Regulación y Control de Máquinas Navales (RCMN)

Transcripción

1 Regulación y Control de Máquinas Navales (RCMN) Problemas Resueltos Módulo. Análisis de Sistemas en Cadena Abierta

2 PROBLEMA Dado el sistema de la figura, obtener uno de orden más reducido equivalente al dado, indicando las diferencias en su respuesta ante un escalón unitario en la señal de entrada. SOLUCIÓN: u( G s) ( s (.5 ( s + ) +.4 s +.85)( s + 3) y( El sistema presenta un cero (z -) y tres polos (p -.43, p -.97, p 3-3). El polo más dominante es el que se encuentra en p -.43: σ dom.43-6σ dom d σ dom.43 El efecto del polo p 3-3 sobre la respuesta transitoria será despreciable, ya que está a más de seis veces de distancia del eje imaginario que el polo dominante: 3 > 6 σ dom.58 El polo en p -.97 y el cero z - forman una pareja polo cero cuya distancia es menor que seis veces la distancia del polo dominante al eje imaginario, por lo que su efecto sobre la respuesta transitoria será también despreciable: d < σ dom /6.7 Por lo tanto el sistema reducido será: G eq Keq ( s) ( s +.43) -.43, para calcular la K eq debemos mantener la ganancia de la función de transferencia original. Aplicando el Teorema del Valor Final: lim lim s s s Geq ( s) lim s Keq lim ( s +.43) s s s G( s) s.5 ( s + ) K ( s +.4 s +.85)( s + 3) eq.7 G eq.7 ( s) ( s +.43) En las siguientes gráficas se puede apreciar el parecido entre la respuesta de ambas funciones de transferencia ante un escalón unitario..4 Step Response From: U().4 Step Response From: U() Amplitude To: Y(). Amplitude To: Y() G s) ( s ( Time (sec.).5 ( s + ) +.4 s +.85)( s + 3) Respuesta del sistema original. 5 5 G eq Time (sec.).7 ( s) ( s +.43) Respuesta del sistema equivalente. G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 6//7

3 PROBLEMA Dado el sistema definido por el siguiente modelo matemático: dw ( dx ( a) +.w( +8.x( dt dt dl ( b) w( 5.y( dt c) m( l(.n( dn ( dz ( d).n( + z( +. + dt dt dy ( e) y( + m( dt en el que x( representa la entrada al sistema, z( una perturbación e y( la salida, se pide: º Modelo matemático linealizado alrededor de x 3, z. º Diagrama de Bloques del sistema. 3º Funciones de Transferencia Y(s)/X(s) e Y(s)/Z(s). 4º Dibujar, de forma aproximada, la señal y( cuando x( y z( sufren, simultáneamente una variación brusca de amplitud. SOLUCION. Cálculo del modelo matemático linealizado. Para realizar dicho cálculo es necesario conocer previamente el valor de todas las variables en el punto de funcionamiento elegido..a) Cálculo del punto de funcionamiento o de equilibrio. Antes de proceder a la linealización propiamente dicha es necesario conocer el valor de todas las variables en dicho punto, en este caso el definido por x 3 y z. Puesto que el sistema en ese punto se encuentra en equilibrio, cada una de las variables estará estabilizada en su valor respectivo, y, por lo tanto, el valor de todas las derivadas será nulo en dicho punto. Por lo tanto el modelo matemático en el punto de equilibrio quedará reducido al siguiente sistema de ecuaciones:.w 8.x w 5.y m l.n.n z + y m Resolviéndolo para x 3 y z, se obtiene w,4; y,48; n,5; m,48; l 9,6.b) Linealización. Conocido el valor de todas las variables en el punto de equilibrio puede procederse a linealizar el modelo alrededor de dicho punto. En el caso de aquellas ecuaciones que ya son lineales, el proceso de linealización se resume en cambiar las variables absolutas del modelo original por variables incrementales con respecto al punto de equilibrio. Este es el caso de las ecuaciones a), b) y e) del modelo. La ecuación c) del modelo es no lineal por presentar un producto de dos variables, por lo tanto para linealizar será necesario derivar respecto de cada una de ellas. G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 3 6//7

4 La ecuación d) es no lineal por presentar un término independiente. Al linealizar la ecuación dicho término desaparecerá al sustituir las variables por sus incrementos. El modelo linealizado quedará: d w( d x( a) +. w( +8. x( dt dt d l( b) w( 5. y( dt c) m( l. n( + n. l( 9,6. n( +,5 l( d n( d z( d). n( + z( +. dt dt d y( e) y( + m( dt. Diagrama de Bloques Antes de representar el diagrama de bloques es necesario hallar las ecuaciones transformadas de Laplace del modelo linealizado W(s).(s+) X(s).(s+8) s.l(s) W(s) 5.Y(s) M(s) 9,6.N(s) +,5.L(s) N(s).(s+) Z(s).(s+) Y(s).(s+) M(s) Donde las funciones en s son las transformadas de Laplace de las correspondientes funciones incremento. Al aplicar transformadas se supone que el sistema se encuentra en equilibrio por lo que no existe término de condiciones iniciales, al calcular la transformada de la derivada. Para el dibujo del diagrama de bloques se debe empezar por una de las entradas al sistema (X(s) o Z(s)), cuidando de que todos los bloques representados sean físicamente realizables (nº de polos mayor o igual que el nº de ceros). Z(s) ( + s) ( s + ) N(s) 9,6 X(s) ( s + 8) ( s + ) W(s) + _ s L(s),5 + + ( s + ) Y(s) 5 G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 4 6//7

5 3. Funciones de Transferencia Y(s)/X(s) e Y(s)/Z(s) Para el cálculo de cada una de las funciones de transferencia hay que suponer que la otra entrada vale cero, por lo que en cada caso el diagrama de bloques quedará reducido a un diagrama con una sola entrada y una salida. 3. Diagrama entre X(s) e Y(s) Suponiendo Z(s), el diagrama quedará X(s) W(s) L(s) Y (s) + ( s + 8) ( s + ) _ s,5 ( s + ) Bloques en serie 5 X(s) ( s + 8) ( s + ) W(s) + _,5 s.( s + ) Y (s) 5 Bucle de realimentación X(s) ( s + 8) ( s + ) W(s),5 s.( s + ) +,5 Y (s) Bloques en serie X(s),5.( s + 8) ( s + ). [ s.( s + ) +,5] Y (s) Por lo tanto Y ( s),5.( s + 8) X ( s) ( s + ). s.( s + ) +,5 [ ],5.( s + 8) ( s + ).( s +,5) G (s) G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 5 6//7

6 3. Diagrama entre Z(s) e Y(s) Suponiendo X(s), el diagrama quedará: Z(s) ( + s) ( s + ) N(s) 9,6 + _ ( s + ) Y (s) Bloques en serie y bucle de realimentación,5 s Z(s) 9,6.( + s) ( s + ) s s.( s + ) +,5 Y (s) Bloques en serie Z(s) 9,6. s.( + s) ( s + ) [ s.( s + ) +,5] Y (s) Por lo tanto Y ( s) 9,6. s.( + s) Z( s) ( s + ). s.( s + ) +,5 [ ] 9,. s.( s +,5) ( s + ).( s +,5) 9,. s ( s + ).( s +,5) G (s) 4. Dibujar la respuesta ante variaciones bruscas de amplitud La forma de las señales de entrada será la siguiente: x( 4 z( 3 t t t t En ambos casos el incremento de la señal es de una unidad, por lo que, si se considera el instante t como instante inicial (t), las señales x( y z( serán escalones unitarios por lo que sus transformadas valdrán X(s) Z(s) /s Teniendo en cuenta el principio de superposición, se obtendrá: Y(s) /s.g (s) + /s.g (s) Y (s) + Y (s) G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 6 6//7

7 La respuesta y ( corresponde con la respuesta al escalón unitario del sistema G (s). Este sistema tiene un polo en y dos polos en,5 por lo que estable. Su ganancia estática es G(),6. De los tres polos del sistema, los dominantes son los que se encuentran en,5, siendo despreciable el polo en. Por lo tanto la respuesta es la correspondiente a la de un sistema de segundo orden con un polo real doble en,5 y ganancia estática,6 unidades. y (,6 t La respuesta y ( corresponde con la respuesta al escalón unitario del sistema G (s). Este sistema tiene un cero en el origen, un polo en y otro polo en,5. Por lo tanto es estable y su ganancia estática G(). De los dos polos del sistema, el dominante es el situado en,5, siendo despreciable el polo en -. El cero en el origen hace que la respuesta al escalón del sistema (G (s)/s) sea casi idéntica a la respuesta impulsional del sistema.96 despreciando el polo en. ( s +,5) ' G (s) 9, ( s + ).( s +,5),96 y ( t t La respuesta final del sistema será la suma del valor de equilibrio y, de y ( y de y (: y(,44,48,64 t t G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 7 6//7

8 PROBLEMA 3 La masa de la figura se desliza a velocidad constante v sobre un plano inclinado por el equilibrio dinámico de fuerzas entre su peso y el rozamiento, determinado por la ecuación: dv( M g sen( α( ) M + Bv ( dt donde: M Kg g m / s B 5N s / m F r B v( M v( α( PesoM g F p M g senα( α 3º π/6 rad. α 6º π/6 rad. Determine: a) La velocidad v a la que se desliza la masa inicialmente b) El modelo lineal entre las variables V(s) y α(s) a partir de la ecuación anterior y las condiciones iniciales dadas, para obtener la función de transferencia G(s)V(s)/α(s). c) Cómo varía la velocidad v( a partir del cambio de pendiente indicado en la figura? Represente gráficamente esta variación indicando constantes de tiempo, valor final, etc d) Si en ese nuevo tramo de pendiente la velocidad llega a hacerse de nuevo constante, al equilibrarse las fuerzas debidas al peso y el rozamiento, determine la velocidad constante v a la que desciende la masa. Coincide con el valor final del apartado anterior? Por qué? SOLUCIÓN: a) Planteando el sistema en la situación de equilibrio: M g sen( α ) M g sen( α ) Bv v m / s B b) La ecuación que representa al sistema, una vez linealizada, será: d v( M g cos( α ) α( M + B v( dt M g cos( α ) α ( s) ( M s + B) V ( s) V ( s) M g cos( α ) 86,6 G( s) α( s) ( Ms + B) s + 5 s 8, ,3 s + c) El sistema resultante es de primer orden, con ganancia K7,3 y constante de tiempo T segundos. Por lo tanto, su respuesta a un incremento brusco de 3º (π/6 radianes) en la pendiente se modela como la respuesta a una entrada escalón: α(s) G(s) V(s) π π M g cos( α ) α ( s) V ( s) G( s) α( s) 6 s 6 s ( M s + B) π M g cos( α ) limt v( lims sv ( s) 9,7m / s 6 B v( 9,7,95 9,7,63 9,7 Tangente en el origen (pendiente 4,535) (v 9,7 m/s) (v m/s) T 3 T6 t G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 8 6//7

9 d) Si se aplica la condición de equilibrio como en el apartado a), la velocidad a la que se estabiliza v( en el segundo tramo del plano inclinado será: M g sen( α) M g sen( α ) Bv v 7,3m / s B Estos 7,3 m/s no coinciden con los 9,7 m/s que se obtienen del modelo lineal como velocidad final de la masa sobre el segundo tramo del plano. La diferencia se debe precisamente a que el cálculo se realiza sobre un modelo lineal del sistema que supone una simplificación de la ecuación diferencial no lineal original. Con ello se introducen errores de cálculo al eliminar elementos no lineales de esta ecuación original. G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 9 6//7

10 PROBLEMA 4 Sobre las señales representadas en la figura determinar: x( Sistema y( x( y( t [segundos] a) La expresión de la función de la entrada x(. b) La relación de amplitudes entre la entrada y la salida en valor absoluto y en decibelios una vez alcanzado el régimen permanente. c) La diferencia de fase entre la entrada y la salida en grados y en radianes un vez alcanzado el régimen permanente. d) La expresión de la respuesta en régimen permanente del sistema y RP (. e) Representar los puntos correspondientes a los valores obtenidos sobre un diagrama de Bode, un diagrama Magnitud-Fase y un diagrama polar. SOLUCIÓN: a) La función x( es: x sen( t π /) u ( sen(.63 u ( ) ( t b) La relación de amplitudes para ω π/.63 rad/s se deduce de la figura, donde la amplitud de la señal de salida es.5 frente a la de la señal de entrada que es : G(.63j).5/ A(.63) log.5 db 6. db [ ] [ ] c) La diferencia de fase se obtiene midiendo el tiempo de retraso de la senoide de la salida frente a la de la entrada. En este caso la senoide de salida va en realidad adelantada 5 segundos respecto a la entrada que, teniendo en cuenta que el periodo de las señales es de segundos (36º), equivale a un ángulo de 9º de adelanto: Ψ (.63) + 9º G(.63j) + π / rad d) Dados los resultados anteriores la respuesta en régimen permanente del sistema es: (.5 sen(.63 t + π / ) y RP e) Con los datos obtenidos anteriormente se pueden realizar las tres representaciones gráficas: G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 6//7

11 Diagrama de Bode A(ω) [db] ψ(ω) [º] A(ω) [db] Diagrama Magnitud-Fase Diagrama Polar [db] +8º [db] Im [db] ψ(.63) +9º [db].5 G(.63j) ω.63 +9º Re -6. A(.63) -6. ω.63 - [db]..63 º. ω [rad/s] - [db] º +9º +8º ψ(ω) [º] G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 6//7

12 PROBLEMA: 5 El diagrama de Bode representa la respuesta en frecuencia de un sistema G(s): a) Determine y dibuje la respuesta en régimen permanente del sistema en bucle abierto y( si x( sen(. b) A la vista del pico de resonancia que presenta el sistema, determine la frecuencia natural y el coeficiente de amortiguamiento de los polos complejos conjugados responsables de ese pico de resonancia. x( G(s) y( A(ω) Ψ(ω) M r3db SOLUCIÓN: a) A() db G( j ) 4 ω y rp ( 4 sen( t - π/4) Ψ() 45º G( j ) π / 4 rad x( y rp ( π/ π/ 3π/ 4π/ t b) El sistema presenta un pico de resonancia a frecuencia ω r 9 rad/s de valor M r 3 db. Se puede determinar el coeficiente de amortiguamiento y la frecuencia natural de los polos correspondientes a ese pico con las expresiones: G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 6//7

13 M r ω r n ω ξ ξ ξ En la primera expresión M r está en valor absoluto (no en db): M r 3/,4 con lo que se obtienen 4 soluciones: ξ,9; ξ -,9; ξ 3,38; ξ 4 -,38. La única solución válida en este caso es: ξ,38. De la segunda expresión se deduce: ω n 6,7 rad/s. G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 3 6//7

14 PROBLEMA 6 En la figura se representan los diagramas de Bode de dos sistemas de fase mínima, G(s) y G(s), y sus correspondientes diagramas polares. a) Determine el diagrama de bode y el diagrama polar del G3(s) sistema G3(s) resultado de poner en cascada los sistemas X(s) Y(s) G() y G(). G(s) G(s) b) Cuál es la respuesta del sistema G3(s) en régimen permanente ante una señal de entrada x( sen(. + sen(t+π/4)? I [db] 9º [db] A(ω) 45º Im - [db] ψ(ω) º ω ω - [db] -45º Re -3 [db] -9º.. [rad/s] [db] [db] ψ(ω) II 9º 45º Im ω ω - [db] º - [db] A(ω) -45º Re -3 [db] -9º.. [rad/s] SOLUCIÓN: a) [db] [db] ψ(ω) 3 III 9º 45º Im ω - [db] º - [db] A(ω) -45º ω Re -3 [db] -9º.. [rad/s] b) A partir de diagrama de Bode de G3(s): G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 4 6//7

15 A(.) A() - db ; ψ(.) π/4 ; ψ() -π/4 y RP ( -/ sen(. t+π/4) + -/ sen(t+π/4-π/4) y RP (.3 sen(. t+π/4) +.3 sen( G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 5 6//7

16 PROBLEMA: 7 El diagrama de Bode representa la respuesta en frecuencia del sistema G(s) de la figura. G(s) es estable y de primer orden. a) Representar aproximadamente la respuesta del sistema a una entrada escalón en A(s) de 3 unidades. b) Representar aproximadamente la respuesta en régimen permanente del sistema ante una entrada senoidal en B(s) de ω/t [rad/s] y amplitud 3. c) Representar aproximadamente la respuesta en régimen permanente del sistema ante ambas entradas simultáneas en A(s) y B(s). A(s) B(s) + + G(s) Y(s) [db] A(ω) 5 [db] [db] - [db] - [db]./t ψ(ω) º -45º -9º -35º /T [rad/s] /T SOLUCIÓN: G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 6 6//7

17 q{,,, 3, } G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 7 6//7

18 PROBLEMA 8 El modelo de un sistema de suspensión se puede representar simplificadamente de la siguiente forma: M Kg K5 N/m M y( B N s/m y( altura de la masa K B cm x( altura del punto de contacto rueda-suelo x( m Siendo la única ecuación diferencial necesaria para su descripción, considerando el sistema lineal y los valores iniciales x y, la siguiente: d y( dy( dx( M + B + K t dt dt dt [ y( x( )] v3,4 m/s De la misma manera, x( puede considerarse como una señal senoidal aplicada a la entrada del sistema con los valores de amplitud y frecuencia que representa la figura anterior. a) Obtener la función de transferencia G(s)Y(s)/X(s). b) Obtener la respuesta y RP ( (evolución en el tiempo de la altura de la masa en régimen permanente) ante la entrada x( propuesta y representar gráficamente ambas señales. c) Qué modificaciones (aumentar o disminuir) se podrían hacer sobre los parámetros K (cte. elástica del resorte) y/o B (coeficiente de rozamiento viscoso del amortiguador) para que se reduzca lo más posible la amplitud de las oscilaciones de la altura de la masa (y RP () al circular sobre la superficie indicada. X(s) G(s)Y(s)/X(s) Y(s) SOLUCIÓN a) La ecuación diferencial que describe al sistema es lineal, y además los valores iniciales de las variables son cero, por lo que en transformadas de Laplace se obtiene directamente: M s Y ( s) + BsY ( s) Bs X ( s) + KY ( s) K X ( s) Y ( s) Bs + K G( s) X ( s) M s + Bs + K Sustituyendo valores: ( s + 5) G ( s) s + s + 5 b) Antes de analizar la respuesta en frecuencia del sistema, se puede representar cuál es la distribución de polos y ceros y sus parámetros más significativos: -5-5 Im.8 Re ceros: s+5 s z -5 polos: s + s+5 s p, -5±.8j -.8 Los parámetros relativos al par de polos complejos de la función de transferencia serán: Ms + Bs + K s B + s + M K M s ωn + ξ ωn s + ωn ξ K B M KM.4. Como <ξ<.77, la respuesta en frecuencia de ese par de polos presentará resonancia: G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 8 6//7

19 ω ω ξ [ rad / s] M.33 log(.33) 7. [ db] r n.9 r 35 ξ ξ La señal de entrada x( a la que se va a ver sometido el sistema se puede considerar como una señal senoidal de amplitud pico a pico. m y de frecuencia, f, 3.4 ciclos por segundo [Hz], o sea que la pulsación será: ω π f π [rad/s] y por lo tanto: x(.5 sen(.36 A partir de aquí se puede optar por varias vías para obtener: y RP ( G( jω) Msen ( ω t + G( jω) ) Las dos soluciones más inmediatas en este caso son: x( M T/3.4 π/ω π/ω. t ) Calcular el valor complejo G(jω) con ω.36 ) Obtener los valores de módulo y argumento de G(jω) a partir del diagrama de Bode de G(s). j ω + ( ( s + 5) ( j ω + 5) G s) G( jω) 5 s + s + 5 ( j ω) + j ω + 5 ( j ω) j ω ) Operando: (5 G.36j) 5 ( y RP +.36j) j (.36) + 3.6j j G(.36j).5 G(.36j).965rad (.5.5 sen(.36 t.965).5 sen(.36 t.965) ) En el diagrama de Bode de G(s) se puede observar que el valor de ω.36 se encuentra muy próximo a la frecuencia de resonancia de los dos polos de G(s). Aproximadamente: y RP 7.35 ( A.36) 7.35 [ db] G(.36j) Ψ(.36) 6º G(.36j).5rad.33 (.33.5 sen(.36 t.5).65 sen(.36 t.5) 4 Ψ(ω) Fase [º] º 3 Ψ(.36) -6º -45º -9º Ganancia [db] A(ω) M r 7.35 db A(.36) 7.35 db -35º -8º - -5º - -7º ω ω r ω n 3 Pulsación [rad/s] G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 9 6//7

20 c) La amplitud de la función senoidal y RP ( depende directamente de G(jω). Este factor se reducirá moderadamente si se reduce la amplitud de resonancia M r que depende del coeficiente de amortiguamiento ξ. El aumento de B y la reducción de K aumentarían el valor de ξ reduciendo la amplitud del pico de resonancia. Sin embargo la forma más efectiva de que el valor G(.36j) disminuya es reducir el ancho de banda del sistema haciendo que la frecuencia de corte ω n sea más baja. Esto se puede conseguir reduciendo el valor de K. ω n K M B ξ M K M ξ ξ r G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 6//7

21 PROBLEMA 9 Dado el sistema de la figura: E(s) G ( s) s X (s) G s) s ( 4 + s + 5 a) Obtenga x( si e( es un escalón unitario u o (. Qué características tiene G (s)? b) Indique las características de la respuesta transitoria de G (s) si x( es un escalón unitario u o (. Qué características tiene G (s)? c) Describa la estabilidad del sistema en conjunto, G (s) G (s). d) Represente el diagrama de bode de G (s) G (s) y señale sobre él si el sistema presenta resonancia. SOLUCIÓN: Y (s) G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 6//7

22 G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 6//7

23 PROBLEMA Se pretende utilizar el circuito de la figura, cuya función de transferencia se indica, como amplificador resonante de tensión para una determinada frecuencia: u e ( i( R L i i( C u s ( RΩ, L,H, C4 - F U e (s) L C s +R C s+ a) Clasifique el sistema: Orden del sistema, nº de polos y/o ceros, estabilidad, amortiguamiento, tipo. b) Cuál es la frecuencia de resonancia del sistema? (es decir, la frecuencia de entrada que más va a amplificar) c) Cuál es la ganancia del sistema a la frecuencia de resonancia? d) Dibuje los puntos que corresponden en los diagramas de Bode, Magnitud-Fase y Polar, a las frecuencias 6, 5 6 y 7 rad/s para el sistema dado. e) Complete el trazado aproximado de las curvas de los tres diagramas. SOLUCIÓN: U s (s) G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 3 6//7

24 G. Ojea, R. González de los Reyes, I. Díaz 4 6//7