CENTRO DE GRAVEDAD, CENTRO DE MASA Y CENTROIDE

Transcripción

1 UNIERSIDD NION DE O FUTD DE INGENIERÍ EÉTRI Y EETRÓNI ESUE PROFESION DE INGENIERÍ EÉTRI ENTRO DE GREDD, ENTRO DE MS Y ENTROIDE ING. JORGE MONTÑO PISFI O, 2010

2 ENTRO DE GREDD, ENTRO DE MSYY ENTROIDE ENTRO DE GREDD (G) Es aquel punto donde consideramos se halla concentrado el peso total de un cuerpo (en este punto actúa la fuera gravitatoria resultante). d G W as coordenadas del centro de gravedad G:,, se hallan mediante un proceso de integración, a partir de un diferencial de peso. Se cumple: Donde: d = peso específico Reemplaando : d d d d d d ENTRO DE MS (.M.) Es aquel punto en el cual se puede considerar que actúa la fuera neta, a fin de determinar el movimiento de traslación del cuerpo como un todo. * uando un cuerpo está en movimiento, ha un punto que se mueve en la misma traectoria que seguiría una partícula si se sujetara a la misma fuera neta, a este punto se llama centro de masa. as coordenadas del centro de masa:,,, se determinan reemplaando g ( = densidad) en las ecuaciones del centro de gravedad, como g se cancela queda: donde: d d d d d d d uego: Nota.- Para fines prácticos se considera que el centro de masa el centro de gravedad están en el mismo punto. Sin embargo, si el cuerpo es lo suficientemente grande, la gravedad tiene valores distintos en diferentes partes del cuerpo, en este caso el centro de masa el centro de gravedad son diferentes.

3 ENTROIDE ().- Es el centro geométrico de un cuerpo u objeto. Si el material que constitue el cuerpo u objeto es uniforme homogéneo, las ecuaciones para calcular el centroide depende sólo de la geometría del cuerpo, Se consideran tres casos específicos. 1er aso: entroide de volumen Para calcular el centroide de un volumen primero se elije un diferencial de volumen d, el cual puede ser un disco circular o un cascarón cilíndrico, mediante un proceso de integración hallamos las coordenadas del centroide de dicho volumen. Si ( ) es el centroide del volumen, donde d son las coordenadas de, estas coordenadas se determinan mediante las siguientes ecuaciones: d d d d d d d d d Donde: son las coordenadas del centro de gravedad del elemento diferencial utiliado. 2do aso: entroide de área Para calcular el centroide de un área primero se elije un diferencial de área d, que generalmente es un rectángulo, mediante un proceso de integración hallamos las coordenadas del centroide de dicha área. d Si ( ) es el centroide del área, las coordenadas se determinan en forma similar que en el caso del volumen. Es decir: d d d d d d d d d

4 3er aso: entroide de línea Para calcular el centroide de una línea primero se elije un diferencial de longitud d se procede igual que en los casos anteriores. as coordenadas para el centroide de una línea se determinan utiliando las ecuaciones siguientes: d d d d d d d d d d Nota: El centroide de un objeto puede hallarse dentro o fuera de él. simismo si la figura del objeto es simétrica, respecto a uno o más ejes, su centroide se halla en uno de los ejes o en la intersección de los ejes. entroide en cuerpos compuestos Un cuerpo compuesto consiste en una serie de cuerpos de forma simple conectados, los cuales pueden ser rectangulares, triangulares, semicirculares, etc. Este cuerpo puede descomponerse en sus partes analiar cada parte por separado. Método para hallar el centroide de un objeto geométrico compuesto 1. Se divide el objeto o cuerpo en un número finito de partes componentes que tengan formas más sencillas. Si una parte componente tiene un agujero, o una región geométrica donde no eista material, ésta se toma como una componente adicional pero con signo negativo. 2. Se determina las coordenadas,, del centroide de cada parte. 3. Se calcula las coordenadas del centroide del objeto o cuerpo, utiliando las siguientes ecuaciones:

5 En líneas: En áreas: En volúmenes: TEOREMS DE PPPUS-GUDINUS TEOREM I: El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generatri multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de dicha curva al momento de generar la superficie. * Recordar que una superficie de revolución se genera mediante la rotación de una curva plana con respecto a un eje fijo. Por ejemplo (ver figura), se puede obtener la superficie de una esfera rotando un arco semicircular con respecto al diámetro se puede producir la superficie de un cono rotando una línea recta con respecto a un eje. Esfera ono TEOREM II: El volumen de un cuerpo de revoulución es igual al área generatri multiplicada por la distancia recorrida por el centroide del área al momento de generar el cuerpo. * Recordar que un cuerpo de revolución se genera mediante la rotación de un área plana alrededor de un eje fijo. omo se muestra en la siguiente figura, se puede generar una esfera o un cono rotando la forma apropiada con respecto al eje que se indica. Esfera ono