MOVIMIENTOS OSCILATORIOS. EL OSCILADOR ARMÓNICO - RESUMEN

Transcripción

1 Dpto. Física y Quíica MOVIMINTOS OSCITORIOS. OSCIDOR RMÓNICO - RSUMN. Moviientos Oscilatorios.. Moviiento rónico Siple. Un oviiento es periódico cuando se repiten cada cierto tiepo algunas de las agnitudes que lo caracterizan, tales coo la posición del óvil y su velocidad. Dentro de este tipo de oviientos está el ov. circular unifore. Hay otros oviientos periódicos que no son circulares coo, por ejeplo, el de un péndulo o el de un cuerpo unido a un uelle. n estos casos, el oviiento de vaivén se produce sobre la isa trayectoria, oscilando el cuerpo de un lado a otro. este tipo de ov. Periódicos se les llaa oscilatorios o vibratorios. stos oviientos se caracterizan por las siguientes agnitudes: Período ( T ) : Tiepo que tarda en producirse una oscilación copleta (ida y vuelta). Frecuencia ( f o < ) : Núero de oscilaciones que se realizan en la unidad de tiepo. Su unidad en el S.I. es s - Hertzio (Hz). bas agnitudes está relacionada de la fora: Cuando la fuerza restauradora que tiende a devolver al cuerpo a la posición de equilibrio es proporcional a la distancia respecto a la posición de equilibrio, el oviiento oscilatorio se le llaa oviiento vibratorio arónico siple ( MVS ). stas fuerzas son del tipo F -, coo ocurre, por ejeplo, en cuerpos unidos a uelles y en péndulos para pequeñas aplitudes de oscilación, entre otros. Se les llaa arónicos porque la posición del cuerpo es una función sinusoidal del tiepo y a las funciones sinusoidales se les suele llaar arónicas. 3. cuaciones del MVS. Si se representa gráficaente la posición, respecto a la posición de equilibrio, de un cuerpo con MVS en función del tiepo nos aparece una gráfica que puede ser igual a la del coseno o del seno en función de cuando se coience a contar el tiepo. T f ste tipo de oviientos se producen cuando el cuerpo es separado de su posición de equilibrio estable, tendiendo a recuperar dicha posición oscilando alrededor de ella. as oscilaciones son libres si sobre el cuerpo no actúan fuerzas disipativas y, por lo tanto, oscilará indefinidaente. as oscilaciones son aortiguadas cuando actúan fuerzas disipativas, terinando el cuerpo por quedar en reposo en la posición de equilibrio. Si el tiepo se epieza a contar ( t0 ) desde el etreo positivo de la oscilación, la posición en función del tiepo es del tipo del coseno. n cabio, si coenzaos a contar el tiepo cuando el cuerpo pasa por la posición de equilibrio oviéndose hacia posiciones positivas, la posición en función del tiepo es del tipo del seno. bas representaciones equivalen al iso tipo de oviiento y elegir una u otra sólo depende de cuando epezaos a contar el tiepo. Física º Bachillerato - Moviientos Oscilatorios. l oscilador arónico

2 n general, y si utilizaos la priera representación, la ecuación de un MVS es de la fora: donde: cs t : Representa la posición del óvil, con respecto a la posición de equilibrio, y se le llaa elongación. Sus valores son positivos hacia la derecha de la posición de equilibrio y negativos hacia la izquierda ( o positivos hacia arriba y negativos hacia abajo ). : s el áio o ínio valor posible de la elongación y recibe el nobre de elongación áia o aplitud. ω : s la frecuencia angular o pulsación y está relacionada con el período y la frecuencia de la fora: ω π π f T Su unidad en el S.I. es el rad/s. ( ω t + δ ) : Fase del oviiento. δ : Fase inicial o constante de fase. Su valor se calcula de odo que, al hacer t 0, se obtiene la posición inicial del oscilador. s decir: cosδ cosδ 0 0 Qué ecuación utilizar para el MVS? Se puede utilizar tanto la función seno o coseno. Sin ebargo, suele escribirse: cos ωt : cuando se epieza a contar el tiepo cuando el cuerpo está situado en el etreo de áia elongación positiva. sen ωt : cuando se epieza a contar el tiepo cuando el cuerpo se encuentra en la posición de equilibrio oviéndose hacia la parte positiva de la elongación. n cualquier otro caso puede utilizarse la función seno o coseno calculando previaente la fase inicial δ, teniendo en cuenta el valor de para t 0. Dpto. Física y Quíica n el cuadro adjunto se representan algunas ecuaciones en función de la posición inicial del cuerpo. Posición Inicial P. quilibrio hacia > 0 P. quilibrio hacia < 0 treo > 0 treo < 0 c. Función del seno sen ωt sen( ωt-π ) sen( ωt+π/ ) sen( ωt-π/ ) c. Función del coseno cos(ω t-π/) cos(ω t+π/) cos ω t cos(ω t-π) 3. Velocidad y celeración en el MVS a velocidad se obtendrá coo la derivada de la posición con respecto al tiepo y la aceleración coo derivada de la velocidad con respecto al tiepo. n función de si consideraos coo ecuación de la posición una función coseno o seno así serán las epresiones de la velocidad y aceleración: Si cos( ωt + δ) v ω sen t, entonces: a ω cos t Si sen( ωt + δ), entonces: v ω cos t a ω sen t Sea cual sea la ecuación elegida para la posición, podeos observar que tanto la velocidad coo la aceleración varían de fora sinusoidal con el tiepo. Velocidad y aceleración en función de la posición Independienteente de la ecuación elegida para la posición (seno o coseno) la velocidad y la aceleración están relacionadas con la posición de la fora: v ± ω a ω Física º Bachillerato - Moviientos Oscilatorios. l oscilador arónico

3 Dpto. Física y Quíica n el caso de la velocidad, dado el doble signo iplícito en la raíz cuadrada se obtienen siepre dos soluciones de velocidad para cada valor de, una positiva (de ida) y otra negativa (de vuelta), abas con el iso valor. Se puede ver que las tres varían de fora arónica aunque van desfasadas unas con respecto a otras. 4. Dináica del MVS. a fuerza recuperadora es de la fora F - K, que producirá una aceleración al cuerpo de asa dada por: a a y coo a - ω, tendreos que: ω ω a velocidad es cero cuando, es decir, en los etreos. a velocidad es áia cuando 0, este valor es v a ± ω teniendo en cuenta el doble signo de la raíz cuadrada. a aceleración es nula en la posición de equilibrio (0) ya que lo es tabién la fuerza restauradora. a aceleración es áia en los etreos, ya que tabién lo es la fuerza restauradora, y su valor es a ω. a el sentido de la aceleración es siepre opuesto al de la posición. a representación gráfica de las variaciones de posición, velocidad y aceleración, suponiendo que consideraos cos( ωt + δ) son: por lo tanto, la frecuencia angular ω será una característica del oscilador ya que depende de y, agnitudes físicas que dependen del oscilador. l período y la frecuencia del oscilador se pueden epresar tabién en función de las características del oscilador y de la fora: T π f π Por lo tanto, el período y la frecuencia de un oscilador arónico dependen de la asa del oscilador y de la constante restauradora del sistea pero es independiente de la aplitud. 5. nergía en el MVS. as fuerzas restauradoras que obedecen a la ley de Hooe son conservativas, por lo tanto, podeos definir una función de nergía potencial que es de la fora p ½ considerando que el nivel cero de p está en la posición de equilibrio ( 0 ). Un cuerpo con MVS tendrá en deterinado instante una p y una c que, si teneos en cuenta que cos( ωt + δ) y que ω / vendrá dada por: p c cos sen ( ωt + δ) ( ωt + δ) Física º Bachillerato - Moviientos Oscilatorios. l oscilador arónico 3

4 bas energías varían de fora periódica siendo: nergía Potencial Valor ínio p 0 para la posición de equilibrio 0. Valor áio p a ½ en los etreos- nergía Cinética Valor ínio c 0 en los etreos. Valor áio c a ½ en la posición de equilibrio 0. Por lo tanto, un oscilador arónico ( si sólo eiste la fuerza restauradora y no hay fuerzas disipativas ) irá transforando la p en c y viceversa, peraneciendo constante su energía ecánica cuyo valor será: ½ as variaciones de p y c con respecto a la posición serán: Dpto. Física y Quíica 6. l péndulo siple. n un péndulo siple la fuerza restauradora que hace que oscile es la coponente tangencial del peso de valor: F g sen θ Para ángulos pequeños, el arco de circunferencia descrito por el cuerpo es casi una recta, y la fuerza restauradora se puede epresar coo: F g donde es la separación horizontal con respecto a la posición de equilibrio y la longitud del péndulo. Por lo tanto, la fuerza restauradora es directaente proporcional a la separación de la posición de equilibrio y de signo contrario a ella, luego un péndulo, para pequeños ángulos, llevará un MVS. a aceleración será: a g g a y coo a - ω, tendreos que: n la gráfica siguiente se representan las variaciones de la c y p y posición en función del tiepo. ω g y T π g uego, el período de oscilación de un péndulo siple, para pequeños ángulos de separación, depende de la longitud del péndulo y del valor de la aceleración de la gravedad, pero es independiente de la asa que tenga. Física º Bachillerato - Moviientos Oscilatorios. l oscilador arónico 4

5 Dpto. Física y Quíica MOVIMINTOS OSCITORIOS. OSCIDOR RMÓNICO - CUSTIONS Y JRCICIOS CUSTIONS. n la priera de las dos gráficas se representa la variación con el tiepo del desplazaiento (elongación) que eperienta una partícula que se ueve con un oviiento arónico siple.. a ecuación de un MS cualquiera cuple la epresión sen( ωt + ϕ0 ). Deterinar el valor de la fase inicial φ0 si el oviiento coienza: a) en el centro de la oscilación, b) en el punto etreo de las elongaciones positivas, c) en el punto etreo de las elongaciones negativas. a) n este caso para t 0 0, luego: ( ϕ ) sen( ϕ ) 0 ϕ 0 rad 0 sen b) n este caso para t 0, luego: a) Cuál de las curvas nueradas, en la segunda gráfica, puede representar la variación de la aceleración con el tiepo del citado.a.s.?. b) Representa gráficaente las energías cinética, potencial y total del anterior.a.s. en función del tiepo utilizando los isos ejes para las tres curvas. Nota: as respuestas deberán ser razonadas. PU - Cantabria. π ( ϕ ) sen( ϕ ) ϕ rad sen c) n este caso para t 0 -, luego: sen ϕ 0 ( ϕ ) sen( ϕ ) 0 π rad 0 a) a ecuación de la elongación correspondiente a la gráfica es del tipo: sen ( ωt) Por lo tanto, la velocidad y la aceleración en función del tiepo vendrán dadas por: v d dt ωcos dv dt ( ωt) a ω sen( ωt) Por lo tanto, la aceleración es una función seno negativa luego su representación gráfica corresponderá a la curva núero 4. b) Ver libro de teto. 3. Teneos un sistea forado por un resorte del que cuelga una asa. Si estiraos de la asa y, a continuación, la soltaos, el sistea coienza a oscilar. plica si, al cabiar la asa que cuelga del resorte cabia el período. l período del oviiento viene dado por la epresión: T π Donde se puede observar que depende de la asa que oscila, luego si se auenta la asa Física º Bachillerato - Moviientos Oscilatorios. l oscilador arónico 5

6 el período auenta y viceversa, variando con la raíz cuadrada de la asa. v ω Dpto. Física y Quíica ( ) 4. Deterinar los puntos de la trayectoria de un oscilador con MS en el que son iguales la energía cinética y la energía potencial. l valor áio de esta velocidad corresponde a 0, luego: v a ω n el instante en que la velocidad toa un valor itad de su valor áio, se deberá cuplir que: as energías potencial y cinética vienen dadas por: p ; c v hora bien teniendo en cuenta que la velocidad se puede epresar en función de la posición de la fora: ( ) ω ω 4 0,866 v ω con ω Tendreos que la energía cinética se puede epresar coo: c v ω ( ) ( ) Si la energía potencial y cinética son iguales tendreos que: ( ) ± ± 0,707 uego los puntos 0,707 y -0,707 son aquellos en los que la energía potencia y cinética toan valores iguales. 6. Deterina la relación entre los períodos de dos péndulos con la isa asa y que oscilan en el iso sitio, si uno de ellos tiene el doble de longitud que el segundo. l período de oscilación de un péndulo viene dado por: T π a asa no influye en el período y si oscilan en el iso sitio significa que g es igual para los dos, por lo tanto: T π T g ; T π g g π g 5. Deterina el valor de la elongación de un MS en el instante en que su velocidad tiene la itad de su valor áio. presa el resultado en función de la aplitud,. l valor de la velocidad en cualquier instante viene dado en función de la posición de la fora: PROBMS. Una asa de 0,05 g realiza un.a.s. según la ecuación cos( ωt + ϕ ). Sus velocidades son y /s cuando sus elongaciones son, respectivaente, 0,04 y 0,0 etros. Calcula: a) l período y la aplitud del oviiento. Física º Bachillerato - Moviientos Oscilatorios. l oscilador arónico 6

7 b) a energía del oviiento oscilatorio y las energías cinética y potencial cuando 0,03. PU - Galicia a) a velocidad en función de la posición viene dada por la ecuación: p 0,067 J 48,78g s Dpto. Física y Quíica ( 0,03) Y la energía cinética será: c p 0,44 J 0,067 J 0,077 J v ω Por lo tanto, a partir de los datos tendreos las dos ecuaciones siguientes: ω 0,04 ; ω 0,0 Dividiendo iebro a iebro la segunda ecuación entre la priera tendreos: 0,0 0,04 0, ,0004 0,006 Y sustituyendo este valor en, por ejeplo, la priera de las ecuaciones anteriores tendreos que: ω ( 0,044 0,04 ) ω 54,55 rad s. Una partícula de asa 0 g oscila arónicaente en torno al origen de un eje OX, con una frecuencia de 5 Hz y una aplitud de 5 c. Calcula la velocidad y la energía cinética de la partícula cuando pasa por el origen. a velocidad en función de la posición viene dada por la ecuación: Donde: 0,05 3,4rad s ; v ω 0 ; ω πf π 5Hz π π T ω 54,55 rad s 0,5 s uego: v ω 3,4rad s ( 0,05 ) 0 b) a energía ecánica del oviiento viene dada por:,57 s Donde la constante vale: ω 0,05g 48,78 g s uego: 0,44 J ( 54,55rad s ) 48,78g s ( 0,044) a energía potencial cuando 0,03 será: v 0,0g (,57 s ) 0,03 J c 3. Una partícula describe un oviiento arónico siple, entre dos puntos y B que distan 0 c, con un período de s. a) scriba la ecuación de dicho oviiento arónico siple, sabiendo que para t0 la partícula se encuentra en el punto edio del segento B. b) plique cóo varían las energías cinética y potencial durante una oscilación copleta. PU - Universidades ndaluzas. Física º Bachillerato - Moviientos Oscilatorios. l oscilador arónico 7

8 a) Coo para t 0, 0, la ecuación ás siple que representa dicho oviiento es: Donde: 0, ; sen uego la ecuación sería: ( ωt) π π ω π rad s T s 0, sen b) Ver libro de teto. ( πt) S.I. a) a energía potencial será: 65 N Dpto. Física y Quíica ( 0,3 ),9 J p b) a energía potencial inicial corresponde a su valor áio ya que está situado en uno de los etreos. l soltarlo va perdiendo esta energía potencial que se va convirtiendo en cinética. Cuando pase por la posición de equilibrio toda la energía potencial se habrá transforado en cinética, alcanzando ésta su valor áio. uego, la energía cinética áia será tabién de,9 J y la velocidad áia correspondiente será: v a c a,9 J,7 s g 4. Cierto resorte tiene sujeto un cuerpo de,0 g en su etreo libre y se requiere de 8,0 N para antenerlo a 0 c del punto de equilibrio. Si el cuerpo realiza un MS al soltarlo, halla: a) la constante recuperadora del resorte. b) el período de su oscilación. a) plicando la ley de Hooe y teniendo en cuenta que es necesaria una fuerza de 8 N para producirle un alargaiento de 0,, tendreos: F Δ 8N 0, 40 N b) l período de oscilación viene dado por: g T π π 40 N,4 s 5. Un cuerpo de g colocado en el etreo de un uelle de constante recuperadora 65 N/ se estira 0,3 desde suposición de equilibrio y se suelta desde el reposo. a) cuánto vale la energía potencial inicial del cuerpo?. b) Qué velocidad áia alcanzará éste?. 6. Disponeos de un uelle que se alarga 5 c cuando se cuelga de él una asa de,0 g. Colocaos este uelle unido a una asa de 500 g sobre una esa horizontal sin rozaiento. a asa se separa 3 c de su posición de equilibrio y se deja vibrar sobre el eje horizontal. Calcula: a) a constante de recuperación del resorte. b) la energía potencial en el punto de áia deforación. c) la energía potencial y la cinética cuando c. d) la velocidad en este punto. a) plicando la ley de Hooe tendreos: F Δ g g 9,8 s Δ 0,05 b) a energía potencial áia será: 96 N 96 N ( 0,03 ) 0,088 J p a c) a energía potencial será: 96 N ( 0,0) 0,039 J p a energía ecánica total del cuerpo es igual a 0,088 J, por lo tanto: Física º Bachillerato - Moviientos Oscilatorios. l oscilador arónico 8

9 Dpto. Física y Quíica c p 0,088 J 0,039 J 0,0488 J d) a velocidad cuado c será: v c 0,0488 J 0,44 s 0,5 g π π π v cos t π π π 4 cos π π 4 cos 8 4 4,4 7. Una partícula de asa se ueve a lo largo del eje X bajo la acción de una fuerza elástica F -. Cuando t s, la partícula pasa por el punto de equilibrio con velocidad positiva y cuando t4 s, su velocidad es de +4 /s. Si el período de la oscilación es de 6 s, calcula: a) la aplitud del oviiento. b) su aceleración en t s. c) su velocidad áia d) escribe las epresiones de la elongación, la velocidad y la aceleración en función del tiepo. a) l oviiento de la partícula es arónico siple ya que está soetida a una fuerza del tipo F-. partir del período podeos calcular ω de la fora: ω π π π rad s T 6 s 8 a ecuación del oviiento de fora general sería: sen t Para calcular la fase inicial δ aplicaos la condición de que cuando t s, 0, luego: π π 0 sen + δ 0 sen + δ 8 4 π π + δ 0 δ 4 4 Por lo tanto la ecuación del oviiento será: π π sen t 8 4 Si aplicaos la segunda condición, v 4 s - cuando t 4 s, tendreos que: Por lo tanto, la ecuación del oviiento nos quedará de la fora: π π 4,4 sen t 8 4 Y su velocidad será: S.I. π π π π π v 4,4 cos t 5,65 cos t b) a aceleración la obtendreos derivando la velocidad con respecto al tiepo, luego: π π π π π a 5,65 sen t,sen t Y en el instante en que t s valdrá π π a, sen, sen ( ) 0 o cual es lógico ya que cunado t s la partícula está en la posición de equilibrio en la cual la fuerza es nula y, consiguienteente, la aceleración tabién lo será. c) la velocidad áia corresponderá a una valor del coseno igual a uno, por lo tanto, su valor será de 5,65 s -. d) stas ecuaciones serán: π π 4,4 sen t 8 4 π π v 5,65 cos t 8 4 π π a,sen t 8 4 S.I. S.I. S.I. Física º Bachillerato - Moviientos Oscilatorios. l oscilador arónico 9

10 Dpto. Física y Quíica 8. Un oscilador arónico siple se encuentra en 3,36 con una velocidad de 0,6 /s cuando t5 s. Si su pulsación es ω0, rad/s, deterinar: a) su frecuencia, b) su aplitud, c) la fase inicial, d) la aceleración en t5 s, e) la posición, la velocidad y la aceleración en t0 s, f) escribe las epresiones de la elongación, la velocidad y la aceleración en función del tiepo. f) Serían: ( 0,5 ) ( 0,t 0,5 ) ( 0,t 0,5 ) 4 sen 0,t + v 0,4 cos + a 0,04 sen + a) a frecuencia será: ω f π 0, rad s π 0,059 Hz b) y c) Supongaos que su ecuación general sea de la fora: sen( ωt + δ) sen( 0, t + δ) Su velocidad será: ( 0, + δ) v 0, cos t Si aplicaos las condiciones iniciales tendreos dos ecuaciones: 3,36 ( 0,5 + δ) 0,6 0, cos( 0, + δ) sen 5 Resolviendo el sistea de ecuaciones tendreos que: δ 0,5 rad y 4 d) a aceleración la obtendreos derivando la velocidad luego: ( 0,t + 0,5 ) ( + 0,5 ) v 0,4 cos a 0,04 sen 0,t Y para t 5 s valdrá: a 0,04 sen e) Para t 0 s, tendreos: ( 0, 5 + 0,5 ) 0,033 s 9. Conectaos un cuerpo de 0,6 g de asa a un resorte de constante recuperadora 0 N/. l sistea oscila sobre una superficie horizontal sin rozaiento. Si la aplitud del oviiento es de 5 c, calcula: a) la energía ecánica total del sistea, b) la velocidad áia del cuerpo, c) la energía cinética y potencial del cuerpo si c. a) a energía ecánica será: 0 N ( 0,05 ) 0,05 J b) a velocidad áia del cuerpo corresponde a la posición de equilibrio, donde la energía potencial es nula y la energía cinética es áia cuyo valor corresponde a la energía ecánica. uego: v a c a 0,05 J 0, s 0,6 g c) Cuando 0,0, la energía potencial valdrá: p 0 N ( 0,0 ) 0,00 J n esa posición, la energía cinética será: 0,05 J 0,00 J c p 0,005 J ( + 0,5 ) 4 sen( 0,5 ),9 4 sen 0,t v 0,4 cos a 0,04 sen 0,t 0,09 s ( 0,t + 0,5 ) 0,4 cos( 0,5 ) 0,35 s ( + 0,5 ) ( 0,04 sen 0,5 ) 0. un uelle, fijo por uno de sus etreos y situado en una superficie horizontal sin rozaiento, se le sujeta por el otro etreo un cuerpo de 0,5 g. l tirar del cuerpo, alargar el uelle 0 c y soltarlo, el sistea epieza a oscilar con un período de s. Deterinar: Física º Bachillerato - Moviientos Oscilatorios. l oscilador arónico 0

11 a) la energía cinética y la potencial áias, b) la velocidad áia del cuerpo, c) eplica cóo cabiarían las energías si g. a) partir del período de oscilación podeos calcular la constante K del oviiento. T π 4,93 N 4π 4π T 0,5 g ( s) a energía potencial áia y la cinética áias corresponden a la energía ecánica, luego: ca 0,04 J pa 4,93 N ( 0, ) Dpto. Física y Quíica Donde a podeos obtenerla coo: a cos 0º a cos0º 0,984 h a 0,984 0,06 pa gh 0,g 9,8 s 0,05 J 0,06 b) a velocidad áia será cuando pasa por la posición de equilibrio con energía cinética áia e igual a la potencial áia, por lo tanto: v a c a 0,05 J 0,54 s 0,g b) a velocidad áia será: v a c a 0,04 J 0,3 s 0,5 g c) Si la asa es de g, la constante sería cuatro veces ayor ya que depende directaente proporcional a la asa y, por lo tanto, las energías cinética y potencial áias serían tabién cuatro veces ayor.. Un péndulo siple consta de una esfera puntual de 0, g de asa suspendida de un hilo de de longitud. Si oscila con una aplitud de 0º en un lugar con g9,8 /s, deterinar: a) su energía potencial áia, b) su velocidad áia.. a longitud de un péndulo siple es de 0,48 y tarda s en efectuar una oscilación copleta de 8º. Deterina: a) g en ese punto, b) la velocidad áia, c) la fuerza áia que tiende a llevarlo a la posición de equilibrio si 5 g. a) partir del período podeos obtener g de la fora: T π g 9,79 s 4π 4π g T 0,48 ( s) b) Para calcular la velocidad áia obtendreos priero la energía cinética áia a partir de la energía potencial áia de igual fora que en el ejercicio anterior. s decir: a 0º h h a a) a energía potencial áia será la correspondient e a la altura h. sta altura podeos calcular la coo: 8º pa gh 9,79 s 0,7 J a cos8º a cos8º 0,35 h a 0,48 0,35 0,03 c a 0,03 Física º Bachillerato - Moviientos Oscilatorios. l oscilador arónico

12 c 0,7 v v a ( ) a 0,7 0,5 s c) a fuerza restauradora que tiende a llevar al péndulo a la posición de equilibrio viene dada por: F g Donde es la separación horizontal con respecto a la posición de equilibrio (ver figura) Para ángulos pequeños, tal coo el de 8º, podeos poner que: sen 8º sen 8º 0,48 sen 8º 0,076 Por lo tanto, el valor áio de la fuerza restauradora, que corresponde al valor áio de, cuando el ángulo es de 8º, será: F g 0,005 g 9,79 s 0,05 N 0,076 0,48 3. ee las características de los siguientes MS y deterina lo que se pide: a) la pulsación y el período si a-90 /s cuando 0, b) la aceleración cuando -0,0 si su frecuencia es de 5 Hz c) el período y la ecuación de la elongación si la epresión de la aceleración es a- y la aplitud vale 0,0. a) a aceleración en función de la posición viene dada por: a ω Por lo tanto, la pulsación ω será: a ω ω 90 s 0, 90 s 30 rad s ω 0, Dpto. Física y Quíica b) partir de la frecuencia se puede calcular la pulsación: ω πf π 5 Hz 3,4 rad s Y la aceleración será: a ω 9,86 s ( 3,4rad s ) ( 0,0) c) partir de la ecuación de la aceleración se deduce que ω,4 rad s -, por lo tanto el período será: π π T ω,4rad s 4,45 s a ecuación del oviiento podría ser: sen( ωt + δ) 0,0 sen(,4t + δ) 4. a aceleración de un MS vale a-6 π. Si la la áia elongación es de 0,04 y se ha coenzado a contar el tiepo cuando la aceleración tiene su áio valor absoluto en el sentido de los desplazaientos positivos, calcula los valores absolutos áios de la velocidad y de la aceleración. De la ecuación de la aceleración deducios que ω4π rad s -. a aplitud vale 0,04. Por lo tanto, la ecuación del oviiento podría ser de la fora: ( 4π + δ) 0,04 cos t Para calcular la fase inicial δ teneos en cuenta que cuando t 0 0,04, ya que el punto de áia aceleración corresponde a los etreos del oviiento. Por lo tanto: ( δ) cos δ δ 0 0,04 0,04 cos uego la ecuación del oviiento quedaría de la fora: 0,04 cos ( 4πt) a velocidad en cada instante sería: Física º Bachillerato - Moviientos Oscilatorios. l oscilador arónico

13 v d dt 0,04 4π sen ( 4πt) Cuyo valor áio absoluto correspondería a un valor del seno igual a, es decir: v a 0,6 π s a aceleración en cada instante será: a dv dt 0,04 ( 4π) cos( 4πt) Cuyo valor áio absoluto corresponde a un valor del coseno igual a uno, es decir: a a 0,04 ( 4π) 0,64 π s 5. Un resorte cuya constante recuperadora vale 0 N/ está fijo por su etreo superior. Si le colgaos un cuerpo de 300 g de su etreo libre y lo dejaos oscilar: a) cuál es la posición ás baja que alcanza, b) cuánto vale el período del oviiento?. Sol: a) -0,5, b) 0,77 s. plicando la ley de Hooe tendreos que: F g 0,3 g 9,8 s K 0 N 0,47 l periodo del oviiento viene dado por: 0,3 g T π π 0 N 0,769 s 6. Se fija un cuerpo de,8 g al etreo libre de un uelle de constante 0 N/, se alarga el uelle hasta una distancia de 30 c de su posición de equilibrio y se deja libre. Deterina la c y la velocidad en la posición de equilibrio. Dpto. Física y Quíica a ecuación de la velocidad en función de la posición viene dada por: v ω a pulsación podeos obtenerla ediante: ω 0 N,8 g 3,33 rad s Por lo tanto, coo 0,3, la velocidad en la posición de equilibrio ( 0 ) será: v ω s 3,33 rad s ( 0,3 ) 0 a energía cinética en la posición de equilibrio será: ( ) 0,9 J c v,8 g s 7. Una partícula de asa se ueve con MS. Cuando t0,75 s, la partícula pasa por y cuando t3,75 s, su velocidad se anula. Si el período de la oscilación es de 6 s, calcula: a) la aplitud del oviiento, b) su aceleración en t3,75 s, c) su velocidad áia, d) escribe las epresiones de la elongación, la velocidad y la aceleración en función del tiepo. a) a pulsación será: ω π π π rad s T 6 s 3 a ecuación de la posición sería: Y su velocidad será: π sen t + δ 3 d π π v cos t + δ dt 3 3 Física º Bachillerato - Moviientos Oscilatorios. l oscilador arónico 3

14 Si aplicaos las dos condiciones que nos dan tendreos que: π sen 0,75 + δ sen 5 3 ( 0, π + δ) π π π 0 cos 3,75 + δ cos, ( π + δ) a resolución de este sistea de ecuaciones nos da coo soluciones δ -0,75 π rad y. b) a ecuación de la velocidad sería: π π v cos t 0, 75 π 3 3 uego la aceleración en cada instante valdrá: dv π π a sen t 0, 75 π dt 9 3 ω 500 N 5 g Dpto. Física y Quíica 0 rad s a ecuación de la posición en función del coseno sería: ( + δ) 0, cos 0t hora bien, coo cuando t 0 s, 0, tendreos que: ( δ) cos( δ) δ 0 0, 0, cos Por lo tanto, la ecuación de la posición sería: ( ) 0, cos 0t b) a aceleración es nula cuando lo es la fuerza recuperadora y esto ocurre en la posición de equilibrio, es decir, para 0. Cuyo valor para t 3,75 s será: π π π a sen 0,75 0,75 π 9 3 9,9 s c) a velocidad áia será: v a π,09 s 3 d) stas ecuaciones están representadas en los apartados anteriores. 8. Colgaos una asa puntual de 5 g de un resorte elástico cuya constante elástica tiene un valor 500 N/. Una vez el conjunto está en equilibrio, desplazaos la asa 0 c y la dejaos oscilar libreente. Deterinar: a) la ecuación del MS que describe el oviiento de la asa puntual, b) las posiciones de la asa en las que su aceleración es nula, a) a aplitud será 0, y la pulsación: 9. Una partícula vibra en el instante inicial con su áia velocidad de 0 /s y con una aplitud de 0,. a) deterina las constantes del oviiento, b) escribe las epresiones generales de la elongación, velocidad y aceleración, c) calcula la aceleración áia de la partícula, d) deterina la posición, velocidad y aceleración en el instante s. a) Si vibra con la áia velocidad cuando t 0 s en porque está en la posición de equilibrio, 0, ya que en esta posición es cuando la velocidad es áia. Coo la velocidad en función de la posición viene dada por: v ω ω 00 rad s 0 s a ecuación de la posición sería: sen t ω 0, Y coo cuando t 0 s, 0, tendreos que: ( δ) sen( δ) 0 δ 0 0 0, sen Física º Bachillerato - Moviientos Oscilatorios. l oscilador arónico 4

15 Por lo tanto la ecuación de la posición quedará de la fora: 0, sen ( 00t) S.I. l período del oviiento sería: Y la frecuencia: π π T ω 00 rad s f 00 Hz T π π s 00 b) a ecuación de la elongación heos visto ya que sería: a velocidad será: v 0, sen d dt Y la aceleración: a dv dt 0 cos ( 00t) S.I. ( 00t) S.I. ( ) S.I sen 00t d) Para t s, tendreos: 0, sen v 0 cos a 4000 sen ( 00) 0,087 ( 00) 9,74 s ( 00) 3493,8 s Dpto. Física y Quíica a) Si aplicaos la ley de Hooe tendreos que: F Δ g 0 g 9,8 s Δ 0,0 a pulsación sería: ω 4900 N 0 g 4900 N 5,65 rad s Y, por lo tanto, el período y la frecuencia serían: π π T ω 5,65 rad s f,5 Hz T 0,4 s b) Si el sistea coienza a oscilar desde abajo la ecuación ás siple de su elongación es: ( ωt) 0,03 cos( 5,65 t S.I. cos ) Y a los 0,5 s su posición será: ( 0,5 s) ( 8,69 0 a velocidad será: v d dt 0,47 s 0,03 cos 5,65 0,5 ) 4 a aceleración será: dv a dt 0,s 0,47 sen 5,65 t ( ) v( 0,5 s) 7,35 cos( 5,65 t) a( 0,5 s) ; a fuerza recuperadora será: 0. un resorte cuando se le cuelga un cuerpo de 0 g de asa alarga c. continuación se le añade una asa de otros 0 g y se le da al conjunto un tirón hacia abajo, de fora que el sistea se pone a oscilar con una aplitud de 3 c. Deterina: a) el período y la frecuencia del oviiento, b) la posición, velocidad, aceleración y fuerza recuperadora a los 0,5 s de iniciado el iso, F 4,5 N F 4900 N 8, Una asa puntual de 0 g está sujeta a un uelle que vibra con una frecuencia de 3 Hz. n el instante inicial pasa por el centro de la vibración con una velocidad de 5 c/s en sentido negativo. Deterina: Física º Bachillerato - Moviientos Oscilatorios. l oscilador arónico 5

16 a) el tiepo que debe transcurrir hasta que alcance la velocidad cero, b) la ecuación del oviiento, c) la epresión de la energía cinética en función del tiepo, d) la aceleración en el instante en el que se anula la velocidad. a) a velocidad cero se produce cuando el cuerpo está en uno de los etreos. uego, si al inicio está en la posición de equilibrio tardará un cuarto de período en alcanzar el etreo. hora bien: T f 3 Por lo tanto, el tiepo pedido será: T t 4 b) a ecuación en función del seno debe ser de la fora: sen t s s partir de la frecuencia tendreos que: ω πf 6π rad s Y coo la velocidad en función de la posición viene dada por: v ω Y teniendo en cuenta que cuando 0, v 0,05 /s, tendreos que: Dpto. Física y Quíica a fase inicial δ la calculareos con las condiciones iniciales, es decir: t 0, 0 oviéndose hacia la izquierda. Por lo tanto: ( δ) sen( δ) 0 δ 0, rad 0 sen π hora bien, coo se ueve hacia la izquierda debe de ser δ π rad. Por lo tanto, la ecuación del oviiento será: 0,0065 sen ( 6πt + π) S.I. b) a energía cinética viene dada en función de la velocidad, luego obtendreos priero esta derivando la posición, es decir: d v dt 0,05 cos 0,0065 6π cos ( 6πt + π) ( 6πt + π) Y la epresión de la energía cinética en función del tiepo será: c v, ,0g cos [ 0,05 cos( 6πt + π) ] ( 6πt + π) J d) a aceleración en función de la posición viene dada por: a ω a velocidad se anula en los etreos, tanto en + coo en. Por lo tanto, el valor absoluto de la aceleración en estas posiciones será: a ω ( ) 6π rad s 0,0065 0,94 s p 0,045 0,005 X 0,0 0,03 0,05 0,05 6π 0,0065 6π. Un cuerpo de g realiza un.a.s. de aplitud 0,03. a gráfica p es la de la figura (las unidades están el el S.I.). a) Hallar la energía total del cuerpo y calcular tanto la constante recuperadora del oviiento coo el período del iso, b) hallar el valor de la energía cinética en la posición 0,0, así coo la velocidad que alcanza en esta posición. Física º Bachillerato - Moviientos Oscilatorios. l oscilador arónico 6

17 a) Coo puede observarse en la figura la energía potencial áia que adquiere el cuerpo es de 0,045 J que corresponde a los etreos de la oscilación donde la energía cinética es nula. Por lo tanto, la energía ecánica del cuerpo será tabién de 0,045 J. Coo la energía ecánica tiene la epresión: 00 N l período sería: g T π π 00 N 0,045 J ( 0,03 ) 0,68 s K F Δ 5 g 9,8 s 0,8 Dpto. Física y Quíica b) a aplitud será 0,075. c) l período viene dado por: 5 g T π π 7, N 7, N 0,85 s d) a energía potencial en la áia elongación será: 7, N ( 0,075 ) 0,765 J p b) a energía potencial en 0,0 será: 00 N ( 0,0) 0,005 J p Tal y coo se puede observar en la gráfica. uego la energía cinética en esa posición será: c p 0,045 J 0,005 J 0,04 J Y la velocidad correspondiente a esa posición será: v c 0,04 J g 0,8 s 3. De un uelle se ha colgado un bloque de 5 g, produciendo un alargaiento de 8 c. Mas tarde el bloque se estira 7,5 c ás y se suelta. Calcular: a) la constante elástica del uelle, b) la aplitud del oviiento, c) el período, d) la energía potencial elástica del uelle en el instante en que se deja el bloque en libertad. 4. Un cuerpo vibra con MS. Cuando se encuentra en la itad de la aplitud, qué porcentaje de energía es cinética y qué potencial? en qué punto las dos energías son iguales?. a energía potencial en esa posición será: p Y coo la energía total es: 8 8 p 0,5 uego el porcentaje de energía potencial será del 5 % y, por lo tanto, el de energía cinética será del 75 %. Serán iguales cuando el porcentaje de potencial y cinética sea del 50 %, luego: p 0,5 0,5 p 0,5 0,5 0,707 a) plicando la ley de Hooe tendreos que: Física º Bachillerato - Moviientos Oscilatorios. l oscilador arónico 7

18 Dpto. Física y Quíica 5. Cuando una asa de g se cuelga de un uelle vertical de asa despreciable, el período de las oscilaciones es de,43 s. Cuando una asa desconocida reeplaza a la asa de g, el período es de,85 s. Calcular: a) la asa desconocida, b) la constante elástica del uelle. a) l período de oscilación del uelle viene dado por: T π Donde es la asa del cuerpo y la constante elástica del uelle característica del iso. Si aplicaos esta epresión a las dos situaciones tendreos que:,43 π ;,85 π Dividiendo iebro a iebro las dos epresiones tendreos:,43,85,85,43 b) a constante elástica será: 4π 4π T (,43 s),67 g g 9,3 N ω 00 N,4 g a epresión de la velocidad será: v ω cos t 9, rad s Si aplicaos las condiciones iniciales, es decir, cuando t 0 s, 0,5 y v 0,45 /s tendreos que: 0,5 ( δ) ; 0,45 9, ( δ) sen cos Dividiendo iebro a iebro las dos ecuaciones tendreos que: ( δ) () δ 0,5 sen tag 0,45 9, cos 3,04 δ,5 rad () δ 0,5 9, 0,45 Y sustituyendo en una de las ecuaciones anteriores tendreos que: 0,5 0,5 sen,5 ( ) uego la ecuación de la posición en función del tiepo quedará de la fora: 0,5 sen + ( 9, t,5) S.I. Y la posición para t 3 s será: ( 3 s) 0,5 sen( 9, 3 +,5) 0, Un oscilador está forado por una asa de,4 g colgada de un resorte de asa despreciable y 00 N/. as condiciones iniciales son 0 0,5 y V 0 0,45 /s. Calcular la posición del bloque para t3 s. a ecuación de la posición podeos epresarla coo: Donde: sen t Física º Bachillerato - Moviientos Oscilatorios. l oscilador arónico 8