1. Movimiento Armónico Simple

Transcripción

1 MANEJO CONOCIMIENOS PROPIOS DE LAS CIENCIAS NAURALES 1. Moviiento Arónico Siple 1.1 Moviiento oscilatorio En la naturaleza eisten algunos cuerpos que describen oviientos repetitivos con características siilares, coo el péndulo de un reloj, las cuerdas de una guitarra o el etreo de una regla sujeta en la orilla de una esa. odos los oviientos que describen estos objetos se definen coo periódicos. La fora ás siple de oviiento periódico es el oviiento oscilatorio de un objeto que cuelga atado de un resorte. Este objeto oscila entre sus posiciones etreas, pasando por un punto que corresponde a su posición de equilibrio, coo se observa en la figura. A O A Definición Un oviiento oscilatorio se produce cuando al trasladar un sistea de su posición de equilibrio, una fuerza restauradora lo obliga a desplazarse a puntos siétricos con respecto a esta posición. Para describir un oviiento oscilatorio es necesario tener en cuenta los siguientes eleentos: la oscilación, el período, la frecuencia, la elongación y la aplitud. La oscilación: una oscilación o ciclo se produce cuando un objeto, a partir de deterinada posición, después de ocupar todas las posibles posiciones de la trayectoria, regresa a ella. Por ejeplo, en la figura anterior se produce un ciclo cuando el objeto describe una trayectoria AOA OA. El período: es el tiepo que tarda un objeto en realizar una oscilación. Su unidad en el Sistea Internacional (SI) es el segundo y se representa con la letra. La frecuencia: es el núero de ciclos que realiza un objeto por segundo. La frecuencia, representada por f, se epresa en el SI en hercios (Hz). En el oviiento oscilatorio, al igual que en el oviiento circular unifore, la frecuencia y el período se relacionan entre sí, siendo uno recíproco del otro, es decir: f 1 y 1 f 10

2 Coponente: Procesos físicos La elongación: es la posición que ocupa un objeto respecto de su posición de equilibrio. En la figura 1 se representan diferentes elongaciones: 1, y 3. La aplitud: la aplitud del oviiento, denotada con A, es la ayor distancia (áia elongación) que un objeto alcanza respecto de su posición de equilibrio. La unidad de A en el SI es el etro. En el ejeplo de la figura 1 la aplitud es A 10. A O A Figura 1. Posiciones que ocupa la asa en el tiepo y aplitud del oviiento. EJEMPLOS 1. Un bloque atado a un resorte oscila (sin fricción) entre las posiciones etreas B y B indicadas en la figura. Si en 10 segundos pasa 0 veces por el punto B, deterinar: a. El período de oscilación. b. La frecuencia de oscilación. c. La aplitud. a. Cada vez que el bloque pasa por B, copleta un ciclo, por tanto, en 10 segundos realiza 0 ciclos, es decir que un ciclo ocurre en un tiepo: 10s 1 s 0 B B 6 c El período del oviiento es: 1/ s b. La frecuencia es: f 1 Ecuación de la frecuencia Al replazar y calcular f 1 1 s Hz 1 s La frecuencia de oscilación es Hz c. El punto de equilibrio del sistea se ubica en el punto edio entre B y B. P or lo tanto, la aplitud del oviiento es A 3 c.. Una esfera se suelta en el punto A y sigue la trayectoria que se uestra en la figura. Resolver los siguientes literales: a. Considerar que hay fricción y describir la trayectoria del oviiento. b. Describir la trayectoria del oviiento suponiendo que no hay fricción. a. Si hay fricción, la energía ecánica no se conserva y la esfera no alcanza el punto C, que está a la isa altura que A con respecto a B. Cuando oscila alrededor de B, cada vez alcanza enos altura, hasta lograr el reposo. b. Si no hay fricción, la esfera alcanza el punto C, pasa por B y alcanza el punto A, oscilando indefinidaente con respecto al punto B. A B C 11

3 Moviiento Arónico Siple 1. Moviiento Arónico Siple (MAS) Al copriir una pelota antiestrés, su fora inicial se recupera a partir del instante en que se deja de ejercer fuerza sobre ella (figura ). odos los ateriales, unos ás que otros, presentan este coportaiento debido a que el oviiento de sus partículas depende de las fuerzas interoleculares. Cada partícula del objeto oscila alrededor de su punto de equilibrio, alcanzando su posición etrea, que es cuando inicia el proceso de recuperación de su estado inicial; es coo si cada partícula peraneciera atada a su vecina ediante un resorte y oscilara coo cuando se coprie. Observar la siguiente figura: Figura. Al retirar la fuerza aplicada sobre la pelota recupera su fora inicial. F 0 F F Q O P Para que un objeto, coo el representado en la figura, describa un oviiento oscilatorio, se requiere que sobre él actúe una fuerza que lo dirija del punto O hacia el punto Q, lo cual ocasiona una disinución en su rapidez e iplica que dicha fuerza esté dirigida hacia O. Si el objeto se ueve del punto Q al punto O, la rapidez se increenta, dirigiendo la fuerza hacia el punto O. Cuando el objeto se ueve del punto O hacia el punto P, la rapidez disinuye, lo cual iplica que la fuerza esté dirigida hacia el punto O, y cuando el objeto se ueve desde el punto P hacia el punto O, la rapidez auenta, lo cual requiere que la fuerza esté dirigida hacia el punto O. En todos los casos, la fuerza está dirigida hacia la posición de equilibrio (O), por lo cual se denoina fuerza de restitución. A este tipo especial de oviiento se le llaa oviiento arónico siple. Definición Un oviiento arónico siple es un oviiento oscilatorio en el cual se desprecia la fricción y la fuerza de restitución es proporcional a la elongación. Al cuerpo que describe este oviiento se le conoce coo oscilador arónico. Robert Hooke. Foruló en 1660 la Ley de Hooke, que describe cóo la fuerza que actúa sobre un cuerpo elástico es proporcional a la longitud que se estira. Coo los vectores fuerza y elongación se orientan en direcciones contrarias, podeos relacionar fuerza y elongación ediante la ley de Hooke: F k Siendo k la constante elástica del resorte, epresada en N/ según el SI. La constante elástica del resorte se refiere a la dureza del iso. A ayor dureza ayor constante y, por lo tanto, ayor fuerza se debe hacer sobre el resorte para estirarlo o copriirlo. Coo acción a esta fuerza, la agnitud de la fuerza recuperadora antiene la isa reacción. 1

4 Coponente: Procesos físicos EJEMPLO Un ascensor de carga tiene una asa de 150 kg. Cuando transporta el áio de carga, 350 kg, coprie cuatro resortes 3 c. Considerando que los resortes actúan coo uno solo, calcular: a. La constante del resorte. b. La longitud de la copresión del resorte cuando el ascensor no tiene carga. a. La fuerza (el peso) ejercida por el ascensor y la carga: F W ( asc car ) g Fuerza ejercida W (150 kg 350 kg) (9,8 /s ) Al replazar W N Al calcular La fuerza ejercida por el ascensor y la carga es N y coprien el resorte 3,0 10. Por lo tanto, de acuerdo con la ley de Hooke, la constante del resorte es: k F Al despejar k k 4.900N 3,0 10 Al replazar Por lo tanto, k ,3 N/ La constante del resorte es ,3 N/ b. La fuerza ejercida sobre el resorte para el ascensor sin carga es su peso: W (150 kg) (9,8 /s ) N, por lo tanto: 1.470N ,3 N / Al replazar Al calcular Cuando el ascensor no tiene carga, el resorte se coprie Proyección de un oviiento circular unifore Para encontrar las ecuaciones de la posición, la velocidad y la aceleración de un oviiento arónico siple, nos apoyareos en la seejanza entre la proyección del oviiento circular unifore de una pelota pegada al borde de un disco y una asa que vibra sujeta al etreo de un resorte, coo lo uestra la figura. El oviiento oscilatorio de la asa y la proyección circular unifore de la pelota son idénticos si: La aplitud de la oscilación de la asa es igual al radio del disco. La frecuencia angular del cuerpo oscilante es igual a la velocidad angular del disco. El círculo en el que la pelota se ueve, de odo que su proyección coincide con el oviiento oscilante de la asa, se denoina círculo de referencia. 13

5 Moviiento Arónico Siple La posición Para encontrar la ecuación de posición de una asa con oviiento arónico siple en función del tiepo, se eplea el círculo de referencia y un punto de referencia P sobre él. En la siguiente figura se observa que en un instante de tiepo t, una pelota se ha desplazado angularente, fora un ángulo sobre el eje. Al girar el punto P en el punto de referencia con velocidad angular, el vector OP tabién gira con la isa velocidad angular, proyectando su variación de posición con respecto al tiepo. Esta proyección de la posición de la pelota sobre el eje se puede deterinar ediante la epresión: A cos Coo la pelota gira con velocidad angular, el desplazaiento se epresa coo t. Por lo tanto, la elongación,, en el oviiento oscilatorio es: A cos ( t) EJEMPLO Un cuerpo describe un oviiento circular unifore con período de 0,1 s y radio 5 c. Deterinar: a. La velocidad angular del oviiento circular. b. La ecuación de posición del objeto a los 0,5 segundos después de que el objeto ha pasado por el punto P. a. La velocidad angular del oviiento es: 0 rad/ s 0,1s La velocidad angular es 0 rad/s b. La posición del objeto después de 0,5 segundos es: A cos ( t) 5 c cos (0 rad/s 0,5 s) 5 c Al replazar y calcular Al replazar Al calcular El cuerpo se encuentra a 5 c de la posición de equilibrio. 14

6 Coponente: Procesos físicos La velocidad La ecuación de velocidad de una asa con oviiento arónico siple en función del tiepo la hallareos ediante el círculo de referencia y un punto de referencia P sobre él. La velocidad lineal (v ), que describe la pelota, es tangente a la trayectoria circular del oviiento. Por lo tanto, la velocidad de la proyección del objeto sobre el eje (v ) es la coponente paralela a este, tal coo se observa en la figura. En la figura anterior se observa que: En t 0 (posición A) y en t (posición D), la velocidad es cero, pues no hay coponente de la velocidad en el eje. La agnitud de la velocidad es áia en el punto de equilibrio e igual a la velocidad lineal del oviiento circular unifore. Cuando la pelota barre un ángulo de 0 a radianes, la dirección de la velocidad es negativa. Cuando la pelota barre un ángulo de a radianes, la dirección de la velocidad es positiva. La proyección de la velocidad de la pelota sobre el eje se epresa coo: v v sen ( t) Puesto que la velocidad tangencial y la velocidad angular se relacionan ediante la ecuación v A, la velocidad del objeto proyectada sobre el eje se epresa coo: v A sen ( t) 1.3. La aceleración La ecuación de la aceleración de una asa con oviiento arónico siple en función del tiepo se halla ediante el círculo de referencia y un punto P sobre él. Cuando la pelota describe un oviiento circular unifore, la aceleración que eperienta es centrípeta (a c ). Por lo cual, la aceleración de la proyección de este oviiento (a) sobre el eje es la coponente paralela a este, tal coo se uestra en la figura de la página siguiente. 15

7 Moviiento Arónico Siple La aceleración de la proyección del oviiento circular unifore se epresa coo: a a c cos ( t) En un oviiento circular unifore la aceleración es centrípeta, es decir, a c A, luego, la epresión para la aceleración sobre el eje es: a A cos ( t) Al coparar esta ecuación con la ecuación de la posición, A cos, tabién se puede epresar la aceleración coo: a De acuerdo con la segunda ley de Newton, F a, se puede epresar la fuerza de este oviiento oscilatorio coo: F a F ( ) F Segunda Ley de Newton Al replazar a Coo la asa y la velocidad angular son constantes, entonces la fuerza de la proyección del oviiento circular unifore varía en fora proporcional a la elongación. En consecuencia, el oviiento de la proyección de un oviiento circular unifore es arónico siple. EJEMPLO Para el día de la ciencia, los estudiantes del grado once construyeron un pistón que realiza un oviiento arónico siple. La aplitud del oviiento es de 0,8 c y su frecuencia angular de 188,5 rad/s. Si se considera el oviiento a partir de su elongación áia positiva después de tres segundos, calcular: a. La velocidad del pistón. b. La aceleración del pistón. a. La agnitud de la velocidad al cabo de 3 s es: v A sen ( t) v 188,5 Hz 0,8 c sen (188,5 Hz 3 s) v 65 c/s Al cabo de 3 segundos, la velocidad del pistón es de 65 c/s. El signo negativo significa que la dirección es contraria a la dirección de la elongación. b. La agnitud de la aceleración al cabo de 3 s es: a A cos ( t) a (188,5 Hz) 0,8 c cos (188,5 Hz 3 s) a 5.656,7 c/s A los 3 segundos, el pistón alcanza una aceleración de 56,56 /s. El signo negativo es por la dirección contraria a la dirección positiva de la elongación. 16

8 Coponente: Procesos físicos 1.4 Ecuaciones generales del oviiento arónico siple Para hallar las ecuaciones del oviiento arónico siple se considera coo posición inicial del cuerpo el punto P sobre la parte positiva del eje en su áia elongación (figura 3). Sin ebargo, no necesariaente la posición inicial debe ser en dicho punto; por ejeplo, si la posición inicial es el punto P 0, ubicado sobre la recta OP 0 que fora un ángulo 0 con la recta OP, la ecuación para la posición del oviiento arónico siple es: Q P o A t o P O o 0 0 Figura 3. El punto P indica la posición inicial del cuerpo en el oviiento arónico siple. A cos ( t 0 ) El ángulo t 0 se conoce coo fase de oscilación y el ángulo 0 coo constante de fase. Si 0 es la posición inicial del oviiento arónico siple, 0 y 0 se relacionan ediante la epresión: 0 A cos 0 La ecuación de la velocidad para el oviiento arónico siple, cuando el oviiento coienza en un punto diferente a la elongación áia positiva, es: v A sen ( t 0 ) Así iso la aceleración se epresa coo: a A cos ( t 0 ) En la siguiente tabla se resuen las ecuaciones del oviiento arónico siple, toando coo posición inicial la elongación áia positiva del cuerpo u otro punto diferente. Si en t 0, 0 A Si en t 0, 0 A cos 0 Posición A cos ( t) A cos ( t 0 ) Velocidad v A sen ( t) v A sen ( t 0 ) Aceleración a A cos ( t) a A cos ( t 0 ) En las ecuaciones de oviiento arónico siple se cuple que: Puesto que el áio valor que toa la función seno es igual a 1, a partir de las ecuaciones podeos ver que el valor de la velocidad áia del objeto es: v á A abién el valor de la aceleración áia: a á A 17

9 Moviiento Arónico Siple EJEMPLOS 1. Un objeto atado al etreo de un resorte oscila con una aplitud de 5 c y período igual a 1 s. Si el oviiento se observa desde que el resorte está en su áia elongación positiva, calcular: a. La áia velocidad del oviiento. b. La áia aceleración alcanzada por el objeto. a. Coo la ecuación de la velocidad del oviiento arónico siple es: v A sen ( t) La velocidad es áia, v á, si sen ( t) 1, por lo tanto: v áia A Coo rad/s, teneos que: v á ( rad/s)(5 c) 31,4 c/s La agnitud de la velocidad áia es 31,4 c/s. b. Coo la ecuación de la aceleración del oviiento arónico siple es: a A cos ( t) La aceleración es áia, a á, si cos ( t) 1 y ínia cuando es cero, por lo tanto: a áia A a áia ( rad/s) 5 c a áia 197,4 c/s Al replazar Al calcular El cuerpo alcanza una aceleración áia de 1,97 /s y ínia de 0 c/s.. Un cuerpo describe un oviiento circular unifore (MCU) con una velocidad angular de 0 rad/s y radio 5 c. Si el objeto se encuentra en un punto P 0 a /3 rad de la posición de equilibrio, deterinar: a. La posición del objeto en el punto P 0. b. La posición del objeto 0,3 segundos después de haber pasado por el punto P 0. c. La velocidad del objeto en ese iso instante. a. Para la posición inicial del objeto teneos: 0 A cos c cos (/3) 0,5 c La posición inicial del cuerpo es,5 c. Al replazar Al calcular b. Coo la posición inicial del objeto que describe el MCU no está en su áia elongación positiva, la posición se epresa ediante la ecuación: A cos ( t 0 ) 5 c cos (0 rad/s 0,3 s /3 rad),5 c Al calcular A los 0,3 segundos el cuerpo se encuentra a,5 c. c. La velocidad del objeto 0,3 segundos después de haber pasado por el punto P 0 se epresa ediante: v A sen ( t 0 ) Al replazar teneos que: v [0 /s 5 c][sen (0 rad/s 0,3 s /3 rad)] Luego: v 7,1 c/s A los 0,3 s, alcanza una velocidad igual a 7,1 c/s. 18

10 Coponente: Procesos físicos 1.5 Período de un oviiento arónico siple Hasta el oento se han encionado oviientos oscilatorios en los cuales se conoce previaente el período, sin ebargo, es posible encontrar una epresión para este, relacionando la fuerza recuperadora y la fuerza en el oviiento arónico siple. Así: F k, y, F Al igualar las dos ecuaciones se tiene que: k k k Si se despeja la frecuencia angular, obteneos: Al igualar las ecuaciones Al siplificar Al ultiplicar por 1 k Coo, al igualar teneos: k Al despejar obteneos la ecuación del período para el oviiento arónico siple: k Por lo tanto, el período para un oviiento arónico siple depende de la asa del objeto oscilante y la constante elástica del resorte. EJEMPLO La figura uestra un objeto cuya asa es 00 g atado al etreo de un resorte cuya constante elástica es 100 N/. El objeto se aleja de la posición de equilibrio una distancia igual a 0 c y se suelta para que oscile. Si se considera despreciable la fricción, deterinar: a. La aplitud, el período y la frecuencia del oviiento. b. La ecuación de la posición del oviiento. c. La gráfica de la elongación en función del tiepo. a. Coo el objeto se aleja 0 c de la posición de equilibrio, la aplitud del oviiento es 0 c. El período de un MAS está dado por: 0 c K El período de oscilación es 0,8 s. 0,8 s La frecuencia del oviiento está dada por: f 1 0,kg 100 N Al replazar Al calcular f La frecuencia de oscilación es 3,57 s ,57s Al replazar 0,8s 19

11 Moviiento Arónico Siple EJEMPLO b. La ecuación para la posición del objeto es: A cos ( t) Coo: 0,8s,44 rad/s Al replazar teneos que la ecuación de posición es: 0 cos,44 t c. La representación gráfica de la elongación en función del tiepo es: 0 0 (c) 0,14 0,8 t (s) Cáara de cobustión Biela Cigüeñal Válvula de adisión Bujía Válvula de escape Cilindro Figura 4. El oviiento oscilatorio de la biela genera un oviiento circular en el cigüeñal. Pistón 1.6 El otor de gasolina A partir de un oviiento oscilatorio se puede producir un oviiento circular. Un ejeplo de esta relación es el funcionaiento de un otor de gasolina de cuatro tiepos (figura 4): adisión eplosión copresión escape En el prier tiepo, el de adisión, la ezcla de gasolina y aire llega a la cáara de cobustión a través de la válvula de adisión, ientras el pistón baja a lo largo del cilindro. En el segundo tiepo, el de copresión, la válvula de adisión se cierra y el pistón sube, copriiendo la ezcla. En el tercer tiepo, el de eplosión, la bujía produce una chispa y se realiza trabajo sobre el pistón, ya que este baja a causa de la epansión de los gases resultantes. En el cuarto tiepo, el de escape, se abre la válvula de escape, peritiendo la salida de los gases ientras el pistón sube por el cilindro. A continuación se cierra la válvula de escape y se abre la de adisión, iniciando de esta anera otro ciclo. El inicio de este funcionaiento, en un autoóvil, se produce a través del arranque, ediante la llave. Es por esto que cuando el arranque de un autoóvil, por una u otra razón no funciona, hay que ponerlo en archa epujándolo, con el fin de que el oviiento circular de las ruedas inicie este proceso. En un otor diesel no eiste bujía, por lo cual no hay chispa en el tercer tiepo (eplosión), ya que el cobustible es introducido por edio de una boba de inyección. Un otor diesel aprovecha un ayor porcentaje del calor producido y resiste grandes copresiones, pero es ás costoso y ás pesado. Se utiliza en vehículos pesados, coo caiones, tractoulas, buses articulados, etc. Es iportante resaltar que los gases producidos por los otores ejercen un gran ipacto en el edio abiente, siendo ás nocivo el otor diesel que el de gasolina. 0

12 Coponente: Procesos físicos. La energía en los sisteas oscilantes.1 La energía en el oviiento arónico siple Un oviiento arónico siple se produce en ausencia de fricción, pues la fuerza neta que actúa sobre el objeto fuerza de restitución es conservativa y la energía ecánica total se conserva. Al estirar o copriir un resorte se alacena energía potencial por efecto del trabajo realizado sobre él. En la figura 5 se observa que en los puntos etreos A y A, la energía potencial es áia, debido a que la deforación del resorte es áia, y nula cuando está en su posición de equilibrio. Por otra parte, ientras el objeto oscila, la energía cinética es cero en los puntos etreos de la trayectoria, y áia al pasar por la posición de equilibrio. Esto se debe a que cuando 0 la agnitud de la velocidad es áia. Al escribir el análisis anterior teneos que en el resorte la energía potencial es elástica y se epresa coo: 1 Ep k E 0 E c áia E c 0 E p áia E p 0 E p áia A 0 A Figura 5. En el oviiento arónico siple la energía ecánica se conserva, al transforarse la energía potencial en cinética y viceversa. siendo la longitud de la deforación. La energía cinética está dada por la epresión: E c 1 v Coo la energía ecánica se conserva, la energía de la partícula es: E 1 v 1 k En los puntos etreos, A o A, la velocidad es cero, por lo tanto, la energía en dichos puntos es potencial, y se epresa coo: E E p E c E 1 k A 0 E 1 k A En el punto de equilibrio, 0, la fuerza de restitución ejercida por el resorte, y por consiguiente la energía potencial elástica, es igual a cero. Es decir, en la posición de equilibrio, la energía del sistea es cinética. E E p E c E E 0 1 v 1 v á á 1

13 La energía en los sisteas oscilantes Una epresión para la aceleración del objeto en cualquier posición se define a partir de la relación entre la fuerza que se ejerce sobre un cuerpo con oviiento arónico siple y la epresión de la fuerza deterinada por la segunda ley de Newton: F k y F a Al igualar las dos ecuaciones se tiene que: k a a k / Al igualar las epresiones Al despejar a Entonces, la epresión para la aceleración de un cuerpo con oviiento arónico siple en cualquier posición es: a k / Según la segunda ley de Newton, la dirección de la fuerza y la dirección de la aceleración son la isa. En concordancia con la ley de Hooke, concluios que la fuerza de restitución del resorte es cero cuando el cuerpo se encuentra en el punto de equilibrio y áia en los puntos etreos. EJEMPLO La figura uestra la gráfica de la energía potencial en función de la aplitud de un cuerpo de 1 kg que realiza un oviiento arónico siple. Si la aplitud del cuerpo es 0,03, calcular: a. La energía ecánica del cuerpo en este oviiento arónico siple. b. La constante de restitución del oviiento. c. El período de oscilación. d. La energía cinética en la posición 0,01 y la velocidad que alcanza el cuerpo en este punto. La energía ecánica es igual a 4,5 10 J. b. Para calcular la constante de restitución del oviiento se tiene que: k Ep 4,5 10 A (0,03 ) La constante de restitución del oviiento es 100 N/. c. El período de un MAS está dado por: 1kg 0,63s k 100 N / El período de oscilación es 0,63 s. d. En la gráfica veos que para 0,01 la E p 0,5 10 J, entonces la E c es: J E E p E c E c E E p Al despejar E c E c 4,5 10 J 0,5 10 J 4,0 10 J. La energía cinética es igual a 4,0 10 J La velocidad para esta posición se epresa a partir de la ecuación de la energía cinética, así: a. Para 0,03, que es el valor de la aplitud, la gráfica uestra que el valor de la energía potencial es E p 4,5 10 J, entonces: E 4,5 10 J v E c kg J 0,8 /s La velocidad que alcanza el cuerpo en este punto es 0,8 /s.

14 Coponente: Procesos físicos. El péndulo siple..1 El período Un péndulo siple es un odelo que consiste en una asa puntual suspendida de un hilo de longitud L cuya asa se considera despreciable. La asa oscila de un lado para otro alrededor de su posición de equilibrio, describiendo una trayectoria a lo largo del arco de un círculo con igual aplitud. En la figura 6 se observa que cuando el péndulo está en equilibrio, la tensión () del hilo se anula con el peso de la asa (w). Cuando el péndulo no está en su posición de equilibrio, el hilo fora un ángulo con la vertical y el peso se descopone en dos fuerzas: Coponente del peso, tangencial a la trayectoria w g sen Coponente del peso, perpendicular o noral a la trayectoria w N g cos La tensión del hilo y la coponente noral del peso se anulan, por lo tanto, la fuerza de restitución (F), encargada del oviiento oscilatorio, es la coponente tangencial del peso, luego: F w g sen La fuerza de restitución es proporcional al sen, así que el oviiento no es arónico siple. Sin ebargo, para ángulos enores de 10, epresados en radianes, el sen tiene la propiedad de ser prácticaente igual a la edida de dicho ángulo ; así, para ángulos pequeños teneos que: coo sen, se obtiene que: F g sen F g Coo la longitud del arco, el radio l y el ángulo se relacionan ediante la epresión l, entonces: F g l Puesto que para un oviiento arónico siple F k, se igualan las dos fuerzas así: g k l g k l Al despejar k En cualquier oviiento arónico siple, el período está dado por, entonces, al replazar k se obtiene: k g Al replazar k l l Al siplificar g Figura 6. Análisis de las fuerzas que actúan sobre la asa del péndulo cuando está en equilibrio y cuando no lo está. EJERCICIO Deterina la frecuencia de un péndulo siple si se sabe que su período es de 0,5 s. 3

15 La energía en los sisteas oscilantes A 0 V a Figura 7. En la posición de equilibrio la energía ecánica del cuerpo es toda cinética, ientras que en los etreos es toda potencial. A h 0 El período de oscilación de un péndulo siple, con una aplitud enor de 10 : Es directaente proporcional a la raíz cuadrada de la longitud del hilo que sostiene el cuerpo. Es inversaente proporcional a la raíz cuadrada de la aceleración de la gravedad. No depende de la asa del cuerpo. No depende de la aplitud angular... La energía En el oviiento arónico siple de un péndulo, en ausencia de fricción, la energía ecánica se conserva. En los etreos A y A de la trayectoria del péndulo ostrado en la figura 7, la energía cinética de la esfera es igual a cero, debido a que la velocidad del objeto es cero y la energía potencial gravitacional, edida desde la posición ás baja de la trayectoria, es áia, por lo tanto la energía ecánica es toda potencial. En la posición de equilibrio O, la energía cinética es áia y la energía potencial gravitacional es igual a cero debido a que la altura con respecto al nivel de referencia es cero, por tal razón, toda la energía potencial se transforó en energía cinética y la velocidad del cuerpo es áia. EJEMPLOS 1. Para establecer el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie lunar, un astronauta realiza una serie de ediciones del período de oscilación de un péndulo de longitud 1. Si el valor proedio de los datos obtenidos es 4,9 s, deterinar: a. La aceleración de la gravedad lunar. b. La relación eistente entre las aceleraciones gravitacionales lunar y terrestre. a. Para hallar la aceleración de la gravedad lunar se tiene que: g l g 4 1 ( ) g 4 1 1,63 /s (4,9 s) La aceleración lunar es 1,63 /s. Al despejar g Al replazar y calcular b. La relación entre g lunar y g terrestre se realiza por edio de la siguiente epresión: g g lunar Al relacionar terrestre 1,63 /s 0,16 Al replazar y calcular 9,8 /s La g lunar es aproiadaente 1/6 de la g terrestre.. Calcular la velocidad áia (v á ) para el péndulo de la figura 7 si la altura del objeto en el etreo A de la trayectoria es h 0. En ausencia de fricción, la energía ecánica se conserva. Por lo tanto, en el etreo de la trayectoria la energía ecánica es: E g h 0 y en la posición O es: E 1 v á Coo E c á E p á, se tiene que: v g h á 0 4

16 Coponente: Procesos físicos.3 Los sisteas resonantes.3.1 Sisteas en fase Si se hacen oscilar dos péndulos de igual longitud, coo los ostrados en la figura 8, los períodos de oscilación de cada uno serán iguales. Por lo cual, si el péndulo 1 se suelta desde la posición A al iso tiepo que el péndulo desde la posición A, los dos pasarán al tiepo por la posición de equilibrio; sin ebargo, se puede observar que en cualquier otra elongación se encuentran en posiciones siétricas. Si detuviéraos uno de los dos péndulos durante un tiepo /, los dos ocuparían las isas posiciones. En el prier caso se dice que hay una diferencia de fase; para el ejeplo es edia oscilación. En el segundo caso se dice que los péndulos están en fase..3. Oscilaciones aortiguadas Debido a las fuerzas de rozaiento, en cualquier sistea oscilatorio real siepre se presentan pérdidas de energía. Por ejeplo, en un péndulo o en una asa atada al etreo de un resorte oscilante, su aplitud decrece constanteente a edida que transcurre el tiepo, hasta adquirir el reposo en su posición de equilibrio. En estos casos el oviiento se denoina arónico aortiguado. El aortiguaiento corresponde, en general, a la resistencia del aire y a la fricción interna del sistea de oscilación. La energía se disipa, convirtiéndose en energía térica, reflejada en una enor aplitud de oscilación. La aortiguación de un sistea se puede presentar de tres foras diferentes: sobreaortiguación, subaortiguación y aortiguación crítica. Un sistea es sobreaortiguado cuando el aortiguaiento necesita un largo tiepo para alcanzar el equilibrio. Un sistea es subaortiguado cuando pasa por varias oscilaciones antes de llegar al reposo. Un sistea presenta aortiguaiento crítico cuando alcanza el equilibrio con ayor rapidez. En la siguiente figura se puede observar la relación eistente entre un oviiento arónico siple (en ausencia de fricción (a)), y un oviiento arónico aortiguado (con presencia de fricción (b)). 1 A Figura 8. El período de oscilación de los péndulos es igual porque su longitud es la isa. A a b 5