns

7 Case udy [3a]: YEN-U$ QQ - Plo :$-YEN daily reurns [Feb - Feb].5 7 May 3 May 7 May 3 Jun 4 Jun 8 Jul Jul 6 Aug 9 Aug 3 ep 6 ep Oc 4 Oc 8 Nov Nov 5 Nov 9 Dec 3 Dec 7 Jan Jan 4 Feb Feb 3 Mar 8 Mar Apr 5 Apr 9 9 muesra: muesra: feb. feb. - - feb. feb. Disribucion Disribucion ~ Normal Normal observed reurn sandardised - heoreical reurn from N $-YEN daily reurns [Feb - Feb]: Observed andardised Disribuion vs Nornmal.3.5 andardised reurns Normal reurns

8 Apr May 998 May Jun 998 Jun Jul 998 Jul Aug 998 Aug ep 998 ep Oc 998 Oc Nov 998 Nov Dec 998 Dec Jan 999 Jan Feb Mar 998 Mar Apr Case udy [3b]: YEN-U$ 9 muesra: muesra: feb. feb feb. feb Disribucion Disribucion no no Normal Normal Defaul Defaul de de Rusia Rusia 8 QQ - Plo :$-YEN daily reurns [Feb998 - Feb999] observed reurn sandardised $-YEN daily reurns [Feb998 - Feb999]: Obs erved a ndardise d Dis ribuion vs Nornm a l heoreical reurn from N.5. andardised reurns Normal reurns

9 Movimieno browniano Caracerísicas del movimieno browniano X : Límie: el incremeno es proporcional a la raíz cuadrada de la variación de iempo Normal: X i X i varianza i i iene disribución Normal con media cero y Coninuidad: las rayecorias son coninuas Markov: la disribución condicional de X τ < depende solo de X dada la información hasa Maringala: dada la información X es X τ τ < la esperanza condicional de 9

10 d. sqrd.36 f[x] df f[xd]- df[x] - coin X X^ f[x] XdX XdX

11 Fórmula de Iô d b d d d dx b d a d Fórmula de Iô con dos facores de riesgo dq J d b d d d dq J dx b d a d

12 Disribución y proceso de Poisson Modelo básico de la variacion aleaoria en relación a aconecimienos exraordinarios Regula fenómenos donde los cambios son grandes pero ocurren con baja frecuencia Una variable aleaoria X iene disribución de Poisson con paramero λ si asume valores eneros no negaivos κ con probabilidad: P κ λ λ X κ e κ κ!...

13 El conjuno de variables aleaorias { q } de Poisson con parámero inensidad λ λ > si: es un proceso. q. Los numeros de evenos que ocurren en inervalos de iempo separados son independienes 3. La disribución del numero de evenos que ocurren en un inervalo dado depende solo de la exensión del inervalo no de su colocación emporal 4. P { q h } λ h o h 5. P { q h } o h P { q n } e λ λ n! n 3

14 Poisson disribuion lambda*h. lambda*

15 Ampliación del PDE de Black-choles e puede incorporar el proceso de Poisson en un modelo de precio de acivos financieros cfr. Wilmo : d µ d σ dx J dq dq con con probabilid ad probabilid ad λd λd Hipóesis : no hay correlación enre el movimieno browniano y el proceso de Poisson. Cuando hay un salo dq oma inmediaamene valor J J variable aleaoria con funcion de densidad de probabilidad PJ sin correlación con el movimieno browniano y el proceso de Poisson. 5

16 El proceso esocásico del logarimo de es : d log µ σ d σ dx log J dq Esa es una version jump-diffusion de Iô. Consideramos la carera: Π El incremeno de valor es: d Π σ d d J J dq 6

17 i no hay salo en el iempo dq poniendo: podemos eliminar el riesgo i hay un salo dq la variacion en el valor de la carera no iene coberura. No sabemos si cubrir los movimienos pequeños difusivos o el movimieno mas grande que aparece rara vez. Cubrir la difusion: e puede argumenar cfr. Meron976 que si la componene de salo en el precio del acivo financiero no esá correlacionado con el oal del mercado el riesgo en el puno de disconiuidad no iene que incorporarse al precio de la opcion. 7

18 8 Esperanza maemáica de Π d rendimieno libre de riesgo : ] [ ] [ J E J E r r λ λ σ Hay una solución analíica de esa ecuación bajo la hipóesis de que el logarimo de J enga disribución Normal con desviación esandar σ y [ ] J E k : ;! n n B n T n r T e n σ λ λ T k n k r r T n k n n log λ σ σ σ λ λ

19 Coberura Dela /Arbiraje En la formulación anerior se cubrió el elemeno difusivo del proceso esocásico del precio del acivo. Ora posibilidad es inenar cubrir los dos facores de riesgo. Podemos elegir para minimizar la varianza de la carera: d Π d J J dq La varianza de ese incremeno que es una medición del riesgo de la carera es:... ar [ d Π ] σ d λ E [ J J ] d... i diferenciamos con respeco a y ponemos el resulado igual a cero: λe[ J J λe[ J ] ] σ σ 9

20 i valoramos la opción como esperanza acualizada real bajo esa esraegia de coberura se obiene: r r k d λ µ σ µ σ r k d J J E λ µ λ ] [ σ λ J E d

21 Arbiraje e puede solucionar esa EDP numéricamene Imposibilidad de coberura perfeca El mercado no es compleo: no podemos uilizar la écnica no arbiraje e necesian µ y λ para calcular el valor de la opción y calibrar el modelo en la eoria clasica de Black-choles el paramero µ no iene impaco sobra el valor Mercado Mercado compleo compleo :: coberura coberura Dela/neuralidad Dela/neuralidad de de riesgo riesgo Mercado Mercado incompleo: incompleo: CAPM CAPM para para deerminar deerminar

22 op se border e ffic ie n fronie r cap marke line asses 8% 6% re urn 4% % % % 5% 5% 75% % 5% 5% ris k

23 Consideramos opción CALL con E vencimieno año volailidad 4% drif µ % ipo de ineres 4%: Esperanza real: d µ d σdx dq Max E σ λ r λ r Modelo Modelo basico: basico: m lambda lambda rr Black-choles Real Exp. alue spo price 3

24 4 Desviación esándar: G Esperanza del pay-off acualizado al cuadrado G r G G E Max e T G T r λ σ λ Por definición la desviación esándar al día de hoy es: G andard Deviaion of Pay-off Presen alue spo price

25 Una forma de represenar esos resulados es un gráfico riesgo-beneficio: reurn T log B risk G B T Reurn Risk 5

26 Mauriy: 6 monh olailiy: 5% Risk Free: 4% Prob defaul:.5% E: E-/E po price B- alue adjused % difference 3%OTM % %OTM % %OTM % ATM % %ITM % %ITM % 3%ITM % Mauriy: year olailiy: 5% Risk Free: 4% Prob defaul:.5% E: E-/E po price B- alue adjused % difference 3%OTM % %OTM % %OTM % ATM % %ITM % %ITM % 3%ITM % 6

27 AR y simulación Mone Carlo alue a Risk AR es una medición de la pérdida poencial de una carera debida a movimienos de mercado. La simulación de Mone Carlo consise en generar una disribución de precios de acivos financieros uilizando numeros aleaorios esimación direca del AR de una carera Herramiena de gran inerés para la juna direciva de un banco Capial Adequacy Raios : conjuno de reglas para asegurar que los bancos esén proegidos conra movimienos exremos de mercado Consideramos una simple aplicacion en B: 7

28 Case: Case: Brownian Brownian moion moion Asse Time Asse Drif % olailiy 4% Inensiy Jump % Timesep Brownian moion

29 Case: Case: Poisson Poisson process process Time q. Inensiy. Timesep Poisson process Poisson disribuion a [q wih lambda]

30 Case3: Case3: Jump Jump Diffusion Diffusion Asse Time Asse Drif % olailiy 4%..43 Inensiy Jump -4% Timesep d a*db*dx J-**dq