UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

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1 UNIVERSIDAD DE SAN CAROS DE GUATEMAA FACUTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CURSO: MATEMÁTICA INTERMEDIA TIPO DE EXAMEN: SEMESTRE: PRIMER PARCIA PRIMER SEMESTRE FECHA: ABRI DE 015 NOMBRE DE AUXIIAR QUE RESOVIO E EXAMEN: KEVIN JAVIER CHIN ORTIZ NOMBRE DE A PERSONA QUE REVISO A CAVE: ING. RENADO GIRON CAVE-11-1-M

2 Universidad de San Carlos TEMATICA INTERMEDIA Facultad de Ingeniería PRIMER PARCIA Departamento de Matemática 0/0/015 TEMA 1 (30 pts, 10 pts c/u): Calcule lo que se le pide a continuación: a) Graficar r(t) = 4 cos(t), t, 4 sin(t) en el intervalo 0 t 4π. b) Para la función vectorial a calcularcurvatura en el punto P(1, 0, 0) c) Calcular (e t ) 1 4t 3,, t t tan 1 (t) TEMA (10pts):Calcule lo que se le pide a continuación: Encuentre el dominio de la funciónf(x, y) = 3x y TEMA 3 (0 pts): x 3y Para (r, h) = (ln ( h ) 0. 75), se sabe que a inductancia " " (medida en r microhenrys), " h " es la longitud del hilo (en milímetros) y " r " es el radio de una sección transversal circular(en mili metros), son la medida de un hilo recto no magnético en el vacío. Use diferenciales para calcular el radio de la sección transversal circular si se sabe que al inicio hay microhenryscon un error de medición de de microhenrys y 100 mietros de longitud de hilo con un error de medición de de mietro TEMA 4 (0 pts): a Temperatura en un punto (x, y) en una plancha de metal plana, este definida por T(x, y) = 50/(1 + x + y ) donde " T "se mide en & x, y en metros. Calcule la razón de cambio de la Temperatura en el punto (, 1): a) a dirección de " x " b) a dirección de " y " TEMA 5 (0 pts: 10 pts c/u): Para funciónf(r, s) = r ln(r + s )calcule las primeras derivas: f a) r b) f s

3 TEMA 1 a) Debido a que tenemos una función que consta de seno y coseno, la curva que describe nuestra función es una elise creciente en el eje donde se encuentra t, en este caso en el eje y Podemos evaluar algunos puntos específicos para determinar por donde pasa la curva, en el intervalo 0 t 4π: t 4 Cos (t) t 4 Sen(t) 0 4i 0j 0k π/ 0i πj 4k π -4i πj 0k 3π/ 0i 3πj 4k π 4i 4πj 0k 5π/ 0i 5πj 4k 3π -4i 6πj 0k 7π/ 0i 7πj 4k 4π 4i 8πj 0k

4 b) Sabiendo que la ecuación de curvatura está definida por: K(t) = r (t) X r (t) r (t) 3 Y evaluando la función r(t) = 1 + t, t, t 3, en el punto P(1, 0, 0), obtenemos: 1 + t t t t = 1 t = 0 t 3 = 0 t = 0 t = 0 t = 0 Por lo tanto en el punto P(1, 0, 0), t = 0 Determinando las derivadas y productos necesarios para encontrar la curvatura: r (t) = 1, t, 3t r (0) = 1, 0, 0 r = 0,, 6t r (0) = 0,, 0 i j k r (t) X r (t) = Resolviendo el producto cruz: r (t) X r (t) = [(0)(0) (0)()]i + [(1)(0) (0)(0)]j + [(1)() (0)(0)]k r (t) X r (t) = 0, 0, r (t) X r (t) = = r (t) = = 1 Sustituyendo en la ecuación de curvatura, finalmente encontramos que: K = r (t) X r (t) r (t) 3 = (1) 3 Y por lo tanto: K =

5 c) Evaluando cada límite por separado cuando t Para: Hacemos la sustitución: t (e t ) 1 t e t Entonces, reescribiendo el límite: Por lo tanto: u = t u e u = 0 t (e t ) 1 = 0 Para: t 4t 3 t Evaluando el límite, obtenemos que: t Derivando el numerador y denominador de la fracción: t 4 t = 4 = 0 Para: t (tan 1 (t)) Debido a la tendencia que se muestra en la gráfica, puede concluirse que:

6 t (tan 1 (t)) = π Por lo tanto lo solución general del límite queda expresada como: 0, 0, π t TEMA, x no puede ser cero en el 3y denominador, ni puede existir una raíz negativa, entonces: Sabiendo que la función f(x, y) = 3x y x 3y > 0 x > 3y 3 x > y Por lo tanto el dominio de la función queda definido como: y < 3 x

7 TEMA 3 Primero utilizamos la ecuación dada, la de inductancia, para despejar el radio r = (ln ( h r ) 0. 75) = ln (h r ) = ln (h r ) Aplicamos exponenciales en ambos lados de la ecuación para einar el logaritmo natural: e ( ) = e ln(h r )

8 e ( ) = h Finalmente la ecuación del radio de la sección circular queda expresada como: h r = e ( ) Y utilizando diferenciales para calcular dicho radio: dr = r h Realizando las derivadas parciales: r dh + r d r (e ( h = ) ) () (h)(0) (e ( ) ) = e ( ) r = (e ( ) ) (0) (h)(e ( (e ( ) )( (1) 0 ( ) ) = (h)( ) ) ) e ( ) Por lo tanto r l = h(e( ) ) Y de las condiciones iniciales del problema sabemos que: = h = 100 dh = d = Finalmente hacemos las sustituciones para determinar por diferenciales el radio de la sección transversal circular:

9 dr = ( ) (100)(e( ) 100 e ( dr = mietros ) )( ) TEMA 4 T(x, y) = 50/(1 + x + y ) a) a razón de cambio de la temperatura en el punto (,1) en dirección de "x", es determinada derivando la ecuación de temperatura con respecto a "x" T x = (1 + x + y )(0) (50)(x) (1 + x + y ) a razón de cambio en el punto P (,1), es: T(,1) = (50)(()) ( ) = 50 = metros 9 b) a razón de cambio de la temperatura en el punto (,1) en dirección de "y", es determinada derivando la ecuación de temperatura con respecto a "y" T y = (1 + x + y )(0) (50)(y) (1 + x + y ) a razón de cambio en el punto P (,1), es: T(,1) = (50)((1)) ( ) = 5 =. 77 metros 9

10 TEMA 5 f(r, s) = r ln(r + s ) a) f = r (1)(ln(r + s )) + (r)(r) = (r +s ) ln(r + s ) + r r +s b) f s = (0)(ln(r + s )) + (r)(s) (r +s ) = rs r +s