Problema 1 Sea una onda transversal que viaja a través de una cuerda y cuya ecuación es

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1 1/32 Problema de Onda Boletín 2 Tema 2 Fátima Maot Conde Ing. Indutrial 2007/08 Problema 1 Sea una onda tranveral que viaja a travé de una cuerda y cuya ecuación e y(x, t) =6.0en(0.20πx +40πt), donde x e y etán expreado en centímetro y t en egundo. Determine a) la amplitud, b) la longitud de onda, c) la frecuencia, d) la velocidad, e) el entido de propagación de la onda, f) la máxima velocidad tranveral de una partícula en la cuerda, g) el deplazamiento tranveral en x=35cm cuando t= /32 y(x, t) =6.0en(0.20πx +40πt) K ω Sabemo: K = 2π λ = frecuencia epacial a) A =6cm b) λ = 2π K = Porque y e mide en cm ω = 2π T 2π rad 0.20π rad/cm =10cm periodo epacial = frecuencia temporal periodo temporal

2 3/32 Problema 1 c) Frecuencia ω =40π =2πf lineal f = 40π 2π rad/ rad =20ciclo Hz =20Hercio d) Velocidad (de fae): Velocidad de lo punto que tienen la mima fae (e la velocidad a la que viaja la onda en el epacio). Lugar geométrico de lo punto con la mima fae: Kx ωt =cte Derivando: K dx ω dt =0 K dx = ω dt v = dx dt = ω K = 2πf 2π/λ = fλ f = 1/T λ = vt 4/32 Problema 1 ω =40π T = 2π ω = 2π rad 40π rad/ = 1 20 =0.05 v = λ T = 10 cm 0.05 =2m/ Velocidad de fae o también, velocidad de la onda, (contante) e) Sentido de la propagación Genéricamente: En nuetro cao, tenemo: co(kx ωt) co(kx + ωt) Dirección de propagación x + Aí que, la dirección de propagación e x

3 5/32 Problema 1 f) Velocidad tranveral máxima v y (t) v y (t 0 ) velocidad de fae (contante) (variable con t) Velocidad tranveral : velocidad de un punto concreto, en u ocilación. Como cada punto ocila con un M.A.S., eta veloc. e una función del tiempo (igual que en un MAS). v y (t) = dy dt = Aω co(kx ωt) v y máx. para co = 1 v y (t) max = Aω =6cm40π rad =240π cm 6/32 Problema 1 g) Deplazamiento tranveral en x=3.5cm, t=0.26 Sólo hay que utituir: y =6en(0.20π x +40π t) = cm rad/cm cm rad/ = 6 en(0.20π π 0.26) y = 1.9cm

4 Problema 2 Una cuerda de maa 0.2kg y 4 metro de longitud e conecta a un diapaón que ocila con una frecuencia de 20Hz. La amplitud de la ocilacione e de 1cm. La onda tranveral excitada en la cuerda reulta tener una longitud de onda de 10cm. Determine la velocidad de la onda y la tenión aplicada a la cuerda. Por qué factor e precio multiplicar la tenión aplicada para que la longitud de onda e duplique? 7/32 a) Velocidad de la onda Dato: v = λ T = λf =10cm20ciclo v =200 cm m =0.2kg l =4m f =20Hz A =1cm λ =10cm 8/32 Problema 2 b) Tenión aplicada a la cuerda Sabemo: v = F T μ Tenión aplicada Denidad de maa lineal μ = m l = 0.2kg 4m kg =0.05 m Velocidad v =200cm/ Depejamo F T : F T = μv 2 =2 2 m kg m =0.2kg 2 m=0.2n

5 9/32 Problema 2 c) Factor multiplicativo de F T para que λ e duplique Para que λ e duplique in modificar la frecuencia de la onda ni la cuerda Tenemo: λ T = F T μ Y bucamo F T tal que: 2λ T = F 0 T μ 2 F T μ = F 0 T μ F 0 T =4F T E E neceario un un factor multiplicativo de de 4 Problema 3 Un epeleólogo de maa 70kg e encuentra upendido de una cuerda de denidad lineal 0.9kg/m. El epeleólogo decide enviar una eñal a u compañero, que e encuentra 30m má arriba, para que uelte má cuerda. Para ello tira de la cuerda horizontalmente para enviar un pulo tranveral a travé de ella. La velocidad de la onda dependerá de la tenión a que la cuerda etá ometida, in embargo, dado que la cuerda empleada en epeleología tienen una alta denidad lineal, cabe preguntare i e adecuado depreciar el propio peo de la cuerda a la hora de calcular la tenión. Para comprobarlo, calcule el tiempo que tarda la eñal en llegar al compañero: a) depreciando el peo de la cuerda y b) in depreciarlo. 10/32 l =30m μ =0.9 kg m m =70kg P = mg a) Depreciando el peo de la cuerda Sabemo: v = r F T μ = 0.9 t = l v = F T = mg =70kg9.8m/ 2 =27.6 m 30 m 27.6m/ =1.086

6 11/32 Problema 3 b) Sin depreciar el peo de la cuerda z F T (z) F T (z) =mg + v = dz r mg + μgz dt = μ Z z 0 μg dz = mg + μgz μdz mg + μgz =dt Z z r μ g Z l 0 Z dz t = m + μz 0 u = m + μz dt t = r μ g Z ul 1 du u 0 μ u 12/32 Problema 3 Cambio: u = m + μz du = μdz Límite: u 0 = m u l = m + μl z=0 z=l t = r μ g Z ul 1 du u 0 μ u t = 1 2 ul u μg u 0 =0.997

7 Problema 4 Un barco ua un itema de onar para detectar objeto ubmarino. El barco e encuentra en repoo en una zona en la que la profundida del lecho marino e de 50m. El itema emite un haz de onda de onido cuya frecuencia f=262hz que forma un ángulo de 30 o con la uperficie del mar y mide el tiempo que tarda la onda, que e refleja en un pecio, en regrear al detector. Sabiendo que el tiempo de retardo e y que la denidad del agua e 1.00x10 3 kg/m 3, calcúlee a) la velocidad del onido en el agua, b) el módulo de compreibilidad del agua, c) la longitud de onda de la eñal emitida. 13/32 Odyey a) Velocidad del onido en el agua prof = 50 m 30º Por trigonometría imple: en 30 o = prof. = prof. en 30 o =100m f = 262 Hz tiempo de retardo = ρ agua = kg/ m 3 v = t = m /2 = 1480 m/ ida y vuelta 14/32 Problema 4 b) Módulo de compreibilidad del agua B = v 2 ρ = ³ 1480 m Sabemo: v = B ρ kg m 3 = Pa c) Longitud de onda de la eñal λ = v f = 1480 m/ 262 Hz =5.65 m Sabemo: v = λ T = λf

8 Problema 5 Una onda inuoidal viaja por un hilo de longitud 8.00m y maa 6.00g con una velocidad de 30.0m/. La longitud de onda e 0.200m, a) determinar la amplitud de la onda i u potencia media tranmitida e 50.0W, b) i la amplitud y la longitud de onda on la del apartado a), cuál erá la nueva potencia media tranmitida por la onda i la tenión e modifica de forma que la velocidad de la onda ea el doble? 15/32 a) Amplitud de la onda Dato l =8m m =6g v =30m/ λ =0.2m P m =50W μ = 6g 8m =0.75 g m ω = 2π T =2π v λ Sabemo: P m = 1 2 μvω2 A 2 A =7.07 cm 16/32 Problema 5 b) Si A y λ on iguale que en a), calcular nueva P m para 2v v = λ T 2v = λ T 0 T 0 = λ 2v = 1 2 T ω 0 = 2π T 0 = 2π T/2 =2ω P 0 m = 1 2 μ 2v ω02 A P 0 m = 1 2 μ 2v (2ω)2 A =8Pm =400W

9 Problema 6 Un ubmarino francé y otro británico e deplazan el uno hacia el otro durante una maniobra militare. El ubmarino francé navega a 50km/h y el británico a 70km/h. El ubmarino francé emite una eñal de onar a 1000Hz. La onda de onar viajan a 5470km/h. a) Cuál e la frecuencia detectada por el ubmarino británico?, b) La eñal emitida por el ubmarino francé e refleja en el británico y e detectada por el primero. Cuál e la frecuencia detectada por el ubmarino francé? 17/32 v france =50km/ h v inglé =70km/ h Sabemo: Submarino francé (foco) v =5470km/h f = 1000 Hz Submarino inglé (receptor) f receptor = f foco v onido v onido ± v receptor v foco 18/32 Problema 6 a) Frecuencia detectada por el ubmarino británico Aplicación directa de la fórmula: f inglé = f francé v onido + v inglé v onido v france = e aproximan receptor emior km/h =1000Hz km/h = 1022 Hz

10 19/32 Problema 6 b) Frecuencia detectada por el ubmarino francé, depué de que e refleje en el inglé v france =50km/ h Submarino francé (receptor) v =5470km/h f =1022Hz v inglé =70km/ h Submarino inglé (foco) La velocidad v onido e la mima. El emior e el inglé. El receptor e el francé. La frecuencia con que emite el emior (inglé) e la frecuencia calculada en el apartado anterior km/h 50 km/h 1022 Hz v onido + v francé f francé = f inglé v onido v inglé receptor emior =1045Hz 70 km/h Problema 7: El paajero de un tren (A) que viaja a una velocidad de 20 m/, ve dede u ventana a un peatón (B) que, detenido en un pao a nivel, epera el pao del tren. Ante de llegar a la altura del peatón, el ilbato del tren emite un onido de frecuencia 500 Hz. Sabiendo que la velocidad del onido e 343m/, a) determinar la frecuencia del onido que oyen A y B uponiendo que el aire etá en calma, b) determinar de nuevo la frecuencia del onido que oyen A y B uponiendo que hay viento con una velocidad de 5m/ en la mima dirección y con el mimo entido que la velocidad del tren. c) Sabiendo que Hz e la frecuencia má alta que puede detectar el oído humano e factible el hecho de que una velocidad exceiva del tren hiciera inaudible el ilbato de advertencia al peatón? 20/32 A v =343m/ f =500Hz B Sabemo: f receptor = f foco v onido v onido ± v receptor v foco

11 21/32 Problema 7 a) Frecuencia que oyen A y B f A f tren =500Hz No hay movimiento relativo entre A y el tren. No hay efecto Doppler. f B = f tren v onido ± v B v onido v tren =531Hz Hz 343 m/ 20 m/ Acumulación de frente de onda delante del emior, que acorta la longitud de onda emitida 22/32 Problema 7 b) Frecuencia que oyen A y B con viento A viento= +5 m/ v =343m/ f A f tren =500Hz f B = f tren v efec.onido ± v B B El movimiento relativo de A y de B no cambia. Sólo cambia la velocidad efectiva del onido. v efectiva onido = v onido ± v viento En ete cao, la onda e aproxima a B arratrada por el viento, o ea, a mayor velocidad efectiva, (elegimo el igno +). Elegiríamo el igno meno i el viento oplara en contra. Mima razón que en el apartado anterior. 0 v efec. onido = m/ 500 Hz v efec.onido v =530.5Hz tren m/

12 23/32 Problema 7 c) Velocidad del tren para que B no ecuche el ilbato Para la frecuencia máxima audible=20000hz, la velocidad del tren ería: Para Para ea ea velocidad, m/, m/, la la frecuencia del del tren tren e e hace hace inaudible, pero pero e e demaiado grande grande para para que que un un tren tren pueda pueda alcanzarla. Podrían dare dare frecuencia inaudible (uperiore a Hz) Hz) para para velocidade de de tren tren má má baja? baja? v onido f B =20000Hz=f tren v onido v tren próxima diapoitiva v tren = v onido 1 f tren = 334.4m/ f B =343m/ Hz Hz a la que correpondería una velocidad de tren: 24/32 Problema 7 Veamo cómo varía la función v tren frente a la frecuencia que recibe el obervador B, f B v tren Audible La pendiente: Hz Inaudible f B d v df tren onido tren = > 0 2 B fb v e poitiva, la función v tren e creciente con f B, lo que ignifica que para velocidade del tren mayore que m/, la frecuencia obervada etará por encima del límite audible, (y para velocidade menore, por debajo). Ea velocidad, por tanto, marca la eparación entre lo audible y lo inaudible. f

13 Problema 8 25/32 a) v F = 1.22 π/2-α α v F vt 5000 vt F 26/32 Problema 8 a) Do forma alternativa de calcular ete tiempo: A partir de la ditancia recorrida por la onda de onido (ditancia vt, en naranja) veloc. del onido vt coα = 5000 O bien A partir de la ditancia recorrida por la onda de choque (ditancia v F t, en marrón) tgα = 5000 vt F veloc. del avión

14 27/32 Problema 8 b) 5000 coα = t vtʹ α vtʹ α v F = 5000 m 1.22 Problema 9 Do onda inuoidale de la mima amplitud y frecuencia viajan por una cuerda tena en direccione opueta. a) Calcular y dibujar la forma de la onda reultante. b) Demotrar que la potencia promedio tranmitida por eta onda e nula. 28/32 a) Forma de onda reultante A A y 1 = A en(kx ωt) y 2 = A en(kx + ωt) Reultante: y 1 + y 2 = A en(kx ωt)+en(kx + ωt)

15 29/32 Problema 9 Por trigonometría imple: = A en(kx)co(ωt) co(kx)en(ωt)+ +en(kx)co(ωt)+co(kx)en(ωt) y =2A en(kx)co(ωt) Onda etacionaria: Cada partícula vibra con un M.A.S. de frecuencia ω, con una amplitud que depende de u poición. y 1 + y 2 = A en(kx ωt)+en(kx + ωt) 30/32 Problema 9 b) Potencia promedio tranmitida por la onda Una forma de hacerlo: Calculamo la potencia intantánea e integramo en un periodo. Sabemo: P = F T y t y x = Derivamo y = y 1 + y 2 repecto de t ydex = F T 2Aω en(kx) en(ωt) 2AK co(kx)co(ωt) = = F T (2A) 2 ωk en(kx)co(kx) en(ωt)co(ωt) = = 1 2 en(2kx) = F T A 2 Kω en(2kx)en(2ωt) =P (t) = 1 2 en(2ωt) Potencia intantánea

16 31/32 Problema 9 La potencia promedio e el promedio temporal de la P intantánea: P m = 1 T Z T 0 P (t)dt = = 1 T Z T 0 Cte. F T A 2 Kω en(2kx)en(2ωt)dt = = F T A 2 Kω en(2kx) T co(2ωt) T 2ω 0 =0 32/32 Problema 9 Otra forma de hacerlo: Sumando la potencia promedio que tranporta cada onda. Sabemo: P m = 1 2 μvω2 A 2 y 1 x + P + m = 1 2 μvω2 A 2 La onda 1 tranporta ea potencia en la dirección x+ y 2 x P m = 1 2 μvω2 A 2 La onda 2 tranporta ea mima potencia en la dirección x _ P total m = P + m P m =0 La onda total (uperpoición de la do), tranporta una potencia neta nula Exactamente la mima potencia porque tenemo la mima ω y A (y μ y v, porque e la mima cuerda)