BVI_UII Más ejemplos de Solución de ecuaciones del tipo Cauchy-Euler 501

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1 BVI_UII Más ejeplos de Solución de ecuaciones del tipo Cauchy-Euler Apéndice BVI_UII Más ejeplos de solución de ecuaciones del tipo Cauchy-Euler Coo se vio en la sección.8. Utilizando una sustitución y x () Sus derivadas serían, hasta la derivada de orden y x () y ( ) x o y ( ) x () o y ( ) x y ( )( ) x + () ( )( + ) IV o ( ) IV y x y x () Ejeplos con raíces reales distintas Ejeplo BVI. Resolver d y dy x + x y dx dx Sustituyendo en la ecuación diferencial (), () y () obteneos ( ) + x x x x x Siplificando y factorizando x obteneos + 8 x Ecuación característica ( 8 ), las raíces son, y, 8± + +, ±,, 8 Aalia C. Aguirre Parres

2 BVI_UII Más ejeplos de Solución de ecuaciones del tipo Cauchy-Euler y c x + c x Ejeplo BVI. Resolver x y xy y Observar que la potencia de x corresponde al orden de la derivada Sustituyendo en la ecuación diferencial (), () y () obteneos ( ) x x x x x + + Desarrollando ( ) x ( x ) ( x ) Siplificando y factorizando x obteneos ( ) x Ecuación característica ( ),. + las raíces son y y c x + c x o sea y c x + c x Ejeplos con raíces reales repetidas Ejeplo BVI. Resolver 8 x y + xy + y Observar que la potencia de x corresponde al orden de la derivada Sustituyendo en la ecuación diferencial las ecuaciones (), () y () obteneos x x + 8xx + x Aalia C. Aguirre Parres

3 BVI_UII Más ejeplos de Solución de ecuaciones del tipo Cauchy-Euler + + Siplificando x + 8x + x o x + 8x + x Factorizando x obteneos + + x () Las raíces de la ecuación característica (),,,, por lo que la solución sería y cx + cx ln( x) o sea ±, las raíces son 8 ln y c x + c x x (7) Con condiciones Iniciales Ejeplo BVI. Resolver xy( x) xy( x) yx y (), y () + con condiciones iniciales Sustituyendo en la ecuación diferencial las ecuaciones (), () y () obteneos ( ) + x x x x x Siplificando y factorizando x obteneos ( + ) x Ecuación característica ( ),, la solución sería +, factorizando las raíces son + y cx c x (8) Derivando (8) y c x + c x (9) Aalia C. Aguirre Parres

4 BVI_UII Más ejeplos de Solución de ecuaciones del tipo Cauchy-Euler Sustituyendo condiciones iniciales (8), obteneos () c () c + resulta c + () c Sustituyendo condiciones iniciales en la derivada la ecuación (9), teneos () () c + c, resulta c + c () Resolviendo siultáneaente () y (), teneos c, sustituyéndola en (), obteneos que c Por lo tanto la solución sería c c c + c, así c 9 c, c. y x +x Ejeplo BVI. Resolver xy y Sustituyendo en la ecuación diferencial las ecuaciones (), () y () obteneos ( ) x x x Siplificando y factorizando x x obteneos Ecuación característica ( ),., factorizando + las raíces son y c x + c x Aalia C. Aguirre Parres

5 BVI_UII Más ejeplos de Solución de ecuaciones del tipo Cauchy-Euler Ejeplo BVI. Resolver xy + y Observar que no está en la fora Cauchy-Euler, por lo que ultiplicaos la ecuación por x, resultando xy + xy () Sustituyendo en la ecuación diferencial las ecuaciones (), () y () obteneos ( ) x x + x x Siplificando y factorizando x obteneos x () Ecuación característica,,, y c x + c x x, o bien ln y c + c ln x Ejeplo BVI.7 Resolver xy xy y Sustituyendo en la ecuación diferencial las ecuaciones (), () y () obteneos ( ) x x x x x Siplificando y factorizando x obteneos ( ) x Ecuación característica,, ± + 8,, ± Aalia C. Aguirre Parres

6 BVI_UII Más ejeplos de Solución de ecuaciones del tipo Cauchy-Euler y c x + c x + Ejeplo BVI.8 Resolver xy + xy + y Sustituyendo en la ecuación diferencial las ecuaciones (), () y () obteneos ( ) + + x x x x x Siplificando y factorizando ( ) x obteneos + x () La ecuación característica +, con raíces, ±, ± i, por lo que α, β. y ccos ln( x) + csen ln( x) Ejeplo BVI.9 Resolver xy + xy + y Sustituyendo en la ecuación diferencial las ecuaciones (), () y () obteneos ( ) + +, siplificando y factorizando x x x x x ( ) + + x La ecuación característica, entonces la solución sería + + x obteneos + +, y raíces,, Aalia C. Aguirre Parres

7 BVI_UII Más ejeplos de Solución de ecuaciones del tipo Cauchy-Euler 7 y c x + c x x ln Ejeplo BVI. Resolver xy + xy + y Sustituyendo en la ecuación diferencial las ecuaciones (), () y () obteneos ( ) + + x x x x x Siplificando y factorizando x obteneos + + x, la ecuación ± 9 característica + +,,, con raíces, ± donde α, β, por lo que la solución sería y x ccos ln ( x) + csen ln ( x) Una ecuación Cauchy-Euler de tercer orden Ejeplo BVI. Resolver xy xy xy y Observar que la potencia de x corresponde al orden de la derivada Sustituyendo en la ecuación diferencial las ecuaciones (), (), () y () obteneos x x x x xx x 7 + x + x + x + 8x, factorizando Desarrollando ( ) x, siplificando obteneos Aalia C. Aguirre Parres

8 BVI_UII Más ejeplos de Solución de ecuaciones del tipo Cauchy-Euler 8 ( ) x, la ecuación característica , las raíces serían, por división sintética 8 8, un factor es + y el factor resultante + el cual nos da raíces iaginarias. Por lo que,, ± i, donde α β, la solución sería del tipo y c x + x α { c cos [ ln ( x) ] c [ β x) sen ln( ]} { [ β ] [ ] } β +, por lo que resulta y c x + x c cos ln x + c sen ln x, finalente [ β ] [ ] y c x + c cos ln x + c sen ln x Ejeplo BVI. Resolver xy y Sustituyendo en la ecuación diferencial las ecuaciones (), (), () y () obteneos + x x x Siplificando y factorizando, x obteneos ( + ) x Con ecuación característica +, encontrando las raíces por división sintética, un factor es( ) y el factor resultante ( + ) el cual nos da raíces iaginarias. Por lo que,, ± i, donde α β y c x x c cos ln( x) c sen ln( x) + + y cx + ccos ln x + csen ln x o bien Aalia C. Aguirre Parres

9 BVI_UII Más ejeplos de Solución de ecuaciones del tipo Cauchy-Euler 9 Una ecuación no hoogénea Ejeplo BVI. Resolver xy y x, Multiplicando por x obteneos x y xy x, para la solución copleentaria xy xy () Sustituyendo en la ecuación diferencial las ecuaciones () y () obteneos x x xx, Siplificando ( ) x y, por lo tanto, su ecuación característica, con raíces y c + c x c Para la solución particular obteneos la fora estándar de la ecuación dividiéndola entre x y y x x, de tal anera que Coo teneos que y y y gx x x entonces por variación de paráetros obteneos la solución copleentaria donde el wronskiano sería W( y, y ) (, ) W y y x, x o bien x x 8 W x x x W x, donde x W W u y u W W Por lo que 8 x u x x x u x x Aalia C. Aguirre Parres

10 BVI_UII Más ejeplos de Solución de ecuaciones del tipo Cauchy-Euler Integrando dx u x dx u, obteneos x n u x, u l ( x ) De tal anera que y x + ln( x) Por lo tanto la solución general sería + + p y c cx x x ln x x. Si haceos priero). cx x cx, (ya que el segundo suando queda incluido en el Podeos expresarlo coo y c + c x + x ln( x) Aalia C. Aguirre Parres