. 1. La función de transferencia de una planta es:

Transcripción

1 Univeridad de Navarra Nafarroako Unibertitatea Ecuela Superior de Ingeniero Ingeniarien Goi Mailako Ekola ASIGNATURA GAIA Ingeniería de Control I 4º CURSO URTSOA NOMBRE IZENA FECHA DATA 9 de enero de 3 PRIMERA PARTE.. La función de tranferencia de una planta e: G () = ( )( 4) Su diagrama del Lugar de la Raíce e: Root Locu 3 Imaginary Axi Real A xi

2 Su diagrama de Bode e: 5 Bode Diagram Magnitude (db) Phae (deg) Frequency (rad/ec) Se pide: a) Elegir razonadamente una ganancia para el itema en el diagrama del Lugar de la Raíce y otra en el diagrama de Bode y compararla. b) Calcular por el criterio de Routh la ganancia crítica del itema y, con ella, la ganancia proporcional que ugiere Ziegler-Nichol. Comparar eta ganancia con la ganancia anteriore.

3 Solución: a) Se elige un amortiguamiento de.7, e decir, un margen de fae de uno 7º. 3 ζ=.7 Imaginary Axi = = 4.85 (.5 pto.) 5 3. db Magnitude (db) º Phae (deg) log = 3. = 4.58 (.5 pto.)

4 b) Se calcula la expreión de la ecuación caracterítica en lazo cerrado: Se aplica el criterio de Routh: ZN ( )( 4) = = CR = 48 =.5 = 4 (.5 pto.) CR

5 .. Dibujar el diagrama de bloque correpondiente al iguiente controlador PID: u = ( by y) ( y y) dtt T I p ref ref D dy dt Solución: Expreión del PID en Laplace: yref () y() U() = p byref() Y() TDY() TI Operando de forma encilla: b p Y ref Y I p T U T D p (.5 pto.). 3. Secuencia de comando en Matlab para dibujar el lugar de la raíce de: Solución: ( 3 4 5)( 3)( ) n = [ ]; d = conv([ 3 4 5],conv([ 3],[ ])); rlocu(n,d); ( pto.)

6 . 4. Dado lo iguiente do itema controlado: Sitema : R N C Sitema : R N PI C a) Determinar lo valore de y para que el Sitema tenga error nulo en régimen permanente y una contante de tiempo de. egundo b) Determinar la contante del PI, en el Sitema, para que la repueta ea la mima que en el apartado anterior. La ecuación de ete controlador e: u () = p e () T I NOTA: Se recomienda cancelar el polo de la planta con el cero del PI, y ajutar la ganancia del itema reultante. c) Al cabo de egundo hay una perturbación de tipo ecalón de amplitud 3. Determinar el error en régimen permanente para cada itema.

7 Solución: a) Expreión de la función de tranferencia en lazo cerrado del Sitema : C = = R ( ) Uando el valor de la contante de tiempo: τ = = =. σ = 9 (.33 pto.) Error del Sitema ante una entrada ecalón unitario, que e quiere hacer nulo: 9 9 e= lim( r() t c()) t = lim ( R() C()) = lim = = t = (.33 pto.) 9 Con eto, la función de tranferencia en lazo cerrado queda: C = R b) Expreión de la función de tranferencia del controlador: TI Gc = p = p T I Para cancelar el polo de la planta, el tiempo de integración debe valer: T = I T = (.33 pto.) La función de tranferencia en lazo cerrado queda entonce: p C p = = = R p p = (.33 pto.) c) Cálculo de lo errore demandado: 3 3 lim( ( )) lim ( ( )) lim e= c t = C = t 9 = I p (.33 pto.) 3 3 lim( ( )) lim ( ( )) lim e= c t = C = t = = (.33 pto.)

8 Univeridad de Navarra Nafarroako Unibertitatea Ecuela Superior de Ingeniero Ingeniarien Goi Mailako Ekola ASIGNATURA GAIA Ingeniería de Control I 4º CURSO URTSOA NOMBRE IZENA FECHA DATA 9 de enero de 3 SEGUNDA PARTE.. Ajutar, por el método del Lugar de la Raíce el compenador de la figura, de tal forma que lo polo en lazo cerrado queden ituado en - ± j. R ( a) C

9 Solución: La poición de lo polo de la planta e la que muetra la figura. El ángulo que debe aportar el polo e el exceo a 8º de lo polo de la figura. E decir: Lo ángulo on: θ = 8º arctg( ) = 57.5º θ = 8º arctg ( ) =.5º θ θ 8º =.5º 57.5º 8º = 9º Por tanto, faltan 9º que debe aportar el cero. El cero etá juto en la vertical. Por tanto: a= ( pto.) Para calcular la ganancia e aplica el criterio del módulo: ( ) ( ) dd = = = ( pto.) d z Aunque no e pide, el lugar de la raíce de la planta con el controlador e el iguiente. Root Locu Imag Axi

10 .. La figura muetra una máquina de control numérico que debe eguir una poición de referencia con un error inferior a mm como muetra la figura. La velocidad máxima de referencia de poición e de m/. x ref mm t Figura Figura Lo parámetro de la máquina on: M = g y C = 6 N/m x ref x G c M C Determinar un compenador de retrao de fae adecuado para el itema. El itema debe tener un comportamiento tranitorio razonable. NOTA : La referencia de poición e puede tomar como una rampa. NOTA : Por eguridad, la ganancia del controlador a baja frecuencia debe er finita, e decir, no puede tener un polo en el origen.

11 Solución (uando el lugar de la raíce): Se va a calcular el compenador de retrao de fae por el método del lugar de la ráice. El compenador tendrá como ecuación: a Gc = b con a y b cercano a cero y a mayor que b. En primer lugar e buca una poición adecuada para lo polo en lazo cerrado. Se ha elegido un amortiguamiento de.7, como muetra la fugura. Root Locu 3 Imag Axi Real Axi La ganancia correpondiente a eto punto e: = 3 3 = 8( pto.) La frecuencia natural e de ω n = 3 = 4.4 rad / El error ante la entrada rampa de m/ debe er de. m. La expreión del error ante una entrada rampa e: Cb C lim et () = = = =. t a lim a BF bm C De eta fórmula e deduce que la ganancia a baja frecuencia debe er: a BF = = 3 = 6. b El compenador de retrao debe aumentar la ganancia a baja frecuencia repecto a alta frecuencia 3/8, e decir, Para que no afecte mucho al tranitorio el cero e itúa a una frecuencia entre y vece meno que la frecuencia natural de lo polo dominante en lazo cerrado. Por tanto:.43 < a <. (.5 pto.) Tomamo a =. Para ete valor de a el valor de b, erá: a b = = =.6 (.5 pto.)

12 El compenador de retrao erá: G c = 8.6 (.5 pto.)

13 Solución (uando el diagrama de Bode): El diagrama de Bode de la planta e: Bode Diagram - - Phae (deg) Magnitude (db) Frequency (rad/ec) Si e ecoge un margen de fae adecuado (6º por ejemplo), la ganancia del itema para coneguir ee margen de fae, uando el diagrama e 7.5 db. En magnitud aboluta, la ganancia erá: = 3.7 ( pto.) La frecuencia de cruce de ganancia e de 3.4 rad/. Por tanto la poición del cero del compenador erá, aproximadamente entre y vece menor:.34 < a <.7 (.5 pto.) Eligiendo k =, el reto del ejercicio e hace de forma análoga al método del lugar de la raíce. La ganancia a baja frecuencia debe aumentar: 3/3.7, e decir, 6.5 vece má. Tomamo a =. Para ete valor de a el valor de b, erá: a b = = =.79 (.5 pto.) El compenador de retrao erá: G c = (.5 pto.)