"""##$##""" Separación máxima = Amplitud = A = 3 cm = 0,03 m. radianes Frecuencia angular = ω = """##$##""" """##$##"""

Transcripción

1 Tea 7 : Moviiento ocilatorio. El ocilador arónico! A C T I V I D A D E S Se hace ocilar dede la poición de equilibrio un cuerpo unido a un uelle horizontal, de odo que la eparación áxia de dicha poición e de 3 c. Si e han contado 0 ocilacione en 5 egundo, cuál e la ecuación repreentativa de dicho oviiento? Separación áxia Aplitud A 3 c 0,03. 0 ocilacione 0 ocilacione π radiane Frecuencia angular ω 5 egundo 5 egundo ocilación rad 8π Partida poición de equilibrio Teneo do poibilidade:! La recoendada, ya que para t 0 x 0, en función del eno:! La opcional, en función del coeno: x Aenωt 0,03en8πt x A co( ωt ± π / ) 0,03 co(8πt ± π / ) Indica cóo convendría ecribir la ecuación del oviiento anterior i el cuerpo coienza a ocilar hacia la izquierda. Y i lo hiciera hacia la derecha? Depende de la opción elegida y el entido que toeo coo elongacione poitiva ( i toao el entido poitivo hacia la derecha para coincidir con el entido poito del eje horizontal:! La recoendada : x Aenωt 0,03en8πt! La opcional : x A co( ωt + π / ) 0,03 co(8πt + π / ) Fíica º Bachillerato- OXFORD EDUCACIÓN

2 Tea 7 : Moviiento ocilatorio. El ocilador arónico! 3 Cuál e la ecuación del MAS repreentado en la gráfica de la figura? Aplitud áxia elongación A 4 c. Período Tiepo entre do punto en la igualdad de fae T 8. π Coienzo en un extreo ( en función del coeno): x A co t + δ T Defae : para t 0, x -4 4 coδ coδ - δ 80º π rad La ecuación ería: π π π x A co t + δ 4 co t π 4 co t π c T Repreenta en una ia gráfica lo oviiento de do ociladore del io período, uno con doble aplitud que otro, que coienzan a ocilar dede el extreo poitivo. La ecuación de uno e: x AcoωT (roja) y el de doble aplitud x Acoωt (azul) ya que el período e el io, u repreentacione erían: Fíica º Bachillerato- OXFORD EDUCACIÓN

3 Tea 7 : Moviiento ocilatorio. El ocilador arónico! 3 5 Qué ecuacione repreentan lo oviiento y de la figura? Cuál e el defae, o diferencia de fae, entre abo oviiento? Roja Aplitud 3 c. Período T Intervalo teporal entre do punto en fae 4. Inicio Poición de equilibrio, luego para t 0 x 0 hacia elongacione negativa Ecuación: π π x 3 co t + c 4 Azul Aplitud 3 c. Período T Intervalo teporal entre do punto en fae 4. Inicio Extreo negativo, luego para t 0 x -3 coδ - δ π π Ecuación: x 3 co t + π c 4 Diferencia de fae δ π - π/ π/ de la azul repecto de la roja. 6 Un cuerpo unido a un uelle coienza a ocilar horizontalente dede u poición extrea, a 4 c de la poición de equilibrio, con un período de 0,3. Calcula: aa) ) Su velocidad al paar por la poición de equilibrio. bb) ) Su velocidad cuando x c. Aplitud A 4 c Período T 0,3 aa) ) Al paar por la poición de equilibrio u velocidad erá la áxia: v ± ωa ± π π A ± 4 ± 83,8 T 0,3 c bb) ) Cuando x c la velocidad e: π v T A x π 0,3 4 c 7,6 Fíica º Bachillerato- OXFORD EDUCACIÓN

4 Tea 7 : Moviiento ocilatorio. El ocilador arónico! 4 7 Deterina la aceleración en lo extreo, en x c, y en x - c, de un ocilador arónico que tenga la caracterítica expueta en la actividad anterior.! En lo extreo la aceleración e la áxia:a-ω π A - T! En x c a - ω x! En x - c a - ω x π T π x 0,3 π T π x 0,3 8,8 ( ) 4,4 π A 0,3 4 7,5 8 Conidereo la velocidad y la aceleración áxia de un ocilador: aa) ) Cóo varían i e duplica la aplitud in odificar el período? bb) ) Cóo varían i e duplica la frecuencia in odificar la aplitud? Haz la gráfica coparativa de abo cao con la ocilación noral. Coo la velocidad áxia e v M ± ωa ± πfa la velocidad áxia e duplica tanto i e duplica la aplitud coo i e duplica la frecuencia, peraneciendo contante el reto de variable. Su repreentación e: Coo puede vere en el dibujo, al duplicare la aplitud (curva roja) el áxio de la velocidad e duplica y lo io ucede al duplicare la frecuencia ( curva verde) aunque lo áxio e alcanzan en la itad de tiepo. Coo la aceleración áxia e a M - ω A - 4π f A i e duplica la aplitud e duplica la aceleración ( en ódulo) pero i e duplica la frecuencia la aceleración áxia e cudruplica. Repreentación: Fíica º Bachillerato- OXFORD EDUCACIÓN

5 Tea 7 : Moviiento ocilatorio. El ocilador arónico! 5 En la repreentación e puede ver coo al duplicare la aplitud (en rojo), la aceleración áxia e duplica pero i e duplica la frecuencia (en verde), adeá de contraere a la itad la aceleración áxia e cuatriplica. 9 Repreenta la gráfica de poición, velocidad y aceleración frente al tiepo de un cuerpo unido a un uelle que coienza a ocilar horizontalente dede un extreo ituado a 5 c de la poición de equilibrio con una frecuencia de 5 Hz. Aplitud A 5 c. Frecuencia f 5 Hz. Inicio Un extreo, δ 0 para la ecuación en coeno. Ecuacione:! Poición ( elongación): x ( c) A co(ωt + δ) 5co(π 5t + 0) 5 co0πt Repreentación: Fíica º Bachillerato- OXFORD EDUCACIÓN

6 Tea 7 : Moviiento ocilatorio. El ocilador arónico! 6! Velocidad, podeo uar la fórula o derivar la elongación: v(c / ) dx dt d dt (5 co0πt) 5 0πen0πt 50πen0πt Repreentación:! Aceleración, derivao la velocidad: a(c / Repreentación: ) dv dt d dt ( 50πen0πt) 50π 0π co0πt 500π co0πt Fíica º Bachillerato- OXFORD EDUCACIÓN

7 Tea 7 : Moviiento ocilatorio. El ocilador arónico! 7 0 Deuetra cóo a partir de la igualdad / v + / kx / ka puede obtenere la expreión v ω A x, que relaciona la velocidad con la poición del ocilador. v kx ka v k (A + x ω ) (A x ) v ± ω (A x ) ω (A x ) Un cuerpo de 5 kg choca con una velocidad de 0 / contra un uelle de contante elática k 5 N/. El coeficiente de rozaiento entre el bloque y la uperficie e de 0,.Calcula la longitud que e coprie el uelle i coniderao la aa depreciable. 5 kg v 0 / k 5 N/ µ 0, La energía cinética del cuerpo que choca e convierte en energía de copreión del uelle y energía que e pierde por la fuerza de rozaiento: E c E pelática + E FR, e decir v kx + FR x en donde neceitao aber la fuerza de de rozaiento F R µn µg, luego utituyendo en la fórula anterior queda: v kx + µ g x 5 0 5x + 0, 5 9,8x 50,5x + 9,8x, ecuación de º grado que reolveo para hallar x 4, la olución poitiva ( una longitud negativa no tiene entido fíico), que e la longitud que e coprie el uelle. Un cuerpo de,4 kg de aa e conecta a un uelle de contante elática 5 N/, y el itea ocila tal coo indica la figura. La aplitud del oviiento e de,0 c. Calcula: aa) ) La energía total del itea. bb) ) La energía cinética y potencial cuando el deplazaiento del cuerpo e de,3 c. cc) ) La velocidad áxia del cuerpo. Fíica º Bachillerato- OXFORD EDUCACIÓN

8 Tea 7 : Moviiento ocilatorio. El ocilador arónico! 8 Maa,4 kg Contante elática k 5 N/. Aplitud A,0 c 0,0. aa) ) Coo no hay fuerza de rozaiento, la energía ecánica e conerva, luego la energía total e: E bb) ) x,3 c 0,03 N Eecánica ka 5 (0,0) 0,003 J. T E kx 5 0,03 0,007 J P La energía cinética e puede calcular de do anera: ) Aplicando el principio de conervación de la energía: E T E M E P + E c luego hallao la energía cinética por diferencia: E c E T E P 0,003 J 0,007 J 0,0073 J ) Mediante u fórula: Ec v A x ω ω (A x ) y utituyendo ω k k Ec (A x ) k(a x ) 5(0,0 0,03 ) 0,0073J. cc) ) v M ±ω A ± k A ± 5 0,0,4 ± 0,065 3 Deduce la expreión de la aceleración en el MAS ediante la proyección de la aceleración centrípeta del MCU. Si proyectao la a c obre el eje horizontal que fora un ángulo de 80º + θ, teneo: () () a a c co(θ+ π) - a c coθ v (3) ω A co ωt co ωt ω A co ωt A A () ya que co(π + α) - coα v () utituio la aceleración centrípeta por u fórula a c en donde el radio e la aplitud, R A. R (3) Sutituio la velocidad lineal en función de la angular v ωr ωa. Fíica º Bachillerato- OXFORD EDUCACIÓN

9 Tea 7 : Moviiento ocilatorio. El ocilador arónico! 9 4 Cóo varía el período de un péndulo al duplicar la longitud? Y al diinuirla a /3 de u longitud original? Sea T 0 el período inicial u original y l 0 u longitud.! Si duplicao u longitud l l 0 teneo: T0 π T π l0 g l g dividiendo T0 T π π l0 g l g l0 l l0 l 0 T T 0! Si la longitud diinuye en /3, l l 0 /3, teneo: T0 π T π l0 g l g dividiendo T0 T π π l0 g l g l0 l l0 l0 3 3 T T T 0 5 Se deja ocilar libreente un péndulo de de longitud depué de haberlo deplazado 0º hacia la derecha de la vertical. Cuál e la ecuación que no da la elongación en función del tiepo? Cuál e el período y la frecuencia de ocilación de dicho péndulo? l! Hallao priero el período: T π π, 84 g 9,8! Su frecuencia e pue la invera del período: f 0, 35 Hz T,84! La eparación áxia de la vertical, que erá la Aplitud del oviiento e: A en 0º A len0º en0º 0,35 35 c l! La ecuación de u elongación: x (c) Acoωt Aco πft 35 co(π 0,35t) 35 co(0,7πt). Fíica º Bachillerato- OXFORD EDUCACIÓN

10 Tea 7 : Moviiento ocilatorio. El ocilador arónico! 0 CUESTIONES Y PROBLEMAS De aplicación Qué e entiende por período y frecuencia de un oviiento ocilatorio?! Período (T): Tiepo que el ocilador eplea en recorrer una ocilación copleta.! Frecuencia (f): Núero de ocilacione que e producen por unidad de tiepo ( noralente). E, por tanto, la invera del período. Cuándo e produce un oviiento ocilatorio? Cuando e realiza un oviiento periódico (e repite cada cierto tiepo) iepre obre la ia trayectoria. 3 Qué condicione deben cuplire para que un oviiento ocilatorio ea arónico iple? Que el oviiento ocilatorio ea producido por una fuerza proporcional a la ditancia de la poición de equilibrio. 4 Puede ecribire la ecuación de poición de un ocilador arónico inditintaente en función del eno o del coeno? En qué e diferencian aba fora? Cuándo conviene uar una u otra? Si e hace ocilar un péndulo o un cuerpo unido a un uelle dede u áxia elongación, debe cuplire que x 0 A cuando t 0. Por tanto, la ecuación á encilla para repreentar eta ituación e: x Acoωt ya que el co 0. Sin ebargo, tabién podríao ecribirla en función del eno i introducio una contante de fae de π/, pueto que el coa en (a + π/). E decir: x Aen (ωt + π/) De ee odo, en t 0 e obtendría que x 0 Aen π/ A, que e la condición de partida de ee oviiento. Fíica º Bachillerato- OXFORD EDUCACIÓN

11 Tea 7 : Moviiento ocilatorio. El ocilador arónico! Igualente, i la ocilación coienza dede la poición de equilibrio hacia elongacione poitiva, debe cuplire que x 0 0 cuando t 0. En ete cao, la fora á encilla de repreentar el oviiento e: x Aen ωt Pero tabién podría ecribire coo: x Aco (ωt ± π/) Aquí, el doble igno indica la poibilidad de epezar a ocilar en un entido u otro a partir de la poición de equilibrio (negativo i lo hace hacia elongacione poitiva y poitivo en cao contrario). Aí pue podeo ecribir la ecuación de un oviiento arónico iple inditintaente en función del eno o del coeno introduciendo la correpondiente contante de fae. Sin ebargo, conviene tener preente:! La ecuación uele ecribire coo x Acoωt cuando la ocilación coienza en un extreo.! La ecuación uele ecribire coo x Aenωt cuando la ocilación coienza en la poición de equilibrio.! Si el oviiento e inicia en una poición interedia entre la de equilibrio y un extreo, e calcularía el valor de la contante de fae δ a partir de x 0, A y ω con la función trigonoétrica elegida, eno o coeno. 5 Qué repreentan lo ditinto factore que aparecen en la ecuación del ocilador? Hay alguno de ello que dependa de la propiedade fíica del ocilador? Le ecuación general de un oviiento arónico iple, en función del coeno, puede ecribire: Fíica º Bachillerato- OXFORD EDUCACIÓN

12 Tea 7 : Moviiento ocilatorio. El ocilador arónico! x A co (ωt + δ) En donde:! x repreenta la poición del óvil que ocila arónicaente en función del tiepo, y e denoina elongación.! A repreenta el áxio o ínio valor poible de la elongación x, pue lo valore líite del coeno on + y -. Por ee otivo, recibe el nobre de elongación áxia o, á coúnente, aplitud.! ω e la frecuencia angular y e relaciona con la frecuencia(f) y el período(t) de la anera que ya conoceo: π ω πf T! ωt + δ e denoina fae del oviiento. Puede obervare que, al cabo de una ocilación copleta, la fae auenta en π radiane y la poición x vuelve a er la ia, pue co (ωt +δ) co (ωt + δ + π).! δ e la llaada contante de fae o fae inicial. Su valor e calcula de odo que, al hacer t 0, e obtiene la poición inicial del ocilador: 6 Qué expreión tiene la velocidad en un oviiento arónico iple? Cuándo e áxia y cuándo e cero? dx d Coo x Aco(ωt + δ) v (A co( ωt + δ)) ωaen( ωt + δ) que puede dt dt ecribire tabién, utilizando la ecuación fundaental de la trigonoetría en función de la elongación v ω A x.! La velocidad erá áxia i x 0 ( punto central o de equilibrio) y entonce v ω A ωa! La velocidad erá nula cuando x A ( A x 0) en lo extreo. 7 Qué expreión tiene la aceleración en un oviiento arónico iple? Cuándo e áxia y cuándo e cero? Qué entido tiene en función de la poición? Fíica º Bachillerato- OXFORD EDUCACIÓN

13 Tea 7 : Moviiento ocilatorio. El ocilador arónico! 3 La aceleración e la derivada de la velocidad con repecto del tiepo: dv d a ( ωaen( ωt + δ)) ω A co( ωt + δ) - ω x dt dt...que e proporcional a la elongación, luego : Será áxia cuando la elongación lo ea, en lo extreo, a - ω ª y ínia en el centro o punto de equilibrio en que la elongación e nula, a 0. 8 En un oviiento arónico iple, la poición, la velocidad y la aceleración varían periódicaente. Son iguale lo período en lo tre cao? La tre agnitude tiene la ia fae, ωt + δ, y coo on función del eno y el coeno que tienen el io período, tendrán el io período T. 9 Deuetra que la ecuación del ocilador arónico e congruente con la conideración dináica del itea, e decir, con el hecho de que la fuerza obedezca la ley de Hooke. La ley de hooke e F - kx adeá F a y a - ω Aco(ωt + δ), utituyendo teneo: F a -ω Aco(ωt + δ) i ω k, no quedaría F - k Aco(ωt + δ) - kx ya que x Aco(ωt + δ), que e la expreión de la ley de Hooke. 0 Por qué decio que la frecuencia angular del ocilador arónico e una caracterítica de la propiedade fíica del itea? En la cuetión anterior heo obtenido ω k, adeá ω πf, luego: k k k ω (πf) k f f expreión que no dice que la (π) (π) π frecuencia ólo depende de la raíz de la contante de recuperación del ocilador (k) (directaente) y de la aa del io ( inveraente), e decir de propiedade fíica del itea. Fíica º Bachillerato- OXFORD EDUCACIÓN

14 Tea 7 : Moviiento ocilatorio. El ocilador arónico! 4 De qué depende el período de un ocilador arónico, de la aplitud de la ocilación? Coo T T π utituyendo en la expreión de la frecuencia obtenida en la f k cuetión anterior, luego el período depende de la aa del ocilador y de la contante recuperadora del itea pero no de la aplitud del ocilador. Cóo varían la energía cinética y potencial de un ocilador arónico? Cuál e u valor áxio? Por qué peranece contante la energía ecánica? La energía potencial de un ocilador arónico varía de fora periódica entre un valor ínio en la poición de equilibrio (Ep 0) Y un valor áxio en lo extreo (Ep / ka. Ahora bien, cuando el ocilador e deja libre en un extreo, u energía potencial coienza a decrecer a edida que e ueve hacia la poición de equilibrio, ientra que, por el contrario, u energía cinética epieza a auentar. Dicha energía cinética viene dada por: Ec / v donde e la aa del cuerpo unido al reorte (que uponeo de aa depreciable). Teniendo en cuenta la expreión v - ωaen(ωt + δ), podeo etudiar cóo varía la energía cinética del ocilador: Pueto que ω k/, e poible concluir que: Por tanto: Ec / ω A en (ωt + δ) Ec / ka en (ωt + δ) La energía cinética de un ocilador arónico varía periódicaente entre un valor ínio en lo extreo (Ec 0) Y un valor áxio en la poición de equilibrio (Ec / ka. Coparando la expreione de la Ep y la Ec, y teniendo en cuenta que el eno vale 0 cuando el coeno vale, y vicevera, podeo coprobar que la energía ecánica de un ocilador arónico (Ep + Ec) peranece contante: E Ep + Ec / ka co (ωt + δ) + / ka en ((ωt + δ) Reorganizando la expreión anterior, e obtiene: Y coo: E / ka [co (ωt + δ) + en ((ωt + δ)] en (ωt + δ) + co (ωt + δ)) Fíica º Bachillerato- OXFORD EDUCACIÓN

15 Tea 7 : Moviiento ocilatorio. El ocilador arónico! 5 entonce: La energía ecánica de un ocilador arónico peranece contante i no actúan fuerza diipativa, y u valor e directaente proporcional al cuadrado de la aplitud: E / ka La figura uetra cóo varían conjuntaente la energía potencial y la cinética durante un tiepo t de ocilación. Puede obervare que lo hacen de fora periódica. La línea horizontal repreenta la energía ecánica del ocilador, que e contante y tiene coo valor / ka. 3 Qué relación hay entre el oviiento circular unifore y el arónico iple? El oviiento arónico iple puede coniderare coo la proyección del oviiento circular unifore obre uno de lo eje (el horizontal, i la poición inicial e uno de lo extreo y, el eje vertical i partio del punto de equilibrio) Si proyectao la poicione del óvil en el oviiento circular (en azul) obre el eje horizontal e obtienen la elongacione del M.A.S. (en verde). Tabién podeo deotrar que en u proyección e obtiene la ecuación del M.A.S.: Toao, por ejeplo, el punto O, u proyección obre el eje horizontal e H y en el triángulo rectángulo AOH e cuple: AH x co θ co ωt x A co ωt, ya que en el AO A oviiento circular la velocidad angular: ángulo θ ω e decir θ ωt, tiepo t AH x elongación del M.A.S. y AO R A aplitud del M.A.S. Obteneo pue al proyecta O obre H la ecuación de la elongación del M.A.S.: x Acoωt Tabién podríao obtener la ecuación de la velocidad por proyección de la velocidad lineal del oviiento circular y la aceleración la heo obtenido en la cuetión 3 anterior. Fíica º Bachillerato- OXFORD EDUCACIÓN

16 Tea 7 : Moviiento ocilatorio. El ocilador arónico! 6 4 Bajo qué condicione podeo decir que un péndulo iple ocila de fora arónica? Cuál e la fuerza retauradora en el cao del péndulo iple? Si el ángulo de deplazaiento repecto de la vertical e pequeño, e puede coniderar arónico iple, en el cao ideal, ya que la fuerza recuperadora F -g enθ - g θ, eria proporcional al ángulo girado. 5 De qué depende el período de un péndulo iple i la aplitud de la ocilación e pequeña coparada con la longitud del péndulo? l El período de un péndulo iple viene dado por T π para pequeña ocilacione, g luego depende de: La longitud (l), directaente proporcional a u raíz y del valor de la gravedad en ee punto (g) de fora inveraente proporcional a u raíz. 6 Qué e una ocilación forzada? Son aquella ocilacione que tienen lugar bajo la acción de fuerza periódica externa. 7 Cuándo e produce el fenóeno de reonancia en la aplitud? El fenóeno de la reonancia e produce cuando la frecuencia angular de la fuerza periódica externa coincide con la frecuencia natural del ocilador. Fíica º Bachillerato- OXFORD EDUCACIÓN

17 Tea 7 : Moviiento ocilatorio. El ocilador arónico! 7 De razonaiento 8 Razona cóo on lo oviiento de do ociladore arónico idéntico que ocilan con un defae de π radiane. En qué punto de la trayectoria e cruzan? Partio de la ecuacione de u x A co( ωt + δ) elongacione: coo x A co( ωt + δ + π) co(α + π) - coα egún la trigonoetría, entonce x Aco[(ωt + δ) + π] - Aco(ωt + δ) - x, e decir erían opueto coo puede apreciare en la grafica adjunta. 9 Iagineo que teneo un cuerpo de aa deconocida y un reorte de contante k tabién deconocida. Cóo podríao averiguar el período de ocilación de dicho itea in hacerlo ocilar? Le aplicao una fuerza F conocida, edio u alargaiento l y lo de volveo a u F poición de equilibrio in que ocile, entonce k. Depué edio u aa () en una l balanza, por últio calculao u período ediante la fórula: T π k 0 Razona cóo podríao coparar aa idiendo u frecuencia de ocilación al colgarla de un io reorte. Sean f y f la frecuencia obtenida al colgar la aa y, entonce: f π k Dividiendo f π k f f f e decir la relación entre la f π k π k aa e el cuadrado de la relación entre la frecuencia de ocilación. Fíica º Bachillerato- OXFORD EDUCACIÓN

18 Tea 7 : Moviiento ocilatorio. El ocilador arónico! 8 La frecuencia de ocilación de cierta aa en un reorte e el triple que la de otra aa Qué relación guardan aba aa entre í? Según el enunciado f 3f, luego, egún el ejercicio anterior: f 3f e decir la priera aa e nueve vece la egunda. f f Un reorte del que pende una aa tiene una contante de fuerza k. El reorte e corta por la itad, y la aa e cuelga de una de la itade. Ocilará ahora con el io período que ante? Razona y deuetra tu afiración. El período de ocilación de un reorte viene dado por la fórula: T π, coo la k aa e la ia, el quiz de la cuetión etriba en la contante de recuperación k, e la ia i el reorte ide una longitud l que i ide la itad l/?. La contante de recuperación (egún F la ley de Hooke) e el cociente k entre la l fuerza aplicada y el alargaiento producido por ea fuerza, i colgao la ia aa la fuerza aplicada para u alargaiento erá la ia (i etao en un io lugar, el io valor de la gravedad g), u peo F P g, pero e igual el alargaiento i la longitud del reorte e l que i e u itad l/?, í, lo que no erán iguale erán la longitude finale en endo cao, pero lo que e alarga (diferencia entre la longitud final e inicial) í erá la ia pue ólo depende de la fuerza aplicada y de la elaticidad del reorte que on iguale (ia aa y io aterial). Deducio, pue que i la aa e la ia y el etiraiento (elongación) on iguale, el período de ocilación erá idéntico en abo cao. Fíica º Bachillerato- OXFORD EDUCACIÓN

19 Tea 7 : Moviiento ocilatorio. El ocilador arónico! 9 3 Do partícula efectúan oviiento arónico iple de la ia aplitud y período a lo largo de la ia recta. Cuál e la diferencia de fae entre ella i e cruzan cuando u elongación e la itad de la aplitud? Sean la ecuacione de la elongacione: A π A co( ωt + δ) co( ωt + δ) ( ωt + δ) 3 δ ( ωt + δ A π A co( ωt + δ ) co( ωt + δ ) ( ωt + δ ) 3 etán en fae. ) ( ωt + δ ) π π Conidereo el deplazaiento de una partícula que ocila con oviiento arónico iple entre t 0 y un intante cualquiera t; e neceariaente igual a la poición de la partícula en ee intante t? Depende de lo que entendao por deplazaiento y poición: Si por deplazaiento entendeo el vector deplazaiento, e claro que nunca podrán er iguale pue uno ería un vector y la poición un ecalar pero i precindio del carácter vectorial del deplazaiento (ya que iepre erá en una ia dirección) y entendeo el deplazaiento coo ditancia entre la poicione inicial y final, tapoco coinciden iepre abo concepto ya que i la poición inicial e un extreo, el deplazaiento e nulo y la poición la áxia aplitud x A, pero adeá al cabo de n ocilacione la poición vuelve a coincidir in ebargo el deplazaiento e n vece ayor. 5 Do partícula de aa y repectivaente, efectúan ocilacione arónica de igual aplitud unida a reorte de la ia contante k. Si '> : aa) ) Qué partícula tiene ayor energía ecánica? bb) ) Cuál de la do tiene ayor energía cinética al paar por el punto á bajo? cc) ) Son iguale u velocidade en el punto á bajo? dd) ) Son iguale u período de ocilación? aa) ) La fórula de la energía ecánica e E M ka coo aba partícula tienen la ia aplitud(a) y contante recuperadora(k), la energía ecánica e la ia para aba. Fíica º Bachillerato- OXFORD EDUCACIÓN

20 Tea 7 : Moviiento ocilatorio. El ocilador arónico! 0 bb) ) En el punto á bajo la velocidad e nula en abo cao y la energía cinética nula en abo cao. cc) ) Sí, u velocidade en el punto á bajo on nula y por tanto iguale. dd) ) El período viene dado por T π coo > T > T. k 6 La longitud de un péndulo iple e el cuádruple que la de otro. Copara u período de ocilación. Si l 0 4l l0 l0 T0 π π g dividiendo T0 g l T l T π π g g de longitud cudrúple e el doble del otro. l0 l 4l l 4 T 0 T, el período del péndulo 7 Iagina que te encuentra en el interior de un elevador in referencia viuale externa. Del techo del elevador cuelga un péndulo. Deterina cóo podría aber por el oviiento del péndulo i el elevador: aa) ) Se acelera hacia arriba. bb) ) Se acelera hacia abajo. cc) ) Se ueve con velocidad contante. dd) ) Etá en repoo o e ueve con velocidad contante. Coo heo vito ya en ejercicio anteriore el período de un péndulo viene dado por: T π l g fórula en la cual, en la condicione del experiento, lo único que puede variar e la aceleración de la gravedad g: aa) ) Si el acenor acelera hacia arriba, a la aceleración de la gravedad e ua la inercial del acenor luego el péndulo e ve oetido a una aceleración ayor que parado y u período diinuye ( T e inveraente proporcional a la raíz cuadrada de la aceleración), ocila á depacio, luego ubio. Fíica º Bachillerato- OXFORD EDUCACIÓN

21 Tea 7 : Moviiento ocilatorio. El ocilador arónico! bb) ) Si el acenor acelera hacía abajo la aceleración gravitatoria diinuye al retarle la inercial y el período del ocilador auentará, ocila á depria luego bajao. cc) ) y dd) ) Si el acenor no e ueve o lo hace con velocidad contante, el oviiento no influye en la aceleración y el péndulo no altera u período de ocilación. De cálculo 8 Repreenta en una ia gráfica lo oviiento de lo iguiente ociladore: % Ocilador A: e uelta dede el extreo x + c de la poición de equilibrio, y u período e de. % Ocilador B: idéntico al anterior, pero la ocilación parte de la poición de equilibrio hacia aplitude poitiva. Qué ecuacione repreentan a abo ociladore? En qué punto e cruzan eto? Aplitude poitiva para aba. Ocilador A A c 0,0 T x Para t 0, x A (coeno) Ocilador B A π π A co ωt A co t 0,0 co t 0,0 co πt T A c 0,0 T x Para t 0, x 0 (eno) B π π Aenωt Aen t 0,0en t 0,0enπt T La repreentación gráfica puede vere en la figura adjunta. Se cruzarán cuando x A x B e decir 0,0coπt 0,0enπt coπt enπt que enπt π equivale a tgπt πt + πn co πt 4 y depejando t + n que e 4 Fíica º Bachillerato- OXFORD EDUCACIÓN

22 Tea 7 : Moviiento ocilatorio. El ocilador arónico! correponde con elongacione x x A B π 0,0 co 0,0 0,0 4 π 0,0en 0,0 0,0 4 y u valore negativo. 9 Teneo do ociladore arónico cuya ecuacione de poición on x A co (ωt + π/) y x A co (ωt - π/). Deterina: aa) ) La poición inicial. bb) ) El entido en que coienzan a overe uno y otro ocilador. cc) ) El punto en el que e cruzan. dd) ) La diferencia de fae entre lo do. π x A co 0 aa) ) Para t 0,, abo epiezan en la poición de equilibrio pero el π x A co 0 priero hacia la izquierda y el egundo hacia la derecha. bb) ) El priero hacia la izquierda y el egundo hacia la derecha. cc) ) Coienzan en la poición de equilibrio y e cruzan en uceiva poicione de equilibrio. π dd) ) π La diferencia de fae e δ δ π. 30 La ecuación de poición de un ocilador e: x 5 co (πt + π) c Deterina: aa) ) La frecuencia y el período de ocilación. bb) ) La aplitud. cc) ) La poición inicial de la partícula. dd) ) La gráfica de u oviiento en lo cuatro priero egundo. ee) ) La velocidad y la aceleración del ocilador en t 5. f) La velocidad y la aceleración áxia. aa) Si coparao la fórula general con la que e no da: Fíica º Bachillerato- OXFORD EDUCACIÓN

23 Tea 7 : Moviiento ocilatorio. El ocilador arónico! 3 A 5 c x A co( ωt + δ) π ω π T f x 5 co( πt + π) T δ π rad T 0,5 Hz bb) ) A 5 c cc) ) Para t 0 x 0 5coπ - 5 c, en el extreo izquierdo (negativo). dd) ) ee) ) dx v(t) dt dv a(t) dt d (5 co( πt + π)) 5πen( πt + π) v(5) 5πen( π5 + π) 0 dt d c ( 5πen( πt + π)) 5π co( πt + π) a(5) 5π co( π5 + π) 5π dt f) v a M M c 5π c 5π que obteneo haciendo en(πt + π) y co(πt + π) Fíica º Bachillerato- OXFORD EDUCACIÓN

24 Tea 7 : Moviiento ocilatorio. El ocilador arónico! 4 3 Una partícula ocila en el eje X con oviiento arónico iple. Si parte de la poición de equilibrio y coienza a ocilar hacia la derecha con una aplitud de 4 c y una frecuencia de /3 Hz, deterina: aa) ) La ecuación de poición ecrita en función del eno y del coeno. bb) ) La velocidad y la aceleración cuando t 5. cc) ) La velocidad cuando paa por la poición x - c. dd) ) El deplazaiento neto y el epacio recorrido en. A 4c π x Aenπft x 4en( t)c aa) ) f Hz 3 π π π 3 x A co(πft ) 4 co t c Para t 0, x 0 3 dx d π 8π π 8π 0π 4π c v(t) (4en( t)) co( t) v(5) co( ) bb) ) dt dt dv d 8π π 6π π 6π 0π c a(t) co( t) en( t) a(5) en( ) 5, dt dt π π cc) ) π 5 Si x - 4en( t) en( t) co t π π 8 La velocidad erá v π 5 co( t) 8, c/ π π dd) ) Deplazaiento x() 4 en( t) 4en( ) 3, 464 c. 3 3 Para hallar el epacio recorrido heo de tener en cuenta que i la frecuencia e /3 el período e T 3, luego recorre una aplitud en ¾ de egundo ( una aplitud e la cuarta parte de una ocilación copleta, e decir recorre una aplitud A 4 c el epacio recorrido en ¼ de a partir del extreo e decir lo que le falta a la elongación x() para llegar a lo 4 c de aplitud 4 3,464 0,536. El epacio recorrido e, por tanto, 4 + 0,536 4,536 c 3 Una aa de 50 g unida a un reorte horizontal de contante retauradora k 00 N/ e oltada depué de haber ido deplazada c con repecto a u poición de equilibrio. aa) ) Deterina u período y u frecuencia de ocilación. bb) ) Ecribe u ecuación de oviiento. cc) ) Calcula la velocidad áxia de u oviiento. dd) ) Halla la aceleración áxia en lo extreo. ee) ) Etablece la velocidad y la aceleración cuando la poición e x c. f) f) Repreenta con lo valore correpondiente la gráfica x, v y a frente al tiepo. Fíica º Bachillerato- OXFORD EDUCACIÓN

25 Tea 7 : Moviiento ocilatorio. El ocilador arónico! 5 50 g 0,05 kg. k 00 N/. A c. 0,05 aa) ) T π π 0,099 0, f 0 Hz k 00 T 0, bb) ) Coo el oviiento coienza en un extreo uao la elongación en función del coeno: x Aco(πft) co (π 0t) co (0πt) c. cc) ) v M - πfa - π0-40π c/. dd) ) a M - (πf) A - (π 0) ,7 c/. ee) ) f) f) c v ± πf A x ± π 0 ± 08,8 a (πf) x (π 0) 39,5 x(t) co 0πt dx(t) d v(t) (co 0πt) 40πen0πt funcione que repreentao: dt dt dv(t) d a(t) ( 40πen0πt) 800π co 0πt dt dt Fíica º Bachillerato- OXFORD EDUCACIÓN

26 Tea 7 : Moviiento ocilatorio. El ocilador arónico! 6 33 Una aa de 00 g colgada de un reorte de contante k 0 N/ ocila con una aplitud de 4 c. Calcula: aa) ) La velocidad y la aceleración del ocilador cuando la poición de la partícula e x 3 c. bb) ) El valor áxio de la aceleración y la velocidad. 00 g 0, kg k 0 N/. A 4 c 0,04. 0, aa) ) T π π 0,9 f,3 Hz k 0 T 0,9 v πf A x π,3 0,04 0,03 0,88 a (πf) x (π,3) 0,03,5 bb) ) v a áx áx ± πfa ± π,3 0,04 ± 0,8 (πf) A (π,3) 0,04 Fíica º Bachillerato- OXFORD EDUCACIÓN

27 Tea 7 : Moviiento ocilatorio. El ocilador arónico! 7 34 Una aa de 500 g unida a un reorte ocila arónicaente con una frecuencia de 0,4 Hz. Si la energía ecánica del ocilador e de 3 J: aa) ) Calcula la contante k del reorte. bb) ) Deterina la aplitud de la ocilación. cc) ) Repreenta en una ia gráfica la variacione de la energía cinética y potencial del ocilador frente al tiepo en lo cinco priero egundo y copara dicha gráfica con la de poición. 500 g 0,5 kg. f 0,4 Hz. E M 3 J. aa) ) Conocida la frecuencia y la aa poeo hallar la k: f π k 0,4 π k 0,5 k 0,5(0,4 π) N 3,6 bb) ) Ahora podeo hallar la aplitud a partir de la fórula de la energía ecánica: EM 3 EM ka A,38. k 3,6 cc) ) x A co(πft),38co(π 0,4t),38co,5t EP ka co πft 3,6,38 co π 0,4t 3 co,5t Ec ka en πft 3,6,38 en π 0,4t 3en,5t Fíica º Bachillerato- OXFORD EDUCACIÓN

28 Tea 7 : Moviiento ocilatorio. El ocilador arónico! 8 35 Una aa de 0 g ujeta a un reorte de k 50 N/ e liberada en x +0 c para que ocile. Deduce: aa) ) Su ecuación de poición en función del tiepo. bb) ) Su ecuación de velocidad en función del tiepo. cc) ) Su ecuación de aceleración en función del tiepo. 0 g 0,0 kg k 50 N/ x 0 A 0 c. Hallao el período de ocilación y la frecuencia: 0,0 T π π 0,05 f 9,5 Hz k 50 T 0,05 aa) ) Coo el oviiento epieza en un extreo uao la ecuación en función del coeno con δ 0: x(t) A co(πft) 0co(π 9,5t) 0co,5t c bb) ) a(t) v(t) dx(t) d c (0 co,5t) 450en,5t. dt dt dv(t) d c ( 450en,5t) 3005 co,5t. dt dt 36 Si la aplitud de un cuerpo que ocila con oviiento arónico iple e A: aa) ) En qué punto on iguale u energía cinética y u energía potencial? bb) ) En qué punto e u energía potencial el doble que la cinética? cc) ) En qué punto e u energía cinética el doble que la potencial? Aplitud A aa) ) La energía ecánica e la ua de la energía potencial y la cinética y adeá E P E c : bb) ) E P E C EM EP + Ec EM EP ka kx x A 3 3 EM EP + Ec EP + EP EM EP ka kx x A 3 cc) ) E P E C A A 3 Fíica º Bachillerato- OXFORD EDUCACIÓN

29 Tea 7 : Moviiento ocilatorio. El ocilador arónico! 9 E ka 3 kx x A 3 M EP + Ec EP + EP EM 3EP 3 3 A 37 Si la aplitud de un oviiento arónico iple e duplica, calcula cuánto varía: aa) ) Su energía ecánica. bb) ) Su período. cc) ) Su velocidad áxia. dd) ) Su aceleración áxia. Aplitud inicial A. Aplitud final doble de la inicial A. aa) ) E E 0 M M ka k(a) E E 0 M M ka k(a) E 4 M 4E 0 M. bb) ) Coo T π, el período no depende de la Aplitud, luego T T 0. k cc) ) v v 0 áx áx 0 ωa váx ωa v 0 áx v ω(a) v ωa áx áx. dd) ) a a 0 áx áx 0 ω A aáx ω A a 0 áx a ω (A) a ω A áx áx. 38 Un péndulo iple de de longitud tiene un período de,84 para pequeña ocilacione: aa) ) Deterina la intenidad del capo gravitatorio en el lugar de la edición. bb) ) Si la velocidad de la bolita del péndulo cuando paa por la poición de equilibrio e de 0,4 /, calcula la aplitud de la ocilación. cc) ) Si la ocilación coienza en uno de lo extreo, ecribe la ecuación de poición en el eje X y repreéntala gráficaente en función del tiepo. Fíica º Bachillerato- OXFORD EDUCACIÓN

30 Tea 7 : Moviiento ocilatorio. El ocilador arónico! 30 Longitud del péndulo l. Período T,84. l aa) ) π π T π g l 9,79. g T,84 bb) ) La velocidad en el punto de equilibrio e la velocidad áxia del oviiento ocilatorio del péndulo, luego: váx 0,4 0,4 váx ωa A 0,8 ω π π T,84 cc) ) Si la ocilación epieza en un extreo, la ecuación de la elongación erá función del coeno y δ 0: x A co((π/t)t) 0,8co(π/,84) t 0,8co(,t). Fíica º Bachillerato- OXFORD EDUCACIÓN