Facultad de Ciencias Curso Grado de Óptica y Optometría SOLUCIONES PROBLEMAS FÍSICA. TEMA 2. OSCILACIONES Y ONDAS

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1 acultad de Ciencia Curo 1-11 Grado de Óptica y Optoetría íica SOLUCIONES PROBLEMAS ÍSICA. TEMA. OSCILACIONES Y ONDAS 1. Una pea de,5 kg e cuelga de un cordón de goa de longitud 4 c y radio 1,. Si el ódulo de Young de eta goa e 3, 1 6 N/, calcula a) el alargaiento del cordón al colgar la pea, la contante elática del itea y c) el período de la ocilacione verticale de la pea que tienen lugar cuando e deplaza éta de u poición de equilibrio. a) c) L g L, 59, 8, 4 L = S Y = R, 1 Y = = 3 π 6 π 1 31 S Y S Y π R Y π N = L K = = = = 4 L L L, 4, 5 T = π = π =, 91 K 4. Se cuelga un cuerpo de aa 5 g del extreo de un uelle de contante elática 3, N/, e alarga 4, c y e uelta. a) Calcula la frecuencia de la ocilación y u período. Ecribe la expreión del deplazaiento, repecto a la poición de equilibrio, en función del tiepo epleando unidade del Sitea Internacional. Cuánto vale la fae inicial? c) Calcula la poición depué de 11. d) Cuánta ocilacione e han copletado en ee tiepo?, 5 1 a) T = π = π =, 78; υ = = 1, 7 Hz K 3, T La ecuación del oviiento del cuerpo e la de un oviiento arónico iple cuya aplitud e,4 y u frecuencia angular e ω = πν = 8, rad. Por lo tanto: 4 ( 8 ) y t =, co, t + ϕ. La velocidad del cuerpo erá la derivada teporal de la expreión anterior v( t ), 3 en ( 8, t ϕ ) = +. Hay que deterinar la fae inicial. Para tiepo cero el

2 acultad de Ciencia Curo 1-11 Grado de Óptica y Optoetría íica cuerpo e encuentra en la poición co ϕ que en ϕ = 1 ϕ = = y 11 =, 4co 8, 11 =, 4 c) y =, 4 y la velocidad e nula, entonce e tiene. Luego: y ( t ) =, 4co ( 8, t) d) El periodo e el tiepo que tarda en producire una ocilación, luego: t 11 n = = = 14 ocilacione T, Un cuerpo de aa 1, kg etá unido a un reorte de contante elática, 1 N/. Se epara 3, c de u poición de equilibrio y e abandona in velocidad inicial. Calcula u a) poición y velocidad en lo intante en que on iguale u energía cinética y potencial. a) Coo u energía cinética y potencial on iguale e deduce que: E c = E, p E = Ec + Ep E = Ep K = K = ± = ± = ±, 1c ( ω ϕ ) co t v v = en t + = + a x + = v = ± ω = a xω ω ϕ ω K 3 1 = ± = ±,, = ±, Se etudia el oviiento de una coluna de acero epotrada entre do punto, al oeterla a un fuerte golpe. Para ello e oberva el deplazaiento de un punto de la coluna repecto a u poición de equilibrio a edida que paa el tiepo, tal coo e uetra en la figura. a) Qué tipo de oviiento tiene dicho punto? Razona la repueta. De la

3 acultad de Ciencia Curo 1-11 Grado de Óptica y Optoetría íica gráfica puede deterinare que la aplitud inicial del oviiento e de,1, que u período e de 16 y que en cada período la aplitud del oviiento decae un %. Calcula la fae inicial y ecribe la expreión del deplazaiento del punto en función del tiepo. c) Calcula la poición del punto cuando han trancurrido 1,5 período y cuando han trancurrido,5 período. a) La gráfica repreenta un oviiento ocilatorio aortiguado. El reultado e coo el del oviiento arónico iple alvo que la aplitud de la ocilacione diinuye exponencialente con el tiepo. La ecuación que repreenta dicho oviiento ocilatorio e: µ t ( ω δ ) t e co t = +, donde la frecuencia angular ( ω = T frecuencia propia del itea egún la relación ω = ω µ. Para tiepo cero e tiene: µ t = ( ω ) t e co t π )etá relacionada con la = c oδ = c oδ = 1 δ =. Luego: Adeá, e indica que cuando paa un tiepo de,16 la aplitud e hace un % á pequeña. E decir: π (, ), e co,,, 16, 16µ 16 = 8 16 = 8 ( 8) ln, e =, 8, 16µ = ln (, 8) µ = = 14, 16, 16µ 1 La ecuación de oviiento erá: 14t π ( t ) =, 1e co t t en egundo y en ilíetro, 16 π t = 1, 5T =, 164, 164 =, 1 e co, 164 =, 16 14, 164 c) 14, 38 π 3 t =, 5T =, 38 (, 38) =, 1 e co, 38 = 1, Un objeto de, kg ocila ujeto a un uelle de contante elática 4 N/. La contante de aortiguaiento e 15 N / y la fuerza ipulora tiene una aplitud de 1 N y una frecuencia angular de 7,5 rad/. a) Calcula la aplitud de la ocilacione. Si e varía la

4 acultad de Ciencia Curo 1-11 Grado de Óptica y Optoetría íica frecuencia de la fuerza ipulora, para qué valor de la frecuencia angular e produce la reonancia? c) Cuál erá la aplitud de la ocilacione en la reonancia? d) Calcula la aplitud de la ocilación en lo cao de lo apartado (a) y (c) i e deprecia el aortiguaiento. a) De nuevo, coo en el ejercicio anterior, e tiene un oviiento aortiguado y forzado, cuya ecuación de oviiento e: ( t) co ( ωt δ ) = +. Siendo ω la frecuencia de la fuerza ipulora y la aplitud viene dada por: = ω ω + γ ω con ω la frecuencia natural del itea. El valor de la frecuencia natural viene dada por: K 4 rad K = ω ω = = = 14, 1 Sutituyendo e obtiene: 1 = =, 3, 7, 5 14, , 5 La reonancia e produce cuando la frecuencia de la fuerza ipulora e igual a la rad frecuencia natural del itea, e decir ω r e = 14, 1. c) En reonancia, la aplitud de la ocilacione viene dada por: 1 = = =, 47 γω 1514, 1 d) Si e deprecia el aortiguaiento, γ =. Por lo tanto, Cao a) 1 = = =, 35,, re ( ω ω ) 4( ) Cao c) = 6. La función de onda de una onda arónica que e propaga en una cuerda e, utilizando unidade SI, y(x,t) =,3 co (, x 3,5 t). a) En qué dirección e propaga la onda y cuál e u velocidad? Deterina la frecuencia, período y longitud de onda. c) Cuále on el deplazaiento y la velocidad áxio de cualquier egento de la cuerda?

5 acultad de Ciencia Curo 1-11 Grado de Óptica y Optoetría íica a) La onda e propaga en el entido poitivo del eje X. La velocidad de la onda puede deterinare de la iguiente fora. Si obervao la función de onda, deducio que k =, ; ω =,, luego: rad ω 3 5 u = =, = 1, 6 k, ω 1 π ν =, 56 Hz;T 1, 8; λ, 9 π = = ν = = k = c) El deplazaiento áxio e la aplitud: y =, 3. La velocidad de un punto de la cuerda erá la derivada repecto al tiepo de la función de onda, = 33 5 ( 3 5 ) = 11 ( 3 5 ) v x,t,, en, x, t, en, x, t cuyo valor áxio e v ( x,t ) =, Un hilo de acero que tiene,7 de longitud y una aa de 5, g e tena entre do oporte ediante una fuerza de 5 N. a) Cuál e la velocidad de la onda tranverale en la cuerda? Cuánto iliegundo tardará un pulo en ir de un oporte al otro al golpear uno de lo oporte con un artillo? c) En qué porcentaje hay que variar la tenión de la cuerda para diinuir la velocidad de la onda en un %? d) Se podría coneguir la ia diinución de la velocidad variando la aa del cable de acero? En cao afirativo, razona i el hilo debería er de ayor o enor groor. L 5, 7 a) La velocidad de la onda viene dada por: u = = = = 7 3 λ 51 L, 7 u 7 3 L = u t t = = =, 61 c) Se deea que la nueva velocidad ea: u' =, 8 u. E decir: ' ' =, 8 ' =, 64 = 1 = 36% λ λ d) Si ya que con ello variao la denidad lineal. Si e deea diinuir la velocidad tendreo que auentar la aa, y por lo tanto el groor de la cuerda. L L 1 ' =, 8 ' = = 1 = 56% ', 64

6 acultad de Ciencia Curo 1-11 Grado de Óptica y Optoetría íica 8. Un hilo de acero de diáetro,35 y longitud 5 c e ujeta entre do oporte y e etira aplicando una fuerza de 1 N. Calcula a) el alargaiento del hilo y la fuerza áxia que e puede aplicar ante de que el hilo e ropa. c) Calcula la velocidad de la onda tranverale que e propagan a lo largo del hilo cuando e pula en la condicione correpondiente al apartado a). Dato para el acero: Módulo de Young = 1 1 N/. Tenión de ruptura =5, 1 8 N/. Denidad = 7,8 g/c 3 a) Apliqueo la relación entre la tenión aplicada y el alargaiento: l 4 l 41, 5 S = l = D Y = = π π, Y l, A partir del concepto de tenión de ruptura: S 3 ( 351 ) π D π, Truptura = = T ruptura = 5, 1 =, 51 N c) L L 4 41 u = = = = = = 1 λ ρ V ρπ D 78π (, ) 9. a) Utilizando análii dienional, obtén la fórula de la velocidad de propagación del onido en un fluido uponiendo que depende de u ódulo de copreibilidad B y u denidad ρ. Obtén por el io procediiento la velocidad de propagación de la onda tranverale en una cuerda tena uponiendo que depende de la fuerza con la que etá tenada, de u denidad lineal de aa λ y de u ección tranveral S. a) [ ] [ ] [ ρ ] α β α β 1 MLT M α + β α 3β α 3 u = B LT = = M L T L L α + β = 1 1 α 3β = 1 α = β = α = 1 eto quiere decir que: 1 1 u B ρ = B ρ

7 acultad de Ciencia Curo 1-11 Grado de Óptica y Optoetría íica β α β 1 α M α + β α β α [ ] [ ] [ λ ] u = LT = MLT = M L T L α + β = 1 1 α β = 1 α = β = α = 1 eto quiere decir que: 1 1 u λ = λ