SEMESTRE TIPO 1 DURACIÓN MÁXIMA 2.0 HORAS 5 DE JUNIO DE NOMBRE Apellido paterno Apellido materno Nombre (s) Grupo

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE ECUACIONES DIFERENCIALES SEGUNDO EXAMEN FINAL RESOLUCIÓN SEMESTRE 5 TIPO DURACIÓN MÁXIMA. HORAS 5 DE JUNIO DE 5 NOMBRE Apellido paerno Apellido maerno Nombre () Grupo FIRMA Inruccione: Lee deenidamene lo ei enunciado, ee eamen e la demoración de u aprendizaje a lo largo del emere, raa de enender y reolver primero lo que iene eguridad en u conocimieno.. Reolver la ecuación diferencial en y dy ln yd Se oberva que e una ecuación diferencial ordinaria, de variable eparable: en dy ln yd y dy d yln y en.5 PUNTOS Inegrando en ambo lado: en ydw yw en en d dw en en d d w en co ln wc ec d an ec d yc C y C ln ln an ec ln ln an ec ED_EF-_5-

2 aplicando eponencial naural y por leye de eponene: an ec C ln y e e y Ce an ec. Obener la olución general de la ecuación diferencial V IV y y 4y y 5y D D 4D D 5D y 4 3 D D D 4D D5 y V IV y y 4y y 5y. PUNTOS e obervan re raíce para el polinomio auiliar, cero y m ; luego, realizando diviión inéica o por facore cuadráico, la ecuación equivale a: D D D D D5 y el polinomio auiliar e: Pmmm m m m5 m, m, m3, m4 i, m5 i la olución homogénea aociada e: yh C Ce C3e e C4en C5co H co y C C e C e C e en C e Para la olución paricular, por el méodo de coeficiene indeerminado, e iene: D P D aplicando a la ecuación diferencial: DDD D D D5 yd enonce: NH ED_EF-_5- co y AB C C e C e C e en C e comparando y H y y NH, e iene la propuea para la olución paricular: yp A B

3 La olución propuea debe aifacer a la ecuación diferencial, e decir: V IV p p p p p y y 4y y 5y yp A B y P B, y p, IV y p, V y p uiuyendo en la ecuación diferencial: 4B5AB igualando: -B, 5A4B B, A uiuyendo lo valore: yp la olución general eá dada por: yg yh yp G co y C C e C e C e en C e 3. Deerminar el iema equivalene de primer orden, en forma maricial, de la ecuación diferencial y 4y en.5 PUNTOS Para el iema, e abe que: y 4y en y u yu u y u u y u 3 3 uiuyendo: u u u u3 u3 4u en ED_EF-_5-

4 en forma maricial, e ecribe como: u u u u iema equivalene de primer orden. u3 4 u3 en 4. Reolver la ecuación diferencial y 4y 3y ; y y y 4y 3y ; y y.5 PUNTOS aplicando ranformada de Laplace: y 4y 3y por linealidad: y 4 y 3 y 4 3 Y Y Y e e e Y 43 e Y 43 3 por decompoición en fraccione racionale: A B AB3 AAB3B ; 3 3 ABA3B igualando: A 3 B ; A B umando la do ecuacione: A y B aplicando la ranformada invera de Laplace: e e y e y u e u e 5. Obener.5 PUNTOS ED_EF-_5-

5 Se pide calcular la ranformada invera, e puede obener por convolución: GH e abe que: GHco 3co3 co3co 3d co3 co 3d co( 3)co3en3 en3co 3d co3co 3dco( 3) co 3den3 en3co3 d La primera inegral e reuelve por idenidad o por pare, y la egunda por uiución de u: co d co d en en6 en co d u du en en uiuyendo: co3 co 3dco( 3) en6 en3 en 3 6 dearrollando y umando: 3 3 co3co3d enco enco co 3 6 También: co3co3d en3 co3 6 Ora forma de reolver, haciendo decompoición en fraccione imple: AB CD A B C D 3 A AB BCD ED_EF-_5-3 A B AC BD igualando: A, B, C, D

6 enonce, uiuyendo y por linealidad, ademá compleando la forma, e iene: 3 3 ; en k k co k k k ED_EF-_5- en3 en3 3 co3 en co 6. Obener una olución complea de la ecuación diferencial en derivada parciale u u para una conane de eparación. PUNTOS e iene u u con e propone: u FG enonce: u u FG, FG uiuyendo en la ecuación diferencial en derivada parciale: FG FG eparando variable: F G F G df dg F d G d enonce: df dg d, d F G Inegrando, ademá, e oberva que on funcione imérica (lo que e le hace a una, e reproduce en la ora), por imería:

7 df d dg d F G 3 3 ln F C ; ln G C 3 3 aplicando eponencial naural: lnf 3 ln 3 3 C G e e ; e e3 C C ; 3 C F e e G e e 3 3 ; 3 3 F C e G C e por lo que: u, C 3 3 e Ce u, Ae 3 3 ED_EF-_5-