Un enfonque no Gaussiano para el cálculo del valor en riesgo (VaR) en mercados ilíquidos

Transcripción

1 Un enfonque no Gaussiano para el cálculo del valor en riesgo (VaR) en mercados ilíquidos Luis Carlos Chávez-edoya M. Luis Francisco Rosales M. Resumen Los inversionisas financieros oman sus decisiones basados en el análisis esadísico de precios y reornos. Sin embargo, la validez de sus cálculos descansa en la adecuación del modelo seleccionado a los daos reales. Es por ello que el uso de modelos con salos resula relevane como lo indican Meron [6] y Eraker e. al. [3]. Es en esa dirección, y omando en consideración las caracerísicas que presenan los precios de las acciones en mercados poco líquidos, que se presenan méodos para el cálculo del VaR basados en dos modelos de reornos alernaivos: un proceso de oisson Compueso y un camino aleaorio en iempo discreo. Los resulados muesran que los modelos propuesos represenan una mejor alernaiva para el cálculo del VaR que los modelos Gaussiano e Hisórico en mercados no líquidos. La evaluación de los modelos se lleva a cabo bajo las pruebas esadísicas usuales de verificación. Deparameno de Ingeniería, onificia Universidad Caólica del erú (UC), Av. Universiaria cdra. 18, Lima 32, erú. Teléfono: ex chavez.lc@pucp.edu.pe. Deparameno de Sisemas de roducción y Manejo de Recursos Naurales, Cenro Inernacional de la apa (CI), Av. La Molina 1895, Lima 12, erú. Teléfono: l.rosales@cgiar.org SS Revisa de Temas Financieros 43

2 Un enfonque no Gaussiano para el cálculo del valor en riesgo (VaR) en mercados ilíquidos Absrac Financial invesors make decisions based on saisical analysis of prices and reurns. However, he usefulness of such compuaions relies on he adequacy of he seleced model o real daa. For his maer, as showed by Meron [6] and Eraker [3] jump processes are considered relevan in financial lieraure. Following his perspecive and aking ino accoun specific feaures of sock prices in non-liquid markes, alernaive mehods are presened in order o make VaR esimaions based on wo reurn models: a compound oisson process and a discree-ime random walk. Resuls show VaR compuaions in non-liquid markes perform beer when he alernaive models are considered insead of regular Gaussian or Hisoric approaches. Models are compared rough usual saisical ess. alabras Clave: VaR, Mercados Ilíquidos, roceso de oisson Compueso. Codigos JEL: C10, C15. SS Revisa de Temas Financieros 44

3 I. Moivación Al observar los precios de cierre de las acciones que coizan en mercados poco líquidos se puede apreciar que exisen muchos días en los cuales el precio de la acción permanece inalerado. or ejemplo, en un mercado ípicamene ilíquido, como el de la olsa de Valores de Lima, no es difícil enconrar acciones cuya coización no muesre cambios en sus precios al rededor del 20% de las veces, o que no muesre coización alguna el 30% de las mismas. La Tabla 1 resume algunas de las caracerísicas básicas de los daos 1 uilizados y muesra que en acciones como Coninenal C1, el 24.90% de las veces no se regisra movimieno, y el 28.75% no exise dao de coización. Eso conrasa en gran medida con lo que ocurre en mercados en los que el nivel de negociación es mucho más elevado, como por ejemplo, el NYSE en donde una acción ípica como Halliburon muesra cambios en sus precios el 99.96% de las veces. A manera de ejemplo se analizan las rayecorias de los reornos de Coninenal C1 enre los años 1993 y 2004, las cuales revelan la ausencia de coizaciones por doquier, lo cual hace paricularmene difícil el análisis del VaR, pues genera procesos de reorno con un menor número de observaciones que el correspondiene a precios 2, al y como se observa en la Figura 1. Asimismo, la presencia de salos abrupos, y la abundancia de periodos de esancamieno en los reornos (Figura 2) moivan la conjeura de que un proceso esocásico con salos, o con caminos muesrales disconinuos, caraceriza la conduca de los precios en mercados ilíquidos de mejor manera que con la hipóesis rowniana. II. Modelos de reornos y cálculo del VaR El VaR es definido como la pérdida absolua medida en érminos de la moneda del acivo financiero como (1) De modo que el cálculo del VaR equivale a enconrar el valor mínimo para * el rendimieno críico R. *, o En su forma más general, el VaR puede derivarse de la disribución de probabilidad del valor fuuro del porafolio ƒ ( ). ara un nivel de confianza dado c, se desea 1 Fuene: Economáica. 2 Los reornos son calculados únicamene para coizaciones al cierre de días coniguos. SS Revisa de Temas Financieros 45

4 enconrar la peor realización posible de dicho valor sea c : * al que la probabilidad de exceder (2) o al que la probabilidad de un valor inferior a *, p = ( *), ea 1 c En oras palabras, el área de a * debe sumar p = 1 c. El número * es denominado cuanil muesral de la disribución. Esa especificación es válida para cualquier disribución, discrea o coninua, delgada o exendida. ara cuanificar el VaR de los reornos, supóngase que los reornos diarios son independienes y esán idénicamene disribuidos. Enonces se puede derivar el VaR en un nivel de confianza del 95% a parir del 5% del lado izquierdo de la cola de pérdida del hisograma. Chávez edoya y Rosales [2] proponen los siguienes res modelos para los reornos de acciones poco líquidas que coizan en la olsa de Valores de Lima (VL). El primer modelo corresponde a un movimieno browniano con endencia, el segundo modelo es un proceso de oisson compueso (recordar que ambos procesos se definen en iempo coninuo) y el ercer modelo es un camino aleaorio en iempo discreo. ara los dos primeros modelos denominaremos al proceso de reornos como donde y es el proceso del precio de la acción. El enfoque uilizado en esa sección es neamene analíico, pero ambién es posible uilizar un enfoque a ravés de simulación, el lecor puede revisar Glasserman [4] para concepos y algorimos de simulación Mone Carlo. II.1 Movimieno browniano ara modelar el proceso de reornos Y asumimos un movimieno browniano 3 con endencia µ y coeficiene de difusión 2. Es decir que Y ( ) resuelve la siguiene ecuación diferencial esocásica (3) (4) 3 Es imporane mencionar que el movimieno browniano debe ser inerpreado como el proceso de reornos acumulados. Cuando se haga referencia al proceso Gaussiano, ese indicará el proceso de reornos punuales. SS Revisa de Temas Financieros 46

5 donde es un movimieno browniano unidimensional. Es inmediao inferir que la solución de (4) esá dada por (5) Es imporane mencionar que el precio de la acción S( ), que presena un proceso de reornos como el de (5), saisface la siguiene ecuación diferencial esocásica: (6) No es difícil deducir a parir de (5) que y con lo cual ara el cálculo del VaR a un 100 p % y un horizone > 0 es necesario calcular x al que, donde. Se verifica inmediaamene que x saisface la siguiene ecuación donde es la función acumulada de una variable aleaoria normal esándar. II.2. roceso de oisson compueso Se asume que el reorno de una acción sigue un proceso de oisson compueso 4, el cual es un proceso en iempo coninuo pero iene caminos muesrales disconinuos cadlag. Es decir que (7) donde N es un proceso de oisson compueso con parámero λ y la sucesión esá formada por variables aleaorias i.i.d. 5 e independienes de N, ales que para odo i N, finalmene se asume que. Si y, se verifica inmediaamene que y El proceso de precios S que induce (7) es al que (8) 4 La definición y propiedades de un proceso de oisson compueso se encuenran en Applebaum [1], pp Abreviación de independienes e idénicamene disribuidas. SS Revisa de Temas Financieros 47

6 donde se asume que Luego, se verifica que Asumiremos a parir de ese momeno que, con lo cual debido a que las variables aleaorias ξ * * i son i.i.d. Asimismo, es necesario caracerizar la disribución acumulada de bajo ese modelo, es decir que se necesia conocer la función F al para odo Aplicando propiedades básicas de esperanza condicional, las propiedades del modelo y la suposición de normalidad sobre lnξ i se iene (9) Debido a que exise una disconinuidad en cero de la función de disribución enemos Es imporane noar que la función F presena en su definición una suma infinia, con lo cual su valor exaco solo podría conocerse cuando, es por ello que definimos con lo cual es claro que para odo La Figura 3 muesra, k que se puede ener un muy buen esimado de F uilizando F cuando k > 10. En el presene arículo se ha uilizado k = 100. SS Revisa de Temas Financieros 48

7 ara el cálculo del VaR a un 100 p % y un horizone > 0 es necesario calcular x al que F ( x) = p. El cálculo de x no es inmediao, razón por la cual definimos la función z, p ( y) = F ( y) p con y R y donde. represena la función valor absoluo. No es difícil deducir que la función z, p es esricamene unimodal, y alcanza su mínimo en el valor x si ése saisface F ( x) = p, con lo cual enconrar el argumeno minimizador de z, p es equivalene a calcular el VaR. En la Figura 4 se muesra una gráfica en la cual se comparan z, p y F y en la cual se observa claramene que el mínimo de z, p ocurre en el puno en el cual F es igual a p. Asimismo, para enconrar el ópimo de la función z, p es posible uilizar cualquier méodo de eliminación de regiones ya que la función es esricamene unimodal. ara efecos de ese arículo se ha uilizado el méodo conocido como Inerval-Halving con un error de ara mayor información el lecor puede referirse a Reklaiis e. al. [7], pp II.3. roceso de oisson compueso Ahora se presena un modelo en iempo discreo para modelar el proceso de reornos. El proceso de reornos Y = ( Y ( n), n N) es al que (10) donde es una sucesión de variables i.i.d. al que y la sucesión esá formada por variables aleaorias i.i.d. e independienes de X, ales que para odo. odemos escribir (10) de una manera más simple al noar que con lo cual (11) donde asumimos, al igual que en el proceso de oisson compensado, que. Asimismo, es obvio que V ( n ) va a ser independiene de. Si y se verifica inmediaamene que SS Revisa de Temas Financieros 49

8 El proceso de precios S que induce ano (10) como (11) es al que (12) donde se asume que. No es difícil verificar que (13) Si hacemos, omamos n grande y hacemos q ender a cero, (13) oma la forma de (9). Lo anerior se jusifica debido a la aproximación de la disribución binomial a la de oisson. Asumiremos al igual que el caso anerior que, con lo cual, n debido a que las variables aleaorias β i son i.i.d. Asimismo, es necesario caracerizar la disribución acumulada de Y ( n ) bajo ese modelo, es decir que se necesia conocer la función F al n para odo Aplicando propiedades básicas de esperanza condicional, las propiedades del modelo y la suposición de normalidad sobre se iene β i Debido a que exise una disconinuidad en cero de la función de disribución enemos SS Revisa de Temas Financieros 50

9 ara el cálculo del VaR a un 100 p % y un horizone n > 0 (aquí n es enero) es muy similar al caso anerior, pues es necesario calcular x al que Fn ( x) = p. El cálculo de x no es inmediao, razón por la cual definimos la función zn, p ( y) = Fn ( y) p con y RTal como en el modelo anerior la función z n, p es esricamene unimodal, y alcanza su mínimo en el valor x si ese saisface F n ( x) = p, con lo cual enconrar el argumeno minimizador de z n, p es equivalene a calcular el VaR. En la Figura 5 se muesra una gráfica en la cual se comparan z n, p y F y en la cual n se observa claramene que el mínimo de z n, p ocurre en el puno en el cual F es igual a p. ara enconrar el ópimo de la función z n, p uilizaremos el méodo del Inerval-Halving con un error de N ara finalizar esa sección, es imporane analizar la influencia de y n en F, F y F, respecivamene. ara al fin hemos considerado los reornos de n las acciones uilizadas y hemos consruido las funciones de disribución de los modelos aneriores para diversos valores de y n. Inuiivamene, el modelo oisson compueso y el modelo binomial van a ender a la disribución de una variable normal cuando n y sean lo suficienemene grandes. En las Figuras 6-10 se muesra el efeco del horizone de iempo en el reorno de las acciones seleccionadas para cada una de las disribuciones raadas. También muesran los parámeros esimados para cada acción según cada modelo. III. Resulados empíricos Se proponen dos méodos para verificar la precisión en la medición del riesgo con los modelos propuesos. El primer méodo consise en calcular las veces en las que el VaR fue mayor al reorno (recordar que el VaR que se ha calculado iene signo negaivo). ara ello se ha hecho un backesing sobre los daos hisóricos calculando el VaR con 300 daos. Es decir, que se calcula el VaR del reorno con los primeros 300 daos y dicho valor se compara con el reorno número 301, luego se vuelve a calcular el VaR uilizando los reornos del 2 hasa el 301 (300 observaciones) y se compara con el reorno número 302. Ese procedimieno se realiza hasa comparar el úlimo valor disponible de los reornos con su respecivo VaR y se calcula la proporción de veces en las cuales el VaR falla, a la cual denominamos como ˆp. Es imporane mencionar que por consideraciones de la normaiva de asilea la proporción ˆp de errores debe ser menor o igual al valor p fijado. El valor considerado en el presene arículo es de 0.05 y los resulados empíricos se muesran en la Tabla 2. SS Revisa de Temas Financieros 51

10 El segundo méodo de verificación es el propueso por Kupiec [5], pp , denominado Cociene de Fallas (CF). En dicho méodo se asume que las veces en las que el modelo seleccionado para el cálculo del VaR (a un nivel p ) falla en n observaciones sigue una disribución binomial con parámeros n y p. El esadísico uilizado en dicho es es el siguiene * donde p es la probabilidad de falla bajo la hipóesis nula, n es el amaño de la muesra y x es el número de fallas en la muesra. ajo la hipóesis nula, * p = p el es iene una disribución chi-cuadrado con un grado de liberad. Kupiec [5], esima a un nivel de significancia de 5% y uilizando un amaño de muesra de 255 que no se puede rechazar la hipóesis nula cuando el número de fallas x se encuenra en el inervalo 6 < x < 21. En el presene arículo el es CF se ha aplicado muchas veces para cada acción. or ejemplo, si se cuenan con N observaciones de una acción y se ha calculado el VaR uilizando 300 observaciones, el número de valores del VaR calculados es de N-300, con lo cual a cada observación hisórica a parir de la 301 se le asocia el valor del VaR calculado con las 300 observaciones aneriores. oseriormene, se van seleccionando 255 observaciones del VaR y sus reornos hisóricos asociados, con lo cual se calcula el número de veces en las que el VaR falla, generando así un nuevo dao el cual oma valor 1 si se rechaza la hipóesis nula y 0 si no se puede rechazar. Finalmene, se encuenra la proporción de veces en las cuales se ha rechazado la hipóesis nula. Se llevó a cabo el es CF para la hipóesis nula p = 0.05 (pues el VaR se ha calculado a ese nivel) y para dar mayor información se muesra ambién la proporción de veces en las cuales se cumple que con la finalidad de saber cuando p < 0.05y ambién se muesra la proporción de veces en las cuales x 21 para saber cuando p > 0.05, con lo cual es posible ener una idea si el modelo sobresima el VaR o lo subesima. En las Tablas 3-7 se muesran los resulados de ese es para las acciones seleccionadas. ara finalizar esa sección, en las Figuras se muesra el VaR de cada modelo y su comparación con el reorno de cada acción. SS Revisa de Temas Financieros 52

11 IV. Conclusiones A parir del análisis de VaR desarrollado en el presene arículo sobre la base de las cuaro meodologías expuesas, se puede inferir que: i) el modelo Hisórico no cumple con los requisios básicos exigidos por el Consejo de asilea; y ii) denro de los modelos resanes (Gaussiano, inomial y oisson), los que se adecuan mejor a las acciones consideradas como prooipo de un mercado ilíquido son los oisson y inomial, ese úlimo seguido muy de cerca por el modelo Gaussiano. Con lo cual los modelos oisson y inomial consiuyen una herramiena imporane y de fácil aplicación para realizar el cálculo del VaR para acciones con reornos que presenan ala acumulación en cero. V. Referencias [1] D. Applebaum. Lévy processes and sochasic calculus. Cambridge Universiy ress, [2] L. Chávez edoya and F. Rosales. Noes on he Adequacy of he rownian Moion Hypohesis in Non-liquid Markes: Are Jump rocesses or Discree Time Ones a eer Alernaive?. Arículo acepado en el Encuenro Inernacional de Finanzas organizado por la Universidad de Chile, [3]. Eraker, M. Johannes, and N. olson. The impac of jumps in volailiy and reurns. Journal of Finance, 58:1269, [4]. Glasserman. Mone Carlo mehods in financial engineering. Springer-Verlag, [5]. Kupiec. Techniques for Verifying he Accuracy of Risk Measuremen Models. Journal of Derivaives, 2:73, [6] R. Meron. Opion pricing when he underlying reurns are disconinuous. Journal of Financial Economics, 3:323, [7] G. Reklaiis, A. Ravindran and K. Ragsdell. Engineering Opimizaion. Wiley, SS Revisa de Temas Financieros 53

12 VI. Anexo A. Gráficos Figura 1 Reornos de Coninenal C1 con Valores Falanes Los gráficos indican los reornos para Coninenal C1 cuando se oman los 4 inervalos de 100 observaciones enre 5/93 y 4/06. La ausencia de valor muesra los efecos de la fala de coizaciones. Figura 2 Reornos de Coninenal C1 sin Valores Falanes Los gráficos indican los reornos para Coninenal C1 cuando se oman 4 inervalos de 100 observaciones enre 5/93 y 4/06. SS Revisa de Temas Financieros 54

13 F p 1 Figura 3 Z p 1,p Gráfica de (azul claro) y (azul) Se ha uilizado Gráfica de Figura 4 F p,k para K=1, K=2, K=3, K= Se ha uilizado λ= 0.8, = * 0.01, σ * = 0.1 y p = 0.1. ξ ξ SS Revisa de Temas Financieros 55

14 F 1 Figura 5 Z 1,p Gráfica de (azul claro) y (azul) Se ha uilizado Figura 6 Diferenes disribuciones acumuladas del reorno de la acción Alicorp S.A C1 La figura (a) muesra la función F para = 1,3,5 con , y La figura (b) muesra la función F n para n = 1,3,5 con q = , = σ N β y = β y. La figura (c) muesra la función F para = 1,3,5 con = y σ = N La figura (d) muesra F 10, F 10 y F 10 para los mismos parámeros. SS Revisa de Temas Financieros 56

15 Figura 7 Diferenes disribuciones acumuladas del reorno de la acción El rocal C1 La figura (a) muesra la función F para = 1,3,5 con La figura (b) muesra la función Fn para n = 1,3,5 con N q = , y = y σ La figura (c) muesra la función β F β = N para = 1,3,5 con = y σ = La figura (d) muesra F, 10 F 10 F para los mismos parámeros. y 10 Figura 8 Diferenes disribuciones acumuladas del reorno de la acción Coninenal C1 SS Revisa de Temas Financieros 57

16 La figura (a) muesra la función F para = 1,3,5 con, La figura (b) muesra la función F para n = 1,3,5 n con q= ,, = y N σ = La figura (c) muesra la función F para β β =1,3,5 N con = y σ = La figura (d) muesra F10, F y F para los mismos parámeros. Figura 9 Diferenes disribuciones acumuladas del reorno de la acción Crédio C1 La figura (a) muesra la función F para = 1,3,5 con, , y y La figura (b) muesra la función F para n = 1,3,5 con q = , n La figura (c) muesra la función N F para = 1,3,5 con N = y σ La figura (d) muesra F 10, F10 y F 10 para los mismos β β = parámeros. Figura 10 Diferenes disribuciones acumuladas del reorno del IGVL SS Revisa de Temas Financieros 58

17 La figura (a) muesra la función F para = 1,3,5 con La figura (b) muesra la función Fn para n = 1,3,5 con q = N La figura (c) muesra la función F para = 1,3,5 con La figura (d) muesra N F, 10 F y 10 F10 para los mismos parámeros. Figura 11 VaR para la acción Alicorp C1 Se grafica el VaR para cada modelo y solo se muesran los reornos menores o iguales a cero. Figura 12 VaR para la acción El rocal C1 SS Revisa de Temas Financieros 59

18 Se grafica el VaR para cada modelo y solo se muesran los reornos menores o iguales a cero. Figura 13 VaR para la acción Coninenal C1 Se grafica el VaR para cada modelo y solo se muesran los reornos menores o iguales a cero. Figura 14 VaR para la acción Crédio C1 Se grafica el VaR para cada modelo y solo se muesran los reornos menores o iguales a cero. SS Revisa de Temas Financieros 60

19 Figura 15 VaR para el IGVL. Se grafica el VaR para cada modelo y solo se muesran los reornos menores o iguales a cero.. Tablas Tabla 1 Descripción preliminar de los daos Acción Rango de fechas %Sin coización %recio repeido Alicorp SA C1 9/95-4/ % 11.70% El rocal C1 5/00-4/ % 19.57% Coninenal C1 5/93-4/ % 24.90% Crédio C1 1/92-4/ % 17.25% IGVL 1/86-4/ % 0.79% Tabla 2 roporción de fallas al 5% Modelo Alicorp C1 rocal C1 Coni C1 Crédio C1 IGVL Gaussiano 3.57% 4.75% 3.57% 3.76% 4.20% inomial 2.99% 4.54% 3.70% 3.76% 4.20% oisson 3.67% 4.75% 4.08% 3.76% 4.52% Hisórico 3.01% 5.99% 5.20% 5.18% 5.31% SS Revisa de Temas Financieros 61

20 Tabla 3 rueba Kupiec para Alicorp al 5% Modelo p< 0.05 (a) p> 0.05 (b) (a) U (b) Gaussiano 36.06% 0.00% 36.06% inomial 45.14% 0.00% 45.14% oisson 40.03% 4.35% 44.38% Hisórico 68.65% 0.51% 69.18% Tabla 4 rueba Kupiec para rocal al 5% Modelo p< 0.05 (a) p> 0.05 (b) (a) U(b) Gaussiano 4.35% 0.00% 4.35% inomial 12.17% 0.00% 12.17% oisson 4.35% 0.00% 4.35% Hisórico 0.00% 0.00% 0.00% Tabla 5 rueba Kupiec para Coninenal al 5% Modelo p< 0.05 (a) p> 0.05 (b) (a) U (b) Gaussiano 43.25% 0.00% 43.25% inomial 36.10% 0.00% 36.10% oisson 26.23% 1.19% 27.37% His orico 9.40% 8.35% 17.75% Tabla 6 rueba Kupiec para Crédio al 5% Modelo p< 0.05 (a) p> 0.05 (b) (a) U (b) Gaussiano 43.26% 9.15% 52.41% inomial 42.21% 9.15% 51.36% oisson 39.12% 1.23% 40.35% Hisórico 20.86% 19.81% 40.66% Tabla 7 rueba Kupiec para IGVL al 5% Modelo p< 0.05 (a) p> 0.05 (b) (a) U (b) Gaussiano 23.64% 0.46% 24.10% inomial 23.64% 0.46% 24.10% oisson 22.02% 1.87% 23.90% Hisórico 11.08% 9.64% 20.73% SS Revisa de Temas Financieros 62