CAPÍTULO 11 CIRCULO DE MOHR

Transcripción

1 Círculo de Mohr Capítulo CAPÍTULO CIRCULO DE MOHR. ESFUERZOS EN EL SUELO ESFUERZOS NORMALES Y TANGENCIALES Notación: Siga Esfuerzo noral o directo a la superficie. Tau Esfuerzo de cizalladura o cortante a la superficie. > 0 Copresión; < 0 Tracción. z Cortante en la dirección X, sobre el plano Z (el plano Z es el plano X Y. z Esfuerzo noral en la dirección Z. Sobre las caras del cubo eisten 9 eleentos (fig.., las que se pueden escribir así: Figura. Esfuerzos en una asa de suelo z z z z zz Tensor general de esfuerzos en R (. Toando oentos (esfuerzo, por área, por distancia para hacer rotar el cubo en torno a un eje central paralelo al eje Z e igualando a 0 (cero, teneos que son los dos esfuerzos que pueden hacerlo. [ * a * a ] [ * a * a ] 0 entonces: (. Reduciendo el problea a dos diensiones únicaente, (. puede escribirse con sólo coponentes no 4, según (.. Tensor de esfuerzos en R (. Figura. Esfuerzos en un plano En el plano Z (o X,Y, se dibuja las 4 coponentes del esfuerzo. En este caso, copresivos. se ha hecho. Entonces, de las 4 coponentes del esfuerzo, tres son independientes: Las de la ecuación (.. 9

2 Círculo de Mohr Capítulo La ecuación (. la ecuación (. se pueden epresar, para los esfuerzos principales, en R R, así: ( Los tensores epresados en (.4 suponen una rotación del sistea, hasta que los cortantes se hagan nulos ( i j 0, según lo visto en la Sección ESFUERZOS EN UN PLANO. El problea es que, conocido el tensor en R, calcular θ θ, siendo θ el ángulo del plano con el eje Y (o del esfuerzo noral al plano, con el eje X. NOTA: La atriz de cosenos directores en R es la del coseno del ángulo de ( θ, θ con (X, Y: cos' Tθ cos' cos' cos' cos90 cosθ cos90 ( θ ( + θ cosθ Figura. Esfuerzos en un plano. cosθ senθ T (.5 θ senθ cosθ Para (.9 Considerando el equilibrio estático, la ΣF 0 AB P X OB X + OA XY ; AB P Y OA X + OB XY (.6 Pero OA AB senθ OB AB cosθ (.7 Llevo (.7 a (.6 cancelo AB P X T X cosθ + XY senθ P Y Y cosθ + XY senθ (.8 Pero a n P X cosθ + P Y senθ b n P Y cosθ - P X senθ (.9 (.8 en (.9 tendiendo en cuenta (. aplicando la identidad de las fórulas.7: θ X cos θ + senθ cosθ + Y sen θ que se transfora ( + ( θ + cosθ + sen θ (.0 θ (cos θ - sen θ ( senθ cosθ 0

3 Círculo de Mohr Capítulo ( θ cos θ sen θ (. adeás, θ ( tg (. Por convención, los esfuerzos principales son. En R. [ ] ( + + ( + 4 (. [ ] ( + ( + 4 (.4 A veces es conveniente el análisis de los ejes X e Y en la dirección de,, entonces de (0 (, cuando 0: θ ( + + ( cos θ (.5 θ ( sen θ (.6 (.0 (. (. (.4 (.5 (.6 se denoinan ECUACIONES PARAMÉTRICAS IDENTIDAD Cosθ cos θ - sen θ ( + cos cos θ θ senθ senθ cosθ ( cos sen θ θ (.7.. El plano de áio esfuerzo de cizalladura: Se encuentra con la ecuación (.6; en ella θ es áio cuando sen θ θ 45 a θ 45 (.8.. Esfuerzo hidrostático: Cuando (en R no eiste cortante en el aterial ( z z 0. En este caso sólo eiste cabio de voluen, elástico o peranente Esfuerzo octaédrico: oct (.9..4 Esfuerzo desviador : Sobre un esfuerzo es del tipo hidrostático, puede darse un esfuerzo adicional noral en una dirección, llaado esfuerzo desviatorio, que para la dirección es: ' ( + + ( ' ( ' ( '

4 Círculo de Mohr Capítulo igualente: (.0 NOTA: El octaédrico es un invariante. CÍRCULO DE MOHR (Estado bidiensional, R Figura.4 Circulo de Mohr. Considereos el estado de esfuerzos en el PLANO PRINCIPAL de, plano en el que actúan los esfuerzos principales, ver Sección 0.6. Asuaos > 0 en copresión > 0 en dirección retrógrada. El esfuerzo desviador es la agnitud, diáetro del CÍRCULO DE MOHR, cuo centro es ( +, con ordenada 0 en el plano considerado que definios coo plano θ, θ. Dada la agnitud dirección de se pueden calcular los esfuerzos noral θ tangencial θ, en cualquier PLANO ab con dirección θ edida en sentido retrógrado a partir de θ, así: + θ cos θ + sen θ + cos θ (. θ ( senθ cosθ sen θ (. Coparando (. (. con las ecuaciones (.0, (., (.5 (.6, veos que se ha toado por, para asociarlas al círculo de Mohr. Entonces, EL CÍRUCLO DE MOHR tiene por circunferencia el lugar geoétrico de puntos, coo A, que representan los esfuerzos sobre un plano, cua noral fora un ángulo θ con la dirección del esfuerzo principal aor. El punto A representa al plano ab.

5 Círculo de Mohr Capítulo POLO. La noción de polo es de gran utilidad para las construcciones gráficas del CÍRCULO DE MOHR. El polo es un punto del círculo de Mohr designado por P, con la siguiente propiedad única: una línea trazada a partir del polo paralela a un plano dado en el suelo, cortará el circulo de Mohr en un punto cuas coordenadas corresponden a las coponentes del esfuerzo en ese plano. En consecuencia, eiste una relación entre:. El estado de esfuerzos en cualquier plano.. La dirección de dicho plano del suelo.. La posición del polo en el círculo de Mohr. Figura.5 Círculo de Mohr Ejeplo.: El punto H tiene coordenadas ( z, - z que definen el estado de esfuerzos en cb, por lo que, al trazar por H la línea HP, paralela a cb, obtengo el polo P. El punto K tiene coordenadas ( z, z que definen el estado de esfuerzos en ac, por lo que al trazar por K la línea KP, paralela a ac, obtengo el polo P. Abos puntos P son el iso; sólo eiste un polo P único en el círculo de Mohr. En consecuencia, al trazar por P una línea PA, paralela a ab, obtengo el punto A, cuas coordenadas son θ ; θ (abos positivos. El ángulo α que hace θ con la resultante de θ θ, es el ángulo AON. ( Los esfuerzos son OM ON. áio es CS. El ángulo θ, es diferente al ángulo α vale la itad del arco ASM El esfuerzo resultante ab está dado por + θ θ El áio es el radio del círculo de Mohr este esfuerzo tangencial se produce en planos que foran 45 con el esfuerzo noral aor.

6 Círculo de Mohr Capítulo Si el estado de ESFUERZOS es GEOSTÁTICO, los á estarán sobre planos que hacen 45 con el horizonte la agnitud de a, dependerá de K, el COEFICIENTE DE PRESIÓN DE TIERRAS h K a 0 donde K Si V V Si K ( K a Ejercicios. Para las figuras I II dadas, obtenga los esfuerzos en el plano n. Solución gráfica (Para I II 4 c ; c dibujo el círculo de Mohr. á R ( / c 4 Por,0 trazo BP paralela al plano sobre el cual actúa el esfuerzo,0 ; 0 5 Obtengo el polo P donde la paralela BP corta el círculo. 6 Por P trazo el plano PA paralelo a n para obtener el punto A. 7 Leeos las coordenadas de A, punto que representa al plano n, esto es: Caso I : θ,5 c Caso II : θ,5 c ; θ -0,87 c θ 0 θ 0 ; θ 0,87 c Otra solución: Los pasos, iguales, lo iso los pasos 6 7. El paso 4 puede ser: Por 4,0 trazo CP paralela al plano sobre el cual actúa el esfuerzo 4,0. El paso 5, obtener con CP el polo P listo. 4

7 Círculo de Mohr Capítulo Ejercicio.. Obtener gráfica analíticaente, θ de la figura: Solución gráfica. Sitúo en el plano los puntos A(4, - B(,, que son las caras A B. Los signos, > 0 en copresión > 0 en sentido retrógrado. El diáetro el radio, gráficaente son definibles, a partir de A B. Por A, trazo AP paralela a la cara A, para obtener el polo P. (Este paso tabién puede ser: Por B trazo BP paralela a la cara B. 4 Uno P P. Estas son dos rectas paralelas a los planos principales sobre los que actúan, de agnitudes a conocidas. 5 En el círculo a se lee PC θ θ P θ 6 Dibujo el eleento de suelo, con θ,, de acuerdo al círculo de Mohr obtenido. Solución analítica Con las ecuaciones.,.,.4, teneos: ( θ ' ar tg ar tg + 0' ( (4 (* ( + + ( [ ] ( [( ( ] ,4 c ( + ( [ ] ( [( ( ] ,4,59 c (* Coo el ángulo θ real es el que hace con el horizonte, entonces 5

8 Círculo de Mohr Capítulo θ θ 0 + (+ ½ 5 ½ Ejercicio.4. Se tiene una carga de 5 Ton/ uniforeente epartida sobre una superficie circular de 0 de radio. Para una profundidad Z 0 bajo el borde de la superficie cargada calcular el h las direcciones de. Para V, (ábacos Figuras Solución: Se dibuja el círculo de Mohr con los, con una horizontal por localizo el polo P. a Ábacos: Z r X r : (ábacos III de LAMBE Figura 0.7 q 0,44; 0,04; q (borde del tanque Z r q 0,40 (borde del tanque Z r 0,44q 0,44(5 TT increento en 0,04q 0,04(5 TT increento en b Ábaco Foster Ahlvin (donde R es X Z X ; I 0 0, (para borde del tanque Z r r r V q I 0 5(0, 8,5 TT increento en V Coo < < eiste cortante sobre el plano horizontal. c Construcción del círculo de Mohr: + R 5; O 6 Con t V 8,5 obtengo VV 6

9 Círculo de Mohr Capítulo Por la sietría del círculo, eisten dos puntos con diferente. Escojo V con < 0. Con VP horizonte, obtengo P (polo. Con PH al horizonte obtengo H. Se lee h,6; 4,5 Uniendo P con A B obtengo los planos principales. El ángulo θ, de V i con X: 4,5 [ ] ar tg 0 60 i actúa sobre el plano BP. Luego θ ángulo BAP (,6, Ejercicio.5. Con la figura, las cargas norales aplicadas en las caras de un cubo de suelo son F 45 F 0 ; las cargas cortantes son F F 4 0. La arista de suelo es de 40. Construa el círculo de Mohr de los esfuerzos totales obtenga los planos esfuerzos. F g, 9 F g z A el cortante, z z A 75 z > 0 por el sentido retrógrado. 6 El polo P se localiza desde ( z ; z el plano principal aor genera θ 6 con X. Solución Se definen los ejes X Z de la figura se tienen coo base la dirección de F, F, F, F 4. Luego se calculan ; F g, 9 A. z < 0 por el sentido negativo 8 Ejercicio.6. Partiendo de los esfuerzos totales del cubo del ejercicio anterior, conociendo que la presión de poros es U 50, construa el círculo de Mohr de los esfuerzos efectivos. Dibuje el polo en el nuevo círculo, de esfuerzos efectivos, dibuje los cubos sobre cuales caen los esfuerzos efectivos norales cortantes. Solución: El agua no tiene resistencia al corte. z z 6,. Adeás, OO U 50. 7

10 Círculo de Mohr Capítulo P se desplaza hacia atraz 50. U 8,9 50,9 z z U 75,9 50 5,9 U U Nota: Se obvia el cálculo con fórula Ejercicio.7. Para la figura, la ecuación de esfuerzos principales está dada por q π ( α + senα q π ( α senα la dirección de bisecta el ángulo α. Calcule (horizontal, el (vertical en el punto A ( 0,75B; B/ (ver epresiones 0., para fajas con carga unifore q X + B α + δ arctg ar tg,5 68,0 Y X B δ arctg arctg 0,5 6,57 Y α 68,0 6,57 4,6 δ + α q π q π 6,57 + 4,6 47,8 θ ( 0,767 + sen 4,6 0,448q ( 0,767 sen 4,6 0,098q Con se dibuja el círculo, con centro en O 0,q radio R 0,5q. Coo la dirección de bisecta el ángulo α, entonces A δ + α 47, 8. Con θ, gráficaente obtengo el polo P. Por P trazo PA horizontal obtengo el plano sobre el cual actúa el esfuerzo vertical pedido; este es A( ; -. 8

11 Círculo de Mohr Capítulo Para calcular A, calculo β β 80 - θ 80-94,77 85, + R cos β 0,q 0,076q 0,7q + + R cos β 0,q + 0,076q 0,489q R sen β 0,5q *sen85 0,08q Ejercicio.8. Dado el plano B con los esfuerzos,, en KPa (50, 50 50; calcular θ, el polo,, su orientación. *50 θ arctg arctg, Fórula. + + R ,7 70,7KPa + R 00 70,7 9,KPa ESTADOS ESPECIALES DE ESFUERZOS Copresión triaial siple, z 0 Tracción copresión iguales z 0 - á z z / Copresión biaial igual pero z 0 á / / Cortante puro plano z 0 Tracción siple < 0 pero z 0 á / Tracción con presión lateral z - á z Figura.6 Estados especiales de esfuerzos 9

12 Círculo de Mohr Capítulo a Estado triaial, > > > 0 b Estado triaial, > 0 > c Suelo cohesivo (arcilla + U d Suelo friccionante (arena + U e Plano de falla F: (U 0 Paralela al plano de falla f El origen de los planos es el polo P g Envolvente de debilitaiento (roca A Tracción uniaial B Copresión uniaial C Copresión triaial Copresión Figura.7 Otros estados situaciones de interés. 40

13 Círculo de Mohr Capítulo.4 DIAGRAMA p q: Para dibujar una traectoria de esfuerzos, de un ensao, no es fácil el dibujar una sucesión de círculos de Mohr, por lo que la literatura oderna utiliza los diagraas p q, donde cada círculo tiene un punto de coordenadas (p, q, cua sucesión da la TRAYECTORIA DE ESFUERZOS. Si + p q á puedo dibujar las siguientes traectorias: Con O : Luego : cte. + i 0 n i,,, 4 Figura.8. I Traectorias de esfuerzos. Figura.9 Traectorias de esfuerzos Regresar a Contenido del libro M d S 4