1. Análisis de Sistemas Realimentados

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1 1. Análii de Sitema Realimentado 1. ANÁLISIS DE SISTEMAS REALIMENTADOS INTRODUCCIÓN ESTRUCTURAS DE REALIMENTACIÓN ENFOQUE CLÁSICO FUNCIONES DE SENSIBILIDAD NOMINALES ESTABILIDAD DE LAZO CERRADO EN BASE AL POLINOMIO CARACTERÍSTICO ESTABILIDAD RELATIVA: MÁRGENES DE ESTABILIDAD Márgene de ganancia y fae Pico de enibilidad Márgene de etabilidad y diagrama de Bode ROBUSTEZ Error de modelado Etabilidad Robuta Análii.doc 1

2 9 Análii.doc Introducción Dado un controlador y una planta conectado en realimentación, vamo a plantear y contetar la iguiente pregunta: E el lazo cerrado etable? Cuále on la enibilidade a ditinta perturbacione? Cuál e el impacto de errore de modelado? E capaz de eguir referencia? Viión Cláica: repueta a un cambio en la referencia o márgene de fae y ganancia Viión Moderna: La Banda de lo Sei (egún Atrom)

3 9 Análii.doc Etructura de Realimentación Realimentación: reduce el efecto de perturbacione diminuye la enibilidad a errore de modelado etabiliza itema inetable pero... puede inetabilizar un itema etable ocilacione en una repueta previamente uave generar alta enibilidad a ruido de medición. Sitema SISO de un grado de libertad tranferencia modificable: controlador K( ). planta nominal G.

4 9 Análii.doc 4 donde R( ): Referencia D, D ( ) y D ( ): Perturbacione x : Etado inicial de la planta Y( ): Salida U( ): Control K( ): Controlador G i o m : Modelo nominal de la planta K = P( ) L(, B G ) = A ( [1.1] )

5 9 Análii.doc 5 Señale de interé (ignorando el etado inicial) K 1 + G K U( ) = R( ) D m G Di [ ] [1.2] Y ( ) = G K R Dm + D + G Di 1 + G [1.3] 1 K [ ]

6 9 Análii.doc Enfoque Cláico Se baa en el análii de alguna relacione No e completo E importante por er tradicional

7 9 Análii.doc 7 - Repueta al ecalón - obrepico - tiempo de etablecimiento, de crecimiento, retardo

8 9 Análii.doc 8 - Repueta a una rampa - ideal para decribir eguimiento de eñale lenta - importante para control de movimiento

9 9 Análii.doc 9 - Repueta a una carga Se puede medir - máximo error - tiempo en que e produce el máximo error - tiempo de reetablecimiento - integral del error o del valor aboluto del error

10 9 Análii.doc 1 - Repueta en Frecuencia - ancho de banda - pico de reonancia

11 9 Análii.doc 11 - Diagrama de Nyquit Se grafica polarmente G ( ) K( )

12 - Diagrama de Bode 9 Análii.doc 12

13 - Ubicación de Polo y Cero 9 Análii.doc 13

14 - Sitema de Segundo Orden 9 Análii.doc 14

15 9 Análii.doc Funcione de Senibilidad Nominale Función de enibilidad S 1 A L = = G ( ) K( ) A ( ) L( ) B ( ) P( ) Función de enibilidad complementaria T G K B P + G ( ) K( ) A ( ) L( ) + B ( ) P( ) = = 1 Función de enibilidad a perturbación de entrada S i G B L G ( ) K( ) A ( ) L( ) B ( ) P( ) = = Función de enibilidad de control S u K( ) A P = = G ( ) K( ) A ( ) L( ) B ( ) P( ) [1.4] [1.5] [1.6] [1.7]

16 9 Análii.doc 16 La funcione de enibilidad etán relacionada algebraicamente: S + T = [1.8] 1 T S i = S G = [1.9] K( ) T S u = S K = G ( [1.1] )

17 9 Análii.doc 17 Con la funcione de enibilidad y bajo condicione iniciale nula, e pueden contruir la forma compacta G K G 1 G K R Y ( ) K( ) G D K K K i = U( ) 1 G K D [1.11] + D m R( ) Y ( ) T Si S T Di = U( ) S u T Su Su D [1.12] D m

18 9 Análii.doc Etabilidad de lazo cerrado en bae al Polinomio Caracterítico El Lazo nominal e el reultante de conectar un controlador al modelo nominal de la planta. Etabilidad interna: El lazo nominal e internamente etable i la ocho funcione tranferencia en [1.11] on etable. Toda la eñale en el lazo acotada para cada conjunto de entrada r( t ), d ( t ), d ( t ) y d ( t ) acotada. i o m Teorema. [Etabilidad interna nominal] Dado el lazo cerrado de la Figura 1 con el controlador y modelo definido por [1.1]. Entonce el lazo cerrado e internamente etable i y ólo i toda la raíce de la ecuación caracterítica a lazo cerrado A L + B P = [1.13] tienen parte real negativa. La etabilidad interna implica má que la etabilidad de la referencia a la alida. No debe haber cancelacione de polo inetable entre planta y controlador. La ecuación caracterítica [1.13] e de la forma p( ) =, donde p ( ) e el polinomio caracterítico del lazo cerrado.

19 9 Análii.doc 19 Ejemplo 1.1. Sitema de Segundo Orden G = 3 ( + 4)( + 2), K ( ) + 2 = [1.14] puede vere que la función de enibilidad complementaria nominal T 2 = [1.15] e etable. Sin embargo, la enibilidad a perturbación de entrada nominal S 3 = [1.16] i 2 e inetable. ( 2)( 4 3) Por el Teorema de etabilidad interna nominal, el lazo cerrado no e interna- A 2 L + B P = mente etable, ya que

20 9 Análii.doc Etabilidad relativa: Márgene de etabilidad A menudo e neceita obtener alguna medida cuantitativa de cuan lejo de er inetable etá un lazo nominal. El punto crítico de etabilidad e cuando 1 G ( ) K( ) o + = [1.17] G K = + j [1.18] 1 Se puede medir la ditancia de la repueta en frecuencia nominal al punto de etabilidad crítica 1+ j.

21 9 Análii.doc Márgene de ganancia y fae En un diagrama polar (Nyquit), el itema e inetable i encierra al 1+ j. Definimo margen de ganancia Mg M f = 2 log 1 = φ a M g y margen de fae M f El margen de ganancia marca la ganancia adicional que llevaría el lazo cerrado a la condición de etabilidad crítica. El margen de fae cuantifica el retardo de fae puro que debería agregare para alcanzar la mima condición de etabilidad crítica.

22 9 Análii.doc Pico de enibilidad Indicador alternativo de etabilidad relativa e el pico de la función de enibilidad. Recordar que G ( jω) K( jω) = S ( jω) [1.19] El radio η del círculo tangente al gráfico de G ( jω) K( jω ) e la recíproca del pico de la enibilidad nominal. Cuanto mayor ea ete pico, má cerca de la inetabilidad etará el lazo.

23 9 Análii.doc 23 El pico de enibilidad e un indicador de etabilidad relativa má confiable que lo márgene de fae y ganancia: un itema puede tener bueno márgene de fae y ganancia y aún etar cerca de er inetable. Por otro lado, un bajo valor del pico de enibilidad garantiza márgene de ganancia y fae mínimo.

24 9 Análii.doc 24 g=tf(1,poly([ ])); m=1/(1+g); bode(m,g) Bode Diagram 5 From: U(1) 1/(1+GK) -5 G Phae (deg); Magnitude (db) To: Y(1) /(1+GK) -2-3 G Frequency (rad/ec)

25 9 Análii.doc 25 g=tf(1,poly([ ])); m=1/(1+g); nyquit(m,g) 1 Nyquit Diagram From: U(1) Imaginary Axi To: Y(1) GK -8 1/(1+GK) Real Axi

26 9 Análii.doc Márgene de etabilidad y diagrama de Bode Lo márgene de etabilidad pueden decribire y cuantificare también en diagrama de Bode. (MG: ditancia a db en 18gr) Bode Diagram 4 From: U(1) Phae (deg); Magnitude (db) Mg To: Y(1) Mf Frequency (rad/ec)

27 9 Análii.doc Robutez Analiza el efecto de variacione de la planta repecto a u valor nominal. Se utilizan la funcione de enibilidad nominal Error de modelado La función de tranferencia real e puede exprear como 1 G( ) = G ( ) + G ( ) [1.2] donde G ( ) e el modelo de error multiplicativo (MEM) G G G ( ) = 1 [1.21] ete error e deconocido pero generalmente acotable G ( jω) < ε( ω) [1.22]

28 9 Análii.doc 28 Ahora la funcione de enibilidad erán S T S S i u Se define G S 1 A L = = G( ) K( ) A( ) L( ) B( ) P( ) G( ) K( ) B P = = G( ) K( ) A( ) L( ) B( ) P( ) G( ) B L = = G( ) K( ) A( ) L( ) B( ) P( ) K( ) A P = = G G G( ) K( ) A( ) L( ) B( ) P( ) ( ) = 1 [1.27] = 1 1 T ( ) G ( [1.28] + ) [1.23] [1.24] [1.25] [1.26]

29 9 Análii.doc 29 quedando S( ) = S ( ) S ( ) [1.29] T( ) T ( ) G ( ) S = + [1.3] 1 S ( ) S ( ) G ( ) S i i 1 = + [1.31] S ( ) = S ( ) S ( ) [1.32] u u

30 9 Análii.doc Etabilidad Robuta Se dice que un itema e robutamente etable i e internamente etable con la planta real. Teorema. [Etabilidad robuta] Sea una planta con modelo nominal G y tranferencia real G( ); ea K( ) un controlador que etabiliza internamente la planta nominal y i G( ) K( ) y G K tienen el mimo número de polo inetable. Entonce, el controlador K( ) logra la etabilidad del lazo real i e cumple: T jω G jω < 1 [1.33] o G jω K jω G jω < 1 + G jω K jω [1.34] La etabilidad e robuta frente a un dado error G ( jω ) i el punto de etabilidad crítica 1+ j e encuentra fuera del dico de centro en G ( jω) K( jω ) y ra- dio G jω K jω G jω ω.

31 9 Análii.doc 31 Vemo que un pico elevado de enibilidad hace pequeño 1 + G ( jω) K( jω) en [1.34], diminuyendo la tolerancia a error de modelado MEM para preervar etabilidad robuta.