Fuerzas de fricción (o de rozamiento)

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Josefina Blanco Castro
hace 6 años
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1 Fuerzas de fricción (o de rozaiento) Si un cuerpo se ueve sobre una superficie áspera o rugosa, encontrará adeás de la resistencia del aire, otra fuerza de resistencia debida a la rugosidad de la superficie. Esta fuerza adicional se llaa rozaiento. En física se deuestra que el rozaiento está dada por μn, donde se tiene que a) μ es la constante de proporcionalidad llaada coeficiente de rozaiento, que depende de la rugosidad de la superficie dada b) N es la fuerza noral (es decir, perpendicular) que ejerce la superficie sobre el cuerpo. Vaos a aplicar la segunda ley de Newton a este problea en el que existe la fuerza de rozaiento o de fricción. Para resolver este problea, vaos a utilizar un diagraa de cuerpo libre el cual se tiene las siguientes consideraciones: a) El oviiento se lleva a cabo en un plano inclinado, representado por una línea inclinada, en el dibujo la línea que tiene coo vértices A y P. b) El origen está en la parte superior, es decir en el punto P y el sentido positivo es hacia abajo del plano inclinado. c) El peso W actúa verticalente hacia abajo. d) La fuerza noral N que ejerce el plano y que actúa en una dirección positiva perpendicular al plano; e) Las coponentes perpendiculares al plano están en equilibrio y por tanto se puede considerar que existe una fuerza de agnitud igual a la Noral pero en sentido opuesto, denotada coo N. Ilustración Diagraa de Fuerzas f) Observeos que el ángulo que se fora con el plano con la horizontal es OAP = α

2 g) Toeos el triángulo AJC, donde C es el punto donde se encuentra el objeto en cualquier tiepo, A es el punto de intersección de la horizontal (suelo) con el plano inclinado. J es el pie de la línea del vector del peso con la horizontal. Este triángulo es un triángulo rectángulo. En donde terina el vector N, traceos una perpendicular (el punto de intersección es I) y encontreos el punto de intersección del peso con esa línea y lo llaaos M y desde M traceos una línea que vaya hacia el plano inclinado y sea perpendicular, ese punto se llaa B. Ahora observeos que teneos dos triángulos rectángulos a saber CBM y CIM. Para ver que son seejantes con AJC y el triángulo CIM, teneos que la línea APy el segento IM son paralelos por construcción entonces la línea CM es una transversal a abas líneas por lo cual teneos que ACM y CMI son alternos internos y lo cual ACM = CIM(y por la isa razón teneos que el ángulo BCM pues B está en la isa línea que AC.) Se tiene que los ángulos ACM = CMI y AJC = MIC = 90 por el criterio de seejanza A. A. A. Los triángulos AJC y MIC son seejantes por lo cual teneos que los angulos CAJ = ICM y tabién se puede obtener que el ángulo BMC = ICM = CAJ. Con lo cual podeos calcular la agnitud de N y las coponentes del peso, es decir Teneos que la agnitud de N = W cos α y IM = BC = W sen α. Las fuerzas que actúan el oviiento del cuerpo son Fuerza Total = Peso Noral Resistencia del Aire Fricción Donde el peso se puede descoponer coo W = g(cos α + sen α) donde se puede considerar coo las coponentes Peso x = g cos α y Peso y = g sen α con lo cual nos queda la Fuerza Total = ( g cos α + g sen α) g cos α k v μ ( g) cos α = ( g) sen α k v μ ( g) cos α Ahora aplicaos la segunda ley de Newton la cual es F = a = = d x dt dt, la cual utilizareos será = ( g) sen α k v μ ( g) cos α dt dividiendo entre y poniendo los térinos que tienen que ver con la velocidad v en el lado izquierdo nos queda coo dt + k v = g (sen α μ cos α) La cual se puede resolver por factor integrante o variación de paráetros. Por factor integrante la vaos a resolver Teneos que p(t) = k ; entonces p(t)dt = k dt = k t entonces ν(t) = e k t ; ultiplicando por esta función a la ecuación diferencial

3 o ν(t) ( dt + k v) = (g (sen α μ cos α)) ν(t) e k t ( dt + k v) = (g (sen α μ cos α)) e k t e k t dt + k e k t v = (g (sen α μ cos α)) e k t Pero la parte izquierda se puede escribir coo Integrando abos lados nos queda d dt (e k t v) = (g (sen α μ cos α)) e k t d dt (e k t v) dt = (g (sen α μ cos α)) e k t dt + C Despejando a v nos queda e k t v = k (g (sen α μ cos α)) e k t + C O v = v = k (g (sen α μ cos α)) e k t g k C e k + t e k t (sen α μ cos α) +C e k t v = W k (sen α μ cos α) +C e k t Si teneos condición inicial para la velocidad en el tiepo t = 0 o v(0) = v 0 lo usaos para encontrar el valor de la constante C Es decir que v 0 = v(0) = W k (sen α μ cos α) +C e k 0 = W k (sen α μ cos α) +C C = v 0 W k (sen α μ cos α) v(t) = W k (sen α μ cos α) + (v 0 W k (sen α μ cos α)) e k t Ordenando térinos nos queda v(t) = W k (sen α μ cos α) ( e k t ) + v 0 e k t

4 Una pregunta que nos podeos hacer es que pasa si el tiepo es deasiado grande, es decir cuando t W li v(t) = li t t k k (sen α μ cos α) ( e t ) + v 0 e k t = W k Pero si quereos la posición integraos otra vez con respecto a t, ya que v = dx Integrando dx dt = W k (sen α μ cos α) + (v 0 W k (sen α μ cos α) dt k (sen α μ cos α)) e t x = ( W k (sen α μ cos α) + (v 0 W k (sen α μ cos α)) e k t ) dt + C x = ( W k (sen α μ cos α)) t k (v 0 W k (sen α μ cos α)) e k t + C Si teneos la condición con respecto a la posición es x(0) = x 0 x 0 = k (v 0 W k (sen α μ cos α)) + C Para C = x 0 + k (v 0 W k posición (sen α μ cos α)) con lo cual nos queda la ecuación de la x = ( W k (sen α μ cos α)) t k (v 0 W k (sen α μ cos α)) e k t + x 0 + k (v 0 W k (sen α μ cos α)) x = ( W k (sen α μ cos α)) (t k (e k t )) + k v 0 ( e k t ) + x 0 La cual resuelve para la posición en cualquier oento. Ahora vaos a resolver esto con un ejeplo nuérico Ejeplo Un objeto que pesa 8lb se suelta desde el reposo en la parte superior de un plano inclinado etálico que está inclinado 30 respecto a la horizontal. La resistencia del aire (en libras) es nuéricaente igual a un edio de la velocidad (en pies sobre segundo), y el coeficiente de rozaiento es un cuarto. Recordando que la aceleración debida a la gravedad es 3 pies seg a) Cuál es la velocidad del objeto dos segundos después de haberse soltado? b) Si el plano ide pies de longitud Cuál es la velocidad del cuerpo en el oento que llega al punto inferior?

5 Usando la ecuación que heos obtenido teneos que dt + k v = g (sen α μ cos α) Dando valores a k = 8 ; = = 3 ; μ = ; y α = 30 3 Con lo cual queda dt + ( ) v = 3 (sen 30 cos 30 ) 3 dt + 3 v = 3 ( ( 3 )) dt v = ( ) dt + 3 v = 6( 3 ) La cual se puede resolver con factor integrante o variación de paráetros o usando el resultado que obtuvios v = W k (sen α μ cos α) +C e k t v = 8 (sen 30 cos 30) +C e 3 t v = 96 (sen 30 cos 30) +C e 3 t v = 96 ( 3 ) ( ) + C e v = 8 ( 3 ) + C e ( 3 t) Usando la condición inicial v(0) = 0 para encontrar el valor de la constante C con lo cual es Lo cual queda coo C = v 0 W k C = t (sen α μ cos α) ( ) (sen 30 cos 30 ) C = 8 ( 3 ) v(t) = W k (sen α μ cos α) ( e k t ) v(t) = 8 (sen 30 cos 30 ) ( e 3 t ) v(t) = 8 ( 3 ) ( e 3 t )

6 La cual es la ecuación de la velocidad para encontrar el valor cuando t = nada ás sustituios v() = 8 ( 3 ) ( e Y si nos preguntan cuál es la velocidad líite de este problea? 3 () ) 3 li v(t) = li 8 ( ) ( e 3 t ) = 8 ( 3 t t ) Para la ecuación de la posición es la siguiente, la cual se sustituye en las ecuaciones que obtuvios anteriorente y la condición inicial de la posición es x(0) = 0 y queda x = ( 8 x = ( 8 (sen 30 3 cos 30 )) (t (e 3 t )) ( 3 ) ( )) (t 3 (e 3 t )) x = (8 ( 3 )) (t 3 (e 3 t )) Para resolver en que tiepo llega al piso sabeos que el plano inclinado ide pies y pondreos que el tiepo que llega es T 0 Lo que queda es x(t 0 ) = = (8 ( 3 )) (T 0 3 (e 3 T 0 )) (8 ( 3 )) 3 = T 0 3e 3 T 0 Resolviendo esta ecuación nos queda que T 0 =.6 seg.

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