Capítulo VII CENTRO DE GRAVEDAD, CENTRO DE MASA Y CENTROIDE

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1 Capítulo II CENTRO DE GREDD, CENTRO DE MS Y CENTROIDE 7. INTRODUCCIÓN Todo cuerpo que se halla en las inediaciones de la tierra interactúa con ella coo resultado de esta interacción actúa sore el cuerpo una fuera resultante que tiene dirección radial que está dirigida hacia el centro de la tierra. Esta fuera es de naturalea gravitatoria porque es originada por el capo gravitatorio que rodea a la tierra recie el nore de FUERZ DE GREDD. a agnitud de esta fuera se deterina aplicando la le de Gravitación Universal de Newton, que dice: Dos cuerpos cualesquiera en el universo se atraen con una fuera cua agnitud es directaente proporcional al producto de sus asas e inversaente proporcional al cuadrado de la distancia que separa los centros de asa de los cuerpos. Estos cuerpos cualesquiera podrían ser el planeta tierra un ojeto uicado sore él. a fuera de la gravedad al actuar sore un cuerpo o partícula que se halla en el interior de un capo gravitatorio produce una aceleración denoinada aceleración de la gravedad. Esta aceleración tiene la isa dirección de la fuera de la gravedad su valor depende de la posición del cuerpo, es decir de la distancia que haa entre el cuerpo el centro de la tierra. Para un cuerpo uicado en las cercanías de la superficie terrestre, la aceleración de la gravedad tiene un valor proedio de 9,8 /s o, pie/s. a aceleración de la gravedad la fuera de la gravedad son edidas vectoriales de los efectos producidos por la acción del capo gravitatorio o capo gravitacional éste es el resultado de una propiedad de la ateria denoinada GREDD. 7. CENTRO DE GREDD (G) Es aquel punto de un cuerpo o partícula donde actúa la fuera resultante de la gravedad. Esta fuera es ejercida por el capo gravitatorio donde se halla inerso dicho cuerpo o partícula su agnitud o intensidad dependerá de las asas del cuerpo del planeta (la tierra, por ejeplo), así coo de la distancia que haa entre el centro del planeta el cuerpo. o partícula. Se considera que en el centro de gravedad se halla concentrado el peso total de un cuerpo

2 dw d G W as coordenadas del centro de gravedad G:,, se hallan ediante un proceso de integración, a partir de un diferencial de peso dw. Se cuple: dw dw Donde: dw dw dw dw dw d = peso específico Reeplaando dw oteneos: d d d d d d 7. CENTRO DE MS (C.M.) Es aquel punto donde actúa la fuera neta, a fin de deterinar el oviiento de traslación del cuerpo coo un todo. * Cuando un cuerpo está en oviiento, ha un punto que se ueve en la isa traectoria que seguiría una partícula si se sujetara a la isa fuera neta, a este punto se llaa centro de asa. as coordenadas del centro de asa:,,, se deterinan reeplaando ( = densidad) en las ecuaciones del centro de gravedad, coo g se cancela, queda: g d d d d d d donde: d d. Si se reeplaa está equivalencia en las ecuaciones anteriores, queda: d d d d d d Nota.- Para fines prácticos se considera que el centro de asa el centro de gravedad están en el iso punto. Sin eargo, si el cuerpo es lo suficienteente grande, la gravedad tiene valores distintos en diferentes partes del cuerpo, en este caso el centro de asa el centro de gravedad son diferentes. 4

3 7.4 CENTROIDE (C).- Es el centro geoétrico de un cuerpo u ojeto. Si el aterial que constitue el cuerpo u ojeto es unifore hoogéneo, las ecuaciones para calcular el centroide dependen sólo de la geoetría del cuerpo. Se consideran tres casos específicos. er Caso: Centroide de voluen d C Para calcular el centroide de un voluen, priero se elige un diferencial de voluen d, el cual puede ser un disco circular de espesor pequeño, un cascarón cilíndrico u otro eleento diferencial, ediante un proceso de integración se halla las coordenadas del centroide de dicho voluen. Si C ( ) es el centroide del voluen, donde son las coordenadas de C, estas coordenadas se deterinan ediante las siguientes ecuaciones: d d O taién d d d O taién d d d O taién d Donde:,,, son las coordenadas del centro de gravedad del eleento diferencial utiliado. 5

4 do Caso: Centroide de área C Para calcular el centroide de un área, priero se elige un diferencial de área, que generalente es un rectángulo, ediante un proceso de integración se halla las coordenadas del centroide de dicha área. Si C ( ) es el centroide del área, las coordenadas se deterinan en fora siilar que en el caso del voluen. Es decir: O taién O taién O taién er Caso: Centroide de línea Para calcular el centroide de una línea, priero se elige un diferencial de longitud d se procede igual que en los casos anteriores. d as coordenadas para el centroide de una línea se deterinan utiliando las ecuaciones siguientes: C d d d d O taién O taién d d d d O taién d 6

5 Nota: El centroide de un ojeto puede uicarse dentro o fuera del ojeto. siiso, si la figura del ojeto es siétrica, respecto a uno o ás ejes, su centroide se halla en uno de los ejes o en la intersección de los ejes (ver las figuras siguientes). C 7.4. Centroide en cuerpos copuestos Un cuerpo copuesto consiste en una serie de cuerpos de fora sencilla que están conectados. Estos cuerpos sencillos pueden ser rectangulares, triangulares, seicirculares, etc. os cuerpos copuestos pueden descoponerse en sus partes analiar cada parte por separado. Método para hallar el centroide de un ojeto geoétrico copuesto. Se divide el ojeto o cuerpo en un núero finito de partes coponentes que tengan foras ás sencillas. Si una parte coponente tiene un agujero, o una región geoétrica donde no eista aterial, ésta se toa coo una coponente adicional pero con signo negativo.. Se deterina las coordenadas,, del centroide de cada parte.. Se calcula las coordenadas del centroide del ojeto o cuerpo, utiliando las siguientes ecuaciones: En líneas: En áreas: 7

6 En volúenes: 7.4. TEOREMS DE PPPUS-GUDINUS TEOREM I: El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generatri ultiplicada por la distancia recorrida por el centroide de dicha curva al oento de generar la superficie. * Recordar que una superficie de revolución se genera ediante la rotación de una curva plana con respecto a un eje fijo. Por ejeplo (ver figura siguiente), se puede otener la superficie de una esfera rotando un arco seicircular BC con respecto al diáetro C se puede producir la superficie de un cono rotando una línea recta B con respecto a un eje C. B B Esfera C Cono C TEOREM II: El voluen de un cuerpo de revolución es igual al área generatri ultiplicada por la distancia recorrida por el centroide del área al oento de generar el cuerpo. * Recordar que un cuerpo de revolución se genera ediante la rotación de un área plana alrededor de un eje fijo. Coo se uestra en la siguiente figura, se puede generar una esfera o un cono rotando la fora apropiada con respecto al eje que se indica. B B Esfera C Cono C 8

7 7.5 TB 7. Situación del centroide en algunas líneas, superficies volúenes. 9

8 TB 7. Situación del centroide en algunas líneas, superficies volúenes (Continuación). Fuente: RIEY W. STURGES. Estática. Editorial Reverté. 5

9 7.6 PROBEMS RESUETOS DE CENTRO DE GREDD, CENTRO DE MS Y CENTROIDE. PROBEM Nº Deterine el centroide del área liitada por la paráola 4a las rectas. Resolución Para calcular el centroide del área encionada, priero hago las gráficas correspondientes a la paráola 4a a las rectas. d 4a 4 a Cálculo de, (coordenadas e ) del centroide del área ostrada en la figura En este tipo de proleas, priero se elige un eleento diferencial luego se aplica las ecuaciones siguientes: Donde: son las coordenadas del centroide del eleento diferencial utiliado. PRIMER MÉTODO DE RESOUCIÓN: UTIIZNDO UN FRNJ HORIZONT COMO EEMENTO DIFERENCI De la figura anterior oservaos que: 4a d a d

10 Reeplaando en las ecuaciones de e, teneos: / 4a / 4a a a d d 4a / 4a 4a ( a d) / 4a a d 4 SEGUNDO MÉTODO DE RESOUCIÓN: EEMENTO DIFERENCI UTIIZNDO UN FRNJ ERTIC COMO d 4 a 4 a De la figura anterior se oserva que: 4 a ( ) d ( 4a ) d Se sae que las coordenadas e del centroide de área se calculan con las ecuaciones siguientes:

11 uego, al reeplaar,, teneos: / 4a ( 4a ) d / 4a ( 4a ) d 4a / 4a 4a ( 4a ) d / 4a 4 ( 4a ) d TERCER MÉTODO DE RESOUCIÓN: UTIIZNDO UN EEMENTO DIFERENCI RECTNGUR d d 4 a / 4a 4 a De la figura anterior oservaos que: d d Saeos que las coordenadas siguientes: e del centroide de área se calculan con las ecuaciones

12 Reeplaando,, teneos: / 4a / 4a d d d d 4a / 4a / 4a d d d d 4 PROBEM Nº a piea de áquina en fora de que se uestra en la figura está copuesta por dos arras hoogéneas. a arra es de una aleación de tungsteno con densidad de 4 kg/. a arra es de acero, con densidad 7 8 kg/. Deterine las coordenadas e del centro de asa de esta piea

13 Resolución as coordenadas e del centro de asa para el cuerpo copuesto ostrado en la figura, están dadas por las ecuaciones siguientes: Donde: son las coordenadas de los cuerpos coponentes () (). son las asas de los cuerpos coponentes () (). Cálculo de (coordenada del centro de asa del cuerpo copuesto en fora de ): Para calcular, priero necesito conocer los valores de las coordenadas, así coo de las asas. as coordenadas, de acuerdo al sistea de coordenadas ostrado en la figura, tienen los siguientes valores: 4 as asas se deterinan utiliando la ecuación:. Dado que la densidad del cuerpo ( ) es dato del prolea, el voluen se halla ultiplicando las tres diensiones del cuerpo, entonces teneos: 9 4kg/ (484 ), 75kg 9 78kg/ (484 ) 5, 994kg l reeplaar los valores de,,, teneos que: 4,75 5,994 97, 545,75 5,994 Cálculo de (coordenada del centro de asa del cuerpo copuesto en fora de ): Para calcular, priero necesito conocer los valores de, así coo de. as coordenadas, de acuerdo al sistea de coordenadas ostrado en la figura, tienen los siguientes valores: 4 as asas a se hallaron anteriorente son: l reeplaar los valores de,,, teneos que:, 75kg 5, 994kg,75 45,994 9, 7,75 5,994 5