Tema 1: Oscilaciones

Transcripción

1 1/45 Fátima Masot Conde Ing. Industrial 2007/08 2/45 Índice: 1. Movimiento Armónico Simple. Características. Representación Matemática. 2. Energía del M.A.S. 3. Algunos Sistemas Oscilantes. Péndulo Simple. Péndulo Físico. Masa+Muelle 4. Oscilaciones Amortiguadas. 5. Oscilaciones Forzadas.

2 Movimiento Armónico Simple 3/45 Cuándo ocurre? Cuando un sistema estable pierde su posición de equilibrio. Ejemplos j p Cuerdas instrumentos musicales Oscilación de barcos sobre el agua Relojes de péndulo Movimiento Armónico Simple 4/45 Es el más básico del Movimiento Oscilatorio Sistemas Ideales (sin rozamiento) Sistemas Reales Oscilador perfecto sin pérdidas Movimiento amortiguado Movimiento forzado

3 Movimiento Armónico Simple Características 5/45 Este sistema estable responde con esta fuerza de recuperación cuando se separa de su posición de equilibrio: Cte del muelle (rigidez) F x = Kx Ley de Hooke Fuerza restauradora desplazamiento 2º grado Kx = ma x = m d2 x dt 2 d 2 x dt 2 = K m x = 2 x (Newton) Ecuación diferencial, característica del M.A.S. 6/45 Movimiento Armónico Simple Su solución: x(t) = A cos( t + ) donde y Amplitud A, son ctes a determinar K m es la frecuencia angular Fase (inicial) (ésta se saca directamente de la ecuación dif.-es el factor multiplicativo de x-.) verifica la ecuación del MAS. Comprobémoslo

4 7/45 Movimiento Armónico Simple Comprobación: v(t) = a(t) = dx dt d 2 x dt 2 = A sin( t + ) x(t) = A 2 cos( t + ) = 2 x A,, se determinan por las condiciones iniciales Qué son las condiciones iniciales? Las condiciones que se tienen de veloc. y desplazamiento en el instante t=0 8/45 Movimiento Armónico Simple t =0 Cómo se determinan A y de las condiciones iniciales? x 0 = x(t =0)= = A cos( t + = A cos ) t=0 t=0 v 0 = dx = A sin( t + ) = A sin dt t=0 t=0 v x 0 0 -A sin = tan Acos v A= x Dos ecuaciones con dos incógnitas, A y que se despejan, conocidas v 0 y x 0 Cuidado: A sólo es condición inicial (= x 0 ) si v 0 = 0

5 9/45 Movimiento Armónico Simple El MAS es un movimiento periódico: x(t) =x(t + T ) Período de repetición El movimiento se repite en las mismas condiciones de desplazamiento y velocidad x(t)= x(t +T) x(t)= x(t +T) x(t)= A cos( t )= A cos ( t T) = Acos t T = x(t +T) x(t)= -A sin( t )= = - A sin( t T ) = x(t +T) Ambas se verifican si T 2 T = 2 Movimiento Armónico Simple 10/45 T = 2 (s) rad/s Relación entre el período y la frecuencia angular La frecuencia lineal: f = 1 T = 2 Hz = ciclos s Si sólo tenemos un MAS, siempre podemos tomar D=0 0, eligiendo adecuadamente nuestro origen de tiempos. En ese caso: x(t) =A A cos t

6 Movimiento Armónico Simple 11/45 Desplazamiento MAS Movimiento Armónico Simple 12/45

7 Movimiento Armónico Simple 13/45 x(t) v(t) = dx dt = A sin( t + ) a(t) = d 2 x dt 2 = A 2 cos( t + ) 14/45

8 MAS y Movimiento Circular 15/45 Partícula que se mueve sobre una circunferencia, con velocidad cte. = t + La La proyección y sobre el el eje eje x: x: x(t) =A A cos( t + ) Es un MAS Energía del MAS 16/45 Kx Para: F = - K x Energía potencial: Energía cinética: U = 1 2 Kx2 = 1 2 KA2 cos 2 ( t + ) E c = 1 2 mv2 = 1 2 ma2 2 sin 2 ( t + ) E )+sin TOTAL = U + E c = 1 2 KA2 [cos 2 ( t ( t + )] = 1 2 KA2 =Cte =1

9 17/45 Energía del MAS En función del tiempo En función del espacio 18/45

10 19/45 Algunos sistemas oscilantes 20/45 Los sistemas oscilantes que vamos a ver: Péndulo simple Péndulo físico Objeto + Muelle vertical En clase de problemas

11 Péndulo simple 21/45 En qué consiste Sistema IDEAL Cuerda longitud L Masa m Fuerzas que actúan: mg y T mg sin = m d2 s dt 2 Ángulo desplazado Longitud del arco recorrido casi MAS Como s = L d 2 s dt = 2 Ld2 dt 2 Péndulo simple 22/45 d 2 dt 2 = g L sin Tampoco es un M.A.S. Sin embargo, para ángulos pequeños, sin (infinitésimos equivalentes) d 2 dt 2 = g L M.A.S. Conclusión: El movimiento de un péndulo es aproximadamente armónico simple para pequeños desplazamientos angulares.

12 Péndulo simple 23/45 Reescribiendo de la forma habitual d 2 dt 2 = 2 Ecuación de este sistema r g Con: = L s T = 2 =2 L g Período del péndulo T no depende de la masa Esto también sale por análisis dimensional: s [T ]=s, [L] [g] = s Péndulo simple 24/45 Solución: (para ) = 0 cos( t + ) Amplitud angular, [rd] ó grados Fuera de esa aproximación, (oscilaciones de gran amplitud): " T = T 0 = sin μ # 2 sin p L/g T = T ( 0 ) M.A.S.

13 Péndulo físico 25/45 Qué es? Cuerpo rígido que gira alrededor de un eje que no pase por su C.M. El momento de la fuerza (Mg) alrededor de ese eje: = I d 2 dt 2 = MgD I MgDsin = I d2 dt 2 sin MgD = 2 I M.A.S. Péndulo físico 26/45 Para este sistema: r MgD = I s T = 2 =2 I MgD Comprobar que el péndulo simple también lo verifica, con I ML D L 2 Para oscilaciones de gran amplitud, vale la misma fórmula que dimos en el péndulo simple, con: T 0 =2 s I MgD

14 Oscilaciones amortiguadas 27/45 Pierde energía por rozamiento. No mantiene su amplitud. Ejemplo: Columpio que se para (subamortiguamiento) Casos: Subamortiguamiento (amortiguamiento débil). Sobreamortiguamiento (amortiguamiento fuerte). Amortiguamiento crítico. Oscilaciones amortiguadas Subamortiguamiento 28/45 La fuerza de amortiguación se modela con una fuerza proporcional a la velocidad. F a = bv (sistema con amortiguación lineal) Cte > 0 Kx b dx dt = x md2 dt 2 Ecuación diferencial del movimiento subamortiguado.

15 Oscilaciones amortiguadas Subamortiguamiento 29/45 A(t) Solución: = m b x(t) =A A 0 e ( 2m)t b cos( 0 t + ) donde: 0 = 0 s1 amplitud instante inicial μ A(t) =A 0 e t/2 b 2m 0 2 frecuencia del caso no amortiguado= K / m m b cte de tiempo Oscilaciones amortiguadas 30/45 0 =0cuandob b =2m 0 b c = constante de amortiguamiento crítico Si b<bc ' 0 Si b b c Si b=b c DÉBILMENTE AMORTIGUADO El sistema oscila, con una frecuencia algo menor que la natural, 0 El sistema no oscila. (sistema sobreamortiguado) El sistema vuelve a su posición de equilibrio, sin oscilar, en el tiempo más breve posible. AMORT. CRÍTICO

16 31/45 Energía del oscilador amortiguado E 0 = E = 1 2 KA2 = 1 2 m 2 A 2 = 1 2 m 2 A 2 0 e t/ = E 0 e t/ A = A 0 e t 2 Cuando t =, A 2 = A2 0 e La energía disminuye en un factor 1/e La La Energía de de un un oscilador amortiguado disminuye y exponencialmente p con el el tiempo p Oscilaciones amortiguadas Factor de calidad del oscilador amortiguado 32/45 El factor de calidad: Q = 0 (adimensional) interviene en la nueva frecuencia amortiguada: 0 = 0 s1 μ 1 2Q 2 Y se puede relacionar con la pérdida de energía por ciclo: de = 1 E 0e t/ dt = 1 E dt

17 Oscilaciones amortiguadas Factor de calidad del oscilador amortiguado 33/45 En un ciclo: μ E E ciclo = T ' 2 0 = 2 Q O sea: amortiguamiento débil 2 Q = ( E/E) ciclo Q es es inversamente proporcional a la la pérdida relativa de de energía g por ciclo Oscilaciones forzadas 34/45 El sistema oscilante tiende naturalmente a detenerse debido a las pérdidas Ejemplo: Un columpio Si no se le suministra energía al mismo ritmo que la pierde, su amplitud disminuye. Si se le suministra más energía de la que pierde, su amplitud aumenta.

18 35/45 Oscilaciones forzadas Si se suministra la misma energía que pierde (al mismo ritmo), la amplitud se mantiene constante (estado estacionario) Una forma de suministrar la la energía 36/45 Oscilaciones forzadas Podemos modelar la fuerza impulsora como: F (t) =F F 0 sen( t) Ecuación del movimiento oscilatorio forzado: Opuestas al desplazamiento A favor del desplazamiento F(t) =m Kx b dx dt + F 0 sen( t) m d2 x dt 2 (Newton) X F = ma Fuerza recuperadora Amortiguamiento Fuerza impulsora

19 37/45 Oscilaciones forzadas Comparativa de movimientos F (t) bv Kx = ma Oscilación ideal No No tiene amortiguación y no nonecesita ser ser forzada Su Su frecuencia es es la la frecuencia 'natural' 0 = p K/m Su Su amplitud es esconstante 38/45 Oscilaciones forzadas Comparativa de movimientos F (t) bv Kx = ma Oscilación amortiguada Tiende a pararse, debido al amortiguamiento Frecuencia depende de la frecuencia natural 2 μ b 6= 0 = 0 ; 0 = 0 s1 2m 0 Su amplitud disminuye exponencialmente

20 39/45 Oscilaciones forzadas Comparativa de movimientos F (t) bv Kx = ma Oscilación forzada Sigue oscilando, mientras actúe F(t) Frecuencia, igual a la de la fuerza impulsora Su amplitud depende de 0 y de 40/45 Oscilaciones forzadas Solución a este sistema (régimen estacionario): Su amplitud: x(t) =A cos( t ) F 0 menos A = p m2 ( ) 2 + b 2 2 El Elsistema oscila con con la la misma frecuencia que quela la fuerza impulsora Su cte. de fase tan = cte. amortiguación b m( ) masa del oscilador frecuencia natural frecuencia impulsora Amplitud de la fuerza impulsora

21 41/45 Oscilaciones forzadas Interpretación de la solución. Curvas de resonancia Diagrama de la amplitud en función de la frecuencia de la fuerza impulsora. Parámetro: Constante de amortiguación, b. Cuanto más grande es el amort. b, el pico viene a ensancharse, se hace menos agudo y se desplaza hacia frecuencias más bajas. Si desaparece completamente 42/45 Oscilaciones forzadas Interpretación de la solución. Curvas de resonancia Diagrama de la potencia media transmitida en función de la frecuencia de la fuerza. Parámetro: Factor de calidad, Q. Q À (amort. pequeño) Resonancia alta y aguda Q (amort. grande) Resonancia ancha y pequeña

22 43/45 Oscilaciones forzadas Interpretación de la solución. Curvas de resonancia : Anchura de la curva de resonancia, a la mitad de la altura máxima. Para Q À 0 = 1 Q medida de la agudeza de la resonancia 44/45 Oscilaciones forzadas Ejemplos de resonancia Caminar con un recipiente de agua Columpio Puentes(marchas marciales sobre puentes) Cuando Q (sistema ideal), P max Esto no ocurre en la práctica, pero puede llegar a tener un valor suficientemente grande como para que el sistema 7 se deteriore, 10 P 0 Potencia del oscilador sin forzar Ejemplo histórico: Puente de Angres (1880)

23 45/45 Bibliografía Tipler & Mosca Física para la ciencia y tecnología Ed. Reverté (vol. II) Serway & Jewett, Física, Ed. Thomson (vol. II) Halliday, Resnick & Walter, Física, Ed. Addison- Wesley. Sears, Zemansky, Young & Freedman, Física Universitaria, Ed. Pearson Education (vol. II) Fotografías y Figuras, cortesía de Tipler & Mosca Física para la ciencia y tecnología Ed. Reverté Sears, Zemansky, Young & Freedman, Física Universitaria, Ed. Pearson Education