Lección 11. Sistema de partículas II: Energía

Transcripción

1 Lección 11. Sistea de partículas II: Energía 1. Un cilindro de radio y asa M se deja caer desde el punto A de la figura. Si desde A a C el cilindro rueda sin deslizar y a partir de C la superficie es perfectaente lisa, calcular: A h C h D h 3 a) La velocidad del centro de asa del cilindro en C b) La velocidad angular del cilindro en D c) La velocidad del centro de asa del cilindro en D d) La altura h a la que subirá el centro del asa del cilindro. Una barra está perpendicular al suelo inicialente, de tal fora que puede rotar alrededor de un eje que pasa por el punto E. Con qué velocidad angular golpeará al suelo? (longitud de la barra, 0 1 ). E 3. Una esfera, un cilindro y un anillo, todos con el iso radio, ruedan a lo largo de un plano inclinado desde una altura inicial y o. Calcular la velocidad con la que llegan a la base de plano para cada uno de los sólidos rígidos. y o 4. Un cilindro sólido unifore de radio r y asa, tiene una velocidad angular inicial ω o y se deja caer sobre una superficie horizontal plana. El coeficiente de rozaiento entre la superficie y el cilindro es µ. En el oento inicial, el cilindro rueda y desliza pero después de cierto tiepo t se inicia un oviiento de rodaiento sin deslizar. a) Velocidad del centro de asas en el instante t N r b) Valor de t r P r F r r

2 5. Un cilindro de asa y radio está colocado sobre un plano horizontal. Se le aplica una fuerza constante F, tal y coo indican las figuras, y el cilindro rueda sin deslizar. Calcular en abos casos: a) La fuerza de rozaiento entre el cilindro y el plano F r b) Aceleración angular del cilindro c) Velocidad de su centro de asas cuando ha recorrido una distancia L d) A qué distancia del CM del cilindro habría que aplicar la fuerza horizontal F para que, al rodar sin deslizar, la fuerza F r de rozaiento fuera nula? 7. Una varilla hoogénea de 1 de longitud puede girar en torno a un eje horizontal que pasa por uno de sus extreos. La desplazaos de su posición de equilibrio estable y la colocaos vertical, de fora que el eje de giro está en el punto ás bajo del sistea. La varilla cae girando, espontáneaente. Calcular: a) La velocidad de su extreo libre al pasar la varilla por su posición vertical b) La velocidad de su extreo libre al pasar la varilla por su posición horizontal c) Hallar una fórula general de la velocidad de su extreo libre y aceleraciones angular, tangencial, noral y resultante, en función de la longitud l, g y ángulo descrito desde su posición horizontal E 8. Un esfera hoogénea rueda sin deslizar por un plano horizontal con una velocidad de 4 / s. Inicia el ascenso por un plano inclinado 0 º. Calcular la distancia que recorre sobre el plano hasta pararse. 9. Una esfera y un cilindro, los dos con igual asa y radio, parten del reposo y rueda a lo largo de un plano inclinado cuál de los dos cuerpo llega priero al fondo? 10. A la garganta de una polea fija, cilíndrica y aciza de 5 c de radio y Kg de asa, enrollaos una cuerda de asa despreciable al que se le sujeta un cuerpo de 1 Kg que se encuentra apoyado en un plano inclinado de 30 º con la horizontal. Si µ = 0' : a) La velocidad del cuerpo cuando haya descendido 50 c a lo largo del plano b) La aceleración con que cae el cuerpo y la aceleración angular de la polea.

3 11. Las dos asas A y B de la figura tienen 8Kg cada una y la polea cilíndrica tiene un radio de 0 c El coeficiente de rozaiento entre A y el plano inclinado 37 º es de 0 ' 5. Se abandona el sistea partiendo del reposo, bajando la asa B, y se ide un desplazaiento de las asas de 1 '8 en s. a) calcular la asa de la polea b) calcular las tensiones A B 1. Calcular por energías las características del oviiento de un cilindro acizo de radio que baja rodando, sin deslizar, a lo largo de un plano inclinado. 13. Un cilindro de 8 Kg de peso y 0 15 de radio, rueda sin deslizaiento, por un plano inclinado 30º con la horizontal. a) Moento de inercia respecto al punto de contacto con el plano b) Aceleración del centro de asas c) Longitud que recorre en 4 s 14. Un cilindro acizo de 100 Kg y 60 c de radio, rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal con una velocidad de traslación de 1 /s. Calcular: a) Su energía cinética de traslación b) Su energía cinética de rotación c) La altura a la que podría subir por un plano inclinado 15. Una esfera rueda sin deslizar por un plano horizontal con velocidad v y epieza a subir por un plano inclinado a) Altura que alcanza por el plano inclinado b) Altura que alcanza si el plano es perfectaente liso 16. Una esfera rueda sin deslizar por un plano horizontal con velocidad v y epieza a subir por un plano inclinado. a) Alcanzará la isa altura vertical si el plano es rugoso, y sube rodando sin deslizar, que si el plano es perfectaente liso? b) En este segundo caso, cuando vuelva al plano horizontal y alcance la rodadura sin deslizaiento tendrá una velocidad igual o distinta de la inicial? c) cuál es la velocidad final de la esfera? 17. En el tabor interior de un rueda se enrolla una cuerda de la que se tira con una fuerza de 1 5 N. El peso de la rueda es de 50 Kg y su radio de giro de 9 c. a) calcular el valor del coeficiente de rozaiento ínio para que el disco ruede sin deslizar. F r b) En este últio caso, calcular la distancia recorrida al cabo de 10 s. r = 8 c; = 1c

4 18. Un cilindro de radio tiene una ranura que profundiza hasta una distancia del centro. En la ranura se enrolla una cuerda coo se indica en la figura, y el otro extreo se fija a la pared. El cilindro está apoyado en un plano inclinado un ángulo α respecto a la horizontal. Calcular el ínio valor del coeficiente de rozaiento entre el plano y el cilindro para que éste no se ueva. α 19. Una esfera aciza se abandona sin velocidad inicial sobre un plano inclinado 30º con respecto a la horizontal. Siendo el coeficiente de rozaiento entre la esfera y el plano de 0 3, se pide deostrar que la esfera rueda sin deslizar. 0. Dos cilindros de igual asa y radio, uno acizo y hoogéneo y el otro hueco de pared delgada, se abandonan desde el iso nivel de un plano inclinado (10º). Uno de ellos parte s antes que el otro. Si después de recorrer abos s etros, el segundo en salir, alcanza al priero: a) razonar cuál de los dos partió en prier lugar b) calcular la distancia s recorrida por abos hasta encontrarse 1. Un volante de 3 de diáetro con asa 300 Kg concentrada en la llanta, gira a razón de 180 r.p., Calcular: a) Energía cinética del volante b) Núero de vueltas que dará hasta pararse si se le frena con un par de fuerzas de oento 80 Kp. c) Tiepo que tardará en pararse en el caso anterior d) Si todo el trabajo de frenado se transforase en calor qué cantidad se desarrollaría?. Un cuerpo gira por la acción de un peso de 4 Kg que cuelga verticalente del extreo de una cuerda arrollada a su eje, coo se indica en la figura. Partiendo del reposo, el peso P desciende una altura vertical de 3 en 1 s. Deterinar la energía cinética adquirida por el volante en ese instante, y la tensión T de la cuerda durante el oviiento. (Figura volante) 3. Volante de radio 1, cuya asa 100 kg se supone localizado en la llanta. Arrollada a su eje, cuyo radio es de 10 c y asa despreciable, hay una cuerda de la que pende una asa de 40 Kg. Este cuerpo está a una altura de 18 del suelo (figura volante). Calcular:

5 a) aceleración con que cae el cuerpo b) Tensión de la cuerda durante la caída c) Tiepo que tarda el cuerpo en llegar al suelo d) Energía cinética adquirida por el volante al llegar el cuerpo al suelo 4. Volante de eje horizontal tiene una asa de 1500 gr, que podeos considerar uniforeente repartida en su llanta, de radio 10 c, coo se indica en la figura. Un hilo enrollado en esa llanta sostiene un cuerpo de asa 100 gr, de anera que al descender este cuerpo, el volante gira (figura volante) a) suponiendo nulos los rozaientos, calcular la velocidad del cuerpo cuando haya descendido b) calcular el tiepo que ha epleado en descender los 5. Se enrolla un cuerpo de asa 00 gr enrollado alrededor del eje del volante (radio del eje 4 c) (figura volante). Calcular: a) velocidad del cuerpo cuando ha descendido b) tiepo que ha epleado en recorrer esos 6. Se colocan dos pesos tal y coo se uestra en la figura. Para el bloque ás alejado del centro. Calcular a) la velocidad que tiene al descender b) El tiepo que tarda en descender esos 7. Una rueda de 5 c de radio y 0 5 Kg de asa, que se supone localizada en la periferia, puede girar alrededor de un eje de asa despreciable de 4 c de diáetro, en el que se ha enrollado un hilo del que pende un cuerpo de 00 grs que al descender hace girar al sistea. Calcular: a) Espacio recorrido por el cuerpo a los 10 s de iniciado el oviiento b) Su velocidad en ese instante y la de un punto de la periferia de la rueda c) Quitando la asa y suponiendo que la ruede gire con la velocidad adquirida, calcular la fuerza tangencial constate aplicada a la periferia de la rueda capaz de detenerla en 30 s y el núero de vueltas que da la rueda hasta detenerse

6 8. La garganta de una polea de 5 c de radio lleva enrollada una cuerda de la cual pende un 5 peso de 0 gr, siendo 10 Kg. el oento de inercia de la polea. a) aceleración lineal del peso b) Energía cinética adquirida por el sistea al cabo de 3 s de epezar a overse c) Fuerza que tendrá que desarrollar un trao sobre la periferia de la polea para parar el sistea en 1 s, epezando a actuar dicho freno al transitir el tiepo citado en el segundo apartado. 9. Enrollaos una cuerda a un cilindro acizo y hoogéneo de 10 Kg y el otro extreo del cordón se fija al techo. Soltaos el sistea partiendo del reposo, de fora que al caer la a) velocidad del CM del cilindro cuando ha descendido b) Aceleración del CM durante la caída c) Tensión de la cuerda 30. Un hobre de 80 Kg está en el extreo de una platafora deslizante de 10 Kg y 10 de longitud. Se pone a correr a la velocidad de 5 /s (respecto de la platafora) hasta llegar al borde opuesto, saltando al suelo. Calcular las velocidades del hobre y de la platafora respecto al suelo y el caino recorrido por ésta. 31. Dos asas puntuales, = 1 3 y = están unidas a los extreos de una varilla de 3 longitud L c y asa 6 Kg. El sistea está en un plano horizontal sin rozaiento y puede girar alrededor de un eje vertical que pasa por O (ver figura). Una asa o = 4, que se ueve en el plano horizontal con velocidad v r en una dirección que fora un ángulo θ con la varilla, incide en el punto edio de la varilla quedando epotrada en ésta. 1 L / L / O O v r o a) velocidad angular del sistea después del choque b) velocidad del CM justo después del choque c) oento lineal del sistea justo antes y después de la colisión d) velocidades angulares y lineales de las partículas 1 y justo después de la colisión. 3. Sea una varilla hoogénea de longitud L que está colgada del punto O. Un proyectil cuya asa es la cuarta parte de la varilla incide perpendicularente sobre ésta a una distancia de (/3)L por encia del extreo ás bajo de dicha varilla, quedando epotrado en la isa.

7 v r O a) cuál ha de ser la velocidad del proyectil para que el sistea varilla-proyectil ascienda hasta 60º respecto a la vertical? b) Calcular la aceleración noral en el instante inicial del sistea varilla-proyectil y del CM de la varilla 3 L 60º 33. Dos partículas de asa están unidas por una varilla de asa despreciable y longitud L. El conjunto gira en un plano vertical alrededor de un eje, transversal al papel, que pasa por el centro de la varilla, con una velocidad angular constante ω. En un deterinado oento se o coloca una asa L M = 3 a una distancia del centro de la varilla. Cuando se produce el choque, las partículas de asa (derecha) y 3 quedan unidas. Deterinar: a) la posición del CM del sistea justo antes de que se produzca el choque b) la variación que experientan el oento lineal, O oento angular y la energía cinética del sistea durante el choque Sea un sistea forado por dos varillas de asa y longitud L, iguales y situadas forando un ángulo recto coo indica la figura. El sistea descansa sobre un plano horizontal sin rozaiento. Una partícula de asa incide sobre el sistea con velocidad v o constante en la dirección que se indica en la figura, y se queda epotrada en el sistea. Sabiendo que después de la colisión, el oviiento del sistea consiste en la superposición de una traslación y de una rotación alrededor de un eje vertical que pasa por el CM L v r apartado a) a) Cuál es la velocidad del CM justo en el instante después de la b) Calcular el oento de inercia del sistea respecto a un eje que pasa por el CM del iso y perpendicular a él después del choque c) La velocidad angular con respecto al eje encionado en el apartado anterior y en el instante al que se hace ención en el 35. Una varilla de longitud L está forada por dos varillas de igual longitud, de asas respectivas y. El conjunto cuelga verticalente por un punto O, que se encuentra en el

8 extreo de la varilla. Si una partícula de asa incide perpendicularente con velocidad v o, en el centro de la varilla, incrustándose en ella, deterinar: O a) La posición, respecto del punto O, del CM del sistea varillapartícula L / b) La altura que subirá el CM del sistea, respecto de su posición justo antes de producirse el choque v o L / 36. Una varilla de asa M y longitud L puede girar libreente alrededor de uno de sus extreos. Si una asa incide perpendicularente en la varilla con una velocidad v r, a una distancia d del eje de giro, y coo consecuencia de la colisión queda epotrada en ella, calcular: O a) Moento angular del sistea respecto al extreo fijo inediataente antes y después de la colisión b) Moento lineal del sistea antes y después de la colisión c) Energía cinética perdida en el choque d L v r M 37. Bloque de 1Kg. Se dispara una bala de 0 grs que atraviesa el bloque con la itad de la velocidad que llevaba antes del choque. Si la constante del uelle es K=00 N/ y se contrae 1 c, deterinar la velocidad inicial de la bala teniendo en cuenta que el coeficiente de rozaiento entre la superficie y el bloque es de 0. Hay que despreciar el tiepo que tarda en atravesar la bala el bloque. 38. dos esferas perfectaente elásticas de asa 3 y, respectivaent unos hilos de la isa longitud, de fora que en la posición de equilibrio queden las esferas en contacto, los hilos paralelos y la línea que une los centros de aquellas horizontal. Apartaos las esferas de su posición de equilibrio de anera que sus centros asciendan una altura vertical h y los soltaos. Al chocar, la ayor queda quieta y la pequeña asciende la altura h y vuelven a reproducir constanteente el fenóeno. Deostrar tales hechos. h 3

9 39. Un cuerpo de 5Kg de asa se ueve sobre una esa lisa con velocidad 10M7s y choca con otro de 10 Kg de asa que se desplaza en dirección perpendicular a la anterior, con velocidad de 5 /s. Abos bloques, después del choque, v r 1 quedan unidos y deslizan juntos. Calcular la velocidad de abos después del choque, la dirección de ésta y la pérdida de energía cinética en el choque. v r 40. Un bloque de asa 480 gr se antiene en reposo erced a un pequeño resalte del plano inclinado 37º. El coeficiente de rozaiento entre bloque y plano es d el bloque recibe el ipacto de una bala de 0 gr de asa y velocidad 00 /s, horizontal y en el plano de la figura. Si la bala queda incrustada en el bloque, calcular la distancia que abos v r recorren por el plano hasta pararse. 37 º 41. Un resorte vertical de constante 1000 N/ sostiene un plano de Kg de asa. Desde 5 de altura respecto del plano, se deja caer un cuerpo de 4 Kg que se adhiere a él. Calcular la 5 4. Un cuerpo de 1 Kg de asa se halla pendiente de un hilo sin asa de 1 de longitud y sujeto por su otro extreo. Lanzaos horizontalente un proyectil de 0 gr de asa que realiza un choque frontal con el cuerpo de 1 Kg, quedando epotrado en él. Calcular la ínia velocidad del proyectil para que, realizado el choque, abas asas describan una circunferencia copleta en el plano vertical. v r

10 43. Sobre un saquito de arena de 4 Kg de asa pendiente de un hilo se dispara un fusil cuya bala tiene una asa de 40 gr. La bala atraviesa el saquito y recorre una distancia de 0 antes de pegar en el suelo que se encuentra a 1 5 por debajo del ipacto en el saquito. El saquito oscila experientando un desplazaiento vertical de 30 c. Calcular la velocidad de la bala en el oento del ipacto. 30c 1'5 44. El disco A gira con velocidad angular ω a. El disco B tiene un oento de inercia 3 veces enor que el de A, y gira con ω B en sentido contrario a A, y veces ayor en ódulo que ω A. Se deja caer el disco B sobre el A y en el acoplaiento se producen 385 Kg. de calor. Calcular las energías B A 45. Una bala de asa 1 Kg y velocidad inicial de 100 /s, choca con un pequeño diente o resalte situado en la periferia de un volante de asa 1 Kg y radio 10 c. El volante es cilíndrico, acizo y hoogéneo (no se tiene en cuenta el pequeño diente) y que el choque es perfectaente elástico, realizándose en la periferia del volante, averiguar la velocidad de la bala y la velocidad angular adquirida por el volante después del choque. 46. Cual es la ínia velocidad que tiene que llevar el proyectil de asa 1 de la figura para que al chocar e incrustarse en el extreo inferior de una barra hoogénea, de longitud L y asa M que se encuentra atravesada por el otro extreo por un eje, para que de una vuelta copleta alrededor de dicho eje, después del ipacto.

11 47. Calcular la velocidad con la que llega un cilindro a la base de un plano inclinado 30º, sabiendo que dicho cilindro parte del reposo desde una altura de 10 y tiene una asa de 1 Kg y un radio de Tres discos iguales, de radio y asa, giran con velocidad angular ω alrededor de los ejes que se indican en la figura. Si se aplica tangencialente (en el punto de la periferia del disco ás alejado del eje de giro) la isa fuerza constante F, cuánto tiepo tardará cada uno de los discos en pararse? ω r ω r ω r (1) () / (3) 49. Una rueda forada por dos discos coaxiales superpuestos, de radios y 3 y asas y M, respectivaente, se apoya sobre una superficie horizontal por la que puede rodar sin deslizar en las dos situaciones indicadas en la figura: A) Cuando el contacto es con el disco de radio y B) cuando el contacto es con el disco de radio 3. Si tiraos del centro del sistea con una fuerza F, calcular: a) La relación entre las aceleraciones angulares del sistea en las situaciones A y B. b) La relación entre las asas para que abas aceleraciones angulares sean iguales. c) La velocidad del CM del sistea en las situaciones A y B, después de recorrer una distancia d partiendo del reposo. d) Obtener dichas velocidades para la relación de asas encontrada en el segundo apartado. 3 F r 3 F r A B 50. El sistea de la figura está forado por un cilindro de asa y radio r y dos cilindros de asa M=4 y radio =4r. Sobre el cilindro de enor radio se enrolla una cuerda ideal que tiene su otro extreo unido al techo. Si el sistea está inicialente en reposo, calcular su velocidad angular cuando se ha desenrollado una longitud h de cuerda. r M M

12 51. Una esfera de radio o = / 10 y asa, se coloca en reposo en el interior de una cavidad esférica de radio. Suponiendo que rueda sin deslizar, calcular la velocidad que llevará el centro de asa de la esfera al pasar por el punto A o θ A 5. Un cilindro de asa M y radio cae, partiendo del reposo, desde una altura h por una superficie rugosa, de anera que rueda sin deslizar. Al llegar a la parte ás baja, se encuentra con un plano inclinado un ángulo θ respecto a la horizontal, tal y coo indica la figura. Calcular la altura hasta la que subirá por el plano inclinado, si éste es: a) De igual aterial que el trao anterior b) Perfectaente liso h θ 53. Sistea de la figura tiene una asa total de 50 Kg y radio de giro de 0 c. Se tira de la cuerda con una fuerza de 30 N. Calcular la velocidad del centro de asas y la velocidad del sistea en torno a él a los s de epezar a actuar la fuerza. Los coeficientes de rozaiento estático y dináico con el suelo son 0 5 y 0 1, respectivaente. = 1 10c, = 30c F 54. Un autoóvil choca contra una pared. La colisión dura 0 10 s. La asa del autoóvil es de 1700 Kg y su velocidad inicial es de 16 6 /s. Sabiendo que sale despedido a una velocidad de 1 3 /s en dirección contraria a la que llevaba antes de la colisión, calcular el ipulso y la fuerza ipulsiva proedio 55. Una pelota de goa se tira horizontalente sobre una pared. La bola golpea la pared con una velocidad v. Asuiendo conservación de la energía, encontrar la velocidad de la bola

13 56. Una bala de 9 7 gr choca contra un péndulo balístico de 4 Kg de peso, quedándose incrustado en él. La altura a la que sube el sistea péndulo-bala es de 19 c. Calcular la velocidad que llevaba la bala. 57. Un neutrón que lleva una velocidad de 3x10 7 /s colisiona elásticaente con un átoo de Helio. El neutrón se desvía con un ángulo de 60º. cuál es la velocidad final? 58. Un autoóvil de 1100 Kg y otro de 1300 Kg colisionan en una intersección. El priero iba hacia el Este y el segundo hacia el Norte. Después de la colisió juntos y sus ruedas dejaron una arca de 1 87 de longitud en una dirección 30º NorEste antes de pararse totalente. velocidad de cada autoóvil antes de la colisión? Excedió alguno de ellos el líite de velocidad de 5 /s? El coeficiente de rozaiento cinético entre las ruedas y el paviento es de 0 80 (las ruedas peranecieron sin rodar después de la colisión) 59. Dos partículas de asas 3Kg y 3 Kg tienen coo vector de posición r r = 1 3i ( ) y r r = 4 j( ) respectivaente, y sus velocidades v r r r r = ( / ) 1 j s y v 6 i = /s. Deterinar: a) El oento angular total respecto al origen y al CM b) La energía cinética total respecto al origen y al CM Supongaos ahora que abas partículas se unen ediante un resorte ideal de constante elástica K=.10 N/, inicialente sin estirar. c) Cóo afectará esto al oviiento del CM del sistea d) Cual es la energía total interna del sistea. peranecerá constant? e) En un cierto instante, el resorte está alargado 4 c. Hallar las energías internas, cinética y potencial de las partículas.