3. TRABAJO Y ENERGÍA E IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA LA PARTÍCULA

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1 83 3. RJO Y EERGÍ E IMPLSO Y CIDD DE MOVIMIEO PR L PRÍCL 3. rabajo energía cinética. Con una fuerza E de 0 kg, inclinada 30º, e epuja un cuerpo de 0 kg obre una uperficie horizontal, en línea recta, a lo largo de 0. Lo coeficiente de fricción etática cinética on , repectiaente. Calcule el trabajo que realizan la fuerza E, el peo, la coponente noral de la reacción de la uperficie la fricción durante el oiiento decrito. Reolución E = 0 P = 0 Mediante el diagraa de cuerpo libre inetigareo la agnitude de la fuerza cuo trabajo deeao conocer. F ; Por tanto Fr 0. Fr = 0. Coo la cuatro fuerza on contante, el trabajo e puede calcular ediante la epreión: F co en donde e el ángulo que la fuerza fora con el deplazaiento, que, en ete cao, e horizontal hacia la derecha.

2 84 rabajo e ipulo E E P 3 0co kg 0 co 700 P 0 0co900 Fr Fr 0 co kg El trabajo e un ecalar que puede er poitio, negatio o nulo.

3 rabajo e Ipulo 8. na fuerza F de 00 epuja un cuerpo de 40 kg de aa que repoa en una uperficie horizontal. Sabiendo que el cuerpo e deplaza en línea recta que lo coeficiente de fricción etática cinética entre el cuerpo la uperficie on , repectiaente, calcule la elocidad del cuerpo cuando e haa deplazado 8. Reolución P = 40 g Inetigareo la agnitude de la fuerza eterna que actúan obre el cuerpo de 40 kg. F 0 F = 00 40g 0; Por tanto: 40(9.8) Fr = 0. Fr k Fr (40)9.8 Lo trabajo que realizan la fuerza on: P 0 (pue on perpendiculare al deplazaiento) F Fr 00(8) (8) La fórula del trabajo la energía cinética etablece que: (40)

4 86 rabajo e ipulo 3. El collarín de la figura, de 4 lb de peo, e uelta dede el punto de la guía lia de la figura llega al punto. Deterine el trabajo que realiza u peo durante ee oiiento diga con qué rapidez llega el collarín a. 4 Reolución Prier procediiento t Dibujareo el diagraa de cuerpo libre del collarín en una poición cualquiera de u traectoria. El deplazaiento tiene la dirección del eje tangencial. P co d 4 4 co d Coo el ángulo, durante el oiiento, a de -90 θ 90, integrareo utituéndolo por el ángulo, que e el copleento de iepre crece en d 0 t d d 0.6 oareo un deplazaiento diferencial lo relacionareo con. d d ; d 0. 6 d en d 0.4 co80 co 0.4 ( ) 4.8 lb ft

5 rabajo e Ipulo 87 Segundo procediiento Coo el trabajo e una fuerza coneratia, e decir, el trabajo que realiza e independiente de la traectoria que iga el cuerpo, e puede calcular ultiplicando u agnitud por el cabio de niel de la partícula (id. Prob. 4) 4. P h 4.8 lb ft

6 88 rabajo e ipulo 4. na partícula de aa paa por con una rapidez o. Sabiendo que la uperficie e lia, deterine, en función de la altura h, el trabajo del peo la rapidez con que paa por el punto. Reolución ϴ g En cualquier poición, la única fuerza que actúan obre la partícula on el peo una reacción noral. Eta últia no trabaja preciaente por er noral al deplazaiento. e el ángulo que el peo fora con el deplazaiento. g co d g co d t En la figura relacionareo con un deplazaiento diferencial. dh ϴ d co g dh d gh dh d d g dh tilizando la fórula del trabajo la energía cinética teneo, teneo: gh 0 gh 0 0 gh Si 0 0, entonce: gh

7 rabajo e Ipulo 89. El collarín de kg de peo, e encuentra originalente en repoo en el punto. El reorte al que etá unido tiene una longitud natural de 0. una contante de rigidez k = 00 kg/. Calcule el trabajo que realiza la tenión del reorte para llear al collarín dede hata, la rapidez con que el collarín llega a ete punto. Reolución ϴ 00 Prier procediiento En la figura e uetra el diagraa de cuerpo libre del collarín en una poición cualquiera. e la deforación del reorte e ariable, coo e ariable la dirección. El trabajo de la tenión del reorte e: 00 co d 00 co d d ϴ d En la figura e etablece la relación entre d, d. d co d por tanto 00 d Coo la longitude inicial final del reorte on , u longitud natural e 0., la deforacione on d kg

8 rabajo e ipulo 90 Coo la tenión del reorte e la única fuerza que trabaja, epleando la fórula del trabajo la energía cinética e tiene: 6(9.8) Segundo procediiento Si abeo que el trabajo que realiza un reorte e: k entonce k.60

9 rabajo e Ipulo 9 6. El collarín de la figura tiene un peo de 0 lb repoa obre el reorte al que etá unido. La contante de rigidez del reorte e k = 0 lb/ft. La claija por la que paa la cuerda e lia. dicha cuerda e le aplica una fuerza contante de 00 lb para leantar a collarín a la poición de la barra lia. Deterine la rapidez con que el collarín llega a. Reolución Coniderando el conjunto de lo cuerpo coo un itea, la fuerza eterna que trabajan on la fuerza F, el peo del collarín la fuerza del reorte. Calculareo el trabajo que realiza cada una de ella. Fuerza contante F de 00 lb 3 El trao de cuerda que e halla originalente entre la polea el collarín ide 3 ft. l final, el trao e reduce a ft. Por tanto, el deplazaiento de la fuerza e de 8 ft. F F lb ft Peo del collarín Coo el deplazaiento del collarín tiene el entido contrario del peo, el trabajo que realiza e negatio. P P h 0 0 lb ft 0 Fuerza del reorte Coo el collarín repoa inicialente obre el reorte, lo defora una longitud tal que 0 0 ; o ea 0. ft. l final, el reorte etará etirado una longitud 0.. ft. k = 0 K k 0. 0.

10 9 rabajo e ipulo K 30 lb ft Epleando la fórula del trabajo la energía cinética: ft

11 rabajo e Ipulo rabajo, energía cinética energía potencial 7. n copetidor de nowboard de 70 kg de peo, e deja caer dede el punto de la uperficie eicilíndrica que e uetra en la figura. Depreciando el taaño del copetidor toda fricción, diga cuál e la energía potencial graitacional que pierde el copetidor al llegar al fondo con qué rapidez llega a ea poición. Reolución El copetidor pierde energía potencial graitacional, pueto que el punto etá á bajo que. 70 (9.8) n Vg P h Vg 70 Vg 70 La única fuerza que actúan durante el oiiento on el peo la reacción noral. Se produce un intercabio entre la energía cinética la potencial graitacional. t Vg 0 Ph

12 94 rabajo e ipulo 8. El carrito de 00 lb de un juego de feria paa por el punto con una rapidez de 0 ft/. Sabiendo que la altura h e de 30 ft el radio del bucle e de 0ft, calcule la rapidez con que el carrito paa por la cia del bucle circular de la ía, la fuerza que éta ejerce obre aquél en dicha poición. Calcule tabién cuál debe er la ínia altura h a la que debe oltare para que el carrito alcance la encionada cia. Reolución tilizareo la fórula de la coneración de la energía para calcular la rapidez con que el carrito paa por. Vg 0 Ph 0 t oberao que h e negatia de 30-(0) = 0 00 n t 00 n Dibujao el diagraa de cuerpo libre del carrito al paar por elegio un itea de referencia intríneco. F n a 00 n lb Para calcular la altura h ínia de la que debe oltare el carrito para que recorra el bucle copleto,

13 rabajo e Ipulo 9 dibujareo el diagraa de cuerpo libre calculareo la rapidez con que debe paar por. F n a n Con la fórula de la coneración de la energía, toando en cuenta que h 0 h Vg 0 Ph h 0 0 h h 0 0 h ft

14 96 rabajo e ipulo 9. Lo cuerpo de la figura etán inicialente en repoo. La aa de on 0 kg, repectiaente, ientra que la de la polea e depreciable. Calcule la rapidez de lo cuerpo cuando e haan deplazado 0. la tenión de la cuerda. Reolución Entre la poición inicial la final ha cabio tanto de la energía cinética coo de la energía potencial del itea, en el cual e incluen lo do cuerpo, la polea la cuerda. La rapidece de on iguale. Vg 0 Vg Vg. 7. g g h h g.40 Para deterinar la tenión de la cuerda, podeo ailar cualquiera de lo cuerpo. Elegio el cuerpo. dibujao u diagraa de cuerpo libre.

15 rabajo e Ipulo 97 Vg gh g 7.7 Podeo coprobar lleando lo reultado al cuerpo. Vg gh Lo cual confira que el reultado e correcto.

16 98 rabajo e ipulo 0. La guía lia de la figura etá contenida en un plano ertical. El collarín de lb etá originalente en repoo en e uee a. El reorte tiene una longitud natural de ft una contante de rigidez k = 0 lb/ft. Calcule el cabio de energía potencial elática que ufre el reorte la rapidez con que el collarín llega al punto. Reolución Para calcular el cabio de energía potencial del reorte, neceitao conocer u deforacione inicial final Por tanto: Ve Ve k 0 4 Ve 37 lb ft El igno negatio indica que hubo una pérdida de energía potencial elática entre la priera poición la egunda. Para inetigar la rapidez con que el collarín llega a, epleareo la fórula de la coneración de la energía, pue ninguna fuerza no coneratia actúa en el itea. Vg Ve 0 0 Ph 37 0

17 rabajo e Ipulo } 47.0 ft

18 00 rabajo e ipulo. El cuerpo de 8 kg de peo e lanza hacia arriba del plano inclinado º con una rapidez inicial de 0 /. Lo coeficiente de fricción etática ciné-tica entre el cuerpo el plano on, repectiaente, 0. 0., Deterine la deforación áia que ufrirá el reorte por la acción del cuerpo, abiendo que u contante de rigidez e de 00 kg/. Reolución 8 Para la reolución del problea, que eige relacionar poicione rapidece, e puede eplear la fórula del trabajo la energía. 0. En el itea que e defora por el cuerpo, el reorte el plano, durante el oiiento del priero, la única fuerza no coneratia que actúa e la de fricción. La agnitud de éta la calculareo ediante el diagraa de cuerpo libre de. F 0 8co Por tanto, la fuerza de fricción e Fr Epleando la fórula del trabajo la energía teniendo en cuenta que el cuerpo e detiene cuando el reorte alcanza u áia deforación, teneo: + Δh Vg Ve Fr

19 rabajo e Ipulo 0 Vg P h Ve en 8 h Sutituendo La raíz negatia no tiene ignificado fíico la áia deforación del reorte e: 0.69

20 0 rabajo e ipulo 3.3 Ipulo cantidad de oiiento. n carro de ferrocarril de 90 ton queda in freno obre una ía recta cua pendiente e del %. Si en cierto intante deciende a razón de 0. /, cuál e u cantidad de oiiento? Cuál erá u elocidad cuatro egundo depué? Reolución 90 ϴ Dibujao el diagraa de cuerpo libre del carro, para conocer la fuerza que actúan obre él elegio un eje de referencia en la dirección de la elocidad. Cuando u elocidad e de 0. la cantidad de oiiento del carro e: L L ton L Podeo calcular u elocidad cuatro egundo depué ediante la fórula del ipulo la cantidad de oiiento. 00 α Fdt L F dt L L L α = 0.73 Coo la fuerza on contante: F t

21 rabajo e Ipulo n cuerpo de 0 lb repoa obre una uperficie horizontal, cuando e le aplica una fuerza F cua agnitud aría confore e uetra en la gráfica. Cuando t = 4, Cuál e la elocidad áia que adquiere el cuerpo? Cuánto tiepo depué de que terino la aplicación de la fuerza e detendrá? Lo coeficiente de fricción etática cinética entre el cuerpo la uperficie on , repectiaente. Reolución Dado que la fuerza etá en función del tiepo, epleareo el étodo del ipulo cantidad de oiiento. 0 De la gráfica, cua ordenada al origen e 0 u pendiente negatia de 0 4, obteneo: F 0 t Calculareo la elocidad del cuerpo cuandot 4 F F dt L F dt L L t dt t.t ft

22 04 rabajo e ipulo La rapidez áia la alcanzará el cuerpo cuando la reultante del itea de fuerza ea nula. 0 F 0 0 t 0 t t 3 Por tanto 3 0 t dt a a 0 a 0 a 36. ft Depué de t 4, el cuerpo queda ujeto a la fuerza otrada. Fdt t 0 0 L4 t 4 0 Otro procediiento Pueto que la fórula del ipulo e: 0 F L Fdt Dicha cantidad queda repreentada por el área contenida bajo la gráfica de la coponente horizontal de la reultante del itea de fuerza, la cual e: F F F 0 t t Cua gráfica e uetra en la figura

23 rabajo e Ipulo 0 El área poitia áia que e acuula, a lo e: Σ F (lb) que igualada con el increento de la cantidad de oiiento no perite hallar la elocidad áia Δt t() 0. a a 0. a 36. a 0 ft Para encontrar la elocidad cuando t 4, al área anterior ha que retarle la del pequeño triángulo que le igue ft Para calcular el tiepo t, en que el cuerpo e eguirá oiendo, igualao el área poitia con la negatia... t 3 t t 0 t 4

24 06 rabajo e ipulo 4. El cuerpo de 40 kg de la figura etá inicialente en repoo. Se le aplica la fuerza E de agnitud ariable, que e coporta egún e uetra en la gráfica. Calcule la elocidad áia que alcanza el cuerpo el tiepo que e igue oiendo, una ez que e retire la fuerza E. Lo coeficiente de fricción etática cinética on , repectiaente. 40 kg E E 30 µ = 0. µ k = 0.0 Reolución El cuerpo coenzará a oere en el intante en que la coponente horizontal de la fuerza E eceda la fuerza áia de fricción etática, que e: F' g E La agnitud de E e puede eprear de acuerdo a la gráfica, coo: E 00t Cuando el cuerpo etá a punto de oere, teneo: F t 0.(00t) t () F 0 3(00t) 0.(39.4 0t) 0 0 3t 98..t t 0 t 0.99 () partir de ete intante coienza el oiiento. La fricción e conierte en cinética u alor e: Fk k 0.

25 rabajo e Ipulo t Dibujao el diagraa de cuerpo libre utilizao la ecuación del ipulo. F t t t Coo la rapidez áia la alcanza cuando t F dt ( á 0 3 (00t) 0.(39 0t)) dt 40 (0t t ) dt 40 á á 0.99 (86.6t t) dt 40 á (39.4) 48.3t 78.48t 48.3( ) á á á á á 48.3(0.99 ) na ez que e retira la fuerza E, el diagraa de cuerpo libre e el que e uetra. El ipulo ulterior e: 0.99 F 0. (96.6t 78.48) dt 40 t 0 á 39.4t 40. á t 0.77

26 08 rabajo e ipulo. El carro e de 80 ton iaja a 4 k/h, ientra que e de 00 ton e uee a k/h. Cuando alcanza a lo carro quedan acoplado. Con qué elocidad e ueen entonce? Reolución tilizao la fórula de la coneración de la cantidad de oiiento lineal. Coo la elocidade tienen la ia dirección on iguale la elocidade finale de, podeo ecribir: k h

27 rabajo e Ipulo n caión de 0 kip repoa obre un tranbordador de 40 kip. Debido al oiiento del tranbordador el caión e epieza a oer hacia la derecha hata alcanzar una elocidad de 0 i/h. Deterine la elocidad correpondiente del tranbordador, abiendo que la reitencia del agua a u oiiento e depreciable. Reolución Epleao la fórula de la coneración de la cantidad de oiiento. C C C C Coo la elocidade on horizontale C 0 C C C 40 C Sabeo que la elocidad relatia del caión repecto al tranbordador e de 0 i h. C C C 0 Sutituendo El igno indica que el tranbordador e uee hacia la izquierda i h

28 0 rabajo e ipulo 7. na bola de billar que e uee a ft/ golpea a otra,, en repoo. Depué del ipacto. la bola e deía 30º tiene una rapidez de 0 ft/. Sabiendo que la bola tienen aa iguale on perfectaente elática, calcule la elocidad de depué del ipacto. = Reolución Reolereo el problea utilizando la fórula de la coneración de la cantidad de oiiento lineal, eligiendo el itea de referencia que e uetra en la figura. Coo la aa de on iguale: = 0 en donde: i 0 j i j θ e decir: i 8.66i j i j = = 6.34 θ Igualando la coponente en Igualando la coponente en 0

29 rabajo e Ipulo Por tanto 6.34 tan ft 8.07

30 rabajo e ipulo 8. En una ía horizontal recta e encuentran do carro de ina iguale. El carro, que e uee a 4 /, alcanza al carro, que etá en repoo. Suponiendo que e pierde el 0% de la energía cinética original a caua del ipacto, calcule la elocidad de cada uno de lo carro depué del ipacto. Reolución De la ecuación de la coneración de la cantidad de oiiento e tiene: pero coo la aa de lo carro on iguale toda la elocidade tienen la ia dirección () Pueto que e pierde el 0% de la energía cinética: 0.8 Siplificando Sutituendo el alor de ()

31 rabajo e Ipulo 3 Reoliendo: La raíce on la elocidade de lo cuerpo, pue uan 4. La aor correponde al carro, que a delante de..70.3

32 4 rabajo e ipulo 9. El carro e de 80 ton iaja a 4 k/h, ientra que e de 00 ton e uee a k/h. Si el coeficiente de retitución entre lo carro e 0.6, cuál erá la elocidad de cada uno de ello depué del ipacto? Reolución De la coneración de la cantidad de oiiento lineal: diidiendo entre () Pueto que e trata de un ipacto central entre cuerpo que no on perfectaente elático e () ultiplicando por 4 reoliendo el itea por ua reta k h De () k h

33 rabajo e Ipulo 0. Sobre una ea de 3 ft de altura rueda una pelota a ft/ cae al pio. Sabiendo que el coeficiente de retitución entre la pelota el pio e 0.9, calcule la ditancia b de la ea al punto en que la pelota cae, la ditancia c en la que da el egundo rebote. Reolución En cuanto la pelota abandona la ea queda ujeta a la ola acción de u peo. g a a F a 3. 3.t 3 6.t a 0 t Cuando llega al uelo, 0, b t t b b ft

34 6 rabajo e ipulo l rebotar, la coponente horizontal de la elocidad no ufre alteración. La erticale cabian a caua del ipacto. S e S en donde S e la elocidad del uelo, que e nula en donde La pelota uele a quedar ujeta a la ola acción de u peo, la ecuacione del nueo oiiento on: a t.t 6.t a 0 t (toando coo 0 el punto del rebote) La pelota uele a llegar al uelo i 0, c 0.t 6.t 0.6.t t. 6.. c 6. c.4 ft

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