Solución: sumando y restando en el numerador y repartiendo el denominador, se tiene. 2e cos 2t e sin 2t. 1 s
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- Vanesa Soto Barbero
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1 . Halle la transformada inversa de L s s5 Solución: completando cuadrados la función de forma conveniente, de manera que se asemeje a una transformada conocida de Laplace. L s s 5 L s s 4 L s Empleando la transformada de la función seno por un exponencial: L e sa at cost L L L e s s s t sin t s. Halle la transformada inversa de L s s5 Solución: sumando y restando en el numerador y repartiendo el denominador, se tiene. L ( s) ( s) s s 5 L s s 5 L s s 5 Nuevamente completando cuadrados en el denominador y empleando de transformada de una función seno y coseno por un s a at at exponencial. L e sin t, e cos t L s a s a ( s) s t t L e cos t e sin t s s 5 L s s 5 L L s s s t t De tal manera se obtiene que: L e cos t e sin t s s5. Halle la transformada inversa de: s L ss Solución: para este problema no existe transformadas conocidas, por lo que se empleara fracciones parciales, además de residuos para hallar los coeficientes. s s a b L s s s s s s s 5 s Empleando residuos, se tiene. a lim s b lim s s s s s s s
2 at Reemplazando los valores de los coeficientes y empleando la transformada de un exponencial L e s a : L s 5 5 s 5 e e e e s s L s s L s s t t t t s 4. Hallar la transformada inversa: L s s Solución: factorizando el denominador y empleando residuos y descomponiendo en fracciones parciales, se tiene: s s a b L s s L L s s s s s s Determinando los factores de a y b. a lim s b lim s s s s s s s Reemplazando los valores hallados y empleando la transformada de un exponencial. L s s e e e e s s L s s L s s t t t t 5. Hallar la transformada inversa: L ss 4 Solución: factorizando el denominador (para este problema se tiene factores imaginarios) y descomponiendo en fracciones parciales. a b c L L L 4 s s ss is i s s i s i Determinado a, b y c: a lim s, b lim s i, c lim s i s 0 ss is i 4 s i ss is i 8 s i s s is i 8 Reemplazando dentro de la transformada inversa y empleando la transformada de una constante y un exponencial. a b c it it L L e e ss 4 s s i s i L 4 s 8 s i 8 s i it it e e Ordenando la última expresión y empleando la función elemental de cost it it e e L cos t L cos t ss ss Hallar la transformada inversa de: L s s
3 Solución: descomponiendo en fracciones parciales se tiene que: A A A a L L s s s s s s Hallando a, b, c y d: a lim s s s s Para hallar los demás factores, la siguiente formula (nota: la siguiente formula se emplea siempre y cuando sean raíces reales ps () Am Am A y repitas): si tenemos que..., entonces los coeficientes se hallarán mediante: m m q() s s a s a s a mk d m p lim ( s ) Ak s a, k,,..., m m k m k! sa ds q( s) d A lim s A, A lim s lim A s0 s s! s0 ds s s s0 s d A lim s lim A! s0 ds s s s0 s Reemplazando los valores encontrados en la transformada inversa y empleando las transformadas correspondientes.! t L L e t t s s s s s s L! s s s s L s s 7. Hallar la transformada inversa de: L s Solución: descomponiendo en fracciones parciales (factores con raíces imaginarias). A A B B L L L s s i s i s i s i s i s i Empleando teorema de residuos, para raíces repetidas, se tiene. A lim s i A si s i s i d 4 4 A lim s i lim A! si ds si s i s i s i i i i B lim s i B si s i s i B d 4 4 l im s i lim B! si ds si s i s i s i i i i
4 Reemplazando los coeficientes hallados y empleando transformaciones necesarias de funciones elementales. it it it it L te e te e s i i s i s i i s i i i it it it it e e e e L t L sint t cost s i s 8. Resolver mediante la E.D. mediante la transformada de la place. y'' y sin t, si y(0) 0, y'(0) Solución: empleando las transformadas necesarias y reemplazando las condiciones iniciales, se tiene: Ly '' y L sin t s Y( s) Y( s) s s 6 a b c d Despejando Ys () y descomponiendo en fracciones parciales. Ys () s s s i s i s i s i Hallando los coeficientes, mediante residuos: s a lim s i i a i si s is is is i i ii 6 6 s b lim s i i b i si s is is is i ii i 6 6 s 6 c lim s i i c i si s is is is i ii 4i 6 6 s 6 d lim s i i d i si s is is is i i i4i 6 6 Reemplazando la los coeficiente y empleando las transformadas inversas L Y () s L i i i i y ie ie ie ie 6 s i 6 s i 6 s i 6 s i it it it it it it it it 5 e e e e 5 y i i i i y sin t sin t 6 i 6 i 9. Encontrar la ecuación solución de la ecuación diferencial y'' 4y sin t, si y(0) 0, y'(0) 0 Solución: empleando las transformaciones necesarias: L y '' 4y L sin t s Y( s) sy(0) y(0) 4 Y( s) s Y( s) 0s 4 Y( s) s s Despejando Ys () y descomponiendo en fracciones parciales: 4
5 0s a b c d Y ( s) s 4 0 s Y ( s) s s 4 s 4 s 4 s i s i s i s i d b lim s i b, a lim s i a i s i 8! s i s i s i ds s i s i 6 d d lim s i d si, c lim s i c i s i s i 8! s ids s i s i 6 Reemplazando y empleando la transformada inversa: 0s L Y () s L i i s 4 6 s i 8 s i 6 s i 8 s i it it it it e e e e y 0cos t i i t y 0cos t sin t t cos t 6 i t 0. Encontrar la solución de la ecuación diferencial: y'' 4 y' 4y t e, si y(0) y'(0) 0 Solución: empleando la transformada y despejando Ys (). t L y '' 4 y ' 4 y L t e s Y ( s) sy(0) y '(0) 4 sy( s) y(0) 4 Y( s) s ( ) 4 ( ) 4 ( ) ( ) 4 4 ( ) ( ) 5 s Y s sy s Y s Y s s s Y s s Y s s s s s Empleando la transformada inversa: 4! 4 t L Y () s L y t e 5 4! s t. Encontrar la solución de la ecuación diferencial: y'' 4 y' 4y e cos t sin t, si y(0), y'(0) Solución: empleando la transformada de la place y descomponiendo en fracciones parciales. t s L y '' 4 y ' 4y L e cost sin t s Y ( s) s 4 sy( s) 4 Y( s) s4 s4 s Y ( s) s 4 sy ( s) 4 4 Y ( s) Y ( s) s 4s 4 s s s s s s 4 s 4s 5s s s 5 s 7s 6s s 7s 6s Y ( s) s Ys () s 4s 5 s 4s 5 s s 4s 5 s 7s 6s a b cs d Descomponiendo en fracciones parciales. Ys () s s 4s 5 s s s 4s5 Sacando mcd e igualando los coeficientes de los numeradores. 5
6 s 7s 6s as s 4s 5 bs 4s 5 cs d s 4s 4 s s 4s 5 s s 4s s 7s 6s a s s s b s s c s s s d s s s s 4s 5 s s 4s 5 s :a c s : 7 6a b 4c d De donde obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: a 0, b, c, d 4 s :6 a 4b 4c 4d 0 s : 0a 5b 4d Reemplazando los valores y aplicando las transformadas inversas necesarias. s 4 s L Ys () L L s s 4s5 s s L s Y ( s) L y te e cost sin t s s s t t. Encontrar la solución de la ecuación diferencial: y''' y'' y' y, si y(0) y'(0) y''(0) 0 Solución: empleando la transformada de la place y descomponiendo en fracciones parciales. L y ''' y '' y ' y L s Y( s) s Y( s) sy( s) Y( s) Y( s) s s s s s s s a A A A Descomponiendo en fracciones parciales. Ys () ss s s s s Empleando residuos para hallar los coeficientes, se tiene: a lim s a, s0 ss d s s s A lim s A, A lim s lim A s s! ds s s s d A lim s lim A! sds s s s s Reemplazando los valores y aplicando las transformadas inversas necesarias.!! L Y ( s) L L y t e s s s s s! s s s te e t t t. Encontrar la solución de la ecuación diferencial: y''' y, si y(0) y'(0) y''(0) 0 Solución: Empleando la transformada de laplace y despejando Ys () de la ED. 6
7 L y ''' y L s Y( s) s y(0) sy '(0) y ''(0) Y( s) Y( s) s s s s s s s a b cs d Descomponiendo en fracciones parciales: Ys () ss s s s s s s Sacando mcd e igualando los coeficientes obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: s :0 a b c as bs s s cs d s s s :0 b d c Y( s) a, b, c, d ss s s s s s s s :0 b d 0 s : a Reemplazando los coeficientes y ordenando de manera conveniente para emplear las transformadas inversas. s s t ( ) t L Y s L L e e cos t s s s s 4 s s 4 4 t t y e e cos t 4 7
8 Práctica : Econtrar la tranforma de la place por definicion de las siguientes funciones:. t Sol.: s t. e Sol.: s 9. sint Sol.: s 9 t 4. te Sol.: s Demostrar las siguientes transformadas: L f '( x) sf( s) f (0) L f ''( x) s F( s) sf (0) f '(0) Hallar las siguientes antitransformadas: 7. L ss 8. L s s Demostrar las siguientes antitransformadas: 9. L sin at at cos at s a a 0. L sin at at cos at s a a Resolver los siguientes problemas por trasformada de la place. y'' y' y, y(0), y'(0) Sol.: ( ) t. y'' y ' y e cos t t, y(0), y '(0) y t t e t. y'' y sin t, y(0) y'(0) 0 Sol: sin t sin t Encuentre la carga en el capacitor de un ciricuito LRC en serie cuando: L [ H ], R 0[ ], C 0.00[ f ],, E( t) 50[ V] bajo las siguientes condiciones iniciales q(0) [ C] y i(0) 0[ A]. Cual será la carga en el capacitor después de largo tiempo?: 0t Sol.: q( t) e cos0t sin0 t, q( ) [ C] NOTA: Los asistentes a clases deberán resolver los impares y los no asistentes todo. 8
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
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