Índice de diapositivas en Tr2009_6_Prog_Din.doc

Transcripción

1 Deparameno de Economía, Faculad de Ciencias Sociales, Universidad de la República, Uruguay Maesría en Economía Inernacional 29. Macroeconomía. Alvaro Foreza Índice de diaposiivas en Tr29_6_Prog_Din.doc 7 Programación dinámica Opimización en iempo discreo y horizone infinio Programación dinámica esacionaria

2 7 Programación dinámica 7.1 Opimización en iempo discreo y horizone infinio Consideramos el siguiene programa: sup { x(, y( } sujeo a : (, x(, y( ( G(, x( ; ~ x( + 1 f (, x(, y( x( dado y ~ β U ~ ; donde: x( variable de esado ; y( variable de conrol 2

3 ~ G (, x( es una correspondencia que nos dice cuál es el conjuno de los valores facibles de la variable de conrol en, dada la variable de esado x. ( El problema anerior puede reescribirse eliminando la variable de conrol: Problema 6.1: V (, x( sujeo a : Donde: (, x( sup { x( } ( + 1 G(, x( x x( dado β U (, x(, x( + 1 ; V función de valor valor obenido cuando se adopa la esraegia ópima pariendo del puno x( en. 3

4 Ejemplo: Problema de crecimieno ópimo Max { k (, c( } sujeo a : k k β u ( c( ( + 1 f ( k( + ( 1 δ k( c( ( ; c( ; k( > dado ; El problema de crecimieno ópimo puede escribirse fácilmene bajo el formao 6.1: Max { k ( } sujeo a : ( f ( k( + ( 1 δ k( k( + 1 ( + 1 [, f ( k( + ( 1 δ k( ] ( ; k( > dado k β u k Noar: en ese caso, las funciones U y G no dependen direcamene del iempo problema esacionario. ; 4

5 7.2 Programación dinámica esacionaria La forma esacionaria del problema 6.1 es el problema 6.2: Problema 6.2 (formulación secuencial: V ( x( sujeo a : sup { x( } ( + 1 G( x( x( dado x β U ( x(, x( + 1 ; Formulación secuencial: se raa de enconrar la secuencia infinia de x(. Idea básica de la programación dinámica: ransformar el problema secuencial en uno recursivo, en el cual no se busca una secuencia infinia de x( sino la función V(x. 5

6 Problema 6.3: V ( x y G ( x { U ( x, y + V ( y }; para odo x X sup β La función de valor V( aparece en los dos lados de la ecuación de Bellman y queda definida enonces en forma recursiva. El problema 6.3 es sólo una reformulación del problema 6.2: V ( ( x( β U x (, x ( + 1 U U ( ( ( s x, x 1 + β β U x ( s + 1, x ( s + 2 s ( (, ( 1 x x + βv x ( 1 ( donde: x( es la secuencia ópima de x(. ( 6

7 Una vez que se deermina la función de valor, es sencillo enconrar la función de políica y π(x. La función de políica queda definida implíciamene por: V ( x U ( x, π ( x + βv ( π ( x ; para odo x X Teoremas de la programación dinámica esacionaria Queremos deerminar condiciones de equivalencia enre las formulaciones secuencial y recursiva del problema de programación dinámica en el senido que oda solución de una sea solución de la ora. Principio de opimalidad: si x(,..., resuelve el problema secuencial, enonces deberá cumplirse: ( ( x U x (, x ( + 1 ( ( + V x ( + 1 ;,1,... V β 7

8 A su vez, oda solución de esa ecuación recursiva deberá dar el supremo del problema 6.2. Es decir que el reorno de un plan ópimo puede parirse en dos pares: (i el reorno del período acual y (ii la suma desconada de los reornos fuuros a parir del esado del próximo período. Acemoglu (29, secciones 6.3 a 6.5 demuesra el principio de opimalidad y oros resulados vinculados: exisencia de soluciones, unicidad, concavidad, monoonicidad y diferenciabilidad de la función de valor. 8

9 Condiciones necesarias y suficienes de un sendero ópimo: (Acemoglu 29, eorema 6.1 Mosraremos que la solución del programa de opimización puede caracerizarse por dos conjunos de condiciones: (i Ecuación de Euler y (ii Condición de ransversalidad. Se verifica un si y sólo si : si x(,..., verifica (i y (ii, enonces x( es solución del problema (suficienes y sólo si x( verifica (i y (ii puede ser una solución del problema (necesarias. 9

10 (i Ecuación de Euler Consideremos la versión recursiva del problema: V ( x( x max ( + 1 G ( x( { U ( x(, x( β V ( x( + 1 } Se puede demosrar que V(. es esricamene cóncavo y diferenciable. Enonces, en el ópimo deberá cumplirse la ecuación de Euler: ( x(, x ( V '( x ( + 1 U β 2 donde: U i es la derivada respeco al argumeno i 1 o 2. Inerpreación: en el sendero ópimo, si aumeno x(+1 un infiniésimo, el cambio en la uilidad de hoy debe ser compensado exacamene por el cambio en la uilidad fuura. 1

11 No conocemos odavía la forma de V(., pero sabemos que: ( ( + V x ( + 2 ( x( 1 U x( + 1, x ( + 2 V + β Derivando respeco a x(+1 y usando el eorema de la envolvene enemos: V ' ( x( + 1 U x( + 1, x ( 2 ( 1 + Teorema de la envolvene aplicado a ese caso: x ( +1 Efeco direco U 1 (. ( ( ( x + 1, x V x ( + 2 U β ( x ( + 2 Efeco indireco (. + V '(. U β 2 11

12 Podemos enonces reescribir la ecuación de Euler como: ( ( x(, x ( U x ( + 1, x ( + 2 U β 2 1 y usando la función de políica: U ( x( π ( x( + βu ( π ( x(, π ( π ( x( 2, 1 Esa formulación muesra que en realidad esamos ane una ecuación funcional: la incógnia no es una variable, sino una función π(x. (ii Condición de ransversalidad lim β U x, x + 1 x ( ( ( ( 1 12