Optimización Dinámica: Cálculo de Variaciones - Aplicaciones en Economía e Implementaciones en Maple y Mathematica

Transcripción

1 Opimización Dinámica: Cálculo de Variaciones - Aplicaciones en Economía e Implemenaciones en Maple y Mahemaica Jorge Mauricio Oviedo Resumen: El presene rabajo iene por objeivo inegrar los principios maemáicos de la eoría del Cálculo de Variaciones y el conrol Ópimo con programaciones compuacionales en Sofwares algebraicos. Para llevar a cabo dicha area se presena una revisión eórica de ales ópicos de una manera clara y accesible sin por ello perder rigurosidad en su raamieno. Se brindan además ruinas de programación en Mahemaica 5. y Maple 0 que auomaizan la area de resolución de dichos problemas. De esa manera, se logra cumplir el fin de fomenar el uso de ales méodos cuaniaivos minimizando el esfuerzo de aprendizaje y resolución. Aplicaciones a la Teoría Económica son incorporadas adicionalmene Palabras clave: Ecuaciones Diferenciales, Calculo de Variaciones, Conrol Ópimo, Opimización, Ecuación de Euler, Condiciones de Transversalidad. joviedo@eco.unc.edu.ar

2 .- Moivación A lo largo de la vida uno aprende a valorar la uilidad de realizar planes para el fuuro. Las decisiones presenes afecan las posibilidades de elección fuura haciendo que cieras oporunidades esén o no denro del rango de elección más adelane. De esa manera las elecciones presenes afecan nuesro bienesar a los largo de odo ese horizone de planeación. Sin embargo, la cuesión clave que emerge de esa reflexión es la inerdependencia de las decisiones presenes y fuuras. De no ser así, el problema planeación a lo largo del iempo es rivial en el senido que odo lo que uno necesia hacer es elegir lo mejor en cada insane del iempo sin imporar las repercusiones de al decisión en el fuuro. Transcribiendo esas ideas de una manera algebraica podemos decir lo siguiene: En un problema de opimización esáica el objeivo es hallar el valor de una variable que maximice una ciera función, es decir: max F( x ) x (a) si dicha función es coninuamene diferenciable se verificará que F (x*)=0 donde x* es un valor que maximiza F. Una generalización hacia un problema de múliples periodos discreos involucra la elección de cieras canidades x max Fx (, ) (b) x n i= Siguiendo con el supueso de que F es coninuamene diferenciable se endrán las siguienes condiciones necesarias de primer orden: F xn F (, x ) = 0 F x x (, x ) = 0 ( N, x ) = 0 N De donde emerge claramene que dicho sisema de ecuaciones no denoa ningún ipo de inerdependencias por lo que cada ecuación puede ser resuela independienemene de las demás. De esa manera, el problema es rivial y no marca ningún ipo de dinámica en la elección de las variables. Obsérvese como ésas reglas algebraicas coinciden con las reflexiones hechas en párrafos aneriores.

3 El problema se ransforma verdaderamene dinámico cuando las decisiones presenes no solo afecan ese insane si no ambién el fuuro venidero. Algebraicamene sería el caso de: N { x} = n Fx x (c) i= max (,, ) luego las condiciones de primer orden serán: F (, x, x ) + F (, x, x ) = 0 x 0 x F (, x, x ) + F (3, x, x ) = 0 x x 3 F (, x, x ) + F (, x, x ) = 0 xn N N xn N N F ( N, x, x ) = 0 xn N N Nóese como el valor de x 0 debe ser fijado de anemano par deerminar el valor de x. Se aprecia con niidez la inerdependencia del sisema periodo a periodo. Las variables no pueden elegirse independienemene una de oras. Esamos pues frene a un problema de opimización dinámico. Para generalizar los problemas (c) y (d) al caso de horizone de planeación coninúo se deben hacer algunas consideraciones previas: Primero éngase presene que el análogo coninuo a la sumaoria es una inegral y en segundo lugar que la solución ópima será una función coninua de,, en reemplazo de la secuencia de valores anerior: Max F( x( ), ) d 0 sujeo a x(0) = x Al igual que en (c) el mismo resula ser no dinámico dado que el inegrando solo depende de las elecciones conemporáneas de x. Para lograr el equivalene dinámico de un problema en horizone emporal coninuo, se debe hacer aparecer una derivada de la variable de elección en el inegrando. Dicho dependencia de la asa de crecimieno es el puene que comunica íneremporalmene las decisiones omadas ransmiiendo así dinámica al sisema coninuo. 0 Max F( x( ), x' ( ), ) d 0 sujeo a x(0) = x 0 Las condiciones necesarias para resolver esa clase de problemas se brindarán en las próximas secciones.

4 .- Ecuación de Euler Comencemos por raar el más sencillo de los casos de Opimización dinámica. Para ellos consideremos primero el siguiene problema: Max F( x( ), x' ( ), ) d 0 sujeoa x( ) = x, x( ) = x 0 0 () Es decir se preende hallar una función de modo al que la inegral del Funcional F(.) sea máxima sujeo a las condiciones iniciales y erminales fijadas, x 0 y x. Cualquier función coninuamene diferenciable en [ 0, ] que saisfaga las condiciones iniciales y erminales se dice una función admisible. Se asume que F es coninua en sus res argumenos y iene derivadas parciales coninuas con respeco a x y a x. Para esbozar una demosración de las condiciones necesarias que una función debe saisfacer para resolver ése problema, seguiremos ése plan: a) Con el objeivo de ransformar esa opimización funcional en una opimización de variable común, se raará de condensar odo el espacio de funciones admisibles en el espacio de una variable (R) de modo al que en un deerminado valor de la variable se alcance el ópimo. b) En base a las condiciones necesarias para opimizar funciones de una variable se logrará desenmascarar cieras condiciones para la opimización de funcionales como en el problema planeado Para llevar a cabo esa idea, se pare de la idea que exise una función x*() admisible que resuelve el problema en cuesión. A esa función le podemos llamar el camino o la rayecoria ópima en el senido que maximiza la inegral. En base a ésa función se procede a considerar una función arbiraria h(), llamada función perurbación, con la siguiene propiedad: h( 0 )= h( )=0 () Dicho pedido se efecúa con el fin de que la siguiene función perurbada sea admisible: y() = x*() + a h() (3) para cualquier consane a. De ésa forma y() cumple con las condiciones de admisibilidad gracias a (). Nóese que cualquier función que saisfaga () iene derecho a ser considerada función perurbación. Tal arbirariedad en la definición de h() cobrará vial imporancia más adelane queriendo desacar con eso que al arbirariedad no es meramene caprichosa. (El caso de mínimo puede ser raado como el problema de maximizar la inegral de F(.)

5 En base a ésas definiciones podemos ahora consruir la siguiene función: ga ( ) = F( y ( ), y' ( ), d ) 0 = F( x*() + ah(), x*'() + ah'(),) d 0 la cual sólo depende de a. En consecuencia se puede hallar el valor de a que hace resuelve () siguiendo las reglas usuales de la opimización de funciones de una variable. Ahora bien, dado que las definiciones de x*(), h() y a se han hecho con la inención de que () se maximice en a=0, se sabe por las condiciones necesarias de primer orden que: debe verificarse para a = 0. g (a) = 0 (4) Con eso se pueden ahora desilar las condiciones que deben cumplirse para que () se maximice pues hay que deducir las relaciones que deben verificarse enre F y sus argumenos para que g (a) = 0 eniendo en cuana la arbirariedad de h(). En oras palabras, debemos deducir que relación debe observarse para que (4) evaluado en a=0 se cumpla para cualquier función de perurbación admisible h(). Procedamos ahora a compuar g (a). Para compuar al derivada hay que ener en cuena que esamos derivando bajo el signo inegral, por ende se hace necesario uilizar la Regla de Leibniz que dice lo siguiene: Regla de Leibniz: sea f(x,r) una función coninua con derivadas coninuas en r y sean además A(r) y B(r) funciones coninuamene diferenciables. Si B( r) V() r = f(,) x r dx Ar ( ) Enonces B( r) f( x, r) V '() r = f[ B(),] r r B'() r f[ A(),] r r A'() r + dx r Ar ( ) Regresando a nuesro objeivo de calcular g y eniendo en cuena que los exremos de inegración esán fijos, se iene que:

6 [ x ] [ x' ] g '( a) = F ( x*( ) + ah( ), x*'( ) + ah'( ), ) h( ) + F ( x*( ) + ah( ), x*'( ) + ah'( ), ) h'( ) d 0 Evaluando en a=0, ya que por consrucción en dicho puno g es cero, se iene que: [ x ] [ x' ] (5) 0 g'(0) = F ( x*( ), x*'( ), ) h( ) + F ( x*( ), x*'( ), ) h'( ) d = 0 La expresión (5) haciendo uso de la regla de inegración por pares puede expresarme de manera más sencilla por: 0 d Fx( x*(), x*'(),) [ Fx' ( x*(), x*'(),) ] h() d = 0 d Dado que h() es una función de perurbación admisible arbiraria la única manera que dicha inegral se anule es que el coeficiene que acompaña a h sea nulo para odo en [ 0, ]. Es decir debe verificarse con carácer de necesario la siguiene relación: d Fx( x*( ), x*'( ), ) [ Fx' ( x*( ), x*'( ), ) ] = 0 d La misma es una ecuación diferencial de segundo orden, en general no lineal, denominada Ecuación de Euler 3. 3 En el caso de múliples variables de elección la Ecuación de Euler puede deducirse de manera similar definiendo múliples funciones de perurbación admisibles. El problema puede planearse así: donde: x ( ) = ( x ( ),..., x ( )) x' ( ) = ( x' ( ),..., x' ( )) n n Max J[ x( )] = f ( x( ), x' ( ), ) d 0 x( ) = x 0 0 x( ) = x f d f En al caso la ecuación de Euler puede escribirse como: ( ) = 0 x d x'

7 Nóese que el segundo érmino del lado izquierdo de la Ecuación de Euler denoa la derivada oal de F x. Expandiendo al derivada se arriba a ésa expresión alernaiva a la condición de Euler: F = F x' + F x'' + F x x' x x' x' x' donde las derivadas parciales esán evaluadas en (, x (), ). Se ve claramene que la misma es una ecuación diferencial de segundo orden en x con coeficienes en general no lineales dados por las derivadas parciales de F. Dicha ecuación suele ser difícil en general de resolver por medios analíicos pero en la mayoría de los casos se puede analizar el comporamieno de la solución ópima de una manera cualiaiva. De esa manera la ecuación de Euler mas las condiciones iniciales-erminales permien obener una función que, en la medida que la condiciones de segundo orden se verifiquen, resolverá (). Las soluciones de la Ecuación de Euler suelen denominarse exremales de () siendo esa denominación el análogo a los punos esacionarios candidaos a ópimos en opimización de funciones de una variable..- Condiciones de segundo orden: En problemas de opimización una función f(x) dos veces coninuamene diferenciable en una simple variable sobre un inervalo abiero, es bien conocido que si x* maximiza f es necesario que f (x*)=0 y f (x*) 0. A su vez si x* saisface f (x*) = 0 y f (x*) < 0, enonces x* brinda un máximo local para f. De manera análoga, en los problemas variacionales como () se pueden deducir condiciones necesarias y suficienes para máximos locales de los funcionales. Regresando a (3) 0 ( ) g'(0) = F h+ F h' d = 0 x x' ésa expresión es usualmene llamada primera variación. El requerimieno que la misma sea cero cuando se la evalúa en el camino ópimo conduce a la ecuación de Euler. En semejanza a la derivada segunda es posible obener la variación segunda de g de la siguiene manera: 0 ( xx xx' x' ) g ''(0) = F h + F hh' + F h' d (6) Observando el inegrando se deduce que el mismo es una forma cuadráica en (x, x ). Ahora bien, analizando (6) y eniendo en cuena que si maximiza () se deducen las siguienes condiciones:

8 Condición Suficiene 4 : Si x*() saisface la Ecuación de Euler y a su vez se verifica que F es cóncavo en (x, x ), enonces x*() es un máximo local del problema (). Sin embargo esa condición suficiene es demasiado fuere y no siembre se cumple en la mayoría de los problemas. Se iene además la siguene, Condición Necesaria (Legendre) 5 : si x*() es un máximo local del problema (), enonces de verifica que F evaluado en la solución ópima es concavo en x 3.- Condiciones de Transversalidad En los aparados aneriores se consideró el caso en que el esado inicial y erminal de la variable esa deerminado y que el iempo de finalización ambién esaba dado. En esa sección se consideraran casos más generales de ales condiciones erminales 6 : Caso.- Esado erminal de la variable de elección libre y iempo erminal dado Max F( x( ), x' ( ), ) d 0 sujeoa x( ) = x, 0 0 Deben verificarse las siguienes Condiciones Necesarias: a) Ecuación de Euler b) Condición de Legendre c) F x = 0 en final dado Caso.- Esado erminal de la variable de elección fijo y iempo erminal libre Max F( x( ), x' ( ), ) d 0 sujeo a x( ) = x, x( ) = x y libre 0 0 Deben verificarse las siguienes Condiciones Necesarias: 4 Eso es así ya que es necesario que la segunda variación sea negaiva para oda función admisible h(). 5 Para derivar dicha condición deben efecuarse algunas manipulaciones en (6) y hacer uso de las condiciones de Euler y oros Lemas. Para mayores dealles de su deducción véase Kamien y Schwarz [98] 6 Las deducciones de ales aleraciones en el planeo inicial del problema () no se presenarán en ese escrio. Para una deducción deallada de las mismas véase Kamien y Schwarz [98]

9 a) Ecuación de Euler b) Condición de Legendre c) F x F x = 0 en final dado Caso 3.- Esado erminal de la variable de elección y iempo erminal (ambos) libres Max F( x( ), x' ( ), ) d 0 sujeo a x( ) = x, y libre 0 0 Deben verificarse las siguienes Condiciones Necesarias: a) Ecuación de Euler b) Condición de Legendre c) F = 0 en final d) F x = 0 en final Caso 4.- Esado erminal de la variable de elección y iempo erminal relacionados por una función R. 7 Max F( x( ), x' ( ), ) d 0 sujeoa x( ) = x, 0 0 R ( ) = x Deben verificarse las siguienes Condiciones Necesarias: a) Ecuación de Euler b) Condición de Legendre c) F + (R -x ) F x = 0 en Caso 5.- Resricciones de desigualdad en las condiciones erminales 7 Nóese que ése caso ni el iempo erminal ni la variable de elección son compleamene libres ni compleamene fijos. Un cambio en uno de ellos debe ser acompañado en un cambio en el oro acorde a R

10 Max F( x( ), x' ( ), ) d 0 sujeoa x( ) = x, x( ) = x a 0 0 T Deben verificarse las siguienes Condiciones Necesarias: d) Ecuación de Euler e) Condición de Legendre f) T, F-x F x, (T - )( F x F x ) = 0 en g) x a, F x ( ) 0, (x - a) F x ( ) = Horizone infinio de planeación 8 Ese nuevo problema puede formularse como: siendo: x ( ) = ( x ( ),..., x ( )) x' ( ) = ( x' ( ),..., x' ( )) n n Max J[ x( )] = F( x( ), x' ( ), ) d 0 x( ) = x 0 0 En donde ahora se raa de una inegral impropia pues uno de sus límies es infinio. Como primer requisio se necesia que la misma sea convergene 9. Para abordar ese problema se recurre de nuevo a la ecuación de Euler juno a las condiciones iniciales y las siguienes condiciones de Transversalidad de acuerdo al ipo de finalización esablecido: lim( F x' F ) = 0 ; ( i =,..., n) i x' i Ésa condición de Transversalidad es necesaria independiene del ipo de finalización planeado. A su vez hay que añadir una condición de Transversalidad adicional dependiendo del ipo de finalización del problema. Así se endrá que agregar: 8 Para lograr mayor generalidad exposiiva se procede a raar el caso de múliples funciones de elección. Al igual que en el aparado anerior se omien las deducciones de las misma. Para el lecor ineresado en los dealles de las mismas puede consular Alpha Chiang [99] 9 La necesidad de la convergencia de la inegral obedece al hecho de que si no eso no sucediere pudieran exisir demasiadas funciones candidaas a ópimo y decidir sobre ellas suele ser una area ardua y difícil

11 lim x( ) = a en caso que el problema deermine un valor fijo esable de la variable Alernaivamene si se permiiese a la variable x () variar libremene en el límie a infinio se requerirá agregar esa nueva condición de Transversalidad: lim F = 0 ; ( i =,..., n) x' i Por úlimo, en el caso de que las variables esuviesen sujeas a un valor mínimo asinóico la condición será: lim F 0 lim F [ x ( ) x ] = 0 ( j =,... n) x' j x' j j jmin 5.- Resricciones En esa ampliación del problema el inerrogane es hallar un conjuno de rayecorias que opimicen una inegral definida (propia o impropia) sujeo a la condición de que cumpla con un conjuno de resricciones y relaciones enre las variables que deben ser saisfechas a lo largo de odo el horizone de planeación. Exisen diversos ipos de resricciones: Resricciones Diferenciales de Igualdad Formalmene el problema general puede planearse como sigue: Max J[ x( )] = f ( x( ), x' ( ), ) d 0 x( ) = x 0 0 x( ) = x gx ( ( ), x' ( ), ) = b donde g( ) es un vecor columna dado de r funciones independienes 0 y consisenes y b un vecor de consanes que igualados consiuyen un conjuno de r ecuaciones diferenciales. En el caso de que g( ) no dependa explíciamene de las derivadas se raará de un conjuno de ecuaciones simples. Para que el problema sea facible se requiere que r < n(el número de esricciones debe ser esricamene menor que el número de variables 0 La independencia funcional de esas ecuaciones puede verificarse con la siguiene condición necesaria y suficiene: ( g, g,..., g ) ( x', x',..., x' ) r r 0 para al menos un conjuno de r variables x del oal n

12 ya que si son iguales el campo de elección de las variables a la hora de opimizar la inegral se resringe únicamene a un puno n-dimensional dado por la solución del sisema g( ) = b. Para resolver ese problema se recurre nuevamene a la ecuación de Euler pero esa vez aplicada a un nuevo funcional. Para ello se definen previamene r muliplicadores de Lagrange: y = ( y ( ), y ( ),...; y ( )) r Donde el nuevo funcional es ahora: Lo que lleva a la ecuación de Euler: L( xx'y,,, ) = f ( xx',, ) + y[ b g( xx',, )] L d L ( ) = 0 x d x' El cual es un sisema de n ecuaciones diferenciales ordinarias con n + r funciones incógnias que juno a las oras r ecuaciones diferenciales dadas por las r resricciones y las condiciones de conorno (iniciales y erminales) permien hallar explíciamene la solución del problema. Si además se esablecen condiciones de ransversalidad ane la ausencia de valores erminales fijos, los mismos serán reemplazados por los siguienes requerimienos de acuerdo a los disinos casos: a) [ L x' ] = = 0 b) [ L yily i ' ] = 0 ( i =,..., n) c) [ L ( T' y' i) L y' ] = ( i =,..., n) Resricciones Diferenciales de Desigualdad En el caso que las resricciones sean de desigualdad el problema se ransforma en Max J[ x( )] = f ( x( ), x' ( ), ) d 0 x( ) = x 0 0 x( ) = x gx ( ( ), x' ( ), ) b Puno n-dimensional cuyas componenes son funciones Ese nuevo funcional suele denominarse función de Euler-Lagrange

13 y la solución del mismo deberá saisfacer: L d L ( ) = 0 x d x' g( xx'y,,, ) b juno a y 0 yb [ gxx' (,, )] = 0 Resricciones Isoperiméricas El úlimo ipo de resricciones que se pueden considerar son las llamadas resricciones de perímero. Ese ipo de requerimienos surgen en problemas donde el objeivo es hallar una curva que encierre la mayor superficie posible sujeo a que el perímero de al curva es fijo. Analíicamene el problema sería: 0 [ x( )] = ( x( ), x' ( ), ) 0 Max J f d x( ) = x 0 0 x( ) = x gx ( ( ), x' ( ), ) d b para abordar ese ipo de problemas se procede a uilizar un muliplicador d elagrange y obener ese nuevo funcional: 0 [ ( ( ), ( ), ) λ ( ( ), '( ), )] f x x' G x x d a ése nuevo funcional se le aplica la ecuación de Euler y mas la resricción de isoperimería se logra un sisema de ecuaciones del cual es posible hallar la solución ópima de y λ() Ejemplos y Aplicaciones Básicamene en maeria de ejemplos y aplicaciones del Cálculo de Variaciones, podemos desacar dos ipos de los mismos: 3 Eso es posible en la medida que no sea una exremal para la resricción inegral G

14 Ejercicios de carácer cuaniaivo: que pariendo de daos explícios en paricular buscan resolver un problema concreo, deerminado y específico Ejercicios de carácer cualiaivo: ésos en base a daos generales en donde no se especifican ni se deallan los daos del problema de manera explicia si no simplemene se confieren cieras caraceres generales, comunes a un amplio rango de problemas parecidos, buscan enconrar parones de solución comunes a odos ellos. En economía es ampliamene usado ese ipo de aplicaciones en donde por ejemplo el invesigador no persigue deerminar la rayecoria ópima de consumo para un agene deerminado que posee unas preferencias explicias y pariculares, si no que conociendo cieras caracerísicas en común de odos los agenes, se raa de deerminar los parones de conduca comunes a odos ellos en su rayecoria ópima. Eso es de gran imporancia pues simplemene con saber cieras cualidades de las funciones de Uilidad o producción de los agenes y firmas, es posible en muchos casos develar el esquema común de comporamieno de los agenes sin necesidad de conocer con exaciud ales funciones. A coninuación mosramos ejemplos de cada una de ésas clases de problemas: Ejemplo a Deerminar la disancia mas cora enre un puno (a, A) y una línea verical (b, ) para odo pereneciene a R, donde a, b y A son consanes conocidas Uilizando el eorema de Piágoras para lograr así una aproximación lineal de cualquier curva, endremos: ds = [( d) + ( dx) ] = [ + x '( ) ] / / Con lo que el problema se planea de la siguiene manera min [ '( )] x () a a / + x d Sujeo a x(a) = A x(b) = Libre

15 Debido a que la inegral F depende sólo de x, la solución de la ecuación de Euler iene la forma: = c +c. Uilizando a su vez la condición de ransversalidad F x = x /[ + x ( b)] / = 0 x (b)=0 así las consanes c, c se deerminan de la siguiene manera Luego x ( a) = A = c a + c x ( b) = 0 = c X()=A, a b Como se puede observar el camino opimo es una línea reca horizonal, es imporane noar que la condición de Legendre es saisfecha dado que F x x >0, siendo esa solución un mínimo. Ejemplo b [ x ( ) + ( x ( )) ] d 0 Sujea a Donde 0,, X 0 y X son parámeros dados. X( 0 )=X 0, X( )=X Escribimos F(, x, x ) = x +x y omamos Fx=0 y F ' = + x' Siendo la condición de Euler df x / d = d( + x )/ d = 0 Debido a que el lado derecho es cero, no necesiamos realizar la diferenciación, ya que la derivada de una función igual a cero es una consane + x' = k x

16 Para alguna consane k, luego separando las variables e inegrando llegamos al siguiene resulado x( ) = c + c / Las consanes de inegración deben saisfacer lo siguiene x( x( 0 ) = x ) = x 0 = c = c + c 0 + c / / / 4 0 / 4 / 4 Aplicación Económica Un individuo busca la asa de consumo ópima para cada momeno del iempo de modo al que maximice su flujo desconado de Uilidad sobre un periodo de iempo conocido de longiud T. La Uilidad del consumo U(C()) a cada momeno del es una función creciene y cóncava conocida (uilidad marginal del consumo decreciene en el iempo): U >0 y U <0 la cual es desconada a una asa r, siendo así el planeo del problema para ése individuo: T max e r U ( C( )) 0 d (I) sujeo a la resricción de flujo de caja del individuo. El individuo deriva ingresos corrienes de salarios exógenamene deerminados v() y de ganancias de ineres ik sobre sus enencias de Acivos de Capial K(). Por simplicidad, el individuo puede presar y pedir presado acivos a la misma asa de inerés i. Así el ingreso por inerés y salario se desinan a consumir o ahorrar: ik() + v() = C() + K () (II) siendo las condiciones iniciales y erminales del sock de capial K(0)=K 0 y K(T)=K T (III) Usando (II) para eliminar C desde (I) y denoando el inegral de (II) por F y omando en cuena (III) y uilizando la regla de la cadena: r Fk = e U ( C) i Así la condición de Euler será y r F = e U ( C) k d( e r U ( C)) / d = e r U ( C) i (IV) Inegrando (IV) sobre un pequeño inervalo de iempo y reordenando

17 e r U ( C) = + e rs U ( C( s)) ids + e r( + ) U ( C( + )) (V) Lo anerior esablece que en un plan de consumo ópimo el individuo no puede incremenar su Uilidad rasladando un dólar para consumo de un momeno a oro. La uilidad marginal desconada desde el consumo en (lado izquierdo de (V)) debe ser igual a la uilidad marginal desconada lograda posponiendo el consumo a + (lado derecho de (V). Dado que posponer un peso de consumo genera i pesos en un insane de iempo, un peso marginal consumido en s conribuye a incremenar la uilidad en U (C(s)) y por ende una fracción i del peso consumido en s conribuye en iu (C(s)). De esa manera el primer érmino de la derecha de (V) es el incremeno en la uilidad lograda por la ganancia de ingresos por posponer el consumo. Por oro lado, el peso ahorrado será consumido incremenando la uilidad en U (C( + )) el segundo érmino sobre la derecha de (V) es la uilidad marginal desconada. Sabiendo que la uilidad de consumir en el fuuro es menor, dada la asa de descueno posiiva, que la uilidad de consumir en le presene, la condición de opimalidad sugiere que esa perdida de consumir en el fuuro debe ser exacamene compensada por las ganancias de uilidad por los inereses logrados vía la absención de consumo en el presene. Luego operando en (IV) y reorganizando érminos enemos -U C /U =i-r (VI) La asa proporcional del cambio en la uilidad marginal debe ser igual a la diferencia enre la asa de renabilidad de la inversión y el facor que deermina la impaciencia íner emporal del individuo. Si U /U >0 por hipóesis, la solución opima es caracerizada por dc/d>0 si y solo si i>r. La rayecoria de consumo ópima se incremena si la asa de ganancia del capial i excede la impaciencia del individuo r. Nóese como odas esas relaciones se verifican independienemene de la especificación de la función de uilidad y demás parámeros consiuyendo un parón general de comporamieno sin considerar las preferencias de un individuo en paricular. Si la función de U es especificada, por ejemplo U(C) = ln C, v()=0 para 0< < T, y sea K T =0. En ese caso (VI) se ransforma en: Inegrando y subsiuyendo en (II): C /C=i-r K -ik=-c= -C(0) e ( i r)

18 i e Muliplicando por, inegrando, y usando las condiciones de conorno K(0)= K 0 y K(T)=0 para enconrar las consanes de inegración, resula: r i e K () = ek0( ) rt e Luego: rk e K () = e ( i r) 0 rt A lo largo de esos ejemplos se logra ver la diferencia enre resolver un ejercicio de manera explicia y de manera cualiaiva como es de gran uilización en Economía 7.- Implemenación en Maple Con el propósio de inegrar los concepos de la Teoría del Cálculo de Variaciones se procede a implemenar ales ruinas en diversos sofwares algebraicos ales como Maple y Mahemaica. El primero se dealla en ésa sección y el segundo en la próxima A coninuación se expone una ruina de programación en Maple que auomaiza el compuo de la Ecuación de Euler en ambienes algebraicos. Versión.0 Euler := proc(f,x,y) local a,b,c,e_eq: a:=diff(,): b:=eval(diff(f,x),[x=,y=a]): c:=eval(diff(f,y),[x=,y=a]): E_Eq:= b-diff(c,): E_Eq; end;

19 Con el código anerior se crea una nueva función llamada Euler la cual arroja la Ecuación Homónima. La explicación de su sinaxis se expone a coninuación: Sinaxis donde: F(.) es el inegrando x: la función incógnia y: la derivada de x con respeco a = x'() Euler(F(x,y,),x,y); Para clarificar, se expone el siguiene problema como ejemplo a resolver: min [ + x '( )] x () T 0 sa : x(0) = a xt ( ) = b / d Nóese como ése planeo represena al problema de hallar la rayecoria mínima enre dos punos (0, a) y (T, b). Así, la ecuación de Euler es: Euler((+y^)^(/),x,y); d d + d d d d ( / ) 3 d d + d d Y la solución de la misma es: dsolve({euler((+y^)^(/),x,y)=0},{}); { = _C}, { = _C + _C}

20 Especificando las condiciones iniciales y erminales resula: dsolve({euler((+y^)^(/),x,y)=0,x(0)=a,x(t)=b},{}); ( a b) = + a T Con lo cual queda demosrada que el rayeco mas coro enre dos punos es una línea reca que pasa por ellos. Versión. Una variane de la ruina anerior se presena seguidamene, la cual ofrece cieras variedades en la sinaxis con leves mejoras con respeco al código anerior. EulerII := proc(f,x) local a,b,ff,e_eq: ff:=eval(f,[x=a,diff(x,)=b]): E_Eq:= eval(euler(ff,a,b),[a()=x,b()=diff(x,)]): E_Eq; end; Sinaxis donde: F(.) es el inegrando : la función incógnia x'(): la derivada de x con respeco a Euler(F(,x'(),),);

21 Se muesra el mismo ejemplo anerior a los efecos de comparar las salidas y sinaxis del comando EulerII con el anerior. EulerII((+diff(,)^)^(/),); d d + d d d d ( / ) 3 d d + d d dsolve({eulerii((+diff(,)^)^(/),)=0},{}); { = _C}, { = _C + _C} dsolve({eulerii((+diff(,)^)^(/),)=0,x(0)=a,x(t)= b},{}); ( a b) = + a T 8.- Mahemaica De manera similar a la sección anerior se presenan aquí las ruinas de programación en Mahemaica que resuelven problemas de Cálculo de Variaciones.

22 Con el programa anerior se crean dos nuevas funciones llamadas CalcVar y CalcVarT. La primera devuelve la solución de la Ecuación de Euler sin especificar las condiciones iniciales (las consanes de inegración de la solución pueden calcularse añadiendo las condiciones de ransversalidad apropiadas al problema en cuesión) y la segunda devuelve la solución de la ecuación diferencial mediane la especificación de las condiciones iniciales. La mismas se uilizan como sigue: Sinaxis donde: F(x[],x []) es el inegrando x[]: la función incógnia x []: la derivada de x con respeco a = x'() : iempo CalcVar[F(x[],x []), x[], x [], ]; CalcVarT[F(x[],x []), x[], x [],, {0,T}, {x[0}, {x[t]}]; donde: F(x[],x []) es el inegrando x[]: la función incógnia x []: la derivada de x con respeco a = x'() : iempo {0,T}: Inervalo de iempo {x[0}, {x[t]}: Condiciones Iniciales y erminales de la variable en 0 y T respecivamene

23 Ejemplos A coninuación se brindan dos ejemplos que ilusran ésos dos nuevos comandos: Se aprecia así la solución general, donde las consanes de inegración pueden deerminarse esableciendo las condiciones de ransversalidad apropiadas y resolviendo mediane el comando Solve. Para el caso paricular de condiciones iniciales erminales e iniciales fijas el comando a uilizar es el siguiene:

24 BIBLIOGRAFÍA Bellman, Richard (957): Dynamic Programing Princeon Universiy Press. Princeon, New Jersey. Cerdá Tena, Emilio (00): Opimización Dinamica. Prenice Hall. España. Alpha Chiang. "Elemens of Dynamic Opimizaion", McGraw-Hill, 99 Inriligaor, Michael D (97). Mahemaical opimizaion and economic heory. Prenice-Hall. Moron I. Kamien and Nancy L. Schwarz, (99),Dynamic Opimizaion: The Calculus of Variaions and Opimal Conrol in Economics and Managemen, (nd ed.) by Norh Holland: New York. Sokey, Nancy and Lucas, Rober (987): Recursive Mehods in Economic Dynamic Harvard Universiy Press.