CAPÍTULO 2 RESPUESTA EN FRECUENCIA

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1 CAPÍTULO RESPUESTA EN FRECUENCIA.1 GENERALIDADES Introducción Para el circuito de la figura.1, e encontrarán la funcione circuitale de admitancia de entrada y de ganancia de voltaje, la cuale e definen como: I () Vo() Yin() = G () = Vi() Vi() Figura.1 Cualquiera que ea la función circuital, iemre e oible exrearla como el cociente indicado de do olinomio racionale entero, aí: F () = b + b+ b b 0 1 a + a+ a a 0 1 m n m n Cuando la excitación e de tio enoidal, la frecuencia comleja etá dada or = jω, iendo ω la frecuencia de la excitación. Al reemlazar = jω, la función circuital e de variable comleja y e odrá exrear mediante u arte real y u arte imaginaria, aí: F( jω ) = R( ω ) + jx ( ω ) La función e uede exrear en u forma olar, e decir, mediante u magnitud y u fae, de la iguiente manera: F( jω) = F( jω) e j Θ( ω) 34

2 F j R X atan X ( ω) ( ω) = ( ω) + ( ω) Θ ( ω) = R( ω) Magnitud de una función circuital en decibelio La magnitud en decibelio de una función circuital e define como: Fdb( ω) = 0 log F( jω) La unidad de decibelio e uada muy a menudo en ingeniería. Con bae en lo anterior, tenemo. F( ω ) = La iguiente tabla ilutra lo decibelio aociado a cierta cantidade: Fdb Cantidad decibelio DIAGRAMAS DE BODE DE MAGNITUD Y FASE Introducción El diagrama de Bode de magnitud de una función circuital e una gráfica de la magnitud en decibelio veru el logaritmo de la frecuencia log(ω). El diagrama de Bode de fae de una función circuital e una gráfica de la fae veru el logaritmo de la frecuencia. Toda función circuital tiene una frecuencia caracterítica ω, la cual e toma como referencia ara dibujar lo diagrama de Bode. 35

3 Para dibujar lo diagrama de Bode de magnitud y fae e neceario hacer una artición del eje de frecuencia en década. Una década e el intervalo de frecuencia comrendido entre do frecuencia ω 1 y ω de tal manera que ω = 10. La figura. muetra cuatro década ω1 alrededor de la frecuencia ω ω o 0.1ω o ω o 10ω o 100ω o Figura. Para ubicar una frecuencia intermedia ω x en la década comrendida entre una frecuencia ω 1 y la frecuencia 10ω 1, e rocede de la iguiente manera: x Se calcula la cantidad d = log ω y e mide la cantidad d a artir de la frecuencia ω 1. ω 1 Por ejemlo, la frecuencia etá ubicada en la década , a artir de la frecuencia 10, e mide la cantidad d = log( 384. ), reultando d = Diagrama de Bode de magnitud y fae de una contante Dada la función circuital F( jω ) = K, la odemo exrear en la forma: Ke F( jω) = Ke j0 jπ K > 0 K < 0 La magnitud en decibelio e Fdb( ω ) = 0 log K. El diagrama de Bode de magnitud conite de una recta horizontal que uede etar or encima del eje de frecuencia, obre el eje de frecuencia o or debajo del mimo, deendiendo de K. Si K < 1, la recta etá or debajo. Si K > 1, la recta etá or encima. En cuanto a la fae, el diagrama de Bode correondiente e una recta horizontal que e igual a cero i K > 0 y e igual aπ i K < 0 Diagrama de Bode de magnitud y fae de un derivador Un circuito derivador reenta una función de tranferencia de la forma F ()=. En ω adelante e hará el iguiente cambio de variable S =, con lo cual, obtenemo el ω 36

4 derivador normalizado FS ( )= S i hacemo la utitución S = jω, e obtiene: F( jω) = jω = Ωe j La magnitud en decibelio de la función etá dada or Fdb( Ω) log( Ω) π = 0. El diagrama de Bode de magnitud e una recta que aa or la frecuencia caracterítica y tiene una endiente de 0 decibelio or década. La figura.3 ilutra el diagrama de Bode de magnitud ara un derivador. En cuanto a la fae, el diagrama de Bode erá la recta horizontal Θ( ω) π = Figura.3 Diagrama de Bode de magnitud y fae de un circuito integrador Un circuito integrador e caracteriza or la función de tranferencia F ()= ω, FS ( )= 1 S Puede motrare que la magnitud de la función en decibelio etá dada or: ω Fdb( ω ) = 0 log ω Claramente e oberva que el diagrama correondiente e una recta que aa or ω y tiene una endiente de meno veinte decibelio or década. E ertinente anotar que el integrador e el invero multilicativo del derivador y, en conecuencia, el diagrama de Bode del integrador e el invero aditivo del diagrama de Bode del derivador. 37

5 En cuanto a la fae, el diagrama de Bode correondiente e la recta horizontal π Θ( ω) =. La figura.4 muetra el diagrama de Bode de magnitud ara el integrador. Figura.4 Diagrama de Bode de magnitud de una función lineal Una función circuital lineal reenta la forma F ()= 1+ => FS ( )= 1 + S. Al efectuar ω la utitución S = jω, e obtiene F( jω) = 1 + jω. La magnitud en decibelio etá dada or Fdb( Ω) = 10log[ 1+ Ω ] Para rereentar el diagrama de Bode correondiente e neceario dibujar do aíntota y el unto de la gráfica correondiente a la frecuencia caracterítica, el cual denominaremo como la corrección. La aíntota del diagrama de Bode de magnitud on la recta que e obtienen ara frecuencia or debajo y or encima de la frecuencia caracterítica, aí: 1) Para frecuencia menore que ω, obtenemo Fdb( Ω < 1) = 0 ) Para frecuencia mayore que ω, obtenemo Fdb( Ω> 1) = 0 log( Ω) 3) Para la frecuencia ω obtenemo Fdb( Ω = 1) = 3 La figura.5 ilutra el diagrama de Bode aintótico de magnitud ara la función lineal. La fae de la función lineal viene dada or ΘΩ ( Ω) ( )= atan. Para dibujar el diagrama de Bode de fae e neceario trazar tre aíntota, la cuale e. 38

6 deducen al analizar la exreión matemática, aí: i)en el intervalo 0< ω < 01ω, la fae e rácticamente cero y en conecuencia obtenemo la aíntota Θ( Ω)= 0.. ii) En el intervalo 01. ω < ω < 10ω, la fae e rácticamente lineal en ecala logarítmica, π π 4 4 aí ΘΩ ( ) = + log( Ω). Se uede notar que Θ( 01. ) 0 ω = y Θ( 10ω ) iii)en el intervalo ω > 10ω, la fae e rácticamente de noventa grado, eto e, la aíntota e la recta horizontal Θ ( Ω ) = π / La figura.6 ilutra el diagrama aintótico de fae de la función. = π Figura.5 Figura.6 39

7 Diagrama de Bode de magnitud y fae ara el invero multilicativo de una función lineal En ete cao la función de tranferencia e de la forma FS ( )=( 1+ S) El etudiante uede verificar que: 1) Para frecuencia menore que ω, obtenemo Fdb( ω < ω ) = 0 Fdb( ω > ω ) = 0 log Ω ) Para frecuencia mayore que ω, obtenemo ( ) 3) Para la frecuencia ω, obtenemo Fdb( ω = ω ) = 3 Oberve que la figura.7 correondiente e el invero aditivo del diagrama de Bode de magnitud de la función lineal. La figura.8 muetra el correondiente diagrama de Bode aintótico de fae. 1. Figura.7 Figura.8 40

8 Diagrama de Bode de magnitud y fae ara una función cuadrática Una función cuadrática reenta la forma: FS ( )= 1+ zs + S La cantidad z e el coeficiente de amortiguamiento y e reonable de la corrección del diagrama de Bode. Al efectuar la utitución S = jω, e encuentra que la función circuital e uede exrear como: ( Ω ) F( jω ) = 1 Ω + j z Conecuentemente, la magnitud y la fae vienen dada or: ( ) ( z ) Fdb( Ω) = 10log1 Ω + Ω zω ΘΩ ( )= atan 1 Ω Al igual que en el cao lineal, el diagrama de Bode de magnitud reenta do aíntota y una corrección a la frecuencia caracterítica, aí: 1) Para frecuencia menore que ω, obtenemo Fdb( ω < ω ) = 0 Fdb( ω > ω ) =40 log Ω ) Para frecuencia mayore que ω, obtenemo ( ) 3) Para la frecuencia ω, obtenemo Fdb( ω = ω ) = 0log( z) La corrección etará or encima del eje de frecuencia i e verifica que z > 1 La corrección etará or debajo del eje de frecuencia, i e verifica que z < 1 La figura.9 ilutra el diagrama de Bode aintótico de magnitud correondiente a la función cuadrática. Para hacer la gráfica corregida a la frecuencia ω, e conveniente uar un aquete graficador. La figura.10 ilutra el diagrama de Bode ara do valore del coeficiente de amortiguamiento, uando el aquete MATHCAD. La línea unteada correonde a z = 1 y la línea ólida correonde a: z = En cuanto al diagrama de Bode de fae, e rocede de manera imilar a la función lineal. Si hacemo el cambio de variable Ω= ω ω, tenemo: zω ΘΩ ( )= atan 1 Ω 41

9 Primero calculamo la tre aíntota del diagrama, aí: 1) En el intervalo 0< ω < 01ω., la aíntota e Θ ( Ω )= 0 ) En el intervalo ω > 10ω, la aíntota e Θ( Ω)= π π π 3) En el intervalo 01. ω < ω < 10ω, la aíntota e Θ( Ω) = + log( Ω) En la figura.11 e ilutra el diagrama aintótico de fae ara la función cuadrática. Figura.9 Figura.10 4

10 Figura.11 Suongamo que el coeficiente de amortiguamiento e mayor que la unidad, en tal cao, la función etá dada or: F ()= + z + 1 ω ω Si hacemo el cambio de variable S = e tiene FS ( )= 1+ zs + S. Si z 1, la ω función e uede exrear como el roducto de do funcione lineale, aí: S FS ( ) = ( 1+ as )( 1 + ). donde a a 1 + = a La fae de la función erá la uma de la fae individuale, aí: Ω Θ( Ω) = atan ( aω) + atan a Se hizo la utitución: S = jω. El valor de a viene dado or a = z+ z 1, en conecuencia, ara z 1, la exreión matemática ara la fae e: z. ( ) ( ) ΘΩ ( )= atan z+ z 1 Ω+ atan z z 1 Ω. Evidentemente la fae e una función continua ara todo lo valore de la variable. tan( α ) + tan( β) Teniendo en cuenta la identidad trigonométrica tan( α + β) =, e uede 1 tan( α) tan( β) ecribir: 43

11 Ω Ω a + Ω ΘΩ ( )= atan a z = atan 1 Ω 1 Ω Se uede concluir que la exreión de arriba e continua en Ω = 1, al meno ara z 1. Veremo que i z < 1, la función deberá er continua. Suongamo ahora que el coeficiente de amortiguamiento e menor que la unidad z < 1.. En ete cao odemo exrear la función circuital en la forma: F () = 1+ zs + S = 1+ zs + z S + ( 1 z ) S = ( 1+ zs) + ( 1 z ) S En forma factorizada, queda ( )( 1+ 1 ) de variable S = jω, reulta: La fae correondiente viene dada or: zs j z S zs j z S. Haciendo el cambio ( 1 1 )( 1 1 ) F( jω) = z Ω+ jzω + z Ω+ jzω zω zω ΘΩ ( )= atan + atan 1 1 z Ω 1+ 1 z A artir de la exreión anterior e llega al mimo reultado que e obtuvo ara z > 1. Para evitarno un doble trabajo en la gráfica de la fae, uaremo la iguiente exreión que e válida ara cualquier valor de z. Ω zω atan 1 Ω Θ( Ω) = zω π + atan 1 Ω Ω 1 Ω > 1 La figura.1 muetra el diagrama corregido de fae ara do valore del coeficiente de amortiguamiento, uando el mimo aquete. La línea unteada correonde a z = 1 y la línea ólida correonde a z = 0. 1 Diagrama de Bode de magnitud y fae ara cualquier función circuital De acuerdo con lo etudiado reviamente, una función circuital e uede exrear como el cociente indicado de do olinomio racionale entero y cada olinomio e uede exrear mediante factore lineale y cuadrático. 44

12 Figura.1 Para dibujar el diagrama de Bode de magnitud ara una función cualquiera e neceario exrearla como roducto de funcione lineale y cuadrática de manera tal que el diagrama definitivo e la uma algebraica de lo diagrama individuale. Para dibujar el diagrama de Bode de fae e rocede mediante la uma algebraica de lo diagrama individuale. Por ejemlo, ara la función circuital F() dada a continuación, el etudiante uede verificar que e uede exrear en la forma factorizada indicada a continuación de la mima F ()= F ()= El diagrama de Bode aintótico de magnitud e obtiene como la uma algebraica de lo diagrama de Bode de cada una de la comonente de la función, aí: 1) El diagrama de Bode de magnitud del factor contante e la recta horizontal 0log( ) ) El diagrama de Bode aintótico de magnitud del factor F1() = 1+ / 4 etá dado or: 0 ω < 4 Fdb 1 ( ω) = 0log( ω / 4) ω > 4 3) El diagrama de Bode aintótico de magnitud del denominador etá dado or: 0 ω < 1/ Fdb( ω) = 40log( ω) ω > 1/ La figura.13 ilutra lo diagrama de Bode aintótico de magnitud en lo tre cao y el reultado de umarlo algebraicamente. Oberve la oición relativa de la frecuencia caracterítica ω 1 = 1/ y ω = 4. 45

13 El reultado de umar algebraicamente la 3 funcione no da la iguiente exreión: ω ω Fdb( ω ) = log( ) + log + log ω El diagrama de Bode corregido de magnitud e rereenta uando el MATHCAD y e muetra en la figura.14. Figura.13 En cuanto a la fae, tenemo: Θ ω) = Θ ( ω) Θ ( ) ω Θ1( ω) = atan Θ 4 ( 1 ω zω / atan 1 ω / ( ω) = zω / π + atan 1 ω / ω ω > z = / Uando el aquete MATHCAD, rereentamo el diagrama de Bode de fae de la función la cual e ilutra en la figura.15. Lo diagrama de BODE de magnitud y fae de una función circuital e ueden obtener con el aquete Matlab, uando la iguiente intruccione: num = [1,4] den = [1,,] boden( num, den) La figura.16 ilutra lo diagrama de BODE de magnitud y fae ara nuetro ejemlo. El etudiante uede verificar que lo reultado on lo mimo que e obtienen con MATHCAD. 46

14 Figura.14 Figura.15 Figura.16 Obtenida con Matlab 47

15 Ejercicio Caítulo II 1) Un circuito tiene la función de tranferencia: G ( ) = a) Dibuje el diagrama de Bode de magnitud. b) Dibuje el diagrama de Bode de fae. ) Conidere la función de tranferencia: m T ( ) = Dibuje lo diagrama de Bode de magnitud y fae, en lo iguiente cao: m = 0,1,,3, 4 3) Dibuje lo diagrama de Bode de magnitud y fae ara la iguiente función circuital: ( )( G ( ) = 0.15( ) ) 4) Para el circuito de la figura.17. Figura.17 a) Determine la función de tranferencia. b) Ecoja valore ara lo elemento y dibuje lo diagrama de Bode de magnitud y fae ara tre valore diferente deα 5) Para el circuito de la figura anterior e coloca una fuente ideal de voltaje a la entrada y un reitor R a la alida. Reita el rocedimiento del ejercicio anterior. 48

16 6) La función de atenuación de un circuito etá dada or: A () = a) Dibuje el diagrama de Bode de magnitud. b) Determine la magnitud de la alida cuando la excitación e: i) 10en( 05. t ) ii) 10en( 5t ) 5( ) ( ) 7) Para el circuito de la figura.18, tome lo iguiente dato: R = 1, L = 1 y C = 1. Vi a) Determine la función de atenuación: A ()= Vo b) Dibuje el diagrama de Bode de la magnitud. c) Dibuje el diagrama de Bode de fae. 8) Para el circuito de la figura.18, reita el roblema anterior i la bobina etán acolada y el factor de acole e un medio. Tome lo unto donde deee. 9) En el roblema 7, intercambie el reitor de entrada y el caacitor y reita el rocedimiento. 10) En el roblema 8, intercambie el reitor de entrada y el caacitor y reita el rocedimiento. Figura.18 49