7. Sistemas oscilantes

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1 7. Sisteas oscilantes En esta sección tratareos sisteas que están soetidos a fuerzas que tratan de antener al sistea en su posición inicial, con lo cual se presentan oscilaciones. Epezareos con un sistea que no presenta fuerzas disipativas y luego toareos en cuenta este tipo de fuerzas. 7.. Oscilador arónico Toeos coo ejeplo una partícula, de asa, que se encuentra sujeta a un resorte. Si el desplazaiento, x, que experienta la partícula es pequeño entonces una buena aproxiación a la fuerza que ipone el resorte es F resorte = kx, () en donde la k dependerá de la naturaleza del resorte. Por supuesto que a ayor k, ayor será la fuerza a la que esté soetida la partícula. La ecuación de Newton que debeos resolver es o tabién kx(t) = d x(t), () d x(t) + kx = 0, (3) d x(t) + k x = 0. (4) Otra fora de escribir esta ecuación es d x(t) + ω 0x = 0, (5) con ω 0 = k. Recordeos que en Matheatica podeos resolver esta ecuación diferencial con el coando DSolve. Al usar las condiciones iniciales x(t) = x 0, v(0) = v 0, con Matheatica encontraos que x(t) = x 0 cos(w 0 t) + v 0 ω 0 sen(w 0 t). (6) La velocidad se puede encontrar de esta ecuación ya que v(t) = dx(t) v(t) = x 0 ω 0 sen(w 0 t) + v 0 cos(w 0 t). (7)

2 0.0 x 0.0 v t t Figura : Posición y velocidad coo funciones del tiepo en el oscilador arónico En este oento estaos en posición de hacer las gráficas de x(t) vs. t y v(t) vs. t. Para esto debeos de asignar valores a x 0, v 0, y k. Vaos a suponer que x 0 = 0,, v 0 = 0 /s y k/ = s. Con estos datos se obtienen las gráficas que están en la Figura. Por supuesto que el coportaiento en las dos cantidades es periódico. Nos podeos dar cuenta que cuando la posición es cero la rapidez (la agnitud de la velocidad) toa su valor áxio. O que cuando la rapidez adquiere su valor ás puequeño la posición toa su valor áxio. Una gráfica de este tipo describe a lo que se conoce coo el espacio fase. Para realizar un análisis de este tipo es necesario trabajar con gráficas paraétricas. La gráfica paraétrica de las ecuaciones x(θ) = 3cosθ, y(θ) = 3senθ la presentaos en la Figura Figura : Gráfica paraétrica de las ecuaciones x(θ) = 3cosθ, y(θ) = 3senθ. Otro ejeplo de una gráfica paraétrica se uestra en la Figura 3, donde se tienen las ecuaciones x(θ) = 3cos 3 θ, y(θ) = 3sen 3 θ De la isa anera en que se construyeron las gráficas anteriores se puede construir la gráfica v(t) vs. x(t). En la Figura 4 se presenta el espacio fase en el oscilador arónico

3 Figura 3: Gráfica paraétrica de las ecuaciones x(θ) = 3cos 3 θ, y(θ) = 3sen 3 θ. 0.0 v x 0.0 Figura 4: Gráfica de v(t) vs. x(t) para el oscilador arónico. 3

4 De esta figura es ás claro que cuando x = 0, v toa su valor áxio y que cuando v = 0 entonces x es áxio. 7.. Análisis de la energía en el oscilador arónico Partiendo de la ecuación de Newton, vaos a ultiplicarla por x (t) e integreos sobre el tiepo dx d x + k dx x = 0. (8) Estas integrales se pueden evaluar usando la técnica de integración por partes. La anera en que useos esta técnica será ligeraente diferente a coo se usa counente. Trabajeos con el segundo térino de la ecuación 8, y reconozcaos la siguiente igualdad d (x ) = x dx, (9) d (x ) = x dx, (0) o tabién x dx = d(x ). () Al ultiplicar esta ecuación por k e integrando sobre el tiepo obteneos que k x dx = k d(x ) = kx, () a este resultado hay que suarle una constante de integración. Vaos a proceder de la isa anera con el prier térino de la ecuación 8 d (dx dx ) = d x dx + dx d x = dx d x, (3) con esto se obtiene que dx d x = d (dx ultiplicando por e integrando se tiene dx d x = dx ), (4) d (dx dx ) = dx dx. (5) 4

5 Con este resultado obteneos que Entonces, nuestro resultado final queda coo dx d x = (dx ). (6) (dx ) + kx = E, (7) donde la constante E nos representa las dos constantes de integración. Uno de los dos térinos lo podeos reconocer rápidaente con la energía cinética E cin = (dx ), (8) y el segundo térino nos representará a la energía potencial E pot = kx. (9) Por supuesto que con esta inforación podeos obtener las gráficas pertinentes para hacer un análisis de las coponentes de la energía coo funciones del tiepo. 5