1.- CINEMÁTICA DEL M.A.S.: ECUACIONES Y REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN.

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1 1.- CINEMÁTICA DEL M.A.S.: ECUACIONES Y REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN. Movimientos oscilatorios: M.A.S. Cuando una partícula material se separa ligeramente de una posición de equilibrio estable siempre aparecen fuerzas de tipo recuperador que la obligan a moverse oscilando a un lado y otro en torno de dicha posición. Estas oscilaciones son periódicas, es decir, se repiten cada cierto intervalo de tiempo que se denomina periodo. Un caso muy simple de este tipo de movimientos es el movimiento armónico simple ( M.A.S.), en el que el móvil describe un segmento rectilíneo de acuerdo con la siguiente ecuación: x'acos(tt%*) en donde: x se llama elongación y representa la posición de la partícula respecto del punto medio del segmento rectilíneo recorrido A se llama amplitud y es el máximo valor que puede tomar la elongación al ángulo(ωt + δ)se le llama fase δ es la fase inicial o corrección de fase ω se llama frecuencia angular o pulsación y corresponde a la variación de la fase en una unidad de tiempo; se mide, por tanto, en rad/s Según vaya variando el tiempo t variará la fase y por tanto la posición, repitiéndose el movimiento cada cierto intervalo de tiempo llamado, como hemos dicho anteriormente, periodo (T), que corresponderá una variación en la fase de π radianes: T(t% T)%*'B%Tt%* ] Tt'B ] T' B T FÍSICA º BACHILLERATO Pág. 1

2 El periodo es, pues, el tiempo que tarda en repetirse el movimiento y puede medirse dividiendo el tiempo que tarda en producirse un cierto número de oscilaciones, por dicho tiempo número: T'.Se mide en segundos en el S.I. nº de oscilaciones Relacionada con el periodo está la frecuencia lineal o frecuencia, a secas, que puede definirse como el número de oscilaciones producidas en la unidad de tiempo y se puede obtener dividiendo el número de oscilaciones por el tiempo que tardan en nº de oscilaciones producirse: <'. Se mide en hercios (Hz) 1Hz' 1ciclo tiempo s De estas definiciones se deduce que el periodo es el recíproco de la frecuencia: T' 1 ] <' T ] T'B< < B Si tomamos en consideración las relaciones mencionadas entre frecuencia angular, periodo y frecuencia, la expresión de la ecuación del movimiento armónico simple puede adoptar otras formas: x'acos(b<t%*) x'acos( B T t%*) La corrección de fase, o desfase, δ depende de la posición que tenga el móvil en el instante inicial. Así, si para t = 0 x = x 0, tenemos: x 0 ' Acos* ] *'arccos x 0 A En general, habrá dos soluciones dentro de un mismo ciclo que deberán discutirse a partir del conocimiento del sentido del movimiento en ese instante inicial. Para completar la cinemática de este movimiento basta con encontrar las ecuaciones de la velocidad y aceleración. Para ello derivaremos respecto del tiempo la posición x'acos(tt%*): dx v = = Aωsen( ωt + δ ) dt FÍSICA º BACHILLERATO Pág.

3 y la velocidad dv a = = Aω cos( ωt + δ ) dt es decir: a = ω x Como se ve, cuando la velocidad sea máxima, la posición será cero y viceversa. Esto se debe a que la posición x y la velocidad están desfasadas π/ radianes: dx π v = = Aω sen( ωt + δ ) = Aω cos( ωt + δ + ) dt Si entre las ecuaciones de la posición y la velocidad en función del tiempo eliminamos el tiempo, obtendremos una relación entre la posición y la velocidad, en la que lo anteriormente expuesto se verá más claramente: x'acos(tt%*) ] cos(tt%*)' x A ] cos (Tt%*)' x v'&tasen(tt%*) ] sen(tt%*)' v TA ] sen (Tt%*)' v T A A y sumando miembro a miembro: 1' x A % v T A ] T A 'T x % v ] v't A & x Asimismo se observa que la aceleración es proporcional y de signo contrario a la elongación, lo que implica un desfase entre ambas de π radianes. FÍSICA º BACHILLERATO Pág. 3

4 Relación entre el M.A.S. y el movimiento circular uniforme Consideremos el movimiento de un cuerpo que describe una circunferencia de radio A con movimiento de velocidad angular constante ω, cuya posición inicial forma un ángulo δ. Si proyectamos la posición del objeto sobre el eje OX, encontraremos: x = Acos( ω t + δ ). Así, mientras el objeto describe la circunferencia de radio A con velocidad angular constante ω, su proyección sobre el eje de abcisas recorre el segmento AA con un M.A.S. de pulsación ω y amplitud A. Si hubiésemos proyectado sobre el eje OY, se habría ω δ obtenido: y = Asin( t + ) que corresponde a otro M.A.S. de igual amplitud y pulsación, desfasado respecto del anterior en 90º. Si ahora analizamos las proyecciones de la velocidad del M.C.U. sobre el eje de abcisas: π vx = v cos( + ω t + δ ) = v sin( ω t + δ ) y como la velocidad en el M.C.U. es vx = ωasin( ωt + δ ) v = ω A, nos queda: ecuación que corresponde a la de la velocidad en el M.A.S. Si se proyecta la aceleración del M.C.U. tendremos: a = x a cos( π + ω t + δ ) = a cos( ω t + δ ) y como en el M.C.U. la aceleración es la aceleración normal, de FÍSICA º BACHILLERATO Pág. 4

5 v A valor a = = ω A, nos quedará: a = ω A ω t + δ. x cos( ) Esta ecuación corresponde, como ya hemos visto, a la aceleración de un M.A.S. Así pues, se puede definir el M.A.S. como la proyección de un M.C.U. sobre uno de sus diámetros. De igual modo, se podría concluir que el movimiento circular uniforme es la composición de dos movimientos armónicos simples perpendiculares de igual pulsación y amplitud, desfasados 90º. con las características indicadas. Representaciones gráficas En la figura se muestra la representación gráfica de la posición en función del tiempo para un movimiento armónico simple con un desfase inicial δ. A la hora de representar gráficamente estas funciones armónicas, cuya forma es de sobras conocida, se deben representar los valores correspondientes a máximos, ceros y mínimos, separados FÍSICA º BACHILLERATO Pág. 5

6 entre sí por cuartos de periodo, tal como se muestra en la figura que sigue, en la que se muestran en la posición, velocidad y ac e l e r a c i ó n pa ra un mismo mó vil, en fu nción del ti empo, sin de s f a s e in icial: FÍSICA º BACHILLERATO Pág. 6

7 .- FUERZA ELÁSTICA;LEY DE HOOKE. TRABAJO DE UNA FUERZA ELÁSTICA. Cuando se somete un cuerpo sólido a la acción de una fuerza cambian su forma y su volumen, es decir, se deforma. La deformación producida depende de las características del cuerpo y de la fuerza aplicada. Si, cuando desaparece la causa deformadora, el cuerpo recupera su forma y volumen iniciales, se dice que ha experimentado una deformación elástica. Si, al desaparecer la fuerza deformadora, persiste la deformación, se trata de una deformación plástica. Como ejemplo de la primera situación podríamos considerar el caso del acero, que se comporta elásticamente, y para la segunda, el caso de la cera o del plomo cuyo comportamiento es inelástico aun para pequeñas fuerzas deformadoras. Sin embargo, como veremos a continuación, incluso los cuerpos considerados como elásticos pueden adoptar deformaciones permanentes si la fuerza aplicada es suficientemente grande. Ley de Hooe En la figura se muestra el aumento de longitud experimentado por un alambre cuando está sometido a una tracción. Inicialmente el alambre se mantiene tenso mediante un peso P colgado del cual hay un pequeño platillo. La longitud del alambre en estas condiciones, medida por el índice i, es l. Si colocamos un sobrepeso p en el platillo, el alambre se estirará una cantidad )l que podremos medir con el índice citado. El cociente l l se llama deformación unitaria o alargamiento relativo. Si vamos añadiendo sobrepesos y representamos gráficamente FÍSICA º BACHILLERATO Pág. 7

8 alargamientos relativos frente a los sobrepesos, obtendremos la recta CA que muestra proporcionalidad entre el sobrepeso y la deformación. Si ahora vamos quitando pesos del platillo, el alambre se irá encogiendo obteniéndose la misma recta pero en sentido inverso, lo que demuestra que el cuerpo ha vuelto a su estado primitivo, siendo su comportamiento elástico. Sin embargo, si se siguiese añadiendo sobrepeso al platillo, habría un valor de dicho sobrepeso - en la gráfica de la figura el correspondiente al punto A- a partir del cual el comportamiento dejaría de ser lineal, no siendo ya proporcional la fuerza y el alargamiento. Si ahora, desde la situación descrita por el punto B, vamos descargando el platillo lenta y progresivamente, se obtendrá la linea de puntos BC. Eso nos indica que cuando desaparecen todos los sobrepesos queda una deformación permanente y que el comportamiento ha dejado de ser elástico. La situación descrita por el punto A representa el límite de elasticidad correspondiente a ese cuerpo. Este límite, en el caso del plomo, se alcanzaría para pequeños sobrepesos, mucho menores que en el caso del acero. Si se volviese a repetir el experimento anterior con un alambre del mismo material pero de sección doble, se observarían alargamientos que serían la mitad de los de la experiencia anterior, por lo que, si queremos resumir todo lo anterior, diremos que la deformación unitaria es proporcional a la fuerza de tracción por unidad de sección, siendo el coeficiente de proporcionalidad una magnitud que se llama módulo de Young que sólo depende del material de que esté fabricado el alambre. F = E l S l Esta ecuación puede considerarse como una expresión matemática de la ley de Hooe, según la cual: las deformaciones son proporcionales a la fuerza de tracción mientras no se supere el límite de elasticidad. Si en la ecuación anterior despejamos la fuerza: F ES l ES = ; F = l; F = x l l obtenemos la expresión más habitual de la ley de Hooe, donde se ha sustituido )l por "x" como valor del alargamiento y se han FÍSICA º BACHILLERATO Pág. 8

9 englobado los valores de la longitud inicial, sección del alambre y módulo de Young dentro de una misma constante "". Si ahora pensamos en cualquiera de las situaciones descritas por el segmento AC (zona de comportamiento elástico), vemos que hay un equilibrio entre la fuerza deformadora F y la que hace el alambre F e : r r r r r r F + F = 0 F = F F = x e e e que nos indica que la fuerza recuperadora elástica es proporcional y de sentido contrario a la deformación experimentada. Dinámica del M.A.S. Cuando un cuerpo esté sometido a la acción de una fuerza elástica (caso de una masa unida a un muelle, por ejemplo), la aceleración correspondiente será: r r r Fe x r r a = = a = m m m x ecuación que, si comparamos para la obtenida en la cinemática del M.A.S. a = ω x nos indica que el movimiento correspondiente a un cuerpo sometido a una fuerza recuperadora elástica es un movimiento armónico simple de pulsación ω = m Trabajo de una fuerza elástica FÍSICA º BACHILLERATO Pág. 9

10 Imaginemos una partícula que está oscilando sujeta a un muelle de constante elástica K. Su movimiento implica un alargamiento o una compresión del muelle alrededor de su posición de equilibrio, en la que el muelle tiene su longitud natural y que tomaremos como origen de coordenadas. Vamos a calcular el trabajo realizado por la fuerza que hace el muelle sobre la partícula, cuando ésta pasa de la posición x 1 a la posición x. La expresión de la fuerza es realizado tendrá la expresión: PF e '&KxPi por lo que el trabajo W 1 ' x x PF m &KxPi@dxPi' x 1 m x 1 x ' &Kx dx ' R m x 1 F & Kx X L x x 1 ' ' 1 Kx 1 & 1 Kx Otra forma de obtener este resultado, si no se conoce la integral definida, consiste en suponer que el desplazamiento desde x 1 hasta x se ha dividido en intervalos )x infinitamente pequeños, de modo que durante cada intervalo pueda considerarse constante la fuerza, con lo cual, el trabajo elemental producido sería -x )x, que viene a ser el área rayada en la gráfica. Al sumar todos los trabajos elementales el trabajo total FÍSICA º BACHILLERATO Pág. 10

11 realizado por la fuerza elástica entre x 1 y x sería el área del trapecio (con signo menos): W W x + x = x x = ( x x ) 1 Como se ve, si el objeto oscila de modo que el muelle se alarga (x > x 1 ), el trabajo de la fuerza elástica será negativo y positivo en caso contrario. 3.-ENERGÍA POTENCIAL, CINÉTICA Y MECÁNICA EN UN M.A.S. REPRESENTACIONES GRÁFICAS. Energía potencial elástica Como acabamos de ver, el trabajo de una fuerza elástica viene expresado como diferencia entre los valores de una función escalar (1/ x ) en los puntos inicial y final del desplazamiento. Esto indica que la fuerza elástica es una fuerza conservativa (su trabajo sólo depende de los puntos inicial y final y no de los intermedios) y que la citada función escalar es la energía potencial asociada a dicha fuerza. Basta recordar que el trabajo de una fuerza conservativa puede expresarse como la disminución de la energía potencial asociada a esa fuerza: W x x = E P = E P E 1 P 1 1 Entonces, si consideramos como nivel de referencia de energías potenciales la situación en la que el muelle esta en su longitud natural, sin deformar, x 1 =0 y E P1 = 0, nos queda: FÍSICA º BACHILLERATO Pág. 11

12 x x = E P E P = así que, en general, cuando un muelle esté deformado la longitud x tendrá una energía potencial E Energía mecánica y su conservación x P = Cuando una masa m está oscilando unida a un muelle describiendo un M.A.S. la energía potencial que tiene en cada punto de su trayectoria podrá expresarse como E P = mω x mientras que su energía cinética será E C = mv Al ir moviéndose irán modificándose ambas energías, pero, al tratarse del movimiento de un cuerpo sometido a fuerza conservativa, deberá ser constante la suma de las dos, es decir, la energía mecánica: E M = EC + E P = cte. Para comprobarlo, recordemos la relación entre la velocidad y la posición en un M.A.S. v = ω A x, con lo que nos quedará: mv mω x mω ( A x ) mω x mω A E M = + = + = = cte. Representaciones gráficas FÍSICA º BACHILLERATO Pág. 1

13 En la gráfica se representan las energías potencial E P y cinética E C, así como su suma, la energía mecánica total. Como se observa, conforme el objeto se mueve hacia la derecha desde el origen (deformación nula)en el que la energía potencial es mínima (cero) y la cinética es máxima, la E P va aumentando hasta el valor A, cuando llega a la máxima elongación A; en ese punto la energía cinética es nula y el objeto, sometido a la fuerza recuperadora -x vuelve hacia el origen, disminuyendo la energía potencial y aumentando la cinética. Cuando llega al origen, toda la energía está en forma de energía cinética y la velocidad es máxima v = ωa ; aunque la fuerza en ese punto es nula y, por tanto, también la aceleración, como el objeto posee una velocidad hacia la izquierda, la mantiene y se mueve hacia la posición -A, frenado por la fuerza recuperadora elástica, perdiendo energía cinética y ganando energía potencial. Al llegar al punto de abcisa -A toda la energía disponible vuelve a ser potencial, siendo nula la energía cinética y, por lo tanto, la velocidad; como ahora la fuerza elástica tiene sentido hacia la derecha, el objeto acelera en esa dirección hasta volver al origen, donde, nuevamente toda la energía es cinética y es nula la energía potencial. FÍSICA º BACHILLERATO Pág. 13

14 4.APLICACIÓN A OSCILADOR MASA - MUELLE Y PÉNDULO SIMPLE. El movimiento armónico simple se produce siempre que un cuerpo está sometido a una fuera recuperadora proporcional y de sentido contrario a la separación de la posición de equilibrio. Hay muchas situaciones en las que este movimiento tiene lugar al separar ligeramente un objeto de la posición de equilibrio estable; vamos a estudiar dos de ellas. Oscilador masa - muelle a) Muelle horizontal Veamos primero el caso de un objeto de masa m sujeto a un muelle elástico de constante K, situado horizontalmente y sin rozamiento con el suelo. Si separamos la masa de su posición inicial estirando el muelle hasta la posición A y soltamos, el cuerpo estará sometido únicamente a la fuerza elástica: r r r r r r F xi ma xi a m xi e = = = lo que, comparando con la ecuación obtenida para la aceleración r r en el M.A.S. que, puesta en forma vectorial, es a = ω xi, nos indica que el movimiento descrito es armónico simple de pulsación ω = m m y de periodo T = π. Así, la ecuación de ese movimiento vendría dada por la ecuación x = Acos m t, en la que se ha supuesto como situación inicial el objeto en el punto de máxima elongación x = A. FÍSICA º BACHILLERATO Pág. 14

15 b) Muelle vertical Supongamos ahora que el objeto lo sujetamos a un muelle que cuelga vertical contrarrestado por la fuerza elástica con una longitud natural l 0 y lo vamos dejando mover poco a poco hacia abajo hasta alcanzar la posición de equilibrio. En dicha posición el muelle estará estirado de modo que el peso mgj r quede r r r Fe = y0 j = y0 j, que es vertical y hacia arriba ya que la deformación y 0 es hacia abajo. Así pues, como hay equilibrio: r r r r Fe + P = 0 y0 j + ( mgj ) = 0 y0 = mg y0 = mg Si ahora se estira el muelle un poco más, la longitud A, hacia abajo a partir de la posición de equilibrio y soltamos, es evidente que ya no habrá equilibrio pues el peso no ha variado mientras que la fuerza elástica hacia arriba habrá aumentado, de modo que el objeto se moverá hacia arriba; cuando pase por la posición de equilibrio, justo en ese punto, no habrá aceleración, con lo que conservará su velocidad hacia arriba, pero conforme suba, el muelle estará menos estirado y ahora será mayor el peso que la fuerza elástica, siendo la aceleración hacia abajo hasta alcanzar la posición -A simétrica respecto la posición de equilibrio. El objeto oscilará entre esos dos puntos. Para un punto intermedio entre A y el punto de equilibrio, en el que el alargamiento del muelle sea de Newton, encontraremos: y, si aplicamos la segunda ley FÍSICA º BACHILLERATO Pág. 15

16 r r r r r r r r r F + P = ma yj mgj = e ma yj y j = 0 ma que, si tenemos en cuenta que y 0 es una cantidad siempre negativa: yj r + y r j = ma r a r = m y y r j 0 ( 0) ecuación que nos indica que la oscilación tiene de pulsación ω = m y de periodo T = π m, exactamente igual que en el muelle horizontal. Si ahora tomásemos como origen de coordenadas para la posición del móvil el punto de equilibrio dicha posición vendría dada por r r Y = y y 0 con lo que la ecuación sería ahora a = Yj. A esa aceleración le correspondería para la posición: Y = A m t + cos δ Si consideramos como instante inicial cuando Y=-A: A = Acosδ cosδ = 1 δ = π con lo que la ecuación del movimiento será: Y = A m t + cos π Así pues, al estudiar el movimiento de una masa sujeta a un muelle vertical podemos prescindir del campo gravitatorio y suponer que sólo actúa la fuerza elástica, pero, eso sí, tomando como deformaciones no las que realmente tiene el muelle, sino las referidas a su longitud en el equilibrio. FÍSICA º BACHILLERATO Pág. 16

17 b )Si, una vez sujeto el objeto al muelle, soltamos sin acompañar, al pasar por la posición de equilibrio, lo hará con velocidad, de modo que seguirá moviéndose hacia abajo siendo frenado por la fuerza elástica. Para ver hasta dónde llega en su movimiento descendente, vamos a aplicar el teorema de conservación de la energía, al tratarse del movimiento de un cuerpo sometido a fuerzas conservativas: 1 mg E M = E M 0 = y + mg( y) y = mg y = y = 1 El movimiento sería el mismo que en el caso anterior, salvo que mg A = y0 = ahora la amplitud sería con lo que la ecuación del y 0 mg movimiento sería Y = m t + cos δ Si el instante inicial es cuando se suelta el cuerpo Y = mg mg mg = cosδ cosδ = + 1 δ = 0 y la ecuación del movimiento quedará: Y = mg cos m t FÍSICA º BACHILLERATO Pág. 17

18 Péndulo simple Supongamos un hilo de longitud l del que cuelga una masa m. Si separamos el péndulo de su posición de equilibrio un ángulo Φ, las fuerzas del peso y la tensión dejan de estar equilibradas, apareciendo una fuerza tangencial que tiene sentido contrario a la separación angular. Para una posición posterior de separación angular de la vertical ϕ podremos expresar esta fuerza como FT = mg sinϕ. Pero FT = mat y at = α l, y así g mαl = mg sinϕ α = sinϕ. l Si se consideran oscilaciones pequeñas, los valores de los senos son aproximadamente iguales que los del ángulo medido en radianes, por lo que α = g l ϕ expresión que nos indica que, en esas condiciones, la oscilación angular del péndulo corresponde a un movimiento armónico de pulsación y de periodo. ω = g l T = π l g En este caso la variable del movimiento es la posición angular del péndulo respecto de la vertical ϕ. g La ecuación de ese movimiento sería: ϕ = Φ cos + π l t si consideramos que en el instante inicial ϕ = Φ. FÍSICA º BACHILLERATO Pág. 18