1. Problema (5 puntos ev. continua, 3 puntos ev. final -60 minutos) La función de transferencia de un proceso a controlar es: ( ) .

Transcripción

1 Imaginary Axis APELLIDOS CURSO 3º GRUPO Enero Problema (5 puntos ev. continua, 3 puntos ev. final -6 minutos) La función de transferencia de un proceso a controlar es: ( ). Se desea que la ( )( )( ) señal de salida siga a la de referencia, para lo cual se propone una arquitectura de control en cadena cerrada, con un sensor de función de transferencia unitaria. Se pide: 1. Si el regulador es de tipo P, calcular la ganancia de éste para que el error al escalón sea del 1%. 2. Trazado directo del lugar de las raíces. 3. Respuesta del sistema de control ante una entrada en escalón unitario con el regulador definido en el apartado 1, sabiendo que una de las raíces del polinomio característico es Indicar los valores más significativos. Cuánto vale el margen de fase aproximadamente?. Ante los resultados obtenidos, describir las ventajas e inconvenientes de este sistema de control. 4. El regulador P es sustituido por una red de adelanto de fase ( ). Determinar el margen de fase y la frecuencia de cruce de fase, sabiendo que la frecuencia de cruce de ganancia es 2.88 [rad/s]. 5. Dibujar el diagrama de Bode y la curva polar de la cadena abierta. 6. Dibujar de forma aproximada la señal de salida del sistema de control ante una entrada en escalón unitario. Comparar los resultados del regulador P con el PD real. Respuesta 1. =.1, luego K=72. ( 1 punto) 2. 1 Root Locus ( 2 puntos)

2 Phase (deg) Magnitude (db) Amplitude 3. Hay un polo -6.7 y el polo complejo y conjugado es ±j3.45, por lo que se puede aplicar polos dominantes y determinar el equivalente aproximado del conjunto realimentado. 1.6 Step Response Time (sec) Si cc =.43, el margen de fase aproximadamente es 4.3º. El sistema con este regulador P aunque tiene un error del 1% de posicionamiento y es próximo a la inestabilidad (2 puntos). 4. El margen de fase es 45.5º y la frecuencia de cruce de fase es aproximadamente 5 [rad/s] (1 puntos) Bode Diagram Frequency (rad/sec)

3 Amplitude Imaginary Axis APELLIDOS CURSO 3º GRUPO Enero Nyquist Diagram (2 puntos) 6. Dado que el conjunto realimentado se puede aproximar a un sistema de segundo orden, se puede considerar que la frecuencia natural está y. De otro lado, el error de posicionamiento en el régimen permanente es.25. Con esto valores se calcula los tiempos de establecimiento (2.31 s), de pico (1.17 s) y de subida (.76 s), la sobre-oscilación del 36.7% y un valor del régimen permanente al escalón unitario de Step Response Time (sec) (2 puntos)

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5 APELLIDOS CURSO 3º GRUPO Enero 214 Problema 2 (5 puntos ev. continua, 3 puntos ev. final -5 minutos) Se ha diseñado un sencillo control de orientación de un telescopio de aficionado, el cual se conecta a un ordenador, de forma que es posible cancelar el efecto de rotación de la tierra en el seguimiento de las estrellas. El ordenador genera una señal de tensión (Vc) que es la entrada del sistema de potencia que permite actuar sobre el motor por medio de la tensión (Vcp). El telescopio está sometido a distintas perturbaciones entre las cuales, destaca el viento, por lo que el microcontrolador dispone de una medida (Va) de la orientación actual de la estructura dada por un potenciómetro solidario al eje. Puesto que se desea aplicar el sistema sobre telescopios de dimensiones y configuraciones diversas, la ganancia K del control proporcional, es ajustable mediante un mando externo. Asumiendo muchas simplificaciones, y considerando uno solo de los ejes, al final todo el sistema puede modelarse mediante el siguiente diagrama de bloques continuo: Ordenador Etapa de Potencia Motor + telescopio Efecto del viento V ref + V c V cp θ K - s+1 s 2 +4s+5 + Potenciómetro V a 1 Se pide: 1.- Obtener el valor de la ganancia K que logra que el sistema tenga un error en régimen permanente inferior al 2%. Con qué velocidad seguiría el sistema, una vez alcanzado el régimen permanente, una referencia de la forma V ref (t)=2t? (2 puntos) 2.- Razonar mediante el uso del lugar de las raíces el efecto que tendrá la modificación del valor de K sobre el tiempo de establecimiento, la sobreoscilación, el régimen permanente y la estabilidad. Cuál es el valor máximo admisible de K para que el sistema sea estable? (4 puntos) 3.- Dado que el viento puede provocar efectos resonantes, es necesario estudiar el comportamiento en frecuencia del sistema Motor + Estructura. Dibujar el diagrama de Bode, el polar y calcular los valores más significativos de los mismos. Hay alguna frecuencia a la que tienda a oscilar el sistema?.(4 puntos)

6 Imaginary Axis 1.-a) ( )( ) b) La ganancia estática de la cadena cerrada para K=2 será. Dado que la pendiente ante una entrada en rampa en régimen permanente es la ganacia estática si no hay polos en el origen, entonces ante una entrada 2t, el sistema adoptará una pendiente de. Esto mismo se obtiene si se aplica el teorema del valor final a ( ) ( )( ) 2.- El LDR: Centroide: 4.66 con 6, -6 y 18 El angulo de salida de los polos imaginarios, tras aplicar el criterio del argumento es: 82.9 para el imaginario positivo. Aplicando Routh al polinomio característico de la cadena cerrada: ( ) Se obtiene que la K critica es 58, y con el polinomio auxiliar, el corte con el eje imaginario se situa en 6.7j Root Locus Según se incrementa el valor de K el sistema se hace mas inestable y lento. Sin embargo, aumenta la ganacia estática y por tanto el error disminiye en régimen permanente. Esto es así mientras no se supere el valor de K crítico (58)

7 Imaginary Axis Phase (deg) Magnitude (db) APELLIDOS CURSO 3º GRUPO Enero Bode: Es un bode básico de un sistema con un par de polos complejos conjugados con: ( ). Es mayor que.77 y por tanto la frecuencia de resonancia sale imaginaria. El sistema es de tipo, por lo que en baja frecuencia tendrá de ganancia Ke =.4, es decir dB Finalmente, el sistema en cadena cerrada no se vuelve inestable, dado que siempre tiene ganancia inferior a 1, y las fases no superan 18º nunca. Por tanto el margen de fase no se define y el margen de ganancia es infinito. Luego el sistema en cadena cerrada no oscilará mientras no se introduzca más ganancia. -2 Bode Diagram -4-6 System: g2 Frequency (rad/sec): 2.29 Magnitude (db): Frequency (rad/sec) Nyquist Diagram