Física de la Acústica Tecnología en Sonido

Transcripción

1 Uniersidad Pérez Rosales Departaento de cústica Profesor: Jaie Undurraga e-ail: Física de la cústica Tecnología en Sonido Tal coo definios, la acústica estudia la generación, transisión recepción de energía en fora de ibraciones. sí tabién definios el sonido coo una perturbación que iaja por un edio fluidos coo el agua, aire, etc. llegando al receptor causando así la sensación del sonido. Podeos entender la eisión propagación de la ibración en el edio obserando el oiiento de un pistón en un tubo tal coo se uestra en las figura : Pistón en reposo, edio en posición de equilibrio o estático. Pistón ire Pistón en oiiento, causa copresión de partículas próias generando la propagación de la ibración. Figura Página de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

2 De esta anera podeos darnos cuenta que ha asociada una cierta fuerza de epuje asociada a la superficie del tubo, por lo que definireos presión coo: p F S Donde [ N] [ ] [ N] Pa [ ] En el caso del aire, las ariaciones de presión ocurren en torno a la presión de equilibrio, que en este caso es de 5 Pa aproiadaente. Este caso se aprecia en la figura : Po Pa Po Pa Po Pa Po Figura Donde Po es la presión atosférica Pa la presión acústica. Página de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

3 . Moiiento arónico siple En el estudio de los fenóenos ondulatorios, coo el sonido, es iportante a odo de coprensión de estos, considerarlos coo fenóenos de naturaleza periódica, es decir, fenóeno que se repetirá de anera constante cada cierto interalo de tiepo. sí se coienza el análisis de sisteas los sisteas ibratorios ás siples de naturaleza periódica, cua naturaleza periódica es proocada por la eistencia de fuerzas elásticas restauradoras descritos por la le de Hooe, las cuales actúan de anera proporcional a la perturbación proocando la ibración arónica del sistea. Dentro de los fenóenos de naturaleza periódica podeos considerar en nuestro estudio el oiiento de resortes, así coo la oscilación de péndulos, pues en estos siples casos podeos obserar el fenóeno del oiiento arónico siple. sí, definios coo oiiento ondulatorio aquel en el que el oiiento se repetirá de anera regular sobre la isa traectoria cada cierto interalo de tiepo, es decir, un oiiento periódico. Dentro de este caso podeos considerar el oiiento de una asa sujeta a un resorte helicoidal tal coo se uestra en la figura 3: Figura 3 Página 3 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

4 Considerando el problea desde un aspecto físico, si teneos inicialente el sistea en reposo, es decir, la asa está fija, al desplazarla en sentido ertical el resorte ejercerá una fuerza en dirección opuesta, ésta fuerza recibe el nobre de fuerza elástica restauradora que dentro de ciertos rangos se coporta de anera proporcional al desplazaiento efectuado en el resorte, es decir, la fuerza restauradora está dada por: F Le de Hooe Donde: : constante elástica del resorte su unidad está en [N/]. : desplazaiento sobre o bajo la posición de equilibrio del resorte. Nota: El signo - de la ecuación indica que esta fuerza se opondrá al oiiento. Coo obseración, podeos decir que cualquier sistea ibratorio cua fuerza de restauración se oponga directaente proporcional al desplazaiento tiene un oiiento arónico siple. Donde: rónico se refiere a un oiiento senoidal o cosenoidal. Siple se refiere a que el oiiento posee una única frecuencia ibración pura. Definiciones: plitud : es la aplitud de desplazaiento áia. Coo los alores áio ínio de las funciones seno coseno son -, así el oiiento se realiza en una región del eje coprendida entre -. Punto de Equilibrio: es el punto central de la oscilación, es decir, el lugar en el que se encuentra el sistea en reposo. Desplazaiento: es a posición de la partícula respecto a la posición de equilibrio. El signo positio indicará que se encuentra sobre el punto de equilibrio, el signo negatio - indicará que se encuentra bajo el punto de equilibrio. Ciclo: es el oiiento copleto de una oscilación, pasando por el punto inicial de ésta en la isa dirección. Período T: es el tiepo necesario para copletar un ciclo, por lo que su unidad de edición es el segundo. Frecuencia f: es el núero de ciclos copletados por unidad de tiepo s o períodos por segundo. Su unidad de edida es el Hz /s. De esta últia queda claro que T / f o f T Página 4 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

5 . Ecuación del Moiiento rónico Siple Una partícula describe un Moiiento rónico Siple M..S. cuando se uee a lo largo del eje X, estando su posición dada en función del tiepo t por la ecuación t Cos ω t Donde: - ω la elocidad o frecuencia angular. ωt la fase. la fase inicial Obseración: Las funciones seno coseno son periódicas se repiten cada π, por tanto, el oiiento se repite cuando el arguento de la función seno se increenta en π, es decir, cuando transcurre un tiepo T tal que ω t T ω t π. Por lo que podeos establecer la relación: T π ω Página 5 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

6 nálisis de plitud: Coo ios, un oiiento arónico siple es aquel que se rige por la ecuación t Cos ω t La ecuación se puede er en la figura 4: Figura 4 Podeos er entonces que la aplitud aría a edida que el tiepo aanza, por lo que es coneniente definir de algunas aneras el coportaiento de la aplitud en un ciclo, de esta anera definireos: plitud Proedio a : es el proedio del alor absoluto de la aplitud ponderada en el tiepo en que se copleta un ciclo, es decir, en un período T. La aplitud proedio para cualquier señal senoidal o cosenoidal está dada á por: a π plitud raíz cuadrática edia RMS rs : raíz del proedio cuadrático del desplazaiento ponderado en el tiepo. Esta aplitud representa el proedio energético para cualquier señal senoidal o cosenoidal en un período, á está dada por: rs 3 Página 6 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

7 Podeos obserar estas aplitudes en la figura 5: Trabajo: Figura 5.3 Trabajo Energía En el estudió de la dináica estudio del oiiento las fuerzas que lo generan es coneniente definir alguna epresión que nos perita epresar la relación entre la fuerza que genera el oiiento de un objeto la distancia que éste se desplaza, así surge el concepto de trabajo el cual está definido coo la fuerza tangencial al oiiento proocado por ésta ultiplicada por el desplazaiento, esto es: T F 4 Donde el punto denota la operación ectorial producto punto, el cual representa la coponente de la fuerza en dirección del oiiento coo se e en la figura 6: Figura 6 sí podeos epresar el trabajo coo: T F cosθ 5 La unidad del trabajo es el Joule, donde podeos obserar que Joule N. Página 7 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

8 Energía: Cuando analizaos la dináica de un cuerpo, es de interés saber hasta donde se oerá si es que está en oiiento, o cuánto aanzará si lo soltaos de cierta altura, o en el caso de un resorte copriido saber hasta donde se oerá si lo soltaos. De aquí surge la necesidad de definir el concepto de energía, pues si un resorte se encuentra copriido, sabeos que el cuerpo en el etreo de éste en un instante inicial se encuentra en reposo, pero al oento de soltarlo éste se oerá. sí definios energía coo la cantidad de oiiento que posee un sistea. Otro punto u iportante de encionar es el hecho de que la energía total que posee un sistea conseratio energía cinética potencial es constante sin fuerzas disipadoras de energía, coo el roce, es decir, la energía total de un sistea se conserará solaente habrá una transforación de de ésta le de conseración de la energía. La energía no se pierde ni se destrue, solo de transfora Podeos encontrar la energía en sus dos foras: Energía cinética: Cuando un cuerpo está en oiiento tiene la capacidad de efectuar trabajo, entonces tienen energía. sí la energía asociada al oiiento del cuerpo será definida coo energía cinética. La energía cinética está dada por: E c 6 Donde es la asa del cuerpo es la elocidad de éste. Energía potencial: Cuando un cuerpo está en un punto deterinado puede tener la capacidad de efectuar trabajo o coenzar a oerse, por ejeplo, un resorte copriido, así podeos definir la energía potencial coo la energía alacenada por el cuerpo está asociada a su posición entorno. En el caso de un sistea asa resorte, la energía potencial está dada por: E p 7 Donde es la constante elástica del resorte es la posición o desplazaiento de la partícula respecto a la posición de equilibrio. En el caso de un cuerpo situado a una cierta altura del suelo, la energía potencial está dada por: g h 8 E p Donde es la asa, g es la aceleración de graedad 9.8s - h es la altura del cuerpo. Página 8 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

9 Energía Total: Es la energía total de un sistea, por lo tanto está dada por: p c T E E E 9 Energía en un oscilador arónico siple: Considereos el sistea asa-resorte de la figura 7: Figura 7 Sabeos que éste sistea se rige por la ecuación general del oiiento arónico siple por la ecuación : ω t Cos t Por lo tanto la energía total de éste sistea está dado por: E E E p c T Si obseraos la energía en el punto de equilibrio, esto es para, entonces la energía total está dada únicaente energía cinética, esto es: E E E p c T Donde es la elocidad áia que alcanza el cuerpo. Luego, coo la energía total es constante, se cuple que en cualquier tiepo la energía total está dada por: Si obseraos la energía en el de áio desplazaiento, esto es para, justo cuando la elocidad del cuerpo es cero, entonces la energía total está dada únicaente energía potencial, esto es: E E E p c T 3 Luego, coo la energía total es constante, se cuple que en cualquier tiepo la energía total está dada por: 4 Página 9 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

10 Si obseraos, la energía total es constante, por lo que las epresiones 3 deben ser iguales, esto es: E T 5 Por lo tanto de esta epresión podeos obtener la elocidad áia de desplazaiento en el punto de equilibrio, la cual está dada por: ± 6 Tabién podeos obserar la ecuación 4 para deterinar la elocidad coo función del tiepo, esto es: 7 ± Luego coo el desplazaiento está dado por la ecuación ω t Cos t, podeos reeplazarlo en 7 obteniendo así: 8 ] [ s t Sin t Sin t Sin t Cos t Cos t Cos t Cos ω ω ω ω ω ω ω ± ± ± ± ± ± ± ± Donde es la aplitud áia de elocidad. Página de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

11 Para deterinar la función de aceleración debeos partir de la definición de fuerza, que en el caso del oscilador horizontal de la figura 7 está dada por la le de Hooe, esto es: F 9 sí, en el punto de áio desplazaiento la fuerza total que ejerce el resorte está dada por: F Luego, coo F a, teneos que F a Entonces la aceleración del cuerpo en cualquier tiepo está dada por: a sí la aceleración áia está dada para el desplazaiento áio, esto es, aa 3 Si reeplazaos t Cos ω t en teneos que a Cos ω t a Cos ω t 4 En resuen, teneos: Desplazaiento [] t Cos ω t t Sin ω t Velocidad [s - ] ± o ± o Sin ω t cos ω t celeración [s - ] a o a o a Cos ω t a Sin ω t Tabla Página de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

12 En la figura 8 se presentan los gráficos de energía potencial cinética: Figura 8 En la figura 9 se presentan los gráficos de desplazaiento, elocidad aceleración: Figura 9 Página de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

13 Energía en un oscilador arónico ertical Considereos la el sistea ertical ostrado en la figura : a b c h F h- -g F h-- Figura -g Si consideraos la figura a, podeos obserar el resorte colgando erticalente. l agregarle una asa, la fuerza de graedad W g proocara un desplazaiento, tal coo se aprecia en la figura b, por lo tanto, la fuerza que ejerce el resorte es F, la cual es positia pues apunta hacia los positios. l aplicarle a la asa un desplazaiento de agnitud, coo se aprecia en figura c, la fuerza ejercida por el resorte es F, la cual es positia pues apunta hacia los positios. Para deterinar al desplazaiento se debe considerar que cuando el sistea está en equilibrio en, la sua de todas las fuerzas debe ser cero, es decir, si obseraos la figura b, debe cuplirse que: g g 5 Donde: g: es la aceleración de graedad, que en las cercanías de la superficie terrestre es de 9.8 s -. : es la asa del cuerpo. Página 3 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

14 De esta anera, si desplazaos la asa una distancia de, tal coo se uestra en la figura c, la fuerza que ejerce el resorte está dada por: F F 6 g g g g g De la ecuación 6 podeos er que tanto el oscilador horizontal coo el oscilador ertical se rigen por la le de Hooe, por tanto la oscilación del sistea ertical tabién es arónico siple. De ésta anera, la energía cinética potencial deben ser las isas que en el caso del oscilador horizontal. La energía cinética siepre es de la fora: E c Donde: : es la asa del cuerpo que cuelga. : es la elocidad en el eje del cuerpo. 7 Para la deterinación de la energía potencial total respecto al punto de equilibrio debeos considerar la energía potencial en el punto luego la energía potencial en el punto, de tal anera que la energía potencial respecto al punto de equilibrio será la deferencia de la energía de abos puntos, esto es: Energía potencial en punto de equilibrio : En este punto teneos la energía potencial graitatoria la energía potencial elástica tal coo se indica: Ep g g Ep e h sí la energía potencial total será la sua de abas energías potenciales, esto es: E g h Página 4 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

15 Energía potencial en punto : En este punto teneos la energía potencial graitatoria la energía potencial elástica tal coo se indica: h g Ep g Ep e sí la energía potencial total será la sua de abas energías potenciales, esto es: h g E sí la energía potencial respecto al punto de referencia está dada por la diferencia de abos casos, esto es: E E E E E g g g g deas g g h g g g h g h g h g Por lo tanto, la energía total del sistea respecto al punto de equilibrio es: 9 E E E E t c p t Página 5 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

16 .4 Círculo de Referencia Considereos una partícula de asa que gira con elocidad constante de radio, tal coo se uestra en l figura : por un círculo θ wt θ Figura Para t la partícula tendrá una fase inicial φ. Si consideraos que el ángulo aría a una cierta elocidad angular constante ω, entonces la función del ángulo para cualquier tiepo está dada por: θ t ω t 3 Donde: φ: es la fase inicial [rad]. Ω: es la elocidad angular [rad/s] Por lo tanto al copletar una uelta copleta, en un tiepo T, debe cuplirse queθ π ω t, por lo tanto: π w 3 T Entonces, si descoponeos la posición de la partícula en sus respectios ejes e, teneos que las coordenadas cartesianas son: t Cos ω t 3 t Sin ω t 33 Podeos entonces obserar que en un oiiento circular las coponentes e se ueen según la ecuación de un M..S. Obserando el triángulo, teneos que la elocidad en abos ejes puede ser obtenida la seejanza de los triángulos, esto es: Página 6 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

17 En el triángulo inferior, Sin Cos θ θ En el triángulo superior, Sin Cos θ θ Por lo tanto, coo el triángulo inferior superior son seejantes, los cosenos senos de abos son los isos, esto es: Sin Cos θ θ Por lo tanto teneos que: Si reeplazaos 3 33 en la elocidad de la partícula en sus respetios ejes e queda epresada coo: ω ω t Cos t t Sin t Período en un M..S. Coo ios, un oiiento circular está copuesto por un par de M..S., cada uno en su respectia coordenada cartesiana. Coo a definios, el período es el tiepo necesario para que se coplete un ciclo copleto, por lo que si obseraos los resultados obtenidos, el tiepo para que se coplete un período copleto de oscilación en cada eje es el iso tiepo que se requiere para copletar una uelta copleta en el círculo, así si el cuerpo se desplaza a elocidad constante, el tiepo necesario para copletar una uelta está dado por: 38 períetro T π Página 7 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

18 Pero sabeos que, por lo tanto T π T π π 39 hora, usando la relación por: f, teneos que la frecuencia natural de oscilación está dada T f 4 π Por últio, usando la relación π w, teneos que T w 4 Página 8 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

19 .4 Moiiento rónico ortiguado Cuando analizaos las oscilaciones de un sistea real podeos obserar que éste disinuirá su aplitud de oscilación a edida que el tiepo transcurre, esto ocurre porque el sistea se encuentra interactuando en un edio fluido que disipa la energía a traés de la fricción de las partículas que lo rodean aire, agua,, etc.. Estas fuerzas disipadoras pueden ser consideradas, para pequeñas aplitud de oscilación, proporcionales a la elocidad de la partícula, esto es de la fora: F R R 4 Donde: F R : es la fuerza de roce, su unidad es el [ N ] N s R :es la constante del edio, su unidad es el : es la elocidad de la partícula, cua unidad es s De esta anera podeos obserar que si una partícula oscila con aor elocidad, entonces aor será la fuerza disipadora por ende, será atenuada con aor elocidad que una partícula que oscila a enor elocidad. Esto puede ser entendido de ejor anera, recordando que la aplitud áia de elocidad para un M..S. está dada por: ± w 43 Donde w, es la elocidad angular de un M..S. Por lo tanto si aor es la frecuencia de oscilación de una partícula, aor es su elocidad por lo tanto, aor la fuerza de roce. Esto eplica el por qué los sonidos de alta frecuencia se atenúan ucho ás rápido que los de frecuencia ás bajas. Podeos apreciar el sistea en la figura : Figura La ecuación que gobierna al oiiento aortiguado está dada por: β t t e Cos wt α [] 4 Donde: : es la aplitud inicial del oiiento, su unidad es el [] β :es factor de aortiguaiento, está dado por R β 43 s Página 9 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

20 w: es la elocidad angular de oscilación, la cual depende tanto de las características del edio, está dada por: Rad w w β 44 s w. Cuándo analizaos ésta ecuación se pueden establecer tres tipos de aortiguaiento, los cuales tienen una naturaleza definida por las características del sistea, esto es, la asa la constante de elasticidad así coo la constante de roce. continuación se presentan los tres casos: Oscilación débilente aortiguada: Este caso se presenta cuando el factor de aortiguaiento es ucho enor que la elocidad angular natural del sistea, esto es w >> β. Cuando esto ocurre, la frecuencia de oscilación del sistea prácticaente es igual a la frecuencia natural de oscilación, por lo que w w β w. deás cuando esto ocurre, el iplica que el factor de aortiguaiento β, lo que iplica que la atenuación en el tiepo será u pequeña, debido a la baja resistencia del edio R, tal coo se obsera en la figura 3: Figura 3 Página de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

21 Oscilación críticaente aortiguada Este caso de presenta cuando el factor de aortiguaiento es u siilar a la elocidad angular natural del sistea, esto significa que w β, por lo que la frecuencia de oscilación del sistea será u baja, el factor de aortiguaiento tendrá un factor preponderante en la oscilación del sistea, tal coo se aprecia en la figura 4: Figura 4 Página de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

22 Oscilación sobre aortiguada: Este caso ocurre cuando el factor de aortiguaiento es aor o igual a la elocidad angular natural de oscilación, esto significa que w β, lo que iplica que la frecuencia de oscilación del sistea pertenecerá a los núeros coplejos, lo que realente significa que la partícula no alcanzará a oscilar sipleente retornará al punto de equilibrio directaente. Esto se debe a que la fuerza disipadora es tan grande que no perite que el sistea oscile, por lo que éste retorna al punto de equilibrio sin oscilar tal coo se aprecia en la figura 5: Figura 5 Página de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

23 .5 Vibraciones Forzadas En general, un sistea entra en ibración cuando es perturbado por alguna fuerza, de tal anera que éste responderá a la fuerza de ecitación. En un oiiento arónico aortiguado, podeos considerar que la fuerza eterna de ecitación será de la fora: w t F t F Cos f 45 Figura 6 Cuando analizaos este tipo de probleas podeos esperar que el sistea se uea acorde a la fuerza de ecitación debido a que ésta es la fuerza que induce el oiiento, así tabién es de esperar que si el sistea tiene una frecuencia natural de oscilación, entonces para esa frecuencia el sistea ibrará con aor facilidad. Esto es así, para su ejor coprensión resulta útil obserar la solución del oiiento arónico forzado, que está dada por: Donde f t Cos ω t w w 4 β f w f 46 F 47 Donde: : es la aplitud de la fuerza de ecitación en [N] F w f : es la elocidad angular de la fuerza de ecitación en wo : es la elocidad angular natural del sistea en : es la asa de la partícula en [Kg] β : es el factor de aortiguaiento en s Rad s Rad s Podeos obserar que ahora la aplitud de oscilación depende de la frecuencia de la fuerza eterna, de tal anera que su aplitud será áia cuando la frecuencia de la fuerza eterna sea igual a la frecuencia natural del sistea, cuando esto ocurre, decios Página 3 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

24 que el sistea está en Resonancia, es aquí cuando la transferencia de energía de la fuerza eterna es áia, por lo que la aplitud es áia. En la figura 7 se uestra la dependencia de frecuencia de la aplitud: Figura 7 En la figura 7 podeos apreciar que para los distintos alores de la resistencia del edio, la áia aplitud es entorno a la frecuencia de resonancia w o, así coo tabién podeos notar que ientras ás pequeño es el alor de la resistencia del edio, ás estrecha es la zona de resonancia, ientras que a edida que auenta la resistencia del edio, aor es la zona de resonancia. Para cuantificar este efecto, se define el factor de calidad Q coo: w Q [diensional] 48 o tabién coo: R f o Q [diensional] 49 f f Página 4 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

25 Donde: f : es la frecuencia natural o de resonancia del sistea, dada por f π f f f : corresponde al ancho de edia altura de t, el cual se uestra en la figura 8: Figura 8 Página 5 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

26 .6 Principio de Superposición e Interferencia de Ondas Cuando una partícula está soetida a ás de una fuerza arónica, cada una intentando oer a la partícula en su propia dirección con M..S., decios que eiste una interferencia de oiientos arónicos siples. Para entender esto es útil considerar la representación ectorial de dos ás, tal coo se uestra en la figura 9: Sin θ Sin θ θ Cos θ θ Cos θ Figura 9 Donde: : es la aplitud del M..S. núero uno. θ : es la fase del M..S. núero uno en función del tiepo dada por: θ w t : es la aplitud del M..S. núero dos. θ : es la fase del M..S. núero dos en función del tiepo dada por: θ w t w, w, : son las respectias elocidades angulares fases iniciales de cada M..S. Página 6 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

27 Si consideraos que la superposición de dos M..S es la sua de ellos, teneos que el oiiento de una partícula que se uee debido a estos M..S. está dada por: t Cos θ Cos θ ó t Cos w t Cos w t 5 Sin ebargo, está epresión no nos perite obserar de anera eplícita la aplitud ni la fase del M..S. resultante, por lo que conenienteente ésta isa sua, la obtendreos al suar los ectores de la figura 9, cua sua ectorial corresponde sipleente a la sua de las coponentes en e da cada ector, tal coo se presenta a continuación: Coponente e de ector de aplitud : Cos θ Sin θ Coponente e de ector de aplitud : Cos θ Sin θ Entonces las coponentes e del ector resultante de la superposición está dado por: Cos θ Cos 5 θ θ Sin θ Sin 5 Por lo tanto la aplitud del ector resultante está dado por: Cos θ Cos θ Sin θ Sin θ Cos θ Cos θ Cos θ Cos θ Sin θ Sin θ Sin θ Sin θ deás, recordando que sin θ cos θ obteneos: Cos θ Cos θ Sin θ Sin θ Y por últio, recordando la propiedad Cos Cos Sin Sin Cos, teneos que: Cos θ θ 53 ó Página 7 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

28 ó Cos w t w t Cos t w w 54 La ecuación 54 uestra la aplitud de la superposición de dos M..S. Para obtener la fase resultante, basta con recordar que: Tan θ Tan θ ó Tan θ Sin θ Sin θ Cos θ Cos θ Sin w t Sin w t Cos w t Cos w t 55 De tal anera que Sin wt Sin wt θ arctan 56 Cos wt Cos wt Casos Particulares: continuación, analizareos la superposición de dos M..S. considerando que: La elocidad angular de abos M..S. es la isa, es decir, w w w bos ectores girarán en sentido contrario a las anecillas del reloj. Para este caso, la priera consideración iportante es que la sua resultante de este oiiento, dado por la ecuación 54: t Cos θ Cos θ Donde: θ wt θ wt Página 8 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

29 Esto puede quedar epresado de la fora: t Cos wt 57 Esto se puede obserar aplicando la propiedad trigonoétrica: Cos Cos Cos Sin Sin De tal anera que: t Cos θ Cos θ Cos wt t Cos wt Cos wt Cos Por lo tanto t wt Cos Sin wt Sin t Cos wt Cos Sin wt Sin Cos wt Cos Sin wt Sin Cos wt Cos Sin wt Sin Cos Cos Cos wt Sin Sin Por lo tanto se debe cuplir que : Cos Cos Cos 58 Sin Sin Sin Si eleaos al cuadrado abas epresiones las suaos obteneos : Cos Cos Sin Sin Cos Sin ó Sin Sin Cos Cos Por lo que : Tan Cos Cos Sin Sin Si diidios la ecuación 59 por la 58 obteneos que : ó Sin Cos Sin Sin Cos Cos 59 Sin Sin arctan Cos Cos Cos Cos Sin wt Cos wt Cos Sin wt Sin Cos Cos Cos Cos Sin Sin Sin Sin Página 9 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

30 En resuen, podeos epresar la superposición de dos M..S. con igual elocidad angular coo: arctan Donde θ θ Cos Cos Sin Sin Cos wt Cos Cos Cos t Donde: θ wt θ wt De anera general, podeos etender este principio para la superposición de N M..S. de igual elocidad angular coo: cos wt wt Cos t wt Cos wt Cos wt Cos wt CosN t wt Cos t wt Cos t wt Cos t wt Cos t N n n n N N N N N K M Donde la aplitud del oiiento resultante está dada por: N n n N N n n n Sin Cos 63 la fase resultante está dada por: N n n n N n n N Cos Sin arctan 64 Página 3 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

31 Interferencias Constructias: Supongaos que se realiza la superposición de dos M..S. con igual elocidad angular la isa fase inicial, es decir: t Cos wt Cos wt 65 Entonces aplicando la ecuación 6 teneos que: Cos Cos Es decir, la aplitud total corresponde a la sua de abas aplitudes, por lo que en este caso la superposición tiene la aor aplitud posible, por esto se le da el nobre de superposición o interferencia constructia. Coo la diferencia de fase es la isa, la resultante tendrá la isa fase que las señales. Podeos apreciar este caso en la figura : Figura Página 3 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

32 Interferencia Destructia Supongaos que se realiza la superposición de dos M..S. con igual elocidad angular, pero con un desfase de π rad, es decir: t Cos wt π Cos wt 65 Entonces aplicando la ecuación 6 teneos que: π Cos π Cos Es decir, la aplitud total corresponde a la resta de abas aplitudes, por lo que en este caso la superposición tiene la enor aplitud posible, por esto se le da el nobre de superposición o interferencia destructia. Podeos apreciar este caso en la figura : Figura Página 3 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

33 .7 Superposición de dos M..S. con la isa dirección pero diferente frecuencia En el punto anterior analizaos la superposición de dos M..S. con la isa elocidad o frecuencia angular para obserar los distintos casos de interferencia. hora estudiareos el caso en que la superposición tiene la isa dirección, pero ahora con diferente frecuencia. Este es el tipo de interferencia que resulta cuando dos señales de radio son transitidas con frecuencias cercanas, pero no iguales. Tabién es el caso que se da cuando las cuerdas de una guitarra, bajo o cualquier instruento de cuerda generan sonidos de frecuencias u cercanas o el caso que se da cuando escuchaos sonidos a interalos de seitonos. Considereos dos M..S. descritos por las ecuaciones: t Cos wt t Cos w t Para las cuales heos supuesto por siplicidad las fases iniciales igual a cero. Entonces la función resultante de la superposición está dada por: t Cos w t Cos w 66 t De la ecuación 54 sabeos que: t w Cos w Donde la aplitud oscilará entre los alores. Se dice entonces que la aplitud está odulada, a que el alor de ésta depende de la diferencia de fase θ w w. La frecuencia angular de la oscilación de la aplitud está dada entonces por: su correspondiente frecuencia por: w w w 67 w w f π f f f w π 68 w w π π Por lo tanto, la frecuencia de oscilación de la aplitud corresponde a la diferencia de las frecuencias de los oiientos arónicos en interferencia. Página 33 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

34 Podeos obserar el coportaiento de la aplitud en la figura : Figura Este fenóeno es conocido coo Pulsación debido que corresponde a una aplitud que aria de fora periódica a edida que el tiepo transcurre. Por ejeplo, cuando dos fuentes de sonido de frecuencias u cercanas pero diferentes ibran siultáneaente en lugares cercanos, el oente notará una fluctuación en la intensidad del sonido, esta fluctuación se debe al cabio de aplitud de la superposición. Página 34 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

35 Podeos obserar el oiiento resultante de la superposición en la figura 3: Figura 3 Cuando las aplitudes de los M..S que se superponen son iguales, es decir, entonces la aplitud del oiiento resultante de la superposición está dada por: aplicando la propiedad trigonoétrica : Cosθ Cos θ Cosθ Cos α Lo que iplica que para θ, obteneos α Cos α Cos t w w Cos t w Cos w θ Página 35 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

36 Entonces obteneos que: w w Cos t w w Cos t 69 Cos w w t Esto significa que la aplitud de la superposición aría entre cero obsera en la figura 4:, tal coo se Figura 4 Para este caso, la ecuación del oiiento resultante queda dada por: t Cos wt Cos wt 7 que al aplicarle la propiedad trigonoétrica: Cos Cos Cos Cos obteneos t Cos w w t Cos w w t 7 t Cos w w t Página 36 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

37 Por lo tanto el oiiento se puede interpretar coo un oiiento arónico siple de aplitud dada por la ecuación 69, con frecuencia angular de oscilación dada por w w w 7 Entonces la frecuencia está dada por: w w w πf πf πf 73 f f f Esta frecuencia es conocida coo la frecuencia de la señal portadora. Podeos obserar esto en la figura 5: Figura 5 Página 37 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

38 .8 Señales Coplejas Los sonidos que encontraos en la naturaleza rara ez son tonos puros. En general los sonidos que encontraos son sonidos coplejos que se caracterizan por estar copuestos por un conjunto de tonos que pueden o no estar relacionados entre si deterinan su tibre en particular. Cuando decios que eiste una relación directa entre los tonos que conforan un tibre nos referios a aquellos sonidos en que eiste una relación directa entre la frecuencia ás baja, conocida coo frecuencia fundaental las frecuencias superiores, conocidas coo arónicos, las cuales son últiplos de la frecuencia fundaental. Cuando analizaos señales de cualquier tipo, sean estas eléctricas, ibraciones ecánicas, ibraciones acústicas, etc. Es u iportante obserar el coportaiento de éstas tanto en el tiepo cuando analizaos una señal en el tiepo decios que estaos en el doinio del tiepo coo sus coponentes coportaiento en la frecuencia cuando analizaos el coportaiento de las frecuencias que coponen un sonido decios que estaos en el doinio de la frecuencia. Por ejeplo, podeos obsereos una señal senoidal en el doinio del tiepo la frecuencia, tal coo se uestra en la figura 6: Figura 6 Página 38 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

39 Para el caso obserado en la figura 6, el tono es de 5Hz, por lo que tiene una única coponente de frecuencia en 5Hz tal coo se aprecia en el segundo gráfico. Cuando analizaos las coponentes de frecuencia de una señal, decios entonces que estaos realizando un análisis espectral de la señal llaareos coponentes espectrales de la señal a las diferentes frecuencias obseradas. En general, la isualización del espectro de una señal es conocida coo espectro de la señal, cuando obseraos adeás el coportaiento espectral en el tiepo de una señal, entonces hablaos del espectrograa o espectrografía de la señal, tal coo se obsera en la figura 7: Figura 7 Página 39 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

40 Si analizaos un sonido coplejo, podreos obserar las diferentes coponentes de frecuencia que lo conforan tal coo se aprecia en la figura 8: Figura 8 Para este caso, podeos obserar que el espectro de la señal tiene coponentes espectrales de 5, 5, 5 Hz respectiaente, entre las cuales, la frecuencia de 5 Hz es la aor aplitud, por lo tanto la de aor predoinancia la señal. Página 4 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

41 Clasificación de los diferentes espectros Espectro Discreto: es aquel espectro que está forado por coponentes discretas de frecuencia coo se aprecia en la figura 9: Figura 9 Espectro Continuo: Es aquel cuas coponentes espectrales están distribuidas de anera continua sobre un rango de frecuencia, tales casos son apreciables en señales tales coo ruidos aleatorios, pseudo aleatorios, ipulsos barridos de frecuencia. Tal coo se uestra en la figura 3: Figura 3 Página 4 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

42 Espectro Coplejo: Es aquel que posee coponentes continuas discretas tal coo se aprecia en la figura 3: Figura 3 Página 4 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

43 Energía Espectral: Si consideraos el espectro de una señal diidido en trozos de sección f, los cuales corresponden a un cierto interalo de frecuencia definido coo ancho de banda, la energía total del espectro será definida coo la sua de las coponentes espectrales ultiplicada por un ancho de banda de Hz, en otras palabras, la energía total corresponde al área total que encierra el espectro. E N i Este ancho de banda de Hz se debe a que el oído huano no es capaz de procesar frecuencias discretas, sino, anchos de banda el ubral de diferenciación de frecuencias es de Hz. E i 74 Podeos obserar un ejeplo de energías discretas en la figura 3: Figura 3 Por lo tanto la energía total será la sua de estas coponentes. De anera general, para un ancho de banda f dado, la energía total del espectro está dada por: E N i E i f 75 Página 43 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

44 Densidad Espectral de Potencia: Se define coo la energía contenida en un cierto ancho de banda, está dado por: Ei S f 76 f.9 Teorea de Fourier El teorea de Fourier es una de las reolucionarias herraientas ateáticas desarrollada por el ateático francés Baron Joseph Fourier Su origen se debe a la búsqueda de la solución de la ecuación del oiiento de las ibraciones de una cuerda. El teorea de Fourier establece que cualquier función periódica, que cuple ciertas condiciones, puede ser epresada coo la sua de infinitas funciones senoidales cosenoidales últiplos de la frecuencia de la señal original, es decir, si la función periódica a representar tiene un periodo T, lo que iplica que su frecuencia es f, entonces la T función puede ser representada coo la sua de funciones arónicas puras de frecuencias f, f,3 f,4 f,..., esto iplica que si generaos una serie de tonos puros, los ezclaos a traés de superposición, podreos sintetizar una señal copleja. De anera ás precisa, el Teorea de Fourier establece que: Si f t f t T, con f T π w entonces, f t puede ser representada coo: T n f t a Cos w n t b Sin w n t 77 n Donde a b son las aplitudes de cada arónico que copone la señal. n n n Podeos definir entonces: Frecuencia Fundaental: Es la frecuencia de la señal a ser representada, por lo tanto es la frecuencia ás baja que habrá. Las frecuencias de las señales senoidales cosenoidales que la siguen serán últiplos de ésta. Si el período de la función f t es T, entonces la frecuencia fundaental está dada por: f 78 T Página 44 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

45 rónicos de la función: Son las señales senoidales cosenoidales que conforan la función cuas frecuencias son últiplos de la frecuencia fundaental, es decir, los arónicos de la señal con frecuencia fundaental f, tienen arónicos con T frecuencias: Prier rónico: f f Segundo rónico: f 3 3 f Tercer rónico: f 4 4 f etc. Coo ejeplo considereos la función periódica ostrada en la figura 33: Figura 33 Página 45 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

46 En la figura 33, el prier gráfico uestra la función Onda cuadrada. El segundo gráfico uestra los 7 prieros arónicos que conforan esta función. El tercer gráfico uestra la superposición parcial de los arónicos, del cual podeos obserar que a edida que se insertan arónicos, la función resultante de la superposición se aproia cada ez ás a la función original. En el cuarto gráfico podeos obserar las aplitudes de los arónicos que conforan la función, que pare este caso son solo arónicos ipares. Coo segundo ejeplo ereos un pulso, el cal es siilar a la onda cuadrada, pero a no cuadrado en cuanto a duración en el tiepo, tal coo se aprecia en la figura 34: Figura 34 Página 46 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

47 Para este caso, podeos apreciar de la figura 34 que ésta función periódica está forada tanto por arónicos pares e ipares obserar cuarto grafico, al igual que en el caso anterior, la sua de los sucesios arónicos a aproiándose a la función original. Coo tercer ejeplo, en la figura 35 obserareos la función diente e cierra: Figura 35 Página 47 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

48 Para este caso, podeos apreciar de la figura 35 que ésta función periódica está forada tanto por arónicos pares e ipares obserar cuarto grafico, al igual que en el caso anterior, la sua de los sucesios arónicos a aproiándose a la función original. Coo últio ejeplo en la figura 36 se uestra la función Onda triangular: Figura 37 Página 48 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

49 Para este caso, podeos apreciar de la figura 36 que ésta función periódica está forada sólo por arónicos ipares obserar cuarto grafico, al igual que en el caso anterior, la sua de los sucesios arónicos a aproiándose a la función original.. Ruidos leatorios Entendereos coo ruido o señal aleatoria, aquellas cuos eleentos que la confora son obtenidos a traés de un proceso aleatorio. Coo caso particular nos reitireos al estudio de señales aleatorias cua densidad de probabilidad función que representa la probabilidad para que un alor específico sea obtenido es de la fora de la capana de Gauss, la cual se uestra en la figura 37: Figura 37 Por lo tanto, un ruido aleatorio obtenido ediante este proceso, tendrá coo alores áios ínios X Ma X Min respectiaente. deás se debe encionar que el proedio de una señal obtenida ediante este proceso es X Med, esto iplica que una señal aleatoria con distribución Gaussiana tiene coo proedio X Med. Página 49 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

50 En la figura 38 se uestra una señal aleatoria de distribución Gaussiana: Figura 38 Ruido Blanco: El ruido blanco es una señal aleatoria que tiene la característica de que el proedio de su espectro es plano, es decir, posee un espectro continuo plano en todo el rango de frecuencias tal coo se obsera en la figura 39: Figura 39 Página 5 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

51 Si este ruido blanco es representado en escala logarítica queda tal coo se uestra en la figura 4: Figura 4 Ruido Rosado: El ruido Rosado es una señal aleatoria que tiene la característica de que el proedio de su espectro decae de anera inersaente proporcional a la frecuencia, es decir, posee un espectro continuo cua aplitud decae de la fora / f tal coo se obsera en la figura 4: Figura 4 Página 5 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

52 Si este ruido Rosado es representado en escala logarítica queda tal coo se uestra en la figura 4: Figura 4 Ruido Café: El ruido café es una señal aleatoria que tiene la característica de que el proedio de su espectro decae de anera inersaente proporcional a la frecuencia al cuadrado, es decir, posee un espectro continuo cua aplitud decae de la fora / f tal coo se obsera en la figura 43: Figura 43 Página 5 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido

53 Si este ruido café es representado en escala logarítica queda tal coo se uestra en la figura 44: Figura 44 Página 53 de 53 Física de la cústica Tecnología en Sonido