Tema 1: Oscilaciones

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1 1/42 Fátima Masot Conde Ing. Industrial 2006/07 2/42 Índice: 1.. Características. Representación Matemática. 2. Energía del M.A.S. 3. Algunos Sistemas Oscilantes. Péndulo Simple. Péndulo Físico. Masa+Muelle 4. Oscilaciones Amortiguadas. 5. Oscilaciones Forzadas.

2 3/42 Cuándo ocurre? Cuando un sistema estable pierde su posición de equilibrio. Ejemplos Cuerdas instrumentos musicales Oscilación de barcos sobre el agua Relojes de péndulo 4/42 Es el más básico del Movimiento Oscilatorio Sistemas Ideales (sin rozamiento) Sistemas Reales Oscilador perfecto sin pérdidas Movimiento amortiguado Movimiento forzado

3 5/42 Características Este sistema estable responde con esta fuerza de recuperación cuando se separa de su posición de equilibrio: Cte del muelle (rigidez) F x = Kx Ley de Hooke Fuerza restauradora desplazamiento 2º grado d 2 x dt 2 Kx = ma x = m d2 x dt 2 = K m x = ω2 x (Newton) Ecuación diferencial, característica del M.A.S. 6/42 Su solución: x(t) = A cos(ωt + δ) Amplitud donde A, δ = son ctes a determinar K ω = = m y es la frecuencia angular Fase (inicial) (ésta se saca directamente de la ecuación dif.-es el factor multiplicativo de x-.) verifica la ecuación del MAS. Comprobémoslo

4 7/42 Comprobación: v(t) = dx dt = Aω sin(ωt + δ) a(t) = x(t) d 2 x = Aω 2 cos(ωt + δ) = ω 2 x dt 2 A, δ, se determinan por las condiciones iniciales Qué son las condiciones iniciales? Las condiciones que se tienen de veloc. y desplazamiento en el instante t=0 8/42 t =0 Cómo se determinan A y δ de las condiciones iniciales? x 0 = x(t =0)= A cos(ωt + δ) = A cos δ t=0 v 0 = dx = Aω sin(ωt + δ) = Aω sin δ dt t=0 t=0 v x 0 0 -Aωsinδ = = ωtanδ Acosδ v A= x + ω Dos ecuaciones con dos incógnitas, A y δ, que se despejan, conocidas v 0 y x 0 Cuidado: A sólo es condición inicial (= x 0 ) si v 0 = 0

5 9/42 El MAS es un movimiento periódico: x(t) =x(t + T ) Período de repetición El movimiento se repite en las mismas condiciones de desplazamiento y velocidad x(t)= x(t +T) x(t)= x(t +T) x(t)= [ ] ( ) A cos( ωt + δ ) = A cos ω( t + T) + δ = A cos ωt + ωt + δ = x(t +T) x(t)= -A ω sin( ωt + δ ) = = - Aωsin( ωt + ωt + δ) = x(t +T) Ambas se verifican si ω T = 2 π T = 2π ω 10/42 T = 2π ω (s) rad/s Relación entre el período y la frecuencia angular La frecuencia lineal: f = 1 T = ω 2π Hz = ciclos s Si sólo tenemos un MAS, siempre podemos tomar D=0 δ = 0, eligiendo adecuadamente nuestro origen de tiempos. En ese caso: x(t) =A cos ωt

6 11/42 Desplazamiento MAS 12/42

7 13/42 x(t) v(t) = dx dt = Aω sin(ωt + δ) a(t) = d 2 x dt 2 = Aω 2 cos(ωt + δ) MAS y Movimiento Circular 14/42 Partícula que se mueve sobre una circunferencia, con velocidad cte. θ = ωt + δ La La proyección sobre el el eje eje x: x: x(t) =A cos(ωt + δ) Es un MAS

8 Energía del MAS 15/42 Kx Para: F = - K x Energía potencial: Energía cinética: U = 1 2 Kx2 = 1 2 KA2 cos 2 (ωt + δ) E c = 1 2 mv2 = 1 2 ma2 ω 2 sin 2 (ωt + δ) E TOTAL = U + E c = 1 2 KA2 [cos 2 (ωt + δ)+sin 2 (ωt + δ)] = 1 2 KA2 =Cte =1 16/42 Energía del MAS En función del tiempo En función del espacio

9 Algunos sistemas oscilantes 17/42 Los sistemas oscilantes que vamos a ver: Péndulo simple Péndulo físico Objeto + Muelle vertical En clase de problemas Péndulo simple 18/42 En qué consiste Sistema IDEAL Cuerda longitud L Masa m Fuerzas que actúan: mg y T mg sin φ = m d2 s dt 2 Ángulo desplazado Longitud del arco recorrido casi MAS Como s = Lφ d 2 s dt = φ 2 Ld2 dt 2

10 Péndulo simple 19/42 d 2 φ dt 2 = g L sin φ Tampoco es un M.A.S. Sin embargo, para ángulos pequeños, sinφ φ (infinitésimos equivalentes) d 2 φ dt 2 = g L φ M.A.S. Conclusión: El movimiento de un péndulo es aproximadamente armónico simple para pequeños desplazamientos angulares. Péndulo simple 20/42 Reescribiendo de la forma habitual d 2 φ dt 2 = ω2 φ Ecuación de este sistema r g Con: ω = L s T = 2π ω =2π L g Período del péndulo T no depende de la masa Esto también sale por análisis dimensional: [T ]=s, s [L] [g] = s

11 Péndulo simple 21/42 Solución: φ = φ 0 cos(ωt + δ) (para φ) Amplitud angular, [rd] ó grados Fuera de esa aproximación, (oscilaciones de gran amplitud): T = T 0 " = sin2 1 2 φ µ sin φ 0 + # 2π p L/g T = T (φ 0 ) M.A.S. Péndulo físico 22/42 Qué es? Cuerpo rígido que gira alrededor de un eje que no pase por su C.M. El momento de la fuerza (Mg) alrededor de ese eje: τ = Iα d 2 φ dt 2 = MgD I MgDsin φ = I d2 φ dt 2 sin φ MgD I φ = ω 2 φ M.A.S.

12 Péndulo físico 23/42 Para este sistema: r MgD ω = I s T = 2π ω =2π I MgD Comprobar que el péndulo simple también lo verifica, con I = ML D = L 2 Para oscilaciones de gran amplitud, vale la misma fórmula que dimos en el péndulo simple, con: T 0 =2π s I MgD Oscilaciones amortiguadas 24/42 Pierde energía por rozamiento. No mantiene su amplitud. Ejemplo: Columpio que se para (subamortiguamiento) Casos: Subamortiguamiento (amortiguamiento débil). Sobreamortiguamiento (amortiguamiento fuerte). Amortiguamiento crítico.

13 Oscilaciones amortiguadas Subamortiguamiento 25/42 La fuerza de amortiguación se modela con una fuerza proporcional a la velocidad. F a = bv (sistema con amortiguación lineal) Cte > 0 Kx b dx dt = x md2 dt 2 Ecuación diferencial del movimiento subamortiguado. Oscilaciones amortiguadas Subamortiguamiento 26/42 A(t) Solución: τ = m b x(t) =A 0 e ( b 2m)t cos(ω 0 t + δ) donde: ω 0 = ω 0 s1 A(t) =A 0 e t/2τ amplitud instante inicial µ b 2mω 0 2 frecuencia del caso no amortiguado= K / m τ = m b cte de tiempo

14 Oscilaciones amortiguadas 27/42 ω 0 =0cuandob =2mω 0 b c = constante de amortiguamiento crítico Si b<bc ω ' ω0 Si b b c Si b=b c DÉBILMENTE AMORTIGUADO El sistema oscila, con una frecuencia algo menor que la natural, ω 0 El sistema no oscila. (sistema sobreamortiguado) El sistema vuelve a su posición de equilibrio, sin oscilar, en el tiempo más breve posible. AMORT. CRÍTICO 28/42 Energía del oscilador amortiguado E 0 = E = 1 2 KA2 = 1 2 mω2 A 2 = 1 2 mω2 A 2 0 e t/τ = E 0 e t/τ A = A 0 e t 2τ Cuando t = τ, A 2 = A2 0 e La energía disminuye en un factor 1/e La La Energía de de un un oscilador amortiguado disminuye exponencialmente con el el tiempo

15 Oscilaciones amortiguadas Factor de calidad del oscilador amortiguado 29/42 El factor de calidad: Q = ω 0 τ (adimensional) interviene en la nueva frecuencia amortiguada: ω 0 = ω 0 s1 µ 2 1 2Q Y se puede relacionar con la pérdida de energía por ciclo: de = 1 τ E 0e t/τ dt = 1 τ E dt Oscilaciones amortiguadas Factor de calidad del oscilador amortiguado 30/42 En un ciclo: µ E E ciclo = T τ ' 2π ω 0 τ = 2π Q O sea: amortiguamiento débil 2π Q = ( E/E) ciclo Q es es inversamente proporcional a la la pérdida relativa de de energía por ciclo

16 31/42 El sistema oscilante tiende naturalmente a detenerse debido a las pérdidas Ejemplo: Un columpio Si no se le suministra energía al mismo ritmo que la pierde, su amplitud disminuye. Si se le suministra más energía de la que pierde, su amplitud aumenta. 32/42 Si se suministra la misma energía que pierde (al mismo ritmo), la amplitud se mantiene constante (estado estacionario) Una forma de suministrar la la energía

17 33/42 Podemos modelar la fuerza impulsora como: F (t) =F 0 sen(ωt) Ecuación del movimiento oscilatorio forzado: Opuestas al desplazamiento A favor del desplazamiento F(t) Kx b dx dt + F 0 sen(ωt) =m d2 x dt 2 (Newton) X F = ma Fuerza recuperadora Amortiguamiento Fuerza impulsora 34/42 Comparativa de movimientos F (t) bv Kx = ma Oscilación ideal No No tiene amortiguación y no no necesita ser ser forzada Su Su frecuencia es es la la frecuencia 'natural' ω 0 = p K/m Su Su amplitud es es constante

18 35/42 Comparativa de movimientos F (t) bv Kx = ma Oscilación amortiguada Tiende a pararse, debido al amortiguamiento Frecuencia depende de la frecuencia natural 2 µ b ω 0 6= ω 0 ; ω 0 = ω 0 s1 2mω 0 Su amplitud disminuye exponencialmente 36/42 Comparativa de movimientos F (t) bv Kx = ma Oscilación forzada Sigue oscilando, mientras actúe F(t) Frecuencia, igual a la de la fuerza impulsora Su amplitud depende de ω 0 y de ω ω

19 37/42 Solución a este sistema (régimen estacionario): Su amplitud: A = x(t) =A cos(ωt δ) menos F 0 p m2 (ω 2 0 ω2 ) 2 + b 2 ω 2 El El sistema oscila con con la la misma frecuencia que que la la fuerza impulsora ω Su cte. de fase tan δ = cte. amortiguación bω m(ω 2 0 ω2 ) masa del oscilador frecuencia natural frecuencia impulsora Amplitud de la fuerza impulsora 38/42 Interpretación de la solución. Curvas de resonancia Diagrama de la amplitud en función de la frecuencia de la fuerza impulsora. ω/ω 0 Parámetro: Constante de amortiguación, b. Cuanto más grande es el amort. b, el pico viene a ensancharse, se hace menos agudo y se desplaza hacia frecuencias más bajas. Si desaparece completamente

20 39/42 Interpretación de la solución. Curvas de resonancia Diagrama de la potencia media transmitida en función de la frecuencia de la fuerza. Parámetro: Factor de calidad, Q. Q À (amort. pequeño) Resonancia alta y aguda Q (amort. grande) Resonancia ancha y pequeña 40/42 Interpretación de la solución. Curvas de resonancia ω: Anchura de la curva de resonancia, a la mitad de la altura máxima. Para Q À ω ω 0 = 1 Q medida de la agudeza de la resonancia

21 41/42 Ejemplos de resonancia Caminar con un recipiente de agua Columpio Puentes (marchas marciales sobre puentes) Cuando Q (sistema ideal), P max Esto no ocurre en la práctica, pero puede llegar a tener un valor suficientemente grande como para que el sistema 7 se deteriore, 10 P 0 Potencia del oscilador sin forzar Ejemplo histórico: Puente de Angres (1880) 42/42 Bibliografía Tipler & Mosca Física para la ciencia y tecnología Ed. Reverté (vol. II) Serway & Jewett, Física, Ed. Thomson (vol. II) Halliday, Resnick & Walter, Física, Ed. Addison- Wesley. Sears, Zemansky, Young & Freedman, Física Universitaria, Ed. Pearson Education (vol. II) Fotografías y Figuras, cortesía de Tipler & Mosca Física para la ciencia y tecnología Ed. Reverté Sears, Zemansky, Young & Freedman, Física Universitaria, Ed. Pearson Education

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