UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS CÁLCULO INTEGRAL PRIMER EXAMEN EXTRAORDINARIO Sinodales: M.I. Mayverena Jurado Pineda Ing. Sergio Carlos Crail Corzas de Septiembre de 009 TIPO A Semestre INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 7 reactivos que componen el eamen antes de empezar a resolverlos. La duración máima del eamen es de.5 horas. 1. Calcular el valor medio de la función f cuya gráfica se muestra abajo. Calcular ( ) 4 4 ln a ) e d b ) lim e ln

2 . Efectuar 1 a ) e cos d b ) d c ) d + + ( ) 1EE puntos 4. Calcular el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje de las ordenadas, la región limitada por las curvas de ecuación y = ln, y = 0 y =. 5. Determinar el dominio de la función f y representarlo gráficamente, si ( ) = ( ) ( 1 + ) f, y ln ln y 6. Por efecto de la temperatura un cono se contrae pasando la longitud de su altura de 10cm a 9.7 cm y la de su radio de 5cm a 4.8cm. Calcular, de manera aproimada por medio de diferenciales, el incremento que sufre el volumen del cono. 7. Calcular la derivada direccional de la función f (, y ) = 1 en el punto y 1 1,, y en la dirección del vector 1 v =, 1

3 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS CÁLCULO INTEGRAL PRIMER EXAMEN EXTRAORDINARIO Sinodales: M.I. Mayverena Jurado Pineda Ing. Sergio Carlos Crail Corzas de Septiembre de 009 TIPO B Semestre INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 7 reactivos que componen el eamen antes de empezar a resolverlos. La duración máima del eamen es de.5 horas. 1. Calcular el valor medio de la función f cuya gráfica se muestra abajo. Calcular ( ) 4 4 ln a ) e d b ) lim e ln

4 . Efectuar 1 a ) e cos d b ) d c ) d + + ( ) 1EE puntos 4. Calcular el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje de las ordenadas, la región limitada por las curvas de ecuación y = ln, y = 0 y =. 5. Determinar el dominio de la función f y representarlo gráficamente, si ( ) = ( ) ( 1 + ) f, y ln ln y 6. Por efecto de la temperatura un cono se contrae pasando la longitud de su altura de 10cm a 9.7cm y la de su radio de 5cm a 4.8cm. Calcular, de manera aproimada por medio de diferenciales, el incremento que sufre el volumen del cono. 7. Calcular la derivada direccional de la función f (, y ) = 1 en el punto y 1 1,, y en la dirección del vector 1 v =, 1

5 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA CÁLCULO INTEGRAL Solución del Primer Eamen Etraordinario Semestre El valor medio se calcula por medio de la epresión f ( c ) la interpretación geométrica se tiene que a partir de la figura = b f ( ) d a de b a f ( ) d = + = = 1 f ( c ) = = = 4 6 ( ) R e sp u esta f ( c ) = 1. a) Por las propiedades de la función ln y e, la integral se puede escribir como ln 4 I = 4 e d = 4 4 d 1 4 I = 4 d = 4 ( 5d) = + C 5 5 ln Re spuesta 5 4 I = + C 5 ln4

6 S1EE10-1 b) lim ln e =, se puede aplicar la regla de L Hôpital ln lim = lim = lim = 0 e e e lim ln e = 0. a) Por partes u = e dv = cos d du = e d v = sen I = e sen e sen d I 1 a su vez por partes u = e dv = sen d du = e d v = cos I = e sen + e cos + C I 1 I = e sen e cos + e cos d I = e sen + e cos e cos d I e I = ( sen + cos ) + C

7 b) Por sustitución trigonométrica S1EE10-1 = tanθ ( ) + = secθ d = sec θ dθ tanθ + I = sec θ dθ secθ I = secθ tanθ dθ + secθ dθ I = secθ + ln secθ + tanθ + C ( ) ( ) + + I = + ln + + C ( ) ( ) I = + + ln C c) Por fracciones parciales ( + 1) ( ) ( ) I = + + ln C 1 A B + C = ( ) ( ) 1 = A B + C si = 0 A = 1 si = 1 ( B C ) B C ( ) 0 = = 1 si = 1 ( ) ( C B ) C B ( ) 0 = =

8 si ( 1) + ( ) C = 0 B = y C = = d d d d = = + 1 I = ln ( + 1) ln + C = ln + C 1 I = ln + + C 1 I = ln + + C S1EE puntos 4. Sea la región indicada en la figura π e d y = V y 1 V = π 4 y e y ln 1 ln 1 V = π 4 ln e 0 0

9 S1EE ln 1 4 V = π ln e V = π ln V = π ln 4 + u 1 V = π ln 4 + u 5. Debe cumplirse que ( ) ( ) ln ln 1 y + 0 ln 1 y + ln 1 y + y y 1 y R e su lta d o 1 y

10 6. Sea V lo que 1 V V = π r h si dv = V entonces dv = dr + dh por r h π dv = π rh dr + r dh π dv = π dv = π π dv = π cm 6 dv 55 = π cm 6 S1EE Sea u v =, y sea f = i j p y si p p f f f = i + j entonces y p 1 1,, 1 1 f = i j = 1, ( 1, ), la derivada direccional pedida es df du df du = f u v = 1,, = = = = df du = 9 5 0