Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica

Transcripción

1 Inroducción al análisis de esrucuras con no linealidad geomérica Juan omás Celigüea Deparameno de Ingeniería Mecánica Donosia - San Sebasian, Marzo de 8

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3 Conenido INRODUCCIÓN. Planeamienos maerial y espacial GRADIENES DE DEFORMACIÓN 4. ensor gradiene de deformación 4. ensores gradiene de desplazamienos 5.3 ensor derecho de Cauchy-Green. 6.4 ensor izquierdo de Cauchy-Green 7.5 Descomposición polar del ensor gradiene de deformación 7.6 Variación de los ensores gradiene 3 DEFORMACIONES UNIARIAS 3. ensor infiniesimal de deformaciones uniarias 3. ensor de deformaciones uniarias de Green-Lagrange 3.3 Variación del ensor de Green Lagrange ensor de deformaciones uniarias euleriano ensores incremenales 6 4 VELOCIDAD 8 4. Derivada emporal maerial 8 4. ensor gradiene de velocidad Derivada emporal del ensor de Green asa de deformación 9 5 ENSIONES 5. ensor de ensiones de Cauchy 5. Primer ensor de ensiones de Piola-Kirchhoff 5.3 Segundo ensor de ensiones de Piola-Kirchhoff 6 ECUACIONES DE EQUILIBRIO 4 6. Equilibrio de fuerzas 4 6. Equilibrio de momenos Principio del rabajo virual 5 7 FORMULACIÓN LAGRANGIANA OAL 8 7. rabajo virual inerior 8 7. Ecuaciones de equilibrio Linealización de las ecuaciones de equilibrio Ecuaciones de equilibrio incremenales Formulación isoparamérica Fuerzas nodales equivalenes a las fuerzas exeriores 38 8 FORMULACIÓN LAGRANGIANA ACUALIZADA 39

4 8. rabajo virual Ecuación de equilibrio Linealización de las ecuaciones de equilibrio Ecuaciones de equilibrio incremenales Formulación isoparamérica Fuerzas nodales equivalenes a las fuerzas exeriores 45 9 ELEMENO BIARICULADO. FORMULACIÓN LAGRANGIANA OAL Deformación uniaria Vecor de fuerzas ineriores Mariz de rigidez angene Formulación isoparamérica 5 ELEMENO BIARICULADO. FORMULACIÓN CO-ROACIONAL 5. Deformación uniaria 53. Vecor de fuerzas ineriores 54.3 Mariz de rigidez angene 54 ELEMENO VIGA PLANA. FORMULACIÓN CO-ROACIONAL 57. Deformación axial y esfuerzo axial 57. Deformación y momenos de flexión 58.3 Deformaciones viruales 59.4 rabajo virual 6.5 Mariz de rigidez angene 6 FLEXIÓN DE PLACAS. FORMULACIÓN LAGRANGIANA OAL 63. Campo de deformaciones 63. Deformaciones uniarias 63.3 Variación de la deformación uniaria 65.4 Deformaciones uniarias de coradura 67.5 rabajo virual inerior 68.6 Vecor de fuerzas ineriores 68.7 Mariz de rigidez angene 68 3 RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES INCREMENALES 7 3. Méodo incremenal puro 7 3. Méodo de Newon-Raphson Méodo de Newon modificado Méodos resringidos Crierios de convergencia 77 4 MÉODO DE LA LONGIUD DEL ARCO 79 5 EJEMPLOS ESÁICOS Ejemplo. Barra apoyada - deslizane 84

5 5. Ejemplo. Barra deslizane apoyada elásicamene Ejemplo 3. Voladizo muy flexible Ejemplo 4. Celosía Ejemplo 5. Pórico biariculado 9 6 DINÁMICA Principio del rabajo virual en dinámica Ecuaciones de equilibrio. Formulación lagrangiana oal Méodo explício basado en diferencias cenrales Esabilidad del méodo de diferencias cenrales Méodos implícios de inegración de paso simple Crierios de convergencia 7 EJEMPLOS DINÁMICOS 3 7. Ejemplo. Barra apoyada deslizane 3 7. Ejemplo. Voladizo muy flexible Ejemplo 3. Cable preensado 6 8 BIBLIOGRAFÍA 8 9 ANEJO. NOACIÓN 9 ANEJO. PRELIMINARES MAEMÁICOS. Resumen de álgebra de vecores y ensores. raza.3 Gradiene.4 Divergencia.5 eoremas de inegración 3 ANEJO 3. PROCEDIMIENOS MALAB 5

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7 INRODUCCIÓN Se esudia la deformación de un medio coninuo deformable bajo la acción de cargas exeriores que provocan grandes deformaciones, de al manera que no puede aceparse la hipóesis de que la posición final deformada coincide con la posición inicial. En ese conexo la respuesa del sólido es alamene no lineal pues por una pare no se conoce la posición deformada final y por ora la presencia de grandes deformaciones implica el uso de medidas de la deformación adecuadas que son esencialmene no lineales. A esa no linealidad de origen geomérico se puede añadir la no linealidad debida a la ecuación consiuiva del maerial si es que ese fenómeno se pone de manifieso en el proceso. En principio no se considerará aquí esa no linealidad debida al maerial. La nauraleza no lineal del fenómeno hace que no pueda calcularse en general la siuación deformada final en un sólo paso, aplicando la oalidad de la carga, ni siquiera siguiendo un proceso ieraivo. Es necesario seguir un proceso de carga incremenal, aplicando las cargas finales paso a paso, por incremenos, y deerminando la respuesa para cada uno de esos incremenos. Para idenificar los disinos pasos del proceso se empleará un parámero de iempo, al cual se referirán odos los incremenos de carga y las disinas configuraciones deformadas. En el caso de que las cargas sean esáicas no iene senido hablar del parámero iempo en el senido que iene en dinámica, pero por comodidad se le denominará así, aunque no se rae más que de un parámero arbirario. Por lo ano la única diferencia enre los casos esáico y dinámico esá en la consideración o no de las fuerzas de inercia. La necesidad de un proceso de carga incremenal y de un parámero al cual referir el mismo es imporane asimismo cuando exisen condiciones de carga diversas que pueden aplicarse en diferene orden. Al ser el sisema no lineal, la respuesa final depende del orden de aplicación de las mismas y se hace necesario el proceso de carga paso a paso. La figura muesra el sólido referido a un sisema de coordenadas caresiano, y en ella se idenifican: Configuración inicial en =. Cada parícula queda definida por unas coordenadas x i agrupadas en un vecor X. Configuración en un insane cualquiera. La posición de cada parícula queda ahora definida por unas coordenadas x El movimieno enre = y se puede represenar maemáicamene como una función: x = φ ( X, ) () Para cada insane de iempo, la función φ define una ransformación de coordenadas enre las dos configuraciones espaciales, inicial y final. Para una parícula cualquiera, la ecuación anerior proporciona su rayecoria emporal.

8 (X,) = u x X x x 3 x Figura. Configuración inicial y deformada.. Planeamienos maerial y espacial La resolución de un problema no lineal puede abordarse genéricamene de dos maneras disinas, dependiendo de a qué sisema de coordenadas se refieran las magniudes fundamenales involucradas en el proceso. En el planeamieno Lagrangiano, o maerial, se raa de expresar las coordenadas finales de una parícula en función de sus coordenadas iniciales: x = φ ( X, ) La deformación del sólido se raa de expresar asimismo en función de dichas coordenadas: ux (, ) = φ ( X, ) X () En ese planeamieno por lo ano se persigue el movimieno de una misma parícula maerial cuya posición inicial X se conoce y se raa de obener su posición final. Un cambio en el iempo en las ecuaciones aneriores implica que la misma parícula ocupa una posición diferene. El planeamieno Lagrangiano es adecuado al esudio de la mecánica de sólidos, en el que es necesario incluir alguna ecuación consiuiva del comporamieno de las parículas del maerial. En el planeamieno Euleriano, o espacial, el comporamieno se refiere a la posición final x ocupada por una parícula y se raa de obener la posición inicial que ocupaba dicha parícula, es decir: X = φ (,) x Las deformaciones se obienen con respeco a esa posición deformada: (, ) = (, ) ux x φ x (3) En ese planeamieno se persigue una deerminada posición en el espacio y se deermina la posición inicial que enían las parículas que pasan por dicha posición. Un cambio en el iempo en las ecuaciones aneriores implica que una deerminada posición esá ocupada por

9 una parícula diferene. El planeamieno Euleriano es adecuado a problemas de mecánica de fluidos, en el que no ineresa ano la evolución de las parículas sino la disribución espacial de las magniudes. Por ejemplo, si consideramos una magniud escalar cualquiera, como la emperaura, en el planeamieno Lagrangiano, su valor se describe con respeco a la posición inicialmene ocupada por una parícula, y se obiene como la emperaura en esa misma parícula a medida que pasa el iempo (y posiblemene ambién cambie la posición de la parícula): = ( X, ) Sin embargo, en el planeamieno Euleriano espacial, el valor la emperaura, se describe con respeco a una posición acual en el espacio, y se obiene como la emperaura en esa posición a medida que pasa el iempo (y posiblemene ambién pasen disinas parículas por ese puno): = (,) x Figura. Planeamienos maerial y espacial. 3

10 GRADIENES DE DEFORMACIÓN. ensor gradiene de deformación Es la magniud fundamenal en la definición de la deformación de un sólido, y esablece la relación enre los elemenos diferenciales de coordenadas en dos configuraciones. Así enre la configuración inicial X y deformada x, es: dx = FdX Por lo ano el ensor gradiene de la deformación se define como el gradiene de las coordenadas deformadas x respeco de las coordenadas iniciales X. Denominamos a dicho gradiene: x F = x = (4) X Cada uno de sus érminos es: xi Fij = X Es un ensor definido posiivo, como se demuesra al esudiar la ransformación del volumen. ambién se puede poner en noación de marices como: ( ) j F = x (5) Siendo la represenación como vecor del operador gradiene respeco de las coordenadas iniciales: = X X X 3 La relación inversa enre ambos elemenos diferenciales permie inroducir el ensor gradiene de deformación inverso F - : d X = F dx (6) Cuyo valor es: X F = = ( X ) x Siendo el operador gradiene respeco de las coordenadas deformadas x. El deerminane del ensor gradiene de deformación F= F esablece la relación enre los diferenciales de volumen en los esado y. Consideremos el diferencial de volumen en el 4

11 esado inicial dv formado por un paralelepípedo cuyos lados esán definidos por res vecores diferenciales dx, dx, dx 3. El valor de ese diferencial de volumen es el produco mixo de los res vecores: dv = dx dx dx 3 ( ) Los vecores se ransforman en el esado deformado a: dx = FdX i =, 3 El diferencial de volumen en el esado deformado es: dv = dx ( dx dx ) = FdX ( FdX FdX ) 3 3 Empleando la siguiene propiedad del produco mixo: Aa ( Ab Ac) = A a ( b c ) se puede poner: dv = FdX ( FdX FdX ) = FdX ( dx dx ) = F dv 3 3 i i dv F dv = (7) Como ambos diferenciales de volumen siempre deben ser posiivos, el deerminane del ensor gradiene de deformación ambién lo es. La ransformación que sufre el diferencial de área a consecuencia de la deformación se esablece mediane el ensor gradiene inverso. Consideremos un elemeno diferencial de área en el esado inicial da : es una canidad vecorial cuyo módulo da es igual al área de un paralelogramo definido por dos vecores dx y dx, y cuya dirección n viene dada por su produco vecorial: da = n da = dx dx El diferencial de área en el esado deformado es: da = nda= dx dx = ( FdX ) ( FdX ) Empleando la propiedad del produco vecorial ( Aa) ( Ab) = A A ( a b ) se obiene: d A = F F ( dx dx ) = F F da d = J d A F A. ensores gradiene de desplazamienos El ensor gradiene de desplazamienos lagrangiano (o maerial) H se define como el gradiene de los desplazamienos u respeco de las coordenadas iniciales: u H = u = (8) X En su represenación como mariz, los érminos de ese ensor son: 5

12 u u u X X X 3 u u u H = ( u ) = (9) X X X 3 u3 u3 u 3 X X X 3 H ij ui = X Considerando la expresión del ensor F, y susiuyendo en ella el valor de x en función de los desplazamienos u se obiene: Es decir: ( ) ( ( ) ) ( ) j F = x = X+ u = I+ u u F = I+ X F = I+ H () Se puede definir asimismo el ensor gradiene de los desplazamienos respeco a las coordenadas deformadas x en el insane (denominado gradiene de desplazamienos euleriano o emporal): u ui H = u = Hij = x x Para desarrollos poseriores, conviene represenar ambos ensores gradiene de desplazamienos H y H, en forma de vecores H y H, de amaño n siendo n el número de dimensiones. Para el caso de dos dimensiones, su expresión es: u u X x u u X = x H H = () u u X x u u X x.3 ensor derecho de Cauchy-Green. Se define como: = j C F F () Ese ensor permie deerminar el alargamieno que sufre una fibra de maerial de longiud inicial ds y cuya orienación inicial esá dada por un vecor uniario n. Su longiud final será: 6

13 ( ds) = dx dx = dx F FdX = dx C dx El alargamieno λ = ds / ds vale: ( λ) ds d d X X = = ds C ds ds ( ) / λ = n Cn Ese ensor permie asimismo deerminar el ángulo que forman en el esado deformado dos fibras que salen del mismo puno y cuyas direcciones vienen dadas por dos vecores uniarios n y n en el esado inicial. Sean ds y ds las longiudes finales de dichas fibras. Se cumple que: dx dx = ds ds cos θ Inroduciendo el ensor gradiene de deformación, y eniendo en cuena que es el mismo para ambas direcciones (pues F es una magniud del puno): dxf FX d dxf FX d cos θ = = ds ds ds ds Inroduciendo los vecores direccionales y los alargamienos se obiene: cos θ = n C n λλ.4 ensor izquierdo de Cauchy-Green El ensor izquierdo de Cauchy-Green se define como: B = FF (3) El inverso de ese ensor, denominado ensor de Finger, esablece una relación enre la longiud inicial de una fibra y su esado deformado: ( ) ds = d d = d d = d d X X x F F x x B x.5 Descomposición polar del ensor gradiene de deformación El gradiene de deformación F es definido posiivo, luego se puede descomponer (considerando su represenación como mariz) siempre en la forma siguiene: F = RU = VR (4) Siendo R una mariz orogonal, y U, V marices siméricas. La primera descomposición represena que la deformación oal se compone de un alargamieno, represenado por la mariz U, seguido de una roación como sólido rígido, represenada por la mariz R. La segunda descomposición considera la deformación oal como la roación R seguida de un alargamieno V. 7

14 Para evaluar esas marices y profundizar en el significado de la descomposición polar, consideramos el ensor derecho de Cauchy-Green y aplicamos la primera descomposición: C = F F = U R RU Al ser R orogonal y U simérica: C = UU Por ser C simérica y definida posiiva, iene 3 auovalores posiivos λ α y sus vecores propios N α son orogonales y uniarios. Su descomposición especral es: C = λ N N = UU α=,3 α α α Por lo ano el ensor de alargamieno U iene como auovalores a λ α y como auovecores a los mismos N α, y se puede poner en función de esas magniudes: U = λ α=,3 N N α α α Conocido U, se puede obener fácilmene R = F U -. Considerando la descomposición de F, se pueden relacionar las diversas marices. F = VR = RU V = RUR Susiuyendo la descomposición especral de U: V = λα RNα NαR α=,3 Considerando ahora el ensor izquierdo de Cauchy-Green y la descomposición de F: B = FF = VRR V = VV Al ser B simérica y definida posiiva, iene 3 vecores propios orogonales uniarios n α y res auovalores posiivos λ, con lo que su descomposición especral es: α B = λ n n = VV α=,3 α α α Por lo ano el ensor de alargamieno V iene auovalores λ α y auovecores n α, y se puede poner: V = λα nα n α α=,3 Comparando esa expresión con la obenida aneriormene, y considerando que los vecores RN α son ambién vecores uniarios, se deduce que: λ = λ n = RN α α α α Esa ecuación indica que la mariz R roa los auovecores del ensor C en el esado inicial N α a los auovecores del ensor B en el esado deformado n α, como muesra la figura siguiene. 8

15 dl dl dl dl Figura 3. Descomposición polar del ensor gradiene de deformación. Considerando un vecor dx α orienado en la dirección de un eje cualquiera α, de módulo dl α : dx = dl N α α α En el esado deformado será: dx = FdX = RUN dl α α α α Pero se cumple que UNα= λα N α luego: dx = λ dl RN α α α α dx = λ dl n α α α α Luego el módulo del vecor deformado es dl alargamieno en la dirección α: dl λ α = dl = λ dl, con lo que λ α represena el α α α Es insrucivo expresar el ensor F en función de las direcciones principales en ambos esados. Para ello susiuimos el valor de U: F = RU = λα RNα N α α=,3 α α Considerando que n = R N, F = λ α=,3 n N α α α Eso indica la nauraleza de F en el senido de que involucra a las direcciones principales en los esados inicial y deformado. 9

16 .6 Variación de los ensores gradiene Consideramos un cuerpo en un esado deformado, someido a unos desplazamienos u=x-x. Se aplica una variación virual δu a dichos desplazamienos, la cual produce una variación de los gradienes de deformaciones. La variación de los ensores gradiene de desplazamienos al variar los desplazamienos es sencillamene: δu δui δh = δhij = X X Si se emplea la definición en función de las coordenadas deformadas x la variación es: δu δui δh = δhij = x x La variación del ensor gradiene de la deformación es inmediaa: δf = δh Esa expresión se puede poner en función de las coordenadas deformadas x efecuando la derivación en cadena: δxi δui δui x δui x δui x3 δfij = = = + + X X x X x X x X j j j j 3 j Por lo ano la variación del gradiene de deformación se puede poner: δf = δh F j j

17 3 DEFORMACIONES UNIARIAS 3. ensor infiniesimal de deformaciones uniarias Sea u el campo de deformaciones exisene en el sólido en el insane. Se define el ensor de deformaciones uniarias infiniesimales como: u u i j ε ij = + (5) xj x i Es un ensor lineal, que corresponde al ensor de deformaciones uniarias empleado en el análisis con pequeñas deformaciones. Es igual a la pare simérica del ensor gradiene de desplazamienos H evaluado respeco de las coordenadas deformadas: Se puede represenar en forma vecorial como: ε ε ε 33 ε = ε ε 3 ε 3 Dado su valor, se puede expresar siempre en la forma: ε = ( H + H ) (6) C ε ε = ε ε ε = A H (7) Siendo A C una mariz consane. Por ejemplo, la expresión deallada para el caso de dos dimensiones es: u u x ε = = x u x u x u u x u + x u x x La variación del ensor infiniesimal de deformaciones uniarias al variar los desplazamienos es: δε = ( δh + δh )

18 Cuyos érminos valen: δε ij δu δu i j = + xj x i En forma vecorial esa variación se puede poner: δε = A δh (8) C 3. ensor de deformaciones uniarias de Green-Lagrange El cuadrado de la disancia enre dos punos infiniamene próximos en los esados inicial y deformado es: ( ) ds d d = X X ( ) ds = dx dx El cambio en esa disancia al cuadrado se puede expresar como: ( ) ( ) = = = ( ) ds ds dx dx dx dx dx F FdX dx dx dx F F I dx Ese cambio de la disancia al cuadrado referido a la disancia inicial define el ensor de deformación uniaria de Green Lagrange enre los esados y : ( ) ( ) ds ds = dx E dx ( ) ( ) E = F F I = C I (9) Ese ensor se puede expresar en función de los desplazamienos susiuyendo el valor del ensor gradiene de deformaciones F: E = ( + ) ( + ) I H I H I E = + + H H H H () Susiuyendo el valor del gradiene de desplazamienos H: u u u u E = + + () X X X X u u i j u u Eij = + + Xj X i Xi X j Los dos primeros sumandos corresponden al ensor infiniesimal lineal de pequeñas deformaciones, y el úlimo érmino corresponde a los érminos no lineales habiuales en grandes deformaciones.

19 El ensor de Green Lagrange es invariane ane roaciones de sólido rígido. Sea un sisema en un insane, someido a un ensor de deformación F. Enre y +Δ se aplica una roación de sólido rígido definida por una mariz R. El ensor gradiene de deformación en el nuevo esado es: F +Δ = RF El ensor de deformaciones uniarias de Green Lagrange en el nuevo esado es: E +Δ +Δ +Δ = ( ) = ( ) = ( ) = F F I F R RF I F F I E 3.. Expresión vecorial del ensor de Green Lagrange El ensor de Green-Lagrange se puede expresar en forma de vecor en la forma siguiene, para problemas de y 3 dimensiones (la barra sobre el símbolo indica una represenación como vecor): E E E 33 E = E E E = () E E E 3 E 3 Donde se han muliplicado por los érminos fuera de la diagonal para poder susiuir el produco conraco de ensores de orden por el produco escalar de vecores. Agrupando los érminos lineales y los no lineales se puede poner, para el caso de dimensiones, en la forma: u u u u X X u X X u u X u E = + X X u X u X u u u u u + X u X X X X X X La esrucura del primer érmino, que es lineal, permie expresarlo como: 3

20 u u u X X X u u X u E = + X u X u X u u u X u X X X X Esa expresión se puede poner en forma compaca definiendo dos marices y recordando la forma vecorial del ensor de desplazamienos H: (3) E = C + ( ) A A H H (4) La mariz A C es consane, con amaño 3x4 en dimensiones y 6x9 en 3 dimensiones: A C = (5) La mariz A(H) depende del vecor gradiene de desplazamienos H, pues como puede comprobarse, sus érminos son sencillamene una reordenación de los érminos de H. Precisamene la dependencia de A de la deformación es el origen de la no-linealidad del problema. u u X X u u A = (6) X X u u u u X X X X 3.3 Variación del ensor de Green Lagrange Consideramos un cuerpo en un esado deformado, someido a unos desplazamienos ui = xi Xi. Se aplica una variación virual δu a dichos desplazamienos. Según (9), la variación del ensor de deformaciones uniarias de Green Lagrange es: ( ) δe = δf F+ F δf 3.3. Expresión en función del gradiene de desplazamienos. Dado que se cumple que δf = δh, la variación se puede poner: ( ) δe = δh F+ F δh (7) 4

21 3.3. Expresión en función del ensor infiniesimal de deformaciones uniarias La variación del ensor gradiene F es δf = δh F. Por lo ano: ( ) ( ) δe = F δh F+ F δh F = F δh + δh F En esa expresión se idenifica la variación del ensor infiniesimal de deformaciones uniarias δε en el insane, con lo que finalmene la variación del ensor de deformaciones de Green Lagrange es: δ = E F F δε (8) Variación del ensor de Green-Lagrange en forma de vecor La variación del ensor de Green-Lagrange en su forma de vecor es: δe = AC δh+ AδH+ δa H Observando el valor de A se comprueba que se cumple que δah ( ) = A( δh ). Por ora pare, desarrollando las expresiones, ambién se comprueba fácilmene que: A( δh) H = A( H) δh De esa forma el úlimo sumando de la expresión anerior se puede poner como: δah= A( δh) H= AH ( ) δh Con lo que se obiene que: δe = ACδH+ A δh+ A δh = ( AC+ A) δh (9) 3.4 ensor de deformaciones uniarias euleriano De forma análoga al ensor de Green-Lagrange se puede definir el ensor de deformación uniaria en el planeamieno euleriano e o ensor de Almansi. Para ello se considera la diferencia enre los cuadrados de las disancias enre dos punos infiniamene próximos, pero referidas al esado deformado final. ( ) ( ) ds ds = dx dx dx dx = dx dx dx F F dx ( ) ( ) = ( ) ds ds dx I F F dx Con lo que se define ese ensor euleriano, en función del ensor de Finger, como: e = ( I F F ) = ( I B ) 5

22 3.5 ensores incremenales Para el desarrollo de formulaciones incremenales, resula úil esudiar el incremeno que sufre el ensor de Green Lagrange al pasar desde una configuración a ora +Δ. A esos efecos se emplean dos ensores incremenales que miden el incremeno en el ensor de Green Lagrange enre los esados y +Δ, pero referidas a esados de referencia disinos: uno emplea el esado inicial como referencia y el oro emplea el esado como referencia. Para ello ambos ensores emplean la diferencia enre los cuadrados de las disancias enre dos punos próximos, expresadas en los esados indicados. Para su empleo en las formulaciones incremenales, los dos ensores se expresan en función de la deformación incremenal enre los dos esados: +Δ +Δ uˆ = x x = u u 3.5. ensor incremenal de Green Lagrange El ensor incremenal de Green Lagrange E se define como la diferencia enre los cuadrados de las disancias enre dos punos próximos, en los esados y +Δ, referidas al esado inicial (por eso se añade el subíndice ) +Δ ( ) ( ) dx Eˆ dx = ds ds con lo cual coincide con la diferencia enre los ensores en los insanes y +Δ: +Δ (( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) dx Eˆ dx = ds ds ds ds +Δ ( ) ˆ dx E dx = dx E E dx ˆ +Δ E = E E (3) Susiuyendo el valor de los ensores en función de las deformaciones, el ensor incremenal se puede expresar como suma de dos ensores: Eˆ = ˆe+ η ˆ El primer ensor coniene los érminos lineales, en relación al incremeno de deformación û : uˆ uˆ i j u uˆ uˆ u eˆ ij = + + Xj X + i Xi X j Xi X j Los dos primeros érminos son similares al ensor de deformaciones infiniesimales (aunque referidos a las coordenadas iniciales), mienras que los dos úlimos se deben a las deformaciones iniciales ya exisenes en el maerial en el insane. El ensor no lineal en el incremeno de deformación vale: uˆ uˆ ηˆ ij = X X i j 6

23 3.5. ensor incremenal acualizado de Green Lagrange El ensor incremenal acualizado de Green Lagrange E se define como la diferencia enre los cuadrados de las disancias enre dos punos próximos, en los esados y +Δ, referidas al esado : +Δ ( ) ( ) dx Eˆ dx ds ds (3) = Susiuyendo el valor de los diferenciales en función de las coordenadas y de los incremenos de deformación, el ensor incremenal acualizado se puede expresar como suma de dos ensores: Eˆ = ˆe + η ˆ El primer ensor coniene los érminos lineales en relación al incremeno de deformación û : uˆ uˆ i j eˆ ij = + xj x i El ensor no lineal en el incremeno de deformación vale: uˆ uˆ ηˆ ij = x x i j 7

24 4 VELOCIDAD Considerando el movimieno de una parícula cualquiera definida por su posición: x = φ ( X, ) Se define la velocidad maerial de la parícula como: φ( X, ) vx (, ) = Por su definición resula obvio que se raa de un campo vecorial maerial. Físicamene represena la velocidad de la parícula que ocupa la posición X en el insane =. La velocidad es un campo espacial, a pesar de que se ha expresado en las coordenadas maeriales de la parícula X. De hecho se puede definir la velocidad como una función de la coordenada espacial x. ( ) vx (, ) = vφ ( x, ), Se raa de un campo espacial que físicamene, represena la velocidad en senido clásico, de la parícula que en el insane de iempo ocupa la posición x. Es imporane noar que la velocidad espacial es la derivada emporal de ninguna función. 4. Derivada emporal maerial Sea un campo escalar, vecorial o ensorial expresado en las coordenadas maeriales σ(x,), su derivada respeco al iempo se define como: dσ σ( X, ) σ ( X, ) = = d Y se conoce como la derivada emporal maerial de la magniud σ, pues mide el cambio de σ asociado con la parícula maerial que esá siuada inicialmene en X. Si el campo σ esá definido en función de la posición espacial x, la derivada emporal maerial requiere efecuar la derivación en cadena: σ(,) x σ(,) x x( X,) σ ( x, ) = + x σ(,) x σ ( x, ) = + ( σ) v El segundo érmino de esa expresión se denomina convecivo o de ranspore, y esá asociado al movimieno de la parícula que ocupa la posición x. 4. ensor gradiene de velocidad Habiendo definido la velocidad v, su derivada respeco a las coordenadas espaciales x define el ensor gradiene de velocidad L: 8

25 vx (,) v Lx ( ) = = v Lij = x x, i Ese ensor proporciona la velocidad relaiva enre dos parículas siuadas en punos próximos P y Q. El ensor gradiene de velocidad permie obener una expresión úil de la derivada emporal del gradiene de deformación: d x x v v x F = = = = = d LF X X X x X Esa expresión proporciona, a su vez, ora expresión del ensor gradiene de velocidad: L= F F j 4.3 Derivada emporal del ensor de Green Se obiene fácilmene a parir de su definición: E = C = FF FF 4.4 asa de deformación ( ) El ensor gradiene de velocidad se puede descomponer en sus componenes simérica y anisimérica: L= ( L+ L ) + ( L L ) El ensor asa de deformación D se define como la pare simérica de L: v v i j D= ( L+ L ) Dij = + xj x i La pare anisimérica de L define el ensor de giro W: v v i j W= ( L L ) Wij = xj x i La asa de deformación D se relaciona con la derivada emporal del ensor de Green, mediane el siguiene desarrollo algebraico: D= L+ L = FF + F F D= F ( FF + FFF ) = F EF ( ) ( ) La asa de deformación D es una medida de la variación con el iempo del cuadrado de la longiud de un elemeno diferencial: 9

26 d d d d d d d d ( ds ) = ( dx dx) = ( dx F FdX) = ( dx CdX ) d ds d d d d d = = = d d ( ) X C X X E X x F E F x d ds d d d ( ) = x D x

27 5 ENSIONES 5. ensor de ensiones de Cauchy Ese ensor σ represena las ensiones reales exisenes en el maerial, definidas como las fuerzas inernas por unidad de área en la siuación deformada. Se raa de un ensor simérico, como puede deducirse de las ecuaciones de equilibrio de momenos de un cubo diferencial. Sea un elemeno diferencial de área de módulo da en el esado deformado, definido por su vecor normal n. La fuerza acuane sobre él es df. El vecor ensión en dicha área es la fuerza de racción acuane por unidad de área: d = f da La fórmula de Cauchy proporciona el valor de esa fuerza de racción por unidad de área en función del ensor de ensiones en dicho puno y de la dirección normal: = σ n (3) 5. Primer ensor de ensiones de Piola-Kirchhoff La fuerza df acuane sobre el diferencial de área deformada da se puede referir al área inicial no deformada da, dando lugar al primer ensor de ensiones de Piola-Kirchhoff P: df = PdA = Pn da Por lo ano ese ensor proporciona la fuerza en el esado deformado, pero referida a la superficie sin deformar. Es un ensor no simérico. 5.3 Segundo ensor de ensiones de Piola-Kirchhoff Ese ensor no iene mucho significado físico, pero el siguiene proceso explica su nauraleza. Sea un elemeno diferencial de área en el esado deformado de módulo da y dirección n, sobre el cual la fuerza acuane es df. Según la fórmula de Cauchy esa fuerza es: df = σ nda Supongamos que ransformamos esa fuerza diferencial al esado original indeformado, uilizando el ensor gradiene de la deformación (que puede usarse para ransformar cualquier vecor diferencial): σ d f = F df = F n da Ese vecor de fuerzas ya ransformado al esado indeformado puede expresarse, en el esado indeformado, mediane la fórmula de Cauchy, empleando un ciero ensor de ensiones que resula ser el segundo ensor de Piola-Kirchhoff: df = Sn da

28 Igualando ambas expresiones: da La relación enre las áreas inicial y final es: Por lo ano = σ Sn F n da da = F da n F n Sn da = F F σ F n da Como esa expresión debe saisfacer para cualquier diferencial de área, se debe cumplir que: S= F F σ F (33) Esa expresión permie ransformar las ensiones reales en el esado deformado σ en el segundo ensor de ensiones de Piola Kirchhoff S. Ese ensor corresponde a la fuerza en el esado deformado, pero ransformada al esado inicial y referida a la unidad de área del esado inicial. Como puede comprobarse en su expresión, es un ensor simérico. df da n da n df S = F - Figura 4. Segundo ensor de ensiones de Piola- Kirchhoff El segundo ensor de Piola Kirchhoff es invariane ane roaciones de sólido rígido. Sea un sisema en un insane, someido a un ensor de deformación F. Enre y +Δ se aplica una roación de sólido rígido definida por una mariz R. El ensor gradiene de deformación en el nuevo esado es: F +Δ = RF La ensión de Piola Kirchhoff en el esado +Δ es: ( ) σ ( ) +Δ +Δ +Δ +Δ +Δ S = F F F eniendo en cuena que el deerminane del gradiene de deformaciones es el mismo al aplicar la roación de sólido rígido: ( ) σ ( ) +Δ +Δ S = F F R R F

29 Durane la roación de sólido rígido las ensiones se manienen consanes en el sisema móvil y sufren dicha roación de sólido rígido; por lo ano su valor es: Susiuyendo ese valor se obiene +Δ σ = Rσ R ( ) σ ( ) +Δ = F S F R R R R F ( ) σ ( ) S +Δ = F F F S Es decir que las ensiones de Piola-Kirchhoff son las mismas que anes de efecuar la roación de sólido rígido. Ello es debido a que se aplica la misma mariz de roación a las ensiones de Cauchy y al gradiene de deformaciones. 3

30 6 ECUACIONES DE EQUILIBRIO 6. Equilibrio de fuerzas Se considera un rozo cualquiera de sólido, en el esado deformado en el insane, de volumen v y área laeral s. Sean q v las fuerzas de volumen aplicadas sobre él y las fuerzas en su superficie circundane (al ser el rozo de sólido arbirario, pare de esas fuerzas de superficie serán fuerzas aplicadas conocidas y oras serán fuerzas ineriores desconocidas). El equilibrio esáico de dichas fuerzas implica que: v q dv + ds = v Las fuerzas en la superficie se pueden susiuir por las ensiones σ en la superficie empleando la fórmula de Cauchy. v v s s q dv + σ nds = La segunda inegral se puede ransformar en una inegral de volumen empleando el eorema de inegración aplicado al ensor σ v q dv + div( σ ) dv = v Como el rozo de sólido es arbirario, el inegrando iene que ser nulo siempre: div( σ ) + q = v Esa es la ecuación de equilibrio esáico del sólido, en su forma más compaca, puesa en función de las ensiones de Cauchy. 6. Equilibrio de momenos Se considera de nuevo un rozo cualquiera de sólido, y se aplica la ecuación de equilibrio esáico de momenos respeco de un puno cualquiera. Sea r el vecor que define la posición de la fuerza respeco del puno donde se oman momenos. v r q dv + r ds = v Las fuerzas en la superficie se pueden susiuir por las ensiones σ en la superficie empleando la fórmula de Cauchy: v s r q dv + r ( σ n) ds = v s La segunda inegral se puede ransformar en dos inegrales de volumen empleando el eorema de inegración y efecuando cieros desarrollos algebraicos: r q dv + r div( σ) + e : σ dv = v v v v v 4

31 El símbolo e represena el ensor alernador de orden 3, definido como e ij = si la permuación {i,j,} es par, - si la permuación es impar y si hay índices repeidos. v r ( q + div( σ)) dv + e : σ dv = v La primera inegral es nula pues su inegrando coniene la ecuación de equilibrio. Además, como el rozo de sólido es arbirario, el inegrando de la segunda iene que ser nulo siempre: e : σ = Desarrollando el produco conraco se obiene un ensor de orden (se conraen índices): σ3 σ 3 e : σ = σ3 σ 3 = σ σ Esa condición indica que el ensor de ensiones de Cauchy σ es simérico. 6.3 Principio del rabajo virual Sea un cuerpo en equilibro en un esado cualquiera, en el que exise un campo de deformaciones u y en el que se aplica una variación virual δu a dicho campo de deformaciones. El rabajo virual de las fuerzas exeriores aplicadas sobre el volumen y sobre la superficie es: E v S v s v δw = δu q dv + δu q ds (34) Las fuerzas de superficie se pueden susiuir por las ensiones de Cauchy σ en la superficie, empleando la fórmula de Cauchy q = σ n S ( ) ( δw = δu q ds + δu σn ds = δu q dv + δu σ) n ds E v v s s v s La inegral a la superficie se puede ransformar en inegral al volumen empleando el eorema de la divergencia: δw = δu q dv + div( δu σ) dv E v v El inegrando de la segunda inegral se puede desarrollar uilizando la propiedad indicada en el anejo: div( δu σ) = div( σ δu) = δu div( σ) + σ : grad( δu) Susiuyendo y agrupando las inegrales se obiene: δw = δu [ q + div( σ)] dv + σ : ( δu) dv E v v v v 5

32 El inegrando de la primera inegral es nulo pues corresponde a la ecuación de equilibrio del sólido. En la segunda inegral, el gradiene de la variación de deformación es igual a la variación del gradiene ( δu) = δ( u), con lo que: δw E = σ : δ( u ) dv v El ensor gradiene de la deformación u se puede descomponer como suma de sus componenes simérica y hemisimérica, siendo la componene simérica el ensor infiniesimal de deformaciones uniarias ε: u = H = ε+ H Por ser el ensor σ simérico, su produco conraco con la pare hemisimérica es nulo, con lo que se llega a: σ : δ( u) dv = σ : δε dv + σ : δη dv = σ : δ ε dv v v v Recuperando la expresión inicial del rabajo virual de las fuerzas exeriores se puede poner la siguiene expresión general del principio del rabajo virual: δu q dv + δu q ds = σ : δε dv v S v s v El érmino de la derecha corresponde al rabajo virual de las fuerzas ineriores: δw I v = σ : δ ε dv (35) v Por lo que de forma compaca se pude poner el principio del rabajo virual como: δw = δw (36) I El principio del rabajo virual aplicado a esa configuración indica que la condición necesaria y suficiene para que exisa equilibrio es que el rabajo virual de las fuerzas ineriores δ WI sea igual al rabajo virual de las fuerzas exeriores δ WE para cualquier variación virual de las deformaciones δu, compaible con las condiciones de ligadura: Ese principio es la herramiena fundamenal para el desarrollo de una formulación de análisis no lineal. Sin embargo su aplicación direca no es fácil, pues ano los ensores de ensiones σ, deformaciones infiniesimales ε como el volumen de inegración se refieren al sólido en el esado deformado en el insane, que es desconocido. Para resolver ese problema se emplean las magniudes de medida de ensión y deformación aneriormene definidas, que se refieren a un esado conocido. El ensor de ensiones de Cauchy se puede poner en función del º ensor de Piola Kirchhoff despejando de la ecuación (33) : E σ = F FSF La variación del ensor de deformaciones uniarias se puede poner en función de la variación del ensor de Green-Lagrange según la ecuación (8) : 6

33 δε δ = F E F Susiuyendo esas expresiones en (35) se obiene el siguiene valor del rabajo virual inerior: Operando se llega a: I V ( ): ( δ ) δw = F FSF F EF dv δ WI = F S: δe dv V La relación enre los diferenciales de volumen es Con lo que finalmene se obiene: dv = F dv δw I = S : δ E dv (37) V Empleando la represenación como vecores de los ensores S y E, la expresión final del rabajo virual inerior es: δw I = δ E S dv (38) V Se ha obenido así una expresión del rabajo virual inerior en el esado, pero en la que se emplean magniudes de ensión (S) y de deformación uniaria (E) referidas al esado inicial conocido del cuerpo, por lo que su empleo es mucho más sencillo. Esa expresión es la base de las formulaciones que se desarrollan a coninuación 7

34 7 FORMULACIÓN LAGRANGIANA OAL 7. rabajo virual inerior El equilibrio en el insane viene dado por el principio del rabajo virual: δwi = δ E S dv = δwe La variación de la deformación uniaria viene dada por (9) V δe = ( A + A) δh C Las derivadas de los desplazamienos conenidas en H se pueden expresar en función del campo de deformaciones a ravés de un operador de derivación, que en el caso plano es: X X u H = u = u (39) X X A parir de ese puno, nos cenramos en el esudio de un solo elemeno e inroducimos la hipóesis de discreización del méodo de los elemenos finios: el campo de deformaciones se aproxima por inerpolación de las deformaciones de los nudos U, a ravés de unas funciones de inerpolación N: u = NU (4) El vecor U coniene las deformaciones de los nudos en el insane y es, en el caso plano (el primer superíndice especifica el nudo): Con lo que: U = n { U U U U... U } H = u = NU = G U (4) La mariz G coniene las derivadas de las funciones de inerpolación con respeco a las coordenadas iniciales y no depende de las deformaciones. Su amaño en problemas de dos dimensiones es de 4 filas y anas columnas como grados de liberad iene el elemeno. 8

35 N N X X N N X X G = (4) N N X X N N X X La variación de las deformaciones uniarias queda por lo ano: δe = ( A + A) G δu = B δu (43) C Donde se ha definido la mariz B= ( A + A) G (44) C que proporciona la relación enre la variación de las deformaciones de los nudos y la variación de las deformaciones uniarias de Green. El rabajo virual inerior vale: δw = δ dv = δ dv I U B S U B S (45) V V En esa expresión se define el vecor de fuerzas nodales equivalenes a los esfuerzos ineriores en el elemeno. Q B S dv (46) V 7. Ecuaciones de equilibrio El principio del rabajo virual queda: δwi = δ = δ U Q W (47) El rabajo virual de las fuerzas exeriores se susiuye por el rabajo virual producido por las fuerzas nodales equivalenes a las fuerzas exeriores P, cuya deerminación se deja para más adelane: E δw E δ = U P Al ser arbiraria la variación de los desplazamienos se cumple que: Q = P Empleando el valor deallado de las fuerzas ineriores, la ecuación de equilibrio resula: B S dv = P (48) V 9

36 7.3 Linealización de las ecuaciones de equilibrio Suponemos conocido el equilibrio en el insane y buscamos el equilibrio en +Δ, que viene dado por el principio del rabajo virual en dicho insane: δw = δw +Δ +Δ I E La resolución direca de esa ecuación es muy difícil, pues es no lineal, ano en S como en E. Para su resolución efecuamos un planeamieno incremenal, en el que buscamos obener el equilibrio en +Δ a parir del equilibrio conocido en. El érmino no lineal corresponde al rabajo virual inerior, por lo que procedemos a linealizarlo con respeco a un incremeno de la deformación de los nudos del elemeno finio que denominaremos Û. Desarrollando en serie alrededor del puno anerior cuyo equilibrio se conoce: δw +Δ δw +Δ ( δw ) I I I El segundo sumando es el incremeno en el rabajo virual inerior, que deseamos ponerlo en forma lineal, proporcional al incremeno de la deformación de los nudos del elemeno Û, empleando para ello una mariz de rigidez consane, la mariz de rigidez angene: Q Δ ( δw ) ˆ ˆ ˆ I = δu Δ Q = δu U = δu K U U El incremeno en el rabajo virual inerior es, según (38): Δ ( δw ) = δe Δ S dv + Δ( δe) : S dv (49) I V V En esa expresión se ha manenido, por conveniencia para desarrollos poseriores, la noación de vecores para el primer érmino y la de ensores para el segundo. Para evaluar la primera inegral de (49), es necesario esablecer un valor del incremeno en la ensión de Piola - Kirchhoff. Al esar empleando un méodo incremenal, y ser los incremenos de deformaciones pequeños, resula acepable suponer que el incremeno de dicha ensión es proporcional al incremeno en las deformaciones de Green-Lagrange: Δ S = C ΔE La mariz C es consane y represena la ecuación consiuiva del maerial en érminos incremenales. Esa aproximación es válida para maeriales elásicos e incluso para oros comporamienos más sofisicados. Por ora pare, la variación en la deformación de Green-Lagrange viene dada por (43), y el incremeno de dicha deformación iene una expresión similar, dada la similiud enre variaciones e incremenos: Δ E = BU ˆ Donde el vecor Û coniene los incremenos en las deformaciones nodales del elemeno. Susiuyendo ese incremeno de la deformación uniaria, así como su variación, dada por la ecuación (43), se obiene el valor del primer érmino en el incremeno del rabajo virual inerior: 3

37 δe Δ S dv = δu B C B dv U ˆ V V Para calcular la segunda inegral de (49) es necesario esablecer una expresión del incremeno de la variación de la deformación uniaria de Green - Lagrange. Apoyándose en la ecuación (7), ese incremeno es: ( ) Δ ( δe) = δh Δ F+ΔF δh Dado que Δ F = ΔH queda: Δ ( δe) = ( δh Δ H+ΔH δh ) La segunda inegral es: I = Δ ( δe): Sdv = ( δ Δ +Δ δ ): dv H H H H S ransponiendo el segundo sumando I = ( δ ): dv ( δ ) : dv H Δ H S + Δ H H S En ambas inegrales la mariz que muliplica a S es la misma ranspuesa. Al ser S simérica, ambos producos conracos son iguales: I ( δ ) dv H H S = Δ : La evaluación del inegrando en esa forma resula complicada para la implemenación prácica, por lo que se desarrolla en función del valor de los ensores H y S. Al ser H lineal en las deformaciones (ver (9)), su variación δh e incremeno ΔH ienen la misma expresión que H, pero susiuyendo u por δ u y por su incremeno û respecivamene. Para el caso de dimensiones la inegral queda: I δ ˆ ˆ δu u u u X X X X S S = X X X X : dv δu δu uˆ uˆ S S Desarrollando los producos se puede demosrar que es posible poner el inegrando en la forma siguiene: δu uˆ X X S S δu uˆ X S S X I = dv δu S S uˆ X S X S δu uˆ X X 3

38 El primer facor del inegrando es la variación del vecor H (represenación como vecor del ensor gradiene de la desplazamieno H). El úlimo facor corresponde a las derivadas de los incremenos de las deformaciones û y define un nuevo vecor uˆ X uˆ ˆ X H = uˆ X uˆ X Siendo los incremenos de deformación: Con lo que la segunda inegral queda: I uˆ u ˆ = u ˆ = δ ˆ H S H dv En esa expresión se ha definido la mariz S, que consise en una agrupación diagonal del º ensor de ensiones de Piola-Kirchhoff anas veces como dimensiones enga el problema. S S S S S = (5) S S S S El vecor Ĥ se puede expresar en función de los incremenos de las deformaciones de los nudos efecuando el mismo desarrollo que para el vecor H (ver (4)): H ˆ = uˆ = NU ˆ = G U ˆ Finalmene la segunda inegral queda: Δ ( δe) : S dv = ( δu) G SG dv Uˆ El incremeno del rabajo virual queda por lo ano: ( ) ˆ Δ δw = δ U B CB dv U + δ U G SG dv U ˆ I ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ Δ δw = δu K U+ δu K U = δu Kˆ U ˆ I D Esa expresión define la mariz de rigidez angene ˆK, que iene dos sumandos. La primera mariz K ˆ D corresponde a la rigidez asociada al incremeno de las ensiones, sobre un maerial dado. Nóese su similiud con la mariz de rigidez en el análisis lineal, aunque ahora la mariz B es dependiene de las deformaciones exisenes. σ 3

39 ˆ KD B CB dv (5) La segunda mariz K ˆ σ se denomina habiualmene mariz de rigidez geomérica y corresponde a la rigidez asociada al incremeno de las deformaciones uniarias acuando sobre un esado de ensiones ya exisene. No depende de las propiedades del maerial sino sólo del esado de ensiones (a ravés de S) y de la geomería (a ravés de G), de ahí su nombre. ˆ Kσ G SG dv (5) 7.4 Ecuaciones de equilibrio incremenales ras la linealización del rabajo virual inerior, la ecuación de equilibrio en +Δ queda: δw +Δ δw +Δ ( δw ) = δw +Δ I I I E Susiuyendo el incremeno linealizado del rabajo virual y reordenando: ˆ ˆ +Δ δu K U = δw δw En el érmino de la derecha, el rabajo virual de las fuerzas ineriores en el insane conocido viene dado por (45), mienras que el rabajo virual de las fuerzas exeriores se susiuye por sus fuerzas nodales equivalenes P +Δ, con lo que queda: ˆ ˆ +Δ δu K U = δu P δu B S dv Al ser arbiraria la variación de las deformaciones, se debe cumplir: O ambién, en forma compaca E V I ˆˆ +Δ KU = P B S dv (53) V ˆ ˆ +Δ KU= P Q (54) Esa expresión es la ecuación incremenal de equilibrio del elemeno finio. El érmino de la derecha represena el desequilibrio enre las fuerzas exeriores aplicadas en +Δ y la fuerzas ineriores exisenes en. El érmino de la izquierda represena el incremeno aproximado de fuerza inerior que se obiene al aplicar un incremeno a la deformación. 33

40 P + P u^ Q u u + Figura 5. Sisema linealizado. 7.5 Formulación isoparamérica Asumiendo una formulación isoparamérica para el elemeno, resula sencillo desarrollar el proceso para obener la mariz de rigidez angene y el vecor de fuerzas ineriores. Se supone un sisema de coordenadas normalizadas ξ i local al elemeno, en el que se definen las funciones de inerpolación Inerpolación de coordenadas En principio sólo son necesarias las coordenadas en el esado inicial, que se inerpolan con respeco a las de los nudos (el superíndice indica el nudo): X = N X (55) i i 7.5. Inerpolación de deformaciones. Para las deformaciones en el insane la inerpolación es: ui = NUi u = NU (56) Para los incremenos de deformaciones se emplea una expresión similar: ˆ uˆ ˆ ˆ i = NUi u = NU (57) ransformación de derivadas Las derivadas de las disinas magniudes involucradas se ransforman enre el sisema local normalizado y el general por medio de la mariz jacobiana habiual. Por ejemplo, para la derivada de una función de inerpolación: 34

41 N X X N ξ ξ ξ X = N X X N ξ ξ ξ X N ξ = J N X Los disinos érminos de la jacobiana se obienen mediane la inerpolación de coordenadas y las derivadas de las funciones de inerpolación en coordenadas locales: J ij X j = = ξ i N ξ Es necesaria asimismo la ransformación de coordenadas inversa: N N = J X ξ N N N ( ) ( ) X J + J ξ ξ = N N N ( J ) + ( J ) X ξ ξ i X i (58) Mariz G Esá formada por una serie de anos bloques como nudos iene el elemeno, cada uno de los cuales coniene las derivadas de una función de inerpolación respeco de las coordenadas iniciales. N X N X n =... = N G G G G G X N X Su cálculo es inmediao empleando la ransformación de coordenadas inversa: 35

42 G N N ( J ) + ( J ) ξ ξ N N ( J ) + ( J ) ξ ξ = N N ( J ) + ( J ) ξ ξ N N ( J ) + ( J ) ξ ξ (59) Vecor de gradiene de los desplazamienos H Su cálculo es asimismo inmediao, y requiere conocer las deformaciones de los nudos en el esado conocido : Mariz A u N U X X H u N U H X X H u N U H X X u N U X X H = = = En realidad esa mariz sólo coniene los érminos del ensor H, ordenados de ora manera: Mariz de rigidez angene Su expresión iene dos sumandos: (6) H H A = H H (6) H H H H Kˆ = B CB dv + G S G dv En la primera inegral, la mariz B se puede descomponer en dos sumandos: B = ( AC+ A) G= ACG + AG = BL + B N El primer sumando proviene de los érminos lineales en la deformación y da lugar a la mariz consane B L. El segundo es proporcional al esado de deformaciones exisene a ravés de la mariz A y da lugar a la mariz no lineal B N. Los valores de esas marices se obienen fácilmene a parir de las A, A C y G. ienen una esrucura de bloques, un bloque para cada nudo, similar a la de G. Para la mariz consane: 36

43 () () ( n) BL = ACG = L L... B B B L N X ( ) N BL = AC G = X N N X X Para la mariz no lineal: () () ( n) BN = AG = N N... B B B N N N H H X X ( ) N N BN = A G = H H X X N N N N H H H H + + X X X X Susiuyendo en la primera inegral se obiene el primer sumando de la mariz angene: Kˆ = ( B + B ) C ( B + B ) (6) D L N L N dv ˆ KD = BLCBLdv + BLC BNdv + B C B dv + B C B dv N L N N El primer sumando corresponde a la mariz de rigidez lineal K ˆ D y los 3 resanes a la componene no lineal. ˆ ˆ ˆ ˆ K = K + K + K + K ˆ D D D D D El segundo sumando de la mariz angene corresponde a la mariz de rigidez geomérica y se puede evaluar direcamene Vecor de fuerzas ineriores Su expresión general es: Q = B S dv V Es sencillo de evaluar, en base a la mariz B y al vecor de ensiones de Piola-Kirchhoff S en el esado conocido : Q = G ( A + A) S dv (63) V C 37

44 7.6 Fuerzas nodales equivalenes a las fuerzas exeriores Las fuerzas nodales P equivalenes a las fuerzas exeriores producen el mismo rabajo virual que ellas. En el insane +Δ su valor es: δw = δu q dv + δu q ds = δu P E v S v Inroduciendo la inerpolación de deformaciones, las variaciones de deformación se pueden poner en función de las variaciones de deformación nodales: δw = δ U N q dv + δ U N q ds = δ U P s +Δ +Δ +Δ +Δ E v S v s Por lo ano las fuerzas nodales equivalenes son: Nq dv + N q ds = P +Δ +Δ +Δ +Δ +Δ v S +Δ v +Δ s La evaluación de esas fuerzas no es posible pues no se conoce ni el volumen ni la superficie en +Δ. Para poderlas evaluar se ransforman al esado inicial. El proceso requiere susiuir el diferencial de volumen empleando para ello el deerminane del ensor F y el diferencial de área, empleando la fórmula de Nanson. Se obiene la siguiene expresión: +Δ +Δ +Δ v S v s P = N q dv + N q ds (64) +Δ +Δ En esa expresión q v y q S son los valores de las fuerzas de volumen y superficie en el insane +Δ, pero referidas al volumen y superficie iniciales. Esas expresiones son válidas si las fuerzas no dependen de la deformación, como es el caso de muchas fuerzas habiualmene (p.e. concenradas, peso propio, ec.). En caso conrario, la presencia de fuerzas dependienes de la deformación origina nuevos érminos en las ecuaciones de equilibrio que no han sido enidos en cuena. 38