Métodos de solución de ED de primer orden

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1 CAPÍTULO Métodos de solución de E de primer orden. Ecuaciones diferenciales de variables separables El primer tipo de E que presentamos es el de E de variable separables, llamadas así porque es práctrica común en ecuaciones de dos variables el tratar de separarlas, como se muestra en los siguientes ejemplos. Ejemplo.. Separar las variables de la siguiente ecuación algebraica:.x x/.y C 3/ xy. Por separar las variables de la ecuación se entiende que por medio de operaciones algebraicas válidas se coloquen todas las x de un lado de la igualdad y todas las y del otro lado. En este caso.x x/.y C 3/ xy x x x y y C 3 : Se han colocada las x del lado izquierdo de la ecuación; las y del lado derecho. Ejemplo.. Separar las variables de la siguiente E: xy.x x/.y C 3/. Para una E como ésta, separar variables significa que por medio de operaciones algebraicas válidas se escriba la E en la forma: g.y/ h.x/ ; para algunas funciones g.y/ y h.x/. En este caso tenemos: xy.x x/.y C 3/ y C 3 y x x x : Para este caso: g.y/ y C 3 y & h.x/ x x x con y 0 y x x 0 : canek.azc.uam.mx: 4/ / 00

2 Ecuaciones diferenciales ordinarias xy es una E de varia-.x x/.y C 3/ el resultado anterior, se concluye que la ecuación diferencial bles separables. Ejemplo..3 Separar las variables de la siguiente E: xy.x x/.y C 3/. Al escribir la E en la forma g.y/ h.x/ se tiene: xy.x x/.y C 3/ x x x y y C 3 : En este caso: g.y/ y y C 3 & h.x/ x x x con x 0 : Se concluye que la ecuación diferencial xy.x x/.y C 3/ es una E de variables separables. Una ecuación diferencial: la forma: y 0 f.x; y/ es de variables separables si podemos escribirla en g.y/ h.x/ : El método para resolver una ecuación diferencial de variables separables consiste en integrar esta última igualdad, es decir: g.y/ h.x/.y/ C C ˇ.x/ C C.y/ ˇ.x/ C C.x; y/ C, que es la solución general de la E. En general, la solución queda definida de manera implícita. Ilustramos este método con los ejemplos siguientes. Ejemplo..4 Resolver la ecuación diferencial: y 0 sen x. Separando las variables se tiene: sen x sen x : Integrando directamente: sen x y cos x C C; que es la solución general de la E. Ejemplo..5 Resolver la ecuación diferencial: y 0 sen y.

3 . Ecuaciones diferenciales de variables separables 3 Separando las variables se tiene: Integrando: sen y sen y sen y : csc y x C C ln j csc y cot y j x C C : Esta última expresión representa la solución general de la E en forma implícita. Ejemplo..6 Resolver la ecuación diferencial: xy.x /.y C 3/. Separando las variables: xy.x /.y C 3/ y C 3 y x x : Integrando: y C 3 C C y y C 3 y x x C C ln x C C y C 3 ln j y j ln x C C : Esta última expresión representa la solución general de la E en forma implícita. Observación: En este punto es pertinente aclarar que el uso del valor absoluto en la integral y ln j y j C C es la forma correcta de aplicar esta fórmula de integración. Sin embargo, con cierta frecuencia en las páginas siguientes y el resto del libro, el lector podrá encontra varias veces du u ln u C C: Esto se hace por facilidad de escritura o bien por conveniencia, para hacer algunas manipulaciones y conseguir despejar a la variable dependiente en la solución de la E. Se supone también que el lector conoce, por sus cursos previos de cálculo, las convenciones usuales en la manipulación de funciones elementales. Así por ejemplo, al escribir sen y f.x/ y arcsenœf.x/ no hace falta insistir que para que y sea una función bien definida se debe cumplir j f.x/ j. En lo sucesivo omitiremos mencionar explícitamente las restricciones de este tipo: como que los denominadores deber ser 0, los argumentos del logaritmo deben ser positivos etc, a menos que se considere muy necesario.

4 4 Ecuaciones diferenciales ordinarias También para el resto del libro haremos algunas convenciones sobre la constante de integración que se añade en las integrales indefinidas, si: F 0.x/ f.x/ entonces escribimos equivalentemente: F.x/ f.x/ C C y G 0.y/ g.y/ y G.y/ g.y/ C C; donde C representa una constante arbitraria, sin embargo si tenemos por ejemplo queremos concluir que o sea F.x/ G.y/ ; F.x/ G.y/ ; f.x/ C C g.y/ C C : No es necesario usar dos constantes arbitrarias ya que análogamente se puede escribir donde C sustituye a C C. f.x/ g.y/ C C; e forma similar y repeditamente en lo que sigue el lector podrá ver expresiones como C C C C, C C C, 3C C, e C C, cos C C, etc. en las que esencialmente se hace la convención de que la suma, resta, producto, exponencial o cualquier otro valor funcional de una constante es otra constante. Así por ejemplo, una fórmula como e C C no es necesariamente incorrecta al interpretarse como un ejemplo de estas convenciones. Ejemplo..7 Resolver la ecuación diferencial: y 0 x p y. Separando las variables e integrando: x.y /.y / x.y / x.y / C C x C C.y / x C C: Elevando al cuadrado: 4.y /.x C C/ y C 4.x C C/ : Esta última expresión representa la solución general de la E en forma explícita. Ejemplo..8 Resolver el PVI: y 0 xy C x y I con la condición y.0/. Para separar las variables comenzamos factorizando y después integramos, se tiene: x.y C /.y C /.y C /.x /.x / y C y C.x / ln.y C / C C.x / C C ln.y C /.x / C C:

5 . Ecuaciones diferenciales de variables separables 5 Para determinar C, consideramos la condición inicial y.0/ : ln 3. / C C C ln 3 ln.y C /.x / C ln 3 : e donde y C e.x / Cln 3 e.x / e ln 3 y 3e.x / : Representa la solución del PVI con y.0/. Ejemplo..9 Resolver la ecuación diferencial:.x C /y 0 tan y x. Separando las variables e integrando:.x C / tan y x tan y x x C sen y cos y x x C ln.cos y/ C C ln.x C / C C ln.cos y/ ln.x C / C C: Podemos encontrar la forma explícita de la solución usando propiedades del logaritmo: ln.cos y/ ln.x C / C C.cos y/ e ln.x C/ CC e ln.x C/ e C : Considerando e C C y observando que e ln.x C/.x C /, se tiene: cos y C.x C / sec y C x C y arcsec.c x C /: Esta última expresión representa la solución general de la E en forma explícita. Ejemplo..0 Resolver la E: Al separar las variables se obtiene:.y /.x /.y C 3/.x /.y /.x C 3/. y.y /.y C 3/ x.x /.x C 3/ y.y /.y C 3/ x.x /.x C 3/ : Aplicando fracciones parciales, obtenemos: 4 y C 5 4 y C 3 4 x C 5 4 x C 3 : Multiplicando por 4, e integrando: ln.y / C 5 ln.y C 3/ C C ln.x / C 5 ln.x C 3/ C C ln.y C 3/ 5 ln.y / ln.x C 3/ 5 ln.x / C ln C ln.y C 3/5 y ln C.x C 3/5 x.y C 3/ 5.x / C.x C 3/ 5.y /:.y C 3/5 y C.x C 3/5 x Esta última expresión representa la solución general de la E en forma explícita.

6 6 Ecuaciones diferenciales ordinarias Ejemplo.. Resolver el PVI: sen x C ey sen x ( 3e y C e y cos x I con la condición y 0. Comenzamos separando las variables e integrando para obtener:.sen x/. C ey / e y.3 C cos x/ Pero cos x. C cos x/, entonces: e y C.e y / Ahora, integrando por sustitución: ey sen x C ey 3 C cos x sen x 3 C Œ cos x sen x C cos x e y C e y sen x C.cos x/ : sen x 3 C cos x : arctan e y C C arctan.cos x/ C C arctan e y arctan.cos x/ C C: ( Considerando la condición inicial y 0: arctan e 0 ( arctan cos C C arctan arctan 0 C C C 4 : Por lo tanto, la solución buscada es: arctan e y arctan.cos x/ C 4 : Es decir: 4 arctan e y C arctan.cos x/ : Cualquiera de las dos últimas expresiones representa la solución del PVI. Ejemplo.. Resolver la ecuación diferencial: x 3 e x C3y y 3 e x y 0. Primero separamos las variables y planteamos las integrales: x 3 e x e 3y y 3 e x e y x 3 e x e x y 3 e y e 3y x e 3x x y e 5y y : Integrando por partes ambas integrales: Se tiene: 6 x e 3x 3 u t & dv e at dt du t dt & v a eat e 3x x 0 y e 5y C 5 e 5y y 6 x e 3x 8 e3x 0 y e 5y 50 e 5y C C Multiplicando por 450 (mínimo común múltiplo de 6, 8, 0 y 50:.75x 5/e 3x C.45y C 9/e 5y C: Esta última expresión representa la solución general de la E en forma implícita.

7 . Ecuaciones diferenciales de variables separables 7 Ejemplo..3 Resolver la E: p y C p. x C xy Separamos variables factorizando primero y posteriormente integramos, resulta: y C y C p p p p p C p y p x C x y x. C y/ y C x p y C y C x : Resolvemos la primera integral mediante el cambio de variable p y t para así obtener: ado que t p y, resulta: t C t C t t dt t C t C dt ( t t C C t ( dt t C t C C t dt t C t arctan t C ln.t C / C C: p y C ln.y C / arctan p y C C p x C C. p p p y x/ C ln.y C / arctan y C: Esta última expresión representa la solución general de la E en forma implícita. Ejemplo..4 Resolver la ecuación diferencial: Separando variables, se tiene: xy 3y C x 3 xy C y x. y y C x 3 x C : Efectuando las divisiones e integrando: ( ( y C y ln.y C / x ln.x C / 5 C C: xy 3y C x 3 y.x 3/ C.x 3/.y C /.x 3/ xy C y x y.x C /.x C /.y C /.x C / 5 y ln.y C / C C x 5 ln.x C / C C x C Esta última expresión representa la solución general de la E en forma implícita. Ejercicios.. Variables separables. Soluciones en la página 9 Resolver las siguiente ecuaciones diferenciales: tan x C secx. tan y. x y. y x.

8 8 Ecuaciones diferenciales ordinarias 5. ds dt.t C /.s /.t C t/ ds dt.s3 s/.4t 3 6t/.t 4 3t /.3s /. du dt.u C /.t C /.u C /.t /. dt tu C u C 3t C 3 du tu C u t. 9. x y 0 x C y x y. 0. xy 0 y x y.. 4tx dt x C...y ln x/ ( x. y C d dt.cos t/.cos cos /. dt e tc3y. C y yxexc. 6. e x y.e y C e x y / tx C t C.t 4 C /x 0 0 con x.0/ r t dr C r r t dt 0 con r./ 4..y / C p x C 4 0. dt dt k.t T /; con T.0/ T 0 I k, T 0, T constantes.

9 . Ecuaciones diferenciales de variables separables 9 Ejercicios.. Variables separables. página