AUTÓMATAS Y SISTEMAS DE CONTROL

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1 º NGENERÍA TELECOMUNCACÓN 2º TT SSTEMAS ELECTRÓNCOS 2º TT SSTEMAS DE TELECOMUNCACÓN AUTÓMATAS Y SSTEMAS DE CONTROL PROBLEMAS DE SSTEMAS PARTE 2: ERRORES EN REG. PERMANENTE LUGAR DE LAS RACES DSEÑO REGULADORES PD ANÁLSS EN FRECUENCA

2 PROBLEMA preentar la ituación de lo polo del itema realimentado al variar el parámetro entre 0 e 8: X) _ 2 6)7) Y) SOLUCÓN PROBLEMA 2 Conidéree el itema de la figura iguiente: X) _ 2 Y) T a Se pide: Para T y a, calcular la evolución de lo polo del itema en bucle cerrado i varía entre 0 e 8. Para y a2, calcular la evolución de lo polo del itema en bucle cerrado i T varía entre 0 e 8. Para y T4, calcular la evolución de lo polo del itema en bucle cerrado i a varía entre 0 e 8.

3 SOLUCÓN En el primero de lo cao variación de ) e trata de un lugar de la raíce imple. La ecuación caracterítica obre la que e debe trabajar e: _ ) H) 2 ) H ) 0 0 ) ) El lugar de la raíce que e obtiene e: polo doble - -2 En el egundo cao variación de T) e trata de un problema de contorno de la raíce. El objetivo e depejar la ecuación caracterítica original: ) H ) 0 hata obtener una nueva ecuación en la en que lugar del término aparezca el término T: T G ) H ) 0 En el cao del problema e obtiene: 2 T 0 T 0 2) ) OJO:un polo de H) e puede cancelar con un cero de ) pero no al contrario) El lugar de la raíce reultante queda: -

4 El tercer cao vuelve a er un problema de contorno de la raíce, en ete cao e debe depejar de modo que quede ailado el parámetro a. El reultado e: a 0 a ).44) Y el lugar de la raíce reulta: PROBLEMA Dado el itema de la figura iguiente: - 2 ) 2 ) preentar el lugar de la raíce. Sobre el diagrama repreentado, calcular lo valore de a partir de lo cuale el itema e hace inetable. Calcular aimimo lo polo conjugado del itema para ete valor de. Calcular, a partir de lo criterio del trazado del lugar de la raíce, el valor que ha de tener para que el itema tenga un polo en bucle cerrado en -4. Calcular el error de poición i la ganancia del itema en bucle abierto e 9. SOLUCÓN A continuación e repreenta el lugar de la raíce junto con lo valore olicitado en el momento en el que el itema e hace inetable. Eto valore e obtienen a partir de la tabla de Routh, bucando el valor de que produce la aparición de una fila de cero y olucionando la ecuación caracterítica de la fila anterior para obtener el valor de :

5 El valor de que hace que exita un polo en -4 e obtiene aplicando el criterio del módulo para el punto -4: z p i i La ganancia en bucle abierto erá el valor de la alida yt) en régimen permanente del itema ) i la entrada xt) e un ecalón unitario: Y t y G X G Y S S t 7 5 lim ) lim ) lim ) 7 5 ) ) ) ) Por tanto, el itema tendrá ganancia en bucle abierto 9 para un valor de 9. El error de poición para el itema en bucle cerrado e calcula a partir de la contante de error de poición: 0% lim ) lim p p p e G - - polo doble netabilidad: ±v7j 2/ ) yt) xt) ) _

6 PROBLEMA 4 De un itema e conoce la repueta impulional de ), a la que llamamo gt): Se pide: gt) 0.5 e t e 2t 0.5 e Dibujar con preciión el lugar de la raíce para el itema en bucle cerrado cuando el parámetro varía de cero a infinito, epecificando: o Rango de valore de para lo que el itema e etable. o Rango de valore de para lo que todo lo polo on reale. Calcular el error de poición del itema en función del parámetro. Exite algún valor de que haga el error de poición menor que el 5%? Por qué? SOLUCÓN La función de tranferencia del itema erá la tranformada de Laplace de la repueta impulional: t G ) 2 ) 2) ) El itema en bucle cerrado erá el iguiente: _ ) M ) ) ) El lugar de la raíce reultante e muetra a continuación. Se marcan lo punto de comienzo de inetabilidad, que e deben obtener obre la tabla de Routh del itema en bucle cerrado M) imponiendo la condición de que aparezca una fila de cero: Pto. diperión: netabilidad: ±vj

7 A la vita del lugar de la raíce e puede concluir: El itema e etable para <60 Todo lo polo on reale para <0.8 Para el cálculo del error de poición e partirá de la contante P : P lim ) lim 0 0 ) 2) ) 6 e p p < > 4 El valor neceario para el parámetro e encuentra fuera del rango de etabilidad, por lo que e impoible coneguir un error de poición menor del 5%. PROBLEMA 5 Sea el modelo de una planta continua: G p ) ) 2) Se pide dieñar el regulador continuo má encillo poible de forma que e conigan para el itema realimentado la iguiente epecificacione: Sobreocilación menor de un 4.% Mp<4.% Tiempo de etablecimiento de.256. Error de poición ante entrada ecalón menor de un 50% SOLUCÓN La epecificacione en régimen tranitorio equivalen a uno polo dominante en cadena cerrada en la poición 2.5 ± 2.5j o en una poición má favorable. En primer lugar e comprueba que un regulador tipo P no e uficiente, porque el lugar de la raíce de la planta in controlador no paa por lo polo deeado. zona válida -2 -

8 Como iguiente pao e prueba con un regulador tipo PD, que e dimenionado mediante la técnica del lugar de la raíce. A continuación e muetra C) o la función de tranferencia del controlador obtenido: C ) 2.7 Falta por verificar que e cumplen la epecificacione de régimen permanente. El error de poición erá: e p P 2.7 ) lim C ) ) lim 0 0 ) 2) ) p %.08 Por lo tanto, e cumplen la epecificacione. PROBLEMA 6 De un itema deconocido ) e tienen lo iguiente dato: ) preenta en cadena abierta do polo: uno en 0 y otro en -4 y ningún cero Aplicando una realimentación unitaria a ) el itema reultante M) preenta un error de velocidad de 0.25 Se pide: Obtener la función de tranferencia del itema ) Obtener la función de tranferencia del itema M) Determinar i la repueta del itema M) ante entrada ecalón preentará o no preentará obreocilacione. SOLUCÓN De acuerdo con lo dato, ) erá un itema de egundo orden como el iguiente: ) 4) El valor de e obtiene coniderando el error de velocidad que e ofrece como dato: 4 e v V lim 0 ) ) lim 0 4 Por lo tanto lo itema que e piden on: ) 2 4) ) M ) ) ev M) tiene do polo complejo conjugado, por lo que u repueta ante ecalón preentará obreocilacione.

9 PROBLEMA 7 Del itema ) e conoce la curva de módulo de u repueta en frecuencia Bode) y e abe que tiene un cero y do polo todo ello de parte real negativa. ) jw) 6.02 db pendiente -20dB/decada -20dB/decada w rad/) Se pide: preentar la curva de argumento para dicho itema. Determinar la función de tranferencia de ete itema. preentar el diagrama de Nyquit, y calcular el margen de fae y margen de ganancia del itema. SOLUCÓN A partir de la curva de módulo e puede deducir la función de tranferencia del itema: - Un polo en -/2 - Un cero en -/4 - Un polo en -/8 0.25) ) 0.5) 0.25) El valor de la contante e obtiene a partir del módulo a baja frecuencia, donde no afectan ni lo polo ni lo cero: 6.02dB 20 log0 2 Por tanto, la función de tranferencia queda: 0.25) ) 2 0.5) 0.25) A partir de eta función de tranferencia e inmediato dibujar la curva de fae:

10 /j?) -45º/dec 0º -90º ?[rad/] El diagrama de Nyquit también e puede obtener fácilmente a partir de la función de tranferencia. A continuación e muetran tanto el camino origen como la imagen: - 2 El margen de ganancia G e infinito, ya que la fae nunca alcanza 80º no e alcanza la frecuencia de cruce de fae? f ). El margen de fae? e puede calcular bucando la frecuencia? G de cruce de ganancia en el primer tramo la frecuencia a la que la ganancia e hace, que en decibelio equivale a 0dB): ω jω) ω 5.08rad ω 0.25 ω jω) arctan 0.25ω ) arctan 0.5ω ) arctan 0.25ω ) 49º γ 80º 49º º

11 PROBLEMA 8 Para el itema repreentado en la iguiente figura - 2 preentar el diagrama de Bode de u función de tranferencia en bucle abierto ). Analizar mediante el método de Nyquit la etabilidad del itema repreentado ). Calcular razonadamente a partir del diagrama de Nyquit lo valore de la ganancia que poibilitan que el itema ea etable. SOLUCÓN La función de tranferencia obre la que e debe trabajar e: ).5 2 Lo diagrama de Bode de amplitud y fae reultan: j?) 20dB/dec 20log 0.5) 0.0././2 0. / /2 0/ 0/2 0?[rad/] /j?) -45º/dec -80º -90º/dec -270º 0.0././2 0. / /2 0/ 0/2 0?[rad/]

12 A continuación e repreentan tanto el camino origen como la imagen del diagrama de Nyquit: En el camino origen e han dibujado lo polo y cero de la función de tranferencia en bucle abierto. Para el cálculo de la etabilidad debe er tenido en cuenta que el número de polo P dentro del contorno origen e igual a 0. El número N de rodeo alrededor del punto - erá: Si.5< <2/) cero rodeo: N 0 Si.5> >2/) un rodeo en entido de giro poitivo: N Aplicando la fórmula de Cauchy: N Z P donde P0 como e ha vito) reulta: Si >2/ N Z luego el itema e inetable Si <2/ N0 Z0 luego el itema e etable PROBLEMA 9 Para el itema repreentado en la figura iguiente: - 2 Se pide: preentar el diagrama de Nyquit Calcular el margen de fae y margen de ganancia del itema

13 SOLUCÓN El camino origen y la imagen del diagrama de Nyquit e muetran a continuación: V V El margen de ganancia G e infinito, ya que la fae nunca alcanza 80º no e alcanza la frecuencia de cruce de fae? f ). El margen de fae? e puede calcular bucando la frecuencia? G de cruce de ganancia en el primer tramo la frecuencia a la que la ganancia e hace, que en decibelio equivale a 0dB): 2 2 ω jω) ω.6rad 2 2 ω ω 2 ω ω jω) arctan 90º arctan 99.8º 2 γ 80º 99.8º 80.2º PROBLEMA 0 Dado el itema repreentado en la iguiente figura: Rt) - 00 Yt)

14 Se pide: Dibujar el diagrama de Bode aintótico de la función de tranferencia en bucle abierto. Etudiar por Nyquit la etabilidad del itema total. Calcular lo márgene de ganancia y fae obre el diagrama de Bode aintótico y obre el diagrama de Nyquit. SOLUCÓN La función de tranferencia en bucle abierto a utilizar e: 00 G ) H ) ) Lo diagrama de Bode de amplitud y fae e repreentan a continuación: j?) -20dB/dec 40dB -40dB/dec 0dB 0. 0?[rad/] /j?) -90º -45º/dec -80º 0. 0?[rad/] El diagrama de Nyquit e muetra en la figura iguiente, tanto el camino origen como el camino imagen:

15 V V - No exite ningún polo de la función de tranferencia en bucle abierto dentro del camino origen, por lo tanto, P0. Y la imagen no rodea al punto -, por lo tanto N0. Aplicando la fórmula de Cauchy: N Z P, e obtiene que Z0. Por lo tanto, no hay ningún polo inetable y el itema en bucle cerrado e etable. El margen de ganancia G e infinito, ya que la fae nunca alcanza 80º no e alcanza la frecuencia de cruce de fae? f ). El margen de fae? e puede calcular bucando la frecuencia? G de cruce de ganancia en el primer tramo la frecuencia a la que la ganancia e hace, que en decibelio equivale a 0dB): 00 jω) 2 2 ω ω jω) 90º arctan γ 80º 74.º 5.7º ω ) ω 9.97 rad 74.º Si intentamo etudiar la etabilidad no obre el Nyquit ino obre lo diagrama aintótico de Bode e obtendrían la iguiente frecuencia de cruce: Frecuencia? f de cruce de ganancia 0 db): 0 rad/ Frecuencia? G de cruce de fae -80º): 0 rad/ De eto do valore la frecuencia de cruce de ganancia e fiable, porque e produce en un punto del trazado aintótico en el que la diferencia repecto del trazado real e pequeña. Sin embargo la frecuencia de cruce de fae no e fiable, dado que e produce juto en un punto de cambio de pendiente, donde el error e máximo. De hecho, e obtiene una frecuencia de cruce de fae de 0 rad/ cuando en realidad ete valor debe er 8, ya que la fae real nunca alcanza lo -80º. Por tanto, i e deea calcular márgene de ganancia y de fae obre el diagrama de Bode, ha de hacere obre el diagrama real y no obre el aintótico.

16 PROBLEMA Etudiar por Nyquit la etabilidad del iguiente itema en función del valor del parámetro >0): X) _ 4-2) Y) SOLUCÓN A continuación e repreentan el camino origen y el camino imagen de Nyquit para la función de tranferencia coniderada: V? 2.8rad/ j?) /2 2 V En el camino origen e han dibujado lo polo de la función de tranferencia en bucle abierto, 0 y 2. El polo en el origen e debe rodear y el polo en 2 debe er tenido en cuenta al calcular la etabilidad: el número de polo P dentro del contorno origen erá igual a. En la imagen e ha calculado la frecuencia para la que la fae e 80º, que ha reultado er de 2.8rad/. También e ha calculado el módulo de j?) a ea frecuencia, que ha reultado er /2. El número N de rodeo alrededor del punto - erá: Si /2< <2) cero rodeo: N 0 Si /2> >2) un rodeo en entido de giro negativo: N - Aplicando la fórmula de Cauchy: N Z P donde P como e ha vito) reulta: Si >2 N- Z0 luego el itema e etable Si <2 N0 Z luego el itema e inetable