UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE M

Transcripción

1 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE M CURSO: SEMESTRE: Curo de vacacione Diciembre 2017 CÓDIGO DEL CURSO: 118 TIPO DE EXAMEN: Primer Parcial FECHA DE EXAMEN: Diciembre 2017 HORARIO DE EXAMEN: 11:00 13:00 AUXILIAR: Ocar Aria CLAVE: CLAVE M

2 SOLUCIÓN DEL EXAMEN

3 Tema 1 (10 punto) Por definición hallar la tranformada de f(t) = co2t No. Explicación Operatoria Se tiene un itema de 3 tanque a lo cuale le e entregada y extraída una olución en diferente proporcione. Para el tanque A e tiene que recibe 2 gal/min del tanque B por lo 100 galone que poee y que entrega 6 gal/min por lo 100 galone que poee. L{f(t)} = f(t)e t 0 dt L{f(t)} = Co(2t)e t dt 0 Al implificar e obtiene la primera ecuación del itema. Se realiza la integración, para ete cao e integra por parte do vece y implificando e obtiene el iguiente reultado para luego evaluarlo con lo límite de integración. Por medio de la propiedade de una integral impropia e abe que al evaluar ambo término con infinito e obtiene cero, luego al evaluar con cero y implificar finalmente e tiene la traformada de Laplace de la función. L{f(t)} = [ e t Co[2t] e t Sin[2t] 2 ] L{f(t)} = [0 ( )] L{f(t)} = L{f(t)} = 2 + 4

4 Tema 2 (30 punto) Hallar la tranformada de: A) f(t) = t 2 en2t No. Explicación Operatoria Para determinar la tranformada de Laplace de la función dada e realiza primero la tranformada del eno y e deja indicado que e realizará la egunda derivada de la mima Se realiza la primera derivada del término dentro de lo corchete por medio de la regla de la diviión. Se deja indicado que e realizara una derivada má L{Sin[2t]} = L{f(t)} = d 2 { } 4 L{f(t)} = d { ( 2 + 4) 2} Finalmente e realiza la derivada del término obtenido y e implifica para tener la tranformada de Laplace de la función dada en el enunciado L{f(t)} = 4(2 + 4) ( 2 + 4) ( 2 + 4) 4 L{f(t)} = ( 2 + 4) 3 L{f(t)} = ( 2 + 4) 3

5 B) f(t) = e 4t Co8t No EXPLICACION OPERATORIA La forma de realizar la tranformada de Laplace e por medio del primer teorema de tralación ya que e cuenta con un exponencial acompañado de otra función diferente a una exponencial. Primero e halla la tranformada de Laplace de la función no exponencial Se indica depué de la forma reultante de la tranformada de la función diferente de exponencial que tiende a + 4 por el valor exponencial que poee la función e. Se utituye en cada el valor que e indica del exponencial. Dando aí como reultado la tranformada de Laplace de la función dada al incio. L{Co[8t]} = L{f(t)} = [ ] L{f(t)} = [ ( + 4) ] + 4 L{f(t)} = [ ( + 4) ]

6 C) f(t) = (2t + 3) 4 No. Explicación Operación Se tiene un producto notable y para poder hallar la tranformada de Laplace primero e debe dearrollar dicho producto. (2t + 3) 4 = 16t t t t + 81 Se debe tranformar cada término del producto dearrollado. L{f(t)} = 16 ( 4! 216 5) + 96 (3! 4) (2! 3) Se implifica lo obtenido y aí ya e tiene la traformada de Laplace de la función dada. L{f(t)} = ( 384 ) + (576 5 ) + (432 4 ) L{f(t)} = ( 384 ) + (576 5 ) + (432 4 )

7 Tema 3: (30 punto) Hallar la Tranformada Invera de: a) F() = (+2)( 2 +3) No. Explicación Operación No puede er calculada la traformada invera de Laplace directamente en la forma que etá A B + C repreentada la función dada, por lo que debe decomponere en + 3 = ( + 2)( 2 + 3) fraccione parciale. 4. Se igualan lo denominadore lo cuale e eliminan y lo numeradore quedan de la iguiente manera. Al dearrollar lo producto indicado y factorizando para lo valore de. Al igualar ambo miembro de la ecuación e obtiene el iguiente itema de 3 ecuacione con 3 incógnita. A( 2 + 3)+(B + C)( + 2) = 2 (A + B) + (2B + C) + (3A + 2C) = A + B = 0) 2B + C = 1 3A + 2C = 0 5. Al reolver el itema. A = 2 7, B = 2 7, C = Se utituyen en la función original y e tranforman inveramente. De eta manera ya e poible tranformar inveramente. Un último arreglo e le da al tercer término que para cumplir con la forma etándar del eno debe tener la raíz del término contante del denominador en el numerador L 1 {f(t)} = L 1 {f(t)} = 2 7 e 2t Co[ 3t] Sin[ 3t] L 1 {f(t)} = 2 7 e 2t Co[ 3t] Sin[ 3t]

8 No. b) F() = Explicación Operatoria Como no e poible tranformar inveramente directamente, en el denominador e realiza una completación al cuadrado. F() = ( + 3) Al viualizar el denominador e ve que poee el primer teorema de tralación, por lo que la retante en el numerador deberá umárele Pero para que eto uceda e hace un arreglo Ya e poible tranformar inveramente Lo cual conlleva ecribir primero el reultado del primer teorema de tralación invero e indicar lo retante a traformar. 2( ) ( + 3) L 1 {f(t)} = = 2( + 3) ( + 3) ( + 3) ( + 3) ( + 3) ( + 3) L 1 {f(t)} = 2e 3t { } 3e 3t 5 5 { } 4. Finalmente e traforma lo retante. L 1 {f(t)} = 2e 3t Co[5t] 3 5 e 3t Sin[5t] L 1 {f(t)} = 2e 3t Co[5t] 3 5 e 3t Sin[5t]

9 c) F() = No EXPLICACION OPERATORIA Primero e factoriza el denominador y e exprea como fraccione parciale = 1 ( 2 + 4) A B + C = Por medio del método del incio a) al reolver el itema de ecuacione e obtiene el iguiente reultado. Se utituyen en la función original y ya e poible traforma inveramente la funcione reultante. A = 1 4, B = 1 4, c = 0 L 1 {f(t)} = L 1 {f(t)} = Co[2t] L 1 {f(t)} = Co[2t]

10 Tema 4: (30 Punto) Reuelva la iguiente ecuacione diferenciale. a) y y = 2Co5t, y(0) = 0 No EXPLICACION OPERATORIA Se deben realizar la tranformada de Laplace de cada miembro de la ecuación recordando la forma etándar de la tranformada de la primera derivada. Se factoriza el primer miembro y e paa a dividir al egundo. L{y } = F() F(0) F() F(0) F() = F()( 1) = F() = ( )( 1) Se epara en fraccione parciale A B + c + = ( )( 1) 4. Al reolver el itema de ecuacione que eto produce e obtienen lo iguiente valore. A = 1 13, B = 1 25, C = Se utituyen en la función original y e tranforman inveramente. L 1 {F()} = Finalmente f(t) = 1 13 et 1 13 Co[5t] Sin[5t] f(t) = 1 13 et 1 13 Co[5t] Sin[5t]

11 b) y + 9y = e 4t y(0) = 0 y (0) = 0 No EXPLICACION OPERATORIA Se deben realizar la tranformada de Laplace de cada miembro de la ecuación recordando la forma etándar de la tranformada de la egunda derivada. Se factoriza el primer miembro y e paa a dividir al egundo. L{y } = 2 F() F(0) f (0) 2 F() F(0) F (0) + 9F() = 1 4 F()( 2 + 9) = F() = ( 4)(( 2 + 9)) = 1 ( 4)( + 9) Se epara en fraccione parciale A + B 4 + C = ( 4)( + 9) 4. Al reolver el itema de ecuacione que eto produce e obtienen lo iguiente valore. A = 1 36, B = 1 52, C = Se utituyen en la función original y e tranforman inveramente. L 1 {F()} = Finalmente f(t) = e4t e 9t f(t) = e4t e 9t