Introducción Diseño por medio del Lugar Geométrico de. las Raíces. Capítulo 9 Sistemas de Control para Ingeniería (3º Ed.

Transcripción

1 4.. Dieño por medio del Lugar Geométrico de la Raíce 4.. Dieño por medio del Lugar Geométrico de la Raíce Capítulo 9 Sitema de Control para Ingeniería (3º Ed.) Norman Nie 4... Introducción 4... Mejoramiento de error en etado etable por medio de compenación en cacada Mejoramiento de la repueta tranitoria por medio de compenación en cacada Mejoramiento del error en etado etable y repueta tranitoria Contrucción fíica de la compenación Mejoramiento de la repueta tranitoria 4... Introducción a. Lugar geométrico de la raíce, en el que e aprecian poible punto de dieño por medio del ajute de ganancia (A), y punto deeado de dieño que no puede atifacer mediante imple ajute de ganancia (B); b. Repueta dede polo en A y B 3 4

2 Para lograr la repueta tranitoria deeada e compena el itema con polo y cero adicionale, de modo que el itema compenado tenga un lugar geométrico de la raíce que pae por el lugar deeado de polo para algún valor de ganancia. Proceo de dieño: Determinamo la ubicación correcta de polo y cero adicionale en lazo abierto para obtener lo polo deeado en lazo cerrado de egundo orden. Determinamo la poición de lo polo en lazo cerrado de orden uperior, y determinamo i el itema e puede aproximar con uno de egundo orden Simulamo el itema compenado para verificar i e cumplen la epecificacione de repueta tranitoria Mejoramiento del error en etado etable Se utiliza compenación para mejorar el error en etado etable * Cuanto mayor e la ganancia de un itema, menor e el error en etado etable, pero mayor e el obrepao en porcentaje * Reducir la ganancia para diminuir el obrepao puede aumentar el error en etado etable SE PUEDEN DISEÑAR COMPENSADORES QUE PERMITAN SATISFACER SIMULTÁNEAMENTE ESPECIFICACIONES DEL ERROR EN ESTADO ESTABLE Y RESPUESTA TRANSITORIA 5 6 Configuracione de compenadore Técnica de Compenación: a. cacada; b. mediante realimentación 4... Mejoramiento de error en etado etable por medio de compenación en cacada 7 8

3 MEJORAMIENTO DEL ERROR EN ESTADO ESTABLE POR MEDIO DE COMPENSACIÓN EN CASCADA Compenación integral ideal: Utiliza integración pura Reduce a cero el error en etado etable Se implementa con rede activa Compenador por atrao de fae: No utiliza integración pura No reduce a cero el error en etado etable Se implementa con rede paiva Mejoramiento del error en etado etable por medio de compenación en cacada Compenación integral ideal Compenador integral ideal: Controlador Proporcional má integral (PI) Controlador Proporciona: alimenta el error en forma directa a la planta Controlador Integral: alimenta la integral del error a la planta Se trata de mejorar el error en etado etable in afectar la repueta tranitoria 9 0 Procedimiento: Se coloca un polo en el origen Para no afectar la aportación angular de lo polo en lazo abierto en el punto de repueta tranitoria deeada, e coloca un cero cerca del origen El polo en A etá: a. obre el lugar geométrico de la raíce in compenador; b. no obre el lugar geométrico de la raíce con polo compenador agregado; (figura continúa) La aportación angular del cero y el polo del compenador e cancelan El punto del lugar de la raíce donde e encuentran lo polo de lazo cerrado para una repueta tranitoria deeada todavía e encuentra en el lugar de la raíce La ganancia necearia en el polo dominante e cai la mima que ante de la compenación, pue la longitude dede el polo compenador y cero compenador e cai la unidad Se mejora el error en etado etable in afectar la repueta tranitoria 3

4 Ejemplo: Sitema en lazo cerrado: a. ante de la compenación; b. depué de la compenación integral ideal (continuación) c. aproximadamente obre el lugar geométrico de la raíce con polo compenador y cero compenador agregado 3 4 Lugar geométrico de la raíce para el itema NO COMPENSADO Gc () K Lugar geométrico de la raíce para el itema COMPENSADO K Gc () ( + 0.) e ( ) 0 Kp 8.3 e( ) Kp El polo en lazo cerrado en (para K58.) etá cerca del cero (0.) y pueden cancelare 6 4

5 Repueta del itema compenado integral ideal y la repueta de itema no compenado Controlador PI (Proporcional Integral) G () c K K + K K + K 7 8 COMPENSACIÓN DE ATRASO DE FASE Sitema compenado Emplea rede paiva El polo y el cero e mueven a la izquierda, cerca del origen Sitema no compenado Error en etado etable: Kzz... K v 0 p p... Error en etado etable: ( Kzz... )( zc ) ( p p )( p ) K v N... c 9 0 5

6 Lugar de la raíce: a. ante de compenación de la atrao de fae; b. depué de la compenación de atrao de fae Ejemplo Compenar el itema para mejorar el error en etado etable en un factor de 0, i el itema etá operando con un factor de amortiguamiento relativo de 0.74 Cuál e el efecto obre la repueta tranitoria? La ganancia K al inertar el compenador e prácticamente la mima que para el itema no compenado Cuál e el efecto obre el error de etado etable? Error en etado etable: e( ) para La mejoría en el error en etado etable e igual al cociente entre el polo y cero del compenador zc Kz ( Kz z...)( z ) z... c KvN Kv0 > Kv K 0 v K v N 0 pc p p... ( p p... )( pc ) Kp 8.3 Para mejoría 0 vece en error etado etable: e 0.08 ( ) Kp ( ) e e Kp e ( ) ( ) Lugar geométrico de la raíce para el itema compenado La mejoría en Kp dede itema no compenado al compenado e el cociente entre el cero compenador y polo compenador zc KpN p Kp 8.3 c 0 Se elige de forma arbitraria la poición del polo compenador: p c 0. 0 Luego el cero compenador e ubica en: z c.3p 0. c 3 El cuarto polo del itema cancela u cero 4 6

7 Caracterítica pronoticada del itema no compenado y compenado en atrao de fae Repueta ecalón de itema no compenado y compenado en atrao de fae 5 6 Repueta ecalón del itema para el ejemplo anterior uando diferente compenadore de atrao de fae Se llega al mimo error de etado etable pero uno e má lento Má Rápido Mejoramiento de la repueta tranitoria por medio de compenación en cacada Má Lento 7 8 7

8 MEJORAMIENTO DE LA RESPUESTA TRANSITORIA POR MEDIO DE LA COMPENSACIÓN EN CASCADA Por lo general, el objetivo e dieñar una repueta que tenga un obrepao en porcentaje deeable y un tiempo de aentamiento má corto que el itema no compenado Técnica:. Compenación derivativa ideal: agrega un diferenciador puro a la trayectoria directa. Para eto e adiciona un cero a la función de tranferencia de la trayectoria directa. Se denomina controlador Proporcional Derivativo (PD). Compenador de adelanto de fae: Aproxima la diferenciación con una red paiva agregando un cero y polo má ditante a la función de tranferencia de la trayectoria directa 9 COMPENSACIÓN DERIVATIVA IDEAL. CONTROLADOR PD Una forma de acelerar el itema original e agregar un olo cero a la trayectoria directa Gc( ) ( + z c ) Eta función, la uma de un diferenciador y una ganancia pura, e llama derivativo ideal o controlador PD 30 Uo de compenación derivativa ideal: a. no compenado; Uo de compenación derivativa ideal: b. cero de compenador en ; (figura continúa) 3 3 8

9 Uo de compenación derivativa ideal: b. cero de compenador en 3; (figura continúa) Uo de compenación derivativa ideal: b. cero de compenador en 4; Sitema no compenado y olucione de compenación derivativa ideal Caracterítica pronoticada para lo itema de la figura anterior

10 Ejemplo Dieñar un compenador derivativo ideal para obtener un obrepao de 6%, con una reducción del tiempo de aentamiento ln ξ π + coθ ξ (% OS 00) ln (% OS 00) Para 6% de obrepao: ξ El par de polo de egundo orden etán en:.05 ± j Tiempo de aentamiento itema no compenado: Ganancia en lo polo dominante: K T 3.30 ξω.05 Ubicación tercer polo para la ganancia K de lo polo dominante: Etá má lejo de ei vece que el par dominante El itema e comporta como de egundo orden n K G σ H ( ) ( ) σ Determinación ubicación polo dominante del itema compenado Para mejorar en un tercio el tiempo de aentamiento, el nuevo tiempo de aentamiento debe er.07 _ viejo T _ nuevo Parte real polo dominante de egundo orden debe er: σ T T Parte imaginaria polo dominante de egundo orden reulta: ω d ( 0.6º ) tan 80º

11 Determinación ubicación del cero del compenador Polo dominante compenado uperpueto obre el lugar geométrico de la raíce no compenado para el ejemplo Se utilizan lo polo y cero del itema no compenado, y el punto de dieño j6.93 Se realiza la uma de lo ángulo al punto de dieño para todo lo polo y cero del itema compenado, excepto para el cero del compenador La diferencia ente el reultado obtenido y 80º e la aportación angular requerida por el cero del compenador. 4 4 La uma de lo ángulo e -75.6º Aportación angular del cero: +75.6º-80º95.6º Geométricamente: 6.93 tan( 80º 95.6º ) 3.63 σ Entonce σ No e puede aproximar el itema compenado a un itema de egundo orden dado que no e puede cancelar el polo en lazo cerrado en y el cero en lazo cerrado en Se neceita imulación 43 44

12 Caracterítica de itema no compenado y compenado para el ejemplo Lugar de la raíce para el itema compenado Repueta ecalón del itema no compenado y compenado El compenador derivativo ideal empleado para mejorar la repueta tranitoria e pone en práctica con un controlador proporcional má derivativo (PD). Función de tranferencia del controlador: K () + + Gc K K K K El obrepao en porcentaje difiere en 3% ente lo itema compenado y no compenado Hay una mejoría de tre vece en el tiempo de aenamiento 47 48

13 COMPENSACIÓN DE ADELANTO DE FASE Se emplean rede paiva para implementarla Se agregan un cero y un polo ma alejado del eje imaginario que el cero. De eta forma la aportación angular del conjunto cero y polo e aproxima a la de un olo cero. La aportación angular del polo e reta de la aportación angular del cero. La aportación angular e poitiva igual que para un olo cero del controlador PD Geometría de la compenación de adelanto de fae θ θ θ θ + θ ( k 80 ) º Aportación angular del compenador de adelanto de fae: ( θ θ ) θ c Tre de la infinita olucione poible de un compenador de adelanto de fae Método de dieño de un compenador por adelanto de fae Se elecciona un polo o un cero del compenador de adelanto de fae Se encuentra la aportación angular en el punto de dieño de ete polo o cero junto con lo polo y cero en lazo abierto del itema La diferencia entre ete ángulo y 80º e la aportación necearia del polo o cero retante del compenador Un número infinito de compenadore de adelanto de fae podrían uare para atifacer el requerimiento de la repueta tranitoria 5 5 3

14 Ejemplo Dieñar tre compenadore de adelanto de fae para el itema de la figura que reduzcan el tiempo de aentamiento en un factor de y mantengan un 30% de obrepao. Compare la caracterítica de lo tre dieño Determinación de la caracterítica del itema no compenado Sobrepao 30%, luego el factor de amortiguamiento relativo e ξ0.358 Dieño del compenador de adelanto de fae, motrando la evaluación de lo polo dominante no compenado y compenado Tiempo de aentamiento: Se determina a partir de la parte real del polo T4/ eg Determinación del punto de dieño La reducción de do vece en el tiempo de aentamiento produce T3.97 /.986eg La pare real del polo deeado e: ξω n 4 T.04 La parte imaginaria del polo e: º 5. ω d ( ) 5 Determinación de la ubicación del cero del compenador Se elige arbitrariamente en -5 obre el eje real Se uman lo ángulo tanto dede ete cero como de lo polo y cero del itema no compenado El ángulo retante e -7.69º La diferencia entre ete ángulo y 80º e la aportación angular requerida dede el polo del compenador La aportación angular del polo del compenador debe er de -7.3º

15 Determinación de la ubicación del polo del compenador Lugar de la raíce del itema compenado p c 5.5 tan 7.3º.04 p c Determinación de la validez de la aproximación a un itema de egundo orden Comparición de dieño de adelanto de fae para el ejemplo Se deben ubicar lo polo en lazo cerrado de tercero y cuarto orden Ganancia en el polo compenado: 43 Lo polo tercero y cuarto etán en y El polo en etá má de 0 vece la parte real del polo dominante, El efecto del tercer polo en lazo cerrado e inignificante El polo en lazo cerrado en etá cerca del cero en -5. Hay cancelación de cero y polo La aproximación de egundo orden e válida Compenador a: polo en -5 Compenador b: polo en - 59 Compenador c: polo en

16 Sitema no compenado y repueta de compenación de adelanto de fae para el ejemplo Compenador a: polo en -5 Compenador b: polo en - Reumen de la tabla anterior: Se obervan diferencia en lo iguiente. La poición del cero eleccionado arbitrariamente. La cantidad de mejoría en el error en etado etable 3. La ganancia requerida, K 4. La poición de lo polo tercero y cuarto y u efecto relativo obre la aproximación de egundo orden. Ete efecto e mide por la ditancia dede lo polo dominante o el grado de cancelación con el cero en lazo cerrado 6 6 Compenador c: polo en -4 Mejoramiento del error en etado etable y la repueta tranitoria Mejoramiento del error en etado etable y repueta tranitoria Primero e mejora la repueta tranitoria mediante un compenador derivativo ideal (PD) o un compenador de adelanto de fae Luego e mejora el error en etado etable mediante un compenador integral ideal (PI) o un compenador de atrao de fae

17 Gc () Controlador PID K K + K + K 3 K + + K 3 K K K + + K K Técnica de dieño:. Evaluación del deempeño del itema no compenado para determinar cuánta mejoría e neceita en la repueta tranitoria. Dieño del controlador PD para atifacer la epecificacione de repueta tranitoria. El dieño incluye la ubicación del cero y la ganancia de lazo 3. Simulación del itema para etar eguro que todo lo requerimiento e hayan atifecho 4. Redieño i la imulación demuetra que lo requerimiento no e han atifecho 5. Dieño del controlador PI para obtener el error neceario en etado etable Determinación de la ganancia: K, K y K 3 7. Simulación del itema para etar eguro que todo lo requerimiento e hayan atifecho 8. Redieño i la imulación demuetra que lo requerimiento no e han atifecho 66 Ejemplo Dieñar un controlador PID para que el itema pueda operar con un tiempo de pico que e do tercio del tiempo de pico de un itema no compenado a 0% de obrepao, y con error en etado etable cero para una entrada ecalón Pao : Evaluar el itema no compenado Para obrepao %OS0%, ζ0.456, lo polo dominante etán en: 5 ± j0.57 con una ganancia K.5 Un tercer polo exite en La operación completa del itema no compenado e ilutra en la primera columna de la Tabla iguiente

18 Caracterítica pronoticada de itema no compenado, compenado PD, y compenado PID Pao : Hallar la ubicación del polo dominante del itema compenado Se debe reducir el tiempo de pico a do tercio del tiempo de pico del itema no compenado π π Parte imaginaria del polo dominante: ωd 5.87 Tp ( 3)( 0.97) Parte real del polo dominante: σ 8. 3 ω d tan7.3º Se realiza la uma de lo ángulo dede lo polo y cero del itema no compenado hata el polo dominante compenado. La uma da º La aportación necearia dede el cero compenador e: 80º-98.37º8.37º 5.87 tan8.37º z c 8,3 z c 55.9 Controlador PD: G PD ( S ) ( ) Lugar geométrico de la raíce para el itema no compenado 7 7 8

19 Pao 3 y 4: Simular el itema compenado. Verificar la reducción del tiempo de pico y la mejoría en error en etado etable obre el itema no compenado Caracterítica pronoticada de itema no compenado, compenado PD, y compenado PID Lugar geométrico de la raíce para el itema compenado PD Repueta ecalón para itema no compenado, compenado PD, y compenado PID

20 Pao 5: Dieñar el compenador integral ideal. Se dieña para reducir a cero el error en etado etable para una entrada ecalón Se elige el compenador integral ideal G PI ( ) Caracterítica pronoticada de itema no compenado, compenado PD, y compenado PID Ubicación polo dominante: Ganancia en polo dominante: ± j Repueta ecalón para itema no compenado, compenado PD, y compenado PID Pao 6: Determinación de la ganancia K, K, y K 3 G PID 4.6 K ( ) ( )( + 0.5) 4.6( )( + 0.5) S ( ) Comprando con: K K K K K K K K K Gc() K + + K K 59.5, K 8.6, K

21 Pao 7 y 8: Analizar la repueta temporal del itema planta ma compenador PID. Ver i e logran la epecificacione de repueta tranitoria y error en etado etable Tipo de compenadore en cacada (tranparencia /) 8 (continúa en la próxima tranparencia) 8 Tipo de compenadore en cacada (tranparencia /) Contrucción fíica de la compenación 83 84

22 Contrucción fíica de la compenación Contrucción activa de controladore y compenadore, uando un amplificador operacional (diapoitiva de ) Amplificador operacional configurado para contrucción de una función de tranferencia Vo V () () i Z Z () () 85 (continúa en la próxima diapoitiva) 86 Contrucción activa de controladore y compenadore, uando un amplificador operacional (diapoitiva de ) Compenación de adelanto-atrao de fae (lag-lead) implementado con amplificadore operacionale 87 88

23 Ejemplo Poner en práctica el controlador PID con función de tranferencia () ( )( + 0.5) Gc Gc () Controlador PID Z () Z () Z () () R C RC Gc + + () + RC Z R C R R C + C 56.4 R C R C Contrucción paiva de compenación (diapoitiva /) Realización paiva de compenadore (diapoitiva /) RC RC (continúa en la próxima diapoitiva) 9 9 3

24 Ejemplo Contruir el compenador de adelanto de fae cuya función de tranferencia e la iguiente + 4 Gc() Vo () RC Vi () + + R C R C Pregunta de repao 4 R C R C R C R C 0.5 R C C μf R 50KΩ R 6. KΩ Brevemente ditinga entre la técnica de dieño de lo tema 4. y 4... Mencione do ventaja importante de la técnica del dieño vita en el tema 4. obre la técnica del dieño preentada en el tema Qué clae de compenación mejora el error en etado etable? 4. Qué clae de compenación mejora la repueta tranitoria? 5. Qué clae de compenación mejora tanto el error en etado etable como la repueta tranitoria? 6 Que compenación en cacada e ua para mejorar el error en etado etable? Cuál e la ubicación de polo y cero del compenador? Expree la razone para etá ubicación. 7 Que compenación en cacada e ua para mejorar la repueta tranitoria? Cuál e la ubicación de polo y cero del compenador? Expree la razone para etá ubicación. 8. Que diferencia obre el plano e oberva entre uar un controlador PD o una red de adelanto de fae, para mejorar la repueta tranitoria. 9. Para acelerar un itema in cambiar el obrepao en porcentaje. donde deben colocare lo polo del itema compenado obre le plano en comparación con lo polo del itema compenado? 0. Por qué hay má mejoría en error en etado etable i e ua un controlador PI en lugar de una red de atrao de fae?. Cuando e compena un error en etado etable, que efecto e oberva a vece en la repueta tranitoria?. Un compenador de atrao de fae con el cero 5 vece má alejado del eje imaginario que el polo de compenador, cuanta mejoría dará aproximadamente en error en etado etable? 3. Si el cero de un compenador mediante realimentación etá en -3 y un polo de itema en lazo cerrado etá en -3.00, puede decire que habrá cancelación de polo y cero? Por qué? 95 FIN 96 4