UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA. CLAVE V sN

Transcripción

1 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE-101--V sN CURSO: SEMESTRE: Primero CÓDIGO DEL CURSO: 101 TIPO DE EXAMEN: Tercer Examen Parcial FECHA DE EXAMEN: 6 de abril de 017 RESOLVIÓ EL EXAMEN: Ing. Mario de León DIGITALIZÓ EL EXAMEN: Keyla Analy Barrera Martínez COORDINADOR: Ing. José Alfredo González Díaz

2 6 de abril de 017 Tercer Examen Parcial Temario C Tema 1: (0 puntos) Dada la gráfica de una función trigonométrica, determine a. El valor de la amplitud y traslación vertical. b. Calcule el período de la función c. Determine una ecuación para la gráfica de la función que tanga la forma: g( x) acos b( x h) k y x Tema : (0 puntos) Resuelva las ecuaciones: x x x x b. a. log log 0 Tema : (0 puntos) a. Demuestre la identidad trigonométrica: 1 cos x csc x cot x 1 cos x b. Resuelva la ecuación para 0 x : sen x sen x 0 Tema : (0 puntos) La población de una comunidad crece de acuerdo a un modelo exponencial natural. Si la población es de 0,000 personas después de años y tarda 5 años en duplicarse la población inicial, entonces: a. Calcule la población inicial. b. Encuentre un modelo que exprese la población P en términos del tiempo t expresado en años. c. Cuál será la población a los 8 años? Tema 5: (0 puntos) Una montaña se eleva verticalmente,01 pies sobre una planicie horizontal. La ladera de la montaña tiene un ángulo de inclinación de 60º. Se debe instalar un cable para teleférico, desde un punto que se encuentra a 800 pies de la base de la montaña, hasta la cima de la misma. Calcule la longitud de cable necesario, suponiendo que se encuentra perfectamente tensado. Cuál será el ángulo que se forma entre la planicie y el cable?

3 SOLUCIÓN DEL EXAMEN Tema 1: (0 puntos) Dada la gráfica de una función trigonométrica, determine a. El valor de la amplitud y traslación vertical. b. Calcule el período de la función c. Determine una ecuación para la gráfica de la función que tanga la forma:a g( x) acos b( x h) k y x No. Explicación Operatoria 1. Identificar las constantes a, h, y k de g(x) = a cos[b(x h)] + k a = amplitud h = desplazamiento horizontal k = desplazamiento vertical a = 5 ( 1). Hallar la amplitud, restando el valor superior y el valor del eje de las ordenadas dividido. a = 6 a =. Hallar traslación vertical k =. Hallar período de la función Período = 1.5 ( 0.5)

4 Período =. Hallar el valor de b b = Período = π b π Período b = π b = π 5 Hallar desplazamiento horizontal h = Determine una ecuación para la gráfica de la función que tanga la forma: g( x) acos b( x h) k g(x) = cos[π(x ( 0.5)] + g(x) = cos[π(x )] + R./ a. a =, k = b. Período = c. g(x) = cos[π(x + 0.5)] +

5 Tema : (0 puntos) a. log x log x 0 16 No EXPLICACION OPERATORIA Para poder resolver la ecuación logarítmica es necesario que ambas expresiones posean la misma base. Ya que estas son diferentes es necesario utilizar la fórmula de cambio de base : log a M = log b M log b a Realizando cambio de base para log 16 x a log x: log 16 x = log x log 16 log 16 x = log x log 16 x log x = 0 log x log x = 0 Sustituir log 16 x = log x en ecuación logarítmica y simplificar log x log x = 0 log x log x = 0 log x = log x log x = log (x) 1/ Utilizar log b M c = c log b M para simplificar log (x) 1/ log x = 1 log x

6 log x = ( 1 log x) log x = 1 (log x) log x = (log x) (log x) log x = 0 Resolver ecuación logarítmica, recordar que está se define de la siguiente manera: y = log b x si y solo sí x = b y (log x) log x = 0 (log x)(log x ) = 0 Igualar cada término a cero y simplificar: 1. (log x) = 0 x = 0 x 1 = 1. (log x ) = 0 log x = x = x = 16 R. / x 1 = 1, x = 16

7 x x b No EXPLICACION OPERATORIA Como a n a m = a n+m, entonces: x = x Utilizar ley de los exponenetes para simplificar la expresión x. Como b n = 1 bn, entonces: x = x 1 x = x 1 9 Sustituir x por x 1 9 ( x ) 81( x ) = 0 ( x ) 81 ( x 9 ) = 0 Utilizar ley de los exponentes: ( a b )n = an b n, para simplificar la expresión ( x 9 ) Utilizar (a n ) m = a n m para simplificar la expresión (9) ( x ) 81 ( x 9 ) = 0 ( x ) 81 (x ) ( x ) 81 (x ) (9) = 0 81 = 0 ( x ) ( x ) = 0 Obtener factor común ( x ) de la ecuación exponencial. ( x )[ ( x )] : = 0

8 ( x )[ ( x )] : = 0 Igualar cada expresión a cero de la ecuación exponencial y aplicar logaritmo de base a ambos lados. ( x ) = 0 log x = log 0 5 Resolver ecuación exponencial x = : No tiene solución [ ( x )] : = 0 x = log x = log x = R. / x =

9 Tema : (15 puntos) a. Demuestre la identidad trigonométrica: 1 cos x csc x cot x 1 cos x No. 1 Explicación Desarrollar el binomio al cuadrado ( csc x cot x). Recordatorio: (a b) = a ab + b Operatoria ( csc x cot x) = (csc x) (csc x)(cot x) + (cot x) Sustituir identidades: (csc x) (csc x)(cot x) + (cot x) csc x = cot x = 1 sen x cos x sen x ( 1 sen x ) ( 1 x x ) (cos ) + (cos sen x sen x sen x ) 1 cos x sen x sen x + cos x sen x Simplificar la expresión sumando los tres términos. 1 cos x sen x sen x + cos x sen x 1 cos x + cos x sen x Como cos x + sen x = 1, despejar sen x y sustituir en ecuación. sen x = 1 cos x 1 cos x + cos x sen x 1 cos x + cos x 1 cos x 5 Factorizar (1 cos x)(1 cos x) (1 cos x)(1 + cos x) 6 Simplificar y demostrar la identidad trigonométrica (1 cos x)(1 cos x) (1 cos x) (1 + cos x)

10 (1 cos x) (1 + cos x) = (1 cos x) (1 + cos x) R. / (1 cos x) (1+cos x) = (1 cos x) (1+cos x) b. Resuelva la ecuación para 0 x : sen x sen x 0 No. Explicación Operatoria 1 Aplicando factor común (sen x)( sen x + ) = 0 Igualando a cero cada término sen x = 0 sen x + = 0 sen x = 0 x = sen 1 (0) x 1 = 0 Despejar la variable x para sen x = 0 Y encontrar las soluciones utilizando el círculo unitario (en radianes). x = 0 + π

11 x = π sen x + = 0 sen x = sen x = x = sen 1 ( ) x = Despejar la variable x para sen x + = 0 y encontrar las soluciones utilizando el círculo unitario ( en radianes ). x = 0 + π x x = π x =. 871 rad x = π x = rad Tema : (0 puntos)

12 La población de una comunidad crece de acuerdo a un modelo exponencial natural. Si la población es de 0,000 personas después de años y tarda 5 años en duplicarse la población inicial, entonces: a. Calcule la población inicial. b. Encuentre un modelo que exprese la población P en términos del tiempo t expresado en años. c. Cuál será la población a los 8 años? No. Explicación Operación 1 El modelo general para problemas de población exponencial se define de la siguiente forma: P(t) = P o e rt Identificar las condiciones iniciales por medio de una tabla. Población 0,000 P o? Tiempo (años) 5 8 Para (5, P o ): P(t) = P o e rt r (5) P o = P o e P o P o = e 5r Determinar la constante r utilizando la segunda condición inicial (5, P o ) = e 5r e 5r = Aplicando logaritmo a ambos lados de la ecuación ln e 5r = ln 5r = ln r = ln 5 r =

13 Para (, 000) : r (),000 = P o e P o e r =,000 Despejando P o Determinar la población inicial (P o ) utilizando la primera condición (,000) P o =,000 e r Sustituyendo r = P o =,000 e ( 0.186) P o = 1, 195 Determinar el modelo que exprese la población P en términos del tiempo t expresado en años, sustituyendo los valores de r y P o en P(t) = P o e rt P(t) = P o e rt P(t) = 1, 195e t Utilizar el modelo t P(t) = 1, 195e para calcular la población después de 8 años. P(t) = 1, 195e P(8) = 1,195e t (8) P(8) = 0, 000 personas R. / La población inicial es de 1, 195 personas, el modelo que exprese la población en términos del tiempo se representa como P(t) = 1, 195e t y dentro de 8 años la población será de 0,000 personas.

14 Tema 5: (15 puntos) Una montaña se eleva verticalmente,01 pies sobre una planicie horizontal. La ladera de la montaña tiene un ángulo de inclinación de 60º. Se debe instalar un cable para teleférico, desde un punto que se encuentra a 800 pies de la base de la montaña, hasta la cima de la misma. Calcule la longitud de cable necesario, suponiendo que se encuentra perfectamente tensado. Cuál será el ángulo que se forma entre la planicie y el cable? No EXPLICACION OPERATORIA 1 Realizar un esquema que describa el problema. Establecer ángulos internos del triangulo formado. cos 0 =,01 c Hallar c c =,01 cos 0 c =, pies

15 d = c (800)(c) cos 10 Como c =, Hallar d utilizando ley de cosenos d = 800 +, (800)(,811.67) cos 10 d =, pies sen θ c = sen 10 d sen θ = c sen 10 d 5 Hallar θ utilizando ley de senos sen θ =, sen 10,68.7 θ = sen 1, sen 10 ( ),68.7 θ = R./ La longitud del cable deberá ser de,68.7 pies, y el ángulo entre el cable y la planicie deberá ser de