Distancia entre dos puntos

Transcripción

1 GAE-05_MAAL3_Distancia entre dos puntos Distancia entre dos puntos Por: Sandra Elvia Pérez Para deterinar una expresión que te ayude a calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera, toa los siguientes dos puntos P (x, y ) y P (x, y ), que al situarlos en el plano cartesiano quedan de la fora que se uestra en la figura : Figura. Distancia entre dos puntos. Coo se puede apreciar en la figura, la distancia entre los puntos P y P es la hipotenusa del triángulo rectángulo con catetos ( x x ) y ( y y), de esta fora si se aplica el Teorea de Pitágoras para deterinar la longitud de la hipotenusa del triángulo forado encontrarás la distancia entre los puntos P y P : (Teorea de Pitágoras) Debido a que la hipotenusa representa la distancia entre los puntos P y P, la uestras con la letra d. Si despejas d obtienes finalente la fórula de la distancia entre dos puntos, es decir,

2 GAE-05_MAAL3_Distancia entre dos puntos Debido a que en geoetría analítica la solución de probleas requiere la aplicación de fórulas, es conveniente que construyas un forulario para que favorezcas la eorización de las fórulas que utilizarás. A continuación se presentan algunos ejeplos: Ejeplo Observa la figura e inicia el cálculo de la distancia entre dos puntos retoando B(-6, -3) y E(, -). Figura. Gráfica del rectángulo forado a partir de los puntos B(-6, -3) y E(, -). Para aplicar la fórula de la distancia es necesario decidir qué punto (B o E) será P y P; toa a B coo P y a E coo P, por lo que de esta anera:

3 GAE-05_MAAL3_Distancia entre dos puntos y y x x ( 3) ( 6) La distancia buscada es 68 unidades de longitud. Si no es necesaria deasiada precisión, se puede utilizar su valor aproxiado d=8.4. Cuál sería la distancia entre B y E si se hubiera elegido B coo P y E coo P? Acertaste!, es la isa distancia. Ejeplo Calcula la distancia entre los puntos (, 3) y (4, 5). Toa P(,3) y P(4,5). y y x x La distancia entre los puntos (, 3) y (4, 5) es 8 unidades de longitud. Ejeplo 3 Calcula la distancia entre los puntos (-, 4) y (3, 6). Toa P(-,4) y P(3,6). y y x x ( ) 3 4 (4)

4 GAE-05_MAAL3_Distancia entre dos puntos La distancia entre los puntos (-, 4) y (3, 6) es 0 unidades de longitud. Al aplicar la fórula de la distancia entre dos puntos, debes tener precaución de usar de anera correcta las leyes de los signos. Ejeplo 4 Deterina si los puntos A(, 4), B(4, 4) y C(4, -5) son los vértices de un triángulo rectángulo. Una fora de deterinar si se trata o no de un triángulo rectángulo es ver si sus lados cuplen con el Teorea de Pitágoras. Para ello es necesario conocer priero la longitud de sus tres lados, esto es, la distancia entre los tres puntos. Para facilitar la organización de la inforación, te propongo vaciar las distancias calculadas coo se hace en la tabla : 4

5 GAE-05_MAAL3_Distancia entre dos puntos Lado Cálculos Conclusión AB (distancia entre los puntos A y B) BC (distancia entre los puntos B y C) CA (distancia entre los puntos C y A) Nota: de la geoetría plana, la tilde que aparece sobre las parejas de letras significa segento de recta. Por lo que CA es el segento de recta que va del punto C al punto A. y y x x y y x x ( 5) y y x x 4 ( 5) Ahora que has calculado las tres distancias (longitudes de los lados del triángulo) puedes probar, aplicando el Teorea de Pitágoras si se trata o no de un triángulo rectángulo. Cuál de los tres lados crees que pueda ser la hipotenusa? Correcto! el lado de ayor longitud, en este caso CA. Aplicando el Teorea de Pitágoras tienes: Al coprobarse la igualdad, se verifica que los puntos dados corresponden con los vértices de un triángulo rectángulo. Punto edio Tabla. Ejeplo para vaciar las distancias. En ocasiones es necesario conocer las coordenadas del punto que divide un segento de recta exactaente a la itad y a este punto se le conoce coo punto edio. Las fórulas para deterinar las coordenadas del punto edio de un segento de recta cuando se conocen las coordenadas de los extreos del segento son: 5

6 GAE-05_MAAL3_Distancia entre dos puntos En los siguientes ejeplos, se uestra cóo aplicar esta fórula: Ejeplo Deterina las coordenadas del punto edio del segento de recta cuyos extreos son (, 3) y (5, 6). Aplicando las fórulas para el punto edio tienes: x y x x y y Así, el punto edio del segento de recta cuyos extreos son (, 3) y (5, 6) es (3.5, 4.5) En la figura 3 se uestra una gráfica donde están los tres puntos del segento de recta. 6

7 GAE-05_MAAL3_Distancia entre dos puntos Figura 3. Gráfica de la recta con extreos (, 3) y (5, 6) y punto edio (3.5, 4.5). Ejeplo Deterina las coordenadas del punto edio del segento de recta cuyos extreos son (-3, 3) y (-5, 5). Aplicando las fórulas para el punto edio tienes: x y x x y y 3 ( 5) Así, el punto edio del segento de recta cuyos extreos son (-3, 3) y (-5, 5) es (-4, 4) Bibliografía Fuller, G & Tarwater, D. (999). Geoetría Analítica (R. Martínez y A. Rosas, Trads.). México: Pearson Educación. Kindle, J.H. (999). Geoetría analítica (L. Gutiérrez y Á. Gutiérrez, Trads.). México: Mc Graw Hill. Martínez, M. A. (996). Geoetría analítica. México: Mc Graw Hill. Ruiz, J. (008). Geoetría analítica. México: Grupo Editorial Patria. 7