TEMA 1: OSCILACIONES. MOVIMIENTO ARMÓNICO. Ejemplos: Péndulos, cuerdas vocales, cuerdas de instrumentos musicales.

Transcripción

1 TEMA : OSCILACIONES. MOVIMIENTO ARMÓNICO.. Introducción. Un sistea en equilibrio estable, si se perturba ligeraente de su punto de equilibrio, realiza oscilaciones en torno a este punto. Las oscilaciones tienen la característica de ser periódicas. Un oviiento se denoina periódico, si a intervalos de tiepo iguales de valor T, se repiten exactaente las características cinéticas y dináicas del sistea. El tiepo T recibe el nobre de período. Debe diferenciarse el oviiento oscilatorio del oviiento ondulatorio, aunque abos está uy relacionados. Las ondas sonoras, por ejeplo, se pueden producir ediante las vibraciones de un instruento usical. Un uelle o un péndulo, realizan un oviiento oscilatorio, al ser desplazados de su punto de equilibrio, alrededor de este punto. Las ondas sonoras, coo perturbaciones del equilibrio de las oléculas de aire, se propagan en el espacio, alejándose del punto en el que fueron producidas. Ejeplos: Péndulos, cuerdas vocales, cuerdas de instruentos usicales.. Moviiento arónico siple. Figura 4. Cuerpo unido a un uelle Moviiento arónico. El desplazaiento x es edido desde la posición de equilibrio, pudiendo ser positivo o negativo. Es el caso ás sencillo de oviiento oscilatorio o periódico. Puede definirse de uchas aneras: Direos que el oviiento de un punto aterial es arónico siple cuando está soetido a una fuerza restauradora, proporcional al desplazaiento de su posición de equilibrio. Figura 4.. Las figuras han sido toadas en su ayor parte, del libro de P. Tipler. Consúltese la bibliografia del curso.

2 F x K x Ley de Hooke De la segunda ley de Newton deducios: d x d x Fx kx a a k x d x k x. Ecuación diferencial de segundo orden.(ecuación Siepre que la aceleración de un objeto sea proporcional al desplazaiento, en sentido opuesto, éste realiza un oviiento arónico siple (.v.a.s.). ) El tiepo necesario para realizar una oscilación copleta es el período T. La unidad en el sistea internacional es el segundo (s). La frecuencia f de las oscilaciones es la inversa del período, y se ide en el sistea internacional (S.I.) en Hertz (que equivale a s - ): f Deostrareos, ediante la interpretación geoétrica del.v.a.s., que el desplazaiento de un objeto, soetido a un.v.a.s., obedece a una ley sinusoidal (seno o coseno) de la fora: π x Acos( ωt+δ) A sin( ωt+δ'), con δ' δ+ Ecuación del oviiento arónico siple.(ecuación ) Donde: El desplazaiento áxio A recibe el nobre de Aplitud de las oscilaciones, T El arguento de la función sinusoidal se denoina fase: (ωt+δ). La fase caracteriza unívocaente el estado dináico del oscilador. La fase inicial es δ, es decir es la fase para t. El desplazaiento instantáneo del punto de equilibrio es x, que recibe el nobre de elongación. Un ciclo copleto del oviiento conlleva obviaente, un increento en la fase de π y un increento teporal de T, que es el período Fase(t+T)Fase(t) + π π ω( t+ T) + δ ωt+ δ + π T ω

3 ω recibe el nobre de pulsación (o frecuencia angular) y se ide en radianes por s -. La ecuación del.a.s. puede ser escrita en función de la frecuencia f del período T, toando la fora siguiente: πt x A cos + δ T La constante de fase, y la elección de la función seno o coseno depende de cual haya sido la definición del oviiento en el instante t, que son las llaadas condiciones iniciales. En la figura 4.5 se presentan las variaciones de las tres agnitudes cineáticas en el.v.a.s, observándose que la elongación está desfasada respecto a la velocidad en 9 o y 8 o respecto de la aceleración. Figura 4.5 Desplazaiento, velocidad y aceleración en el.v.a.s. Obsérvese el desfase entre estas tres agnitudes...-deostración: Quereos deostrar que la ecuación del oviiento (Ec..) es solución de la ecuación diferencial del oviiento (Ec..) Derivando dos veces la ecuación del oviiento (Ec. ), encontraos: v a dx dv A ω sin( ωt + d x ω A δ) cos( ωt + δ) que es exactaente la ecuación diferencial (Ec. ), si se cuple que: k ω Ejercicios de aplicación. ω x 3

4 Una característica iportante del.a.s. es que su período (o frecuencia) es independiente de la aplitud A del oviiento, coo se ilustra en la figura 4.4. Esta propiedad es iportante en úsica, de odo que el tono de las notas usicales es independiente de su intensidad. Figura 4.4 Ecuaciones horarias para un uelle con distintas aplitudes. Observad coo los dos oviientos llegan a sus posiciones de equilibrio siultáneaente, independienteente de su aplitud. 3. Interpretación geoétrica. Una partícula se ueve sobre una circunferencia de radio A, con velocidad angular ω constante; la velocidad lineal vale v ωr. Quereos deostrar que la proyección x de este punto sobre un diáetro fijo, realiza un oviiento arónico siple. De la figura 4.5, deducios: Figura 4.5 Interpretación geoétrica del.v.a.s. La proyección x del punto aterial sobre el diáetro describe un oviiento arónico. x θ wt + δ c.q.d. Acosθ Acos(wt + δ) El punto proyectado sobre un diáetro de una partícula que se ueve con oviiento circular unifore realiza un oviiento arónico siple. La interpretación geoétrica del.v.a.s. da significado a la frecuencia angular ω. 4

5 4. Energía del oviiento arónico siple. Quereos deostrar que: La energía ecánica del oviiento arónico siple es proporcional al cuadrado de su aplitud. Supondreos por siplicidad que teneos un uelle de constante recuperadora k, que realiza oscilaciones de aplitud A, no soetido a ningún tipo de fricción. Se trata pues de un sistea que conserva la energía ecánica: La energía potencial es: U kx. La energía cinética es: E v. Coo no hay fricción, el sistea es conservativo E tot es constante. E tot U + Ec kx + v ka hay que deostrarlo! c Figura 4.9 Energía potencial y ecánica de un uelle. Observad la energía cinética k (E c ). Los puntos x±a se denoinan puntos de retroceso, dado que el objeto no puede ir ás allá, con la energía ecánica de que dispone. En la figura 4.9 representaos la energía ecánica (constante) de un.v.a.s. y la energía potencial (parábola). Los puntos de corte de las dos curvas se denoinan puntos de retroceso, en los que se anula la energía cinética de la partícula y es áxia la energía potencial. Desde estos puntos, el óvil se desplaza auentando su energía cinética a expensas de la energía potencial, hasta que llega al punto de equilibrio, en el que la energía cinética es áxia y la potencial nula. 4. Deostración: Vaos a deostrar explícitaente que la energía ecánica del.v.a.s. es constante. 5

6 Usando la expresión de la elongación y la velocidad para el.v.a.s. deducios: E U kx v ka cos ( ωt + δ) - Aωsin( ωt + δ [ ] c ) Coo k ω, suando abas expresiones se obtiene: E tot La energía ecánica total del.v.a.s. es proporcional al cuadrado de su aplitud. ka Se deduce fácilente tabién coo varían E c i U: donde θ ωt + δ U E tot cos θ E c E tot sin θ Coo ejercicio deostrad que el valor edio de estas es E tot / Ejercicios de aplicación: Objeto colgado de un uelle vertical: prácticas. 5. Estudio del péndulo. El oviiento de un péndulo es solaente arónico siple si su aplitud es pequeña. En la figura 4.4. se representa de fora esqueática un péndulo de longitud L, con las variables que deben usarse y las fuerzas que actúan sobre él. Se cuple que: s L d F t g L g sin sin Según la hipótesis establecida de ángulo pequeño en la que aproxiaos el seno por el ángulo sin, encontraos que la g L d s ω Calcular el valor edio de cada función sobre una oscilación copleta. Usad la definición de valor edio. 6

7 aceleración angular es proporcional al desplazaiento de el ángulo, es decir, se trata de un.v.a.s. en esta variable. La constante de proporcionalidad es obviaente, el cuadrado de la frecuencia angular ω y la solución, que representa la ecuación del oviiento del péndulo es: cos( ωt + δ) Figura 4.4 Péndulo siple, y las fuerzas que actúan sobre él. El período toa el valor: T π ω π L g expresión que nos perite edir de fora siple la aceleración de la gravedad g. Oscilaciones de gran aplitud: Observaos que el período de las oscilaciones pendulares es independiente de la asa, aunque la fuerza sí que dependa de la asa, resultando independiente de ella la aceleración. El período y la frecuencia son independientes de la aplitud, coo se requiere en el.v.a.s. Ahora bien, si la hipótesis de aplitudes pequeñas no es válida, ya no se puede considerar un.v.a.s. y el período depende de la aplitud. En este caso, el oviiento continúa siendo periódico con un período que depende de la aplitud en la fora: T T 3 + sin 4 + sin

8 Ejercicio: Mediante el análisis diensional deostrad que el período del péndulo no puede depender de su asa Péndulo físico. Un sólido rígido colgado de cualquier punto, diferente de su C.d.G. constituye un péndulo físico, y por tanto, separado de su posición de equilibrio oscilará alrededor de este punto. Figura 4.7: las variables que definen el problea son la asa M, la distancia D, y el ángulo. Aplicando el teorea del oento angular: d L τ, L I ω, τ M g D d t d Iα I MgDsin sin Figura 4.7 Péndulo físico, con las variables que intervienen. Si el desplazaiento del punto de equilibrio es pequeño, se trata de un.v.a.s., ya que si sin obteneos la ecuación y el período: d MgD ω I π T π ω I MgD La ecuación anterior puede usarse para obtener el oento de inercia de un cuerpo respecto de un eje, dejando oscilar el cuerpo respecto del eje y idiendo el período de las oscilaciones. Observad que el período de las oscilaciones es independiente de la asa: para deostrarlo usad la definición de radio de giro. 3 Ver P. Tipler, página 46. 8

9 7. Péndulo de torsión. Esqueáticaente se uestra en la figura.5. Existe un par restaurador elástico proporcional al ángulo de desplazaiento del punto de equilibrio. Figura.5: Péndulo de torsión τ k d I d La constante de proporcionalidad k recibe el nobre de ódulo de torsión. De la definición de la frecuencia angular ω, deducios el valor del período de las oscilaciones, que en este caso no depende de la aplitud: T π 8. Moviiento general de un punto aterial en las proxiidades del equilibrio. Siepre que una partícula se desplaza ligeraente de su posición de equilibrio estable, realiza oscilaciones arónicas alrededor de este punto, independienteente de la fora de la fuerza. Si esto es así, la fuerza se puede aproxiar alrededor del punto de equilibrio coo: F I k kε donde ε representa el desplazaiento del punto de equilibrio (Figura.6) k I ω Figura.6 Una fuerza arbitraria F x en función de x. Aproxiación lineal 9

10 Este análisis es conveniente hacerlo desde el punto de vista de la energía potencial U, asociada a la fuerza que actúa sobre el objeto. La figura4.. representa la función energía potencial correspondiente a la fuerza de la figura anterior. El ínio (áxio) es un punto de equilibrio estable (inestable). Si haceos un desarrollo en serie de Taylor, alrededor del ínio, coo la priera derivada, por tratarse de un punto de equilibrio se anula, y la segunda derivada es positiva, podreos escribir, quedándonos en el segundo térino: U A+ B(x x ) donde B es una constante positiva. La energía potencial, en las proxiidades del punto de equilibrio puede aproxiarse a una parábola, y por tanto el oviiento del punto aterial será.v.a.s, por lo que: Figura 4. Energía potencial del ejeplo anterior. du B(x x ) kε dx Fx Obsérvese que el período de las oscilaciones se relaciona B, derivada segunda de la función potencial (coeficiente B de la parábola), y por tanto, con cuan cerrada (abierta) sea la parábola. 9. Oscilaciones Aortiguadas. En el undo acroscópico, los sisteas oscilantes van perdiendo progresivaente energía, por la que no se puede obviar la fricción. Se dice que el oviiento es aortiguado. La característica de un oviiento oscilatorio soetido a aortiguación (débil) es que la aplitud de las oscilaciones va disinuyendo en el tiepo de fora exponencial coo se ve en la figura 4.. La representación ás sencilla de una fuerza aortiguada viene dada por una fuerza de rozaiento proporcional a la velocidad del punto aterial, pero opuesta a la velocidad:

11 F v bv kx bv ax dv donde b es una constante que caracteriza el aortiguaiento del objeto en el edio ( con fricción) en el que se desplaza. La fuerza de aortiguaiento del oscilador se opone al oviiento del oscilador en todo instante (signo enos), y realiza en consecuencia un trabajo negativo: esta es la razón de que disinuya la energía del sistea. Figura 4.. Oscilador aortiguado. (Con aortiguación débil) La ecuación anterior es en realidad una ecuación diferencial de segundo orden (de coeficientes constantes), de fácil resolución, si bien esto es ateria de próxios cursos. Avanceos la solución de la ecuación diferencial 4 : d x + b dx + k x x A o e λt cos( ωt + donde la constante λ se relaciona con la viscosidad y la frecuencia angular ω del oscilador aortiguado con la ω λ b, ω δ) k del oscilador libre coo: La aplitud A y la fase inicial δ de la solución, son las constantes de integración de la ecuación diferencial, deterinables ediante las condiciones iniciales del problea. ω λ 4 La coprobación de la solución aquí usada puede verse en el libro de Fishbane, página 396.

12 De esta solución podeos extraer las siguientes conclusiones respecto al oviiento arónico aortiguado: La frecuencia del oscilador soetido a una fuerza viscosa disinuye, coo cabe esperar, ya que la viscosidad se opone al oviiento. La aplitud de las oscilaciones (y por tanto la energía, que es el cuadrado de ésta) disinuye de fora exponencial en el transcurso del tiepo, así que la fuerza viscosa consue energía ecánica del sistea. El rito de pérdida de energía ecánica viene caracterizado por la constante teporal τ, que se relaciona con la constante de aortiguación λ: λt t / τ Etot ka, A A e E() t E e λ τ La constante teporal τ, denoinada tabién constante de extinción, representa el tiepo que debe transcurrir para que la energía del oscilador se reduzca en un factor /e. Así pues, a ayor τ, enor rito de pérdida de energía. A edida que el coeficiente de viscosidad auenta, la aortiguación es ás fuerte, hasta que se alcanza un valor crítico por encia del cual ya no se producen oscilaciones. (Figura 4.). Figura 4.: Oscilador aortiguado críticaente y oscilador sobre aortiguado. Los osciladores aortiguados están caracterizados por su factor Q de calidad, que resulta ser inverso a su rito de pérdida de energía, y se define coo: ω Q ω τ b Diferenciando la ecuación de la energía del oscilador aortiguado, considerando que la aortiguación es pequeña y calculando la energía perdida en un período, deducios:

13 de E τ e t/ τ Q (E t) τ π E T π E τ ω τ ( E/E ) E ciclo ciclo E π π Q. Moviiento arónico forzado. Para antener constante (o increentar) la energía de un oscilador soetido a una fuerza viscosa, es necesario suinistrarle energía desde una fuente exterior. Por ejeplo, en un péndulo o en un colupio podeos suinistrar energía a golpes de frecuencia constante. Si la frecuencia de la fuente de energía exterior es parecida a la del colupio, nuestra experiencia nos dice que la aplitud de sus oscilaciones puede hacerse uy grande, ientras que si es uy diferente, la transisión de energía desde la fuente exterior al sistea oscilante es uy pequeña. Ejeplo del colupio. Supongaos un sistea oscilante en reposo, que coienza a ser excitado por una fuente de energía exterior: a edida que la aplitud de las oscilaciones auenta, se increenta tabién la velocidad del objeto y por tanto la energía disipada en la fricción viscosa, por lo que cabe esperar que finalente se alcance un estado estacionario en el que la energía disipada por fricción se iguale con la energía recibida por parte de la fuente exterior. En consecuencia, la energía que finalente alcanzará el sistea depende de la aplitud de la fuerza exterior y tabién de su frecuencia. Se denoina frecuencia propia (o natural) del oscilador a la que exhibe cuando no hay viscosidad ni fuerza exterior, es decir: ω Ocurre que cuando frecuencia de la fuerza exterior es igual a la propia, la aplitud de las oscilaciones (y por tanto la energía) que alcanza el oscilador es áxia. Este fenóeno recibe el nobre de resonancia, (y la frecuencia a la que aparece este fenóeno: frecuencia de resonancia). Planteeos el problea del oscilador forzado con una fuerza sencilla, coo por ejeplo un arónico de frecuencia ω, siendo ω (k/) / la frecuencia propia del oscilador. Tendreos: F F cos ωt ext o k 3

14 dv F kx bv + F cos ωt i d x b dx F + + ω x cos ωt La solución general de esta ecuación diferencial es la cobinación de una solución transitoria, que decrece exponencialente con el tiepo hasta dejar de ser iportante, y que incluye las dos constantes de integración de la ecuación diferencial, deterinables por condiciones iniciales, (oscilador aortiguado) y una solución estacionaria que peranece constante en el tiepo, y que corresponde al equilibrio entre la energía recibida y la disipada por parte del sistea oscilante. La solución de tipo estacionaria (no lo deostrareos), coentada antes, se escribe de la fora 5 : x A cos (wt δ) A sin t ( ω + ϕ) donde la frecuencia ω de las oscilaciones forzadas coincide totalente con la de la frecuencia de la fuerza exterior. El oscilador forzado vibra con la frecuencia de la fuerza exterior. La fase δ de la solución estacionaria, representa el desfase existente entre la fuerza exterior y la respuesta (desplazaiento) del oscilador: bω tg δ ω ω ( ). Resonancia. La aplitud de las oscilaciones estacionarias tiene la propiedad notable de la resonancia y toa un valor: F A ( ω ω ) + b ω que será áxia (resonancia) cuando la frecuencia de la fuerza exterior se haga coincidir con la propia del oscilador. De hecho, el áxio de la aplitud (resonancia) aparece para frecuencias enores a la propia (calculadlo!) 6 : 5 La aplitud y la fase de la solución estacionaria del oscilador forzado dependen de las características físicas del oscilador y la fuerza exterior, no de las condiciones iniciales del problea. 6 La condición de aplitud áxia es equivalente a la de denoinador ínio. Para calcular el áxio derivad respecto de ω. 4

15 ω áx ω Tabién se observa que, en el caso de una aortiguación fuerte (b grande), la aplitud de las oscilaciones será pequeña y viceversa, (Figura 4.5). Se puede deostrar que la aplitud de las curvas de resonancia (figura 4.5), es inversaente proporcional al coeficiente de calidad del oscilador: ω f ω f Q de anera que son ás estrechas las curvas de resonancia para osciladores con Q grande, es decir, con coeficiente de fricción pequeño. b Figura 4.5 Curvas de resonancia, para diferentes coeficientes de aortiguación, representados por el factor de calidad Q. Conclusiones: La aplitud de la solución estacionaria es ayor (por tanto, adquiere ayor energía) cuando la frecuencia exterior coincide con la propia del oscilador (resonancia). Las curvas de resonancia son tanto ás estrechas cuanto enor sea el coeficiente de aortiguación. De hecho, se puede deostrar que la aplitud ω a la altura edia de las curvas toa un valor: ω b / El oscilador forzado realiza oscilaciones (estacionarias) adoptando la frecuencia de la fuerza exterior. Ejeplos de fenóenos de resonancia (P. Fishbane, página 398) Lectura recoendada. Resonancia e incertidubre (P. Fishbane página 4) 5