dt dt ( s) 31.5 = 5. Considerando que k B tiende a ser nula, demostrar que

Transcripción

1 Problema (5 punto - 70 minuto) El itema de la figura repreenta el control de un péndulo invertido. Con el fin de mantener en poición una varilla de longitud a, ituado obre un carro móvil de maa M y en cuyo extremo lleva adoado un recipiente con líquido, de maa m, e dipone de un motor cuya tenión de entrada u(t) e puede manipular. La varilla forma en cada momento un ángulo α(t) repecto a la vertical y gira obre un eje ituado en u extremo en u parte inferior. El carro e arratrado por una fuerza f(t) mediante un cable rígido, uponiendo depreciable el rozamiento correpondiente a u movimiento en el eje x(t). La ecuacione carro-varilla que relacionan la fuerza aplicada con el ángulo girado on: d x dα d α ( M + m) ma( en ( α() t )) + ma( co( α() t )) f () t d x d α m co ( α() t ) + ma mgen ( α() t ) Se pide:. Sabiendo que el par generado por el motor, T m (t), aplicado a travé de un eje y una polea de radio r e la que origina la fuerza f(t), una vez vencida la inercia J del conjunto eje-polea, determinar el conjunto de ecuacione algebro-diferenciale que modele la dinámica del motor-eje-polea.. Punto de equilibrio del itema dado por el repoo del carro, x Linealización alrededor del punto anterior de repoo de la ecuacione carro-varilla. 4. Demotrar que el diagrama a bloque del itema correponde al de la figura: 5. Coniderando que k B tiende a er nula, demotrar que α ( ).5 u + + ( ) ( )( 3.4)( 3.4) 6. Si al conjunto total, motor-polea-carro-varilla, e le da una etructura de realimentación negativa y unitaria, obtener el trazado directo e invero del lugar de la raíce. Con qué valore de k el itema e etable? Dato: Motor-polea : R Ω L 0.5H k 3 Nm/ A k 4 0 V/ rad J 0.0kgm r 0.m carro-varilla : m 0.kg M 0.9kg a m g 0 m/ p B Dpto. Electrónica, Automática e Informática Indutrial Ecuela Univeritaria de Ingeniería Técnica Indutrial de Madrid

2 Problema (5 punto - 60 minuto) El circuito de la figura repreenta una etapa de acondicionamiento baada en un filtro de Rauch para un enor acoplado al eje de alida de un micromotor eléctrico. Ante de proceder a analizar el conjunto del itema Controlador-Senor-Motor, e deea etudiar la Ue(t) U(t) propiedade de eta etapa de filtrado. La función de tranferencia del filtro viene determinada por la iguiente expreión: U( ) 0 H ( ) 7 Ue( ) Se pide:.- Obtener cuál e la repueta en régimen permanente de la etapa de acondicionamiento i Ue( t) co(00 t) + 5 en(000t + 0.). ( punto).- Obtener el diagrama de bode de amplitude y fae del filtro indicando lo punto má ignificativo. ( punto). Dado que el enor tiene una ganancia negativa, e contruye el iguiente equema de control del motor: Ur K Motor+enor Ue filtro Siendo la función de tranferencia del conjunto motor+enor la iguiente: 500 G ( ) ( + 000) 3.- Analizar lo errore en régimen permanente del itema para un valor de K0. ( punto) 4.- Qué valore de K logran que el itema de control permanezca etable? ( punto) Publicación de la nota: Reviión: --08 Dpto. Electrónica, Automática e Informática Indutrial Ecuela Univeritaria de Ingeniería Técnica Indutrial de Madrid

3 Problema Kp L.+R m() p () () ϑ () ( ) ϑ ( ) di t d t u() t Ri() t + L + kb d ϑ () t T t k i t J + rf t xt r t x 0m f 0N T 0Nm i 0A u 0V α 0rad 0 0 m Tm() () ( ) && α ( ) ( ) && x() t && α() t α() t && x t + 0. t f t /R f() x() ^ alfa() J ^ Phi() /R Kb / / Trazado directo e invero repectivamente. Como e oberva no hay ningún valor de k que haga el itema etable. 0 Root Locu 0 Root Locu Imaginary Axi 0-5 Imaginary Axi Real Axi Real Axi Dpto. Electrónica, Automática e Informática Indutrial Ecuela Univeritaria de Ingeniería Técnica Indutrial de Madrid

4 EJERCICIO. hora. 5 punto. Ue(t) U(t) El circuito de la figura repreenta una etapa de acondicionamiento baada en un filtro de Rauch para un enor acoplado al eje de alida de un micromotor eléctrico. Ante de proceder a analizar el conjunto del itema Controlador-Senor-Motor, e deea etudiar la propiedade de eta etapa de filtrado. La función de tranferencia del filtro viene determinada por la iguiente expreión: U( ) 0 H ( ) 7 Ue( ) Se pide:.- Obtener cuál e la repueta en régimen permanente de la etapa de acondicionamiento i Ue ( t) co(00t) + 5en(000t + 0.). ( punto) La repueta en frecuencia en régimen permanente de un itema etable viene determinada por el módulo y la fae de la función de tranferencia en donde toma el valor de jw, iendo w la frecuencia de la eñal de entrada. Aplicando la propiedad lineal de lo itema LTI, e tiene entonce que la repueta ante Ue(t) viene determinada por: U permanente ( t) H ( j00) co(00t + H ( j00)) + 5 H ( j000) en(000t H ( j000)) Calculando eto valore e tiene finalmente que: U ( t) 0. co(00t ) en(000t ) permanent e.- Obtener el diagrama de bode de amplitude y fae del filtro indicando lo punto má ignificativo. ( punto). E un filtro paabanda, debido al cero en el origen, y la entrada de do polo, uno a una frecuencia de 000 rad/ y otro a 0000 rad/. La amplificación aintótica entre amba frecuencia e de 0dB, dada la función de tranferencia expreada con lo polo viible: 4 U( ) 0 H ( ) Ue( ) ( + 000)( ). El diagrama de bode tiene el iguiente apecto: Dpto. Electrónica, Automática e Informática Indutrial Ecuela Univeritaria de Ingeniería Técnica Indutrial de Madrid

5 Dado que el enor tiene una ganancia negativa, e contruye el iguiente equema de control del motor: Ur K Motor+enor Ue filtro Siendo la función de tranferencia del conjunto motor+enor la iguiente: 500 G ( ) ( + 000) 3.- Analizar lo errore en régimen permanente del itema para un valor de K0. ( punto) E un itema con realimentación no unitaria, por lo que hay que interpretar el entido de la eñal de entrada egún la función de realimentación. Se oberva que el filtro tiene un cero en el origen por lo que la fórmula del error en régimen permanente erá: X ( ) Erp lim ( K H M ( )) 0 K H H ( ) Siendo K lim H y 3 4 ( KG( ) 500K( + 0 )( + 0 ) M ) 3 4 KG( ) H ( ) ( + 0 ) ( + 0 ) + 500K0 4 ) Dpto. Electrónica, Automática e Informática Indutrial Ecuela Univeritaria de Ingeniería Técnica Indutrial de Madrid

6 Al hacer el limite para el ecalón ( X ( ) ) e oberva entonce que el error en régimen permanente e infinito, por tanto el reto de errore (velocidad y aceleración) también lo on. Indica que pueto que el ecalón etá acotado, al meno para K0 el itema e no etable. 4.- Qué valore de K logran que el itema de control permanezca etable? ( punto) El polinomio caracterítico de M() e: P ( ) (0 + 5K0 ) Que no cumple con la regla de Cardano-Vietta pueto que falta el término independiente. Siempre hay un polo en el origen. Luego el itema e inetable para cualquier valor de K. Dpto. Electrónica, Automática e Informática Indutrial Ecuela Univeritaria de Ingeniería Técnica Indutrial de Madrid