Ecuaciones Diferenciales Ordinarias EDO

Transcripción

1 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias EDO Contenido temático Primer orden o Variables Separables o Lineales y Bernoulli o Exactas y factor integrante o Homogéneas o Aplicaciones con Modelado Decaimiento Radiactivo Crecimiento poblacional Ley de enfriamiento y calentamiento de Newton Circuitos eléctricos Circuito RL Circuito RC Drenado de un fluido Cono invertido Orden Superior Lineales o Coeficientes constantes Homogéneas No homogéneas por Coeficientes indeterminados Variación de Parámetros o Coeficientes x de grado escalonado Ecuación de Cauchi-Euler Homogéneas No homogéneas por Variación de Parámetros o Aplicaciones con modelado Transformada de Laplace o Definición de Transformada de Laplace o Transformada inversa o Solución de ecuaciones diferenciales o Solución de la ecuación diferencial Se indica el método de solución algunos pasos algebraicos Orden primero se solicita: o Nombre del Método de solución. o Modelo y algoritmo de solución o Prueba del método o Integrales realizadas o Solución general o Valor de la constante C o Solución Particular Orden superior se solicita o Método de solución o Ecuación auxiliar para la parte homogénea o Soluciones independientes: y y yc = C y + C y yp yt = yc + yp ytp Para problemas de modelado orden primero o Ecuación diferencial o Integrales o Soluciones independientes General directa implícita o explicita Constantes, C, k Particular Valor particular de las variables solicitadas

2 Tema Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Ejercicios Resueltos Variables Separables Modelo A) Cociente (derivada, diferenciales) dy dx = f(x) f(x) ; d g(y) g(y) dx d = ; d = B) Producto (derivada, diferenciales) dy = f(x) g(y) ; d f(x) g(y) dx dx d = ; d = Solución g(y)d f(x)dx + C d = + d f(x)dx + C g(y) d = + Metodología. Separar las variables g(y) dy lado izquierdo (de preferencia) y f(x) dx lado derecho. Integrar cada lado respecto a su variable. Para determinar la solución general. Se prefiere cuando sea posible la solución explícita y cuando sea muy complicado se deja como una solución implícita 3. La estructura de la C puede ser: a. Lineal (Se queda igual) A = B + C b. Semilogarítmica (se exponencian ambos lados y simplifica) ln(a) = B + C e ln (A) = e B+C = e B e C = Ce B A = Ce B c. Logarítmica (la constante se pone en forma de logaritmo y se exponencian ambos lados y simplifica) ln(a) = ln(b) + C; C = ln (C) ln(a) ln(b) = ln (C) ln ( A ) = ln (C) B e ln (A/B) ln (C) = e A B = C A = CB 4. Para EDO con valores de Ci condiciones iniciales (PVI). a. Sustituir los valores de las Ci y(x 0 ) = y 0 en la solución general, se determina el valor de C

3 b. Se sustituye el valor de C en la solución general para hallar la solución particular. Ejemplo. Calcular la solución general y hallar la solución particular. Metodología general: a) Se sustituye, y = dy dx b) Se separan las funciones, la función de la variable dependiente g(y) junto a dy en el lado izquierdo y la función dependiente f(x) junto a dx del lado derecho. c) Se integra ambos lados respecto a su variable correspondiente. (x + ) y = (4x 3)(y ) ; y()=, opción: y(0) =0 Separar las variables dy (4x 3)(y ) = dx (x + ) (4x 3) d (y ) (x + ) dx Integrar (ambos lados más la constante) (y ) d 4x 3 x + dx + C Lado derecho por división de polinomios (y ) d dx 5 x + + C ln(y ) = x 5 ln (x + ) + C Multiplicando (x ) ln(y ) = 4x 5 ln (x + ) + C ln(y ) + 5 ln(x + ) = 4x + C ln(y )(x + ) 5 = 4x + C exponenciando (ambos lados) e ln(y )(x+)5 = e (4x+C) = e 4x e C = Ce 4x Modelo estándar para Variables Separables A) Cociente d d = ; d = d + B) Producto d d = ; d = d +. División de polinomios (4x 3) (x + ) = ( 5 x + ). Integral (logaritmo). Incluye la C pero de aquí en adelante se omite por espacio y además ya está considerada en la C de la solución de la EDO du u = ln(u) + C dy (y ) = ln (y ) dy (x + ) = ln (x + ) Simplificando (exponencial/logaritmo) 3

4 (y )(x + ) 5 = Ce 4x Ce4x (y ) = (x + ) 5 Despejando y (solución explícita) Ce4x (x + ) 5 + Ce 4x (x + ) 5 + = Solución general Ce 4x (x + ) 5 + ; C = C Recuérdame! Álgebra Derivadas Integrales Propiedades de los logaritmos: ln(a B ) = ln(a) + ln(b) ln ( A B ) = ln(a) ln(b) ln(a r ) = r ln(a) e ln(a) = A Ce4x (x + ) 5 + Condiciones iniciales y() = Sustituir los valores x=, y= = Ce4() (() + ) 5 + Despejar C = Ce4 3 5 ; C = ( ) 35 e 4 =.5 Solución particular, sustituyendo el valor de C, en la solución general.. 5 e4x (x + ) 5 + La solución gráfica hay una discontinuidad Infinita en x=(-/) 4

5 Tabla de soluciones Método de solución Variables separables Solución general directa Solución exponenciada Solución reducida (explicita) ln(y ) = x 5 ln (x + ) + C (y )(x + ) 5 = Ce 4x Ce4x (x + ) 5 + Valor de la constante C C =.5 Solución Particular Ejercicio suplementario : (x + ) y = (3x + )(y ) ; y(0) = ; Ce6x (x + ) 4 + e 6x 3 (x + ) e4x (x + ) 5 + 5

6 Ejemplo. Calcular la solución general y hallar la solución particular. Metodología general: A. Se sustituye, y = dy dx B. Se separan las funciones, la función de la variable dependiente g(y) junto a dy en el lado izquierdo y la función dependiente f(x) junto a dx del lado derecho. C. Se integra ambos lados respecto a su variable (x ) y = y y ; dy y(y ) = dx (x ) Separar las variables y(y ) d (x ) dx y() = Integrar (ambos lados más la constante) y dy + (y ) d x ln(y) + ln (y ) = ln (x ) + C Multiplicando (x) ln(y) + ln (y ) = ln (x ) + C dx + C Propiedades de C por el formato de la solución ln(y) + ln (y ) = ln (x ) + ln (C) Propiedades de los logaritmos (y ) ln ( y ) = ln (C(x )) exponenciando Propiedades de la constante C exponenciando (ambos lados) Modelo estándar para Variables Separables C) Cociente d d = d = d +. Por fracciones parciales y(y ) = A y + B y ; = A(y ) + By = Ay A + By = y(a + B) A; A = ; A + B = 0; B = y(y ) = y + y. Integral (logaritmo natural). = ln(@) + = ln(@ + ) dy ln(y) d ln (y ) (y ) dy (x ) = ln (x ) 3. Propiedades de C C = ln(c) 4. Propiedades de los logaritmos ln( ) = ln( ) + ln( ) ln ( ) = ln( ) ln( ) ln( ) = ln( ) e ln( ) = 6

7 e ln[(y ) y ] = e (C(x )) Simplificando (exponencial/logaritmo) (y ) ( y ) = C(x ) Solución general explícita (y ) = Cy (x ) Condiciones iniciales y() = Sustituir los valores x=, y= - ( ) = C( ) (() ) Despejar C 4 = C ; C = 4 Recuérdame! Álgebra Derivadas Integrales Propiedades de los logaritmos: ln(a B ) = ln(a) + ln(b) ln ( A B ) = ln(a) ln(b) ln(a r ) = r ln(a) e ln(a) = A La constante C C( ) = C Solución particular, sustituyendo el valor de C, en la solución general. (y ) = 4y (x ) La solución gráfica x, x = 0.3; x = Tabla de soluciones Método de solución Variables separables Solución general directa ln(y) + ln (y ) = ln (x ) + C Solución general arreglada ln(y) + ln (y ) = ln (x ) + ln (C) (y ) ln ( y ) = ln (C(x )) Solución exponenciada y reducida e ln[(y ) y ] = e (C(x )) (y ) y = C(x Solución general reducida (implícita) (y ) = 4y (x ) 7

8 Valor de la constante C C = 4 Solución Particular (y ) = 4y (x ) Buscando la solución general explícita a partir de la solución implícita ( y y ) = C(x ) y y = ±C x ±C x ±C x Multiplicando por (-) ±C x + Despejando y = (±C x + )y ( ± C x ) Condiciones iniciales y() = y y ±C = = ±C x ( ) () = C = ± La solución particular ( ± x ) La gráfica solución no está Determinada para valores x < Ejercicio suplementario : B. (x + ) y = y y y(4) = 3 (3 x + ) 8

9 TABLA DE DERIVADAS E INTEGRALES BÁSICAS DERIVADAS ( =cte). d( ) = 0.. d( ) = d() =. 3. d( ) = 3. ( ) 4. d(sin( )) 4. = cos ( ) 5. d(cos( )) 5. = sin ( ) 6. d(tan( )) = sec 6. ( ) 7. d(tan ( )) = d(senh ( )) 8. = + 9. d(e ) = 9. e( ) 0. d(ln( )) = 0. Aritmética INTEGRALES (+C) = = ( ) = ( + ) ( +) sin( ) = cos ( ) cos( ) = sin ( ) tan( ) = ln (cos( )) + ( ) = tan ( ) ( ) = sin ( ) e ( ) = ( ) e( ) ln( ) = (l n( ) ) Exponentes y Radicales. + = ( + ). = ( + ). = ( ) = = ( ) = 4. = 4. = 5. = 6. = Factorización 7. = 7. ( )( + ) = ( ) 8. = ( ) 8. ( 3 3 ) = ( )( + + ) 9. = 9. ( ) = ( + )( + ) Logaritmos 0. ( + ) = ( + + ) 0. ln( ) = ln( ) + ln( ).. ln ( ) = ln( ) ln( ) 9

10 .. ln( ) = ln( ) e ln( ) = 0

11 No. Ejercicio Separación Variables Integración Solución General Solución Particular. dy dx = cos(x); y(0) = d cos(x)dx d cos(x) dx + C sin(x) + C sin(x) +. dy dx = (5x ) ; y(0) = 0 3. dx e x d 0 e x d dx e x d e x dx

12 . d = sin(); (0) =. d d@ = + )3 ; (0) = 0. d = + ) 3 d@ d = + ) 3 d@ + C = (3 + ) + ) (3+) + C = + )(4) (4) ]

13 3